湖北省云学名校2023-2024学年高一下学期5月联考数学试卷(含答案)

这是一份湖北省云学名校2023-2024学年高一下学期5月联考数学试卷(含答案)，共17页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知集合，，则( )
A.B.C.D.
2．中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，，则( )
A.B.C.D.
3．已知两条不同的直线m，n，两个不同的平面，，则下列说法正确的是( )
A.若，，，则
B.若，则
C.若，，，则
D.若，，，则
4．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，，，则( )
A.B.C.D.
5．已知，，且，则的最小值为( )
A.B.C.4D.6
6．已知向量，，则下列命题中不正确的是( )
A.存在，使得B.当时，
C.当与垂直时，D.与可能平行
7．若，对任意实数a，b，则“”是“”成立的( )
A.充分且必要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件
8．若函数有n个不同的零点，，，，则.已知，存在实数a，b，c，t满足，则( )
A.8B.-8C.16D.与实数t有关
二、多项选择题
9．设，是复数，则下列说法正确的是( )
A.若为纯虚数，则B.若，则
C.若，则D.若，则
10．下列说法正确的( )
A.非零向量，，若与共线，则
B.非零向量，满足，则
C.在中，若，且，则为等边三角形
D.已知单位向量，，满足，则
11．在长方体中，，，动点N在线段上(不含端点)，M在线段AB上，则( )
A.存在点N，使得平面B.存在点N，使得
C.的最小值为D.MN的最小值为
三、填空题
12．已知i是虚数单位，复数，则复数z的虚部为______________.
13．“文翁千载一时珍，醉卧襟花听暗吟”表达了对李时珍学识渊博、才华横溢的赞叹.李时珍是湖北省蕲春县人，明代著名医药学家.他历经27个寒暑，三易其稿，完成了192万字的巨著《本草纲目》，被后世尊为“药圣”.为纪念李时珍，人们在美丽的蕲春县独山修建了一座雕像，如图所示.某数学学习小组为测量雕像的高度，在地面上选取共线的三点A、B、C，分别测得雕像顶的仰角为，，，且米，则雕像高为_____________米.
四、双空题
14．用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，把底面和截面之间的那部分多面体叫做棱台.在正三棱台中，侧棱，，，则侧棱与底面ABC所成角的正弦值为_____________，该三棱台的体积为_____________.
五、解答题
15．已知向量，，且函数在时的最大值为.
(1)求常数m的值；
(2)当时，求函数的单调递增区间.
16．已知复数(i为虚数单位).
(1)求；
(2)若，其中，，求r，的值；
(3)若，且是纯虚数，求.
17．如图所示，圆内接四边形ABCD中，，，C为圆周上一动点，.
(1)求四边形ABCD周长的最大值；
(2)若，求AC的长.
18．在四棱锥中，平面平面ABCD，E为AD边上一点，F为PB中点，，，，，，，.
(1)求四棱锥的体积；
(2)证明：平面PCE；
(3)证明：平面平面PBC.
19．如图，设，是平面内相交成的两条射线，，分别为，同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系.在仿射坐标系中，若，则记.
(1)在仿射坐标系中
①若，求；
②若，，且与的夹角为，求；
(2)如图所示，在仿射坐标系中，B，C分别在x轴，y轴正半轴上，，，E，F分别为BD，BC中点，求的最大值.
参考答案
1．答案：D
解析：由题，，
所以，，，，
故A、B、C错误，D正确.
故选：D.
2．答案：B
解析：在中，因为，则，
又，，由正弦定理，可得.
故选：B.
3．答案：D
解析：对于A，如图，若，，，则或m与n异面，故A错误；
对于B，，若，则由线面垂直定义，故B错误；
对于C，如图，，，，此时，故C错误；
对于D，若，，，则由线面平行性质定理，故D正确.
故选：D.
4．答案：C
解析：，所以，
5．答案：D
解析：，当且仅当时取最小值，此时.
6．答案：D
解析：对于A中，由，，可得，，
令，可得，即，
当时，满足，所以存，使得，所以A正确；
对于B中，由，可得，
又因为，联立可得，解得，
因为，可得，所以，所以B正确；
对于C中，当与垂直时，可得，即，
所以，所以C正确；
对于D中，若与可能平行，可得，即，
因为，
又因为，可得，所以，
此时方程无解，所以与不可能平行，所以D错误.
故选：D.
7．答案：A
解析：依题意得
所以关于点中心对称，易知在单增，所以在R上也单增.
当时，则，，又，所以
当，，即，又因为在R上为单增函数，所以，即
8．答案：A
解析：依题意知有三个零点a，b，c，，展开对应项系数相等得.
，所以
9．答案：AC
解析：对于A，因为是纯虚数，所以设，则，所以A正确，
对于B，设，，因为，所以，
因为，，所以，所以B不正确，
对于C，设，则，所以，所以，所以C正确，
对于D，设，因为，
则，时，且，所以D不正确，
故选：AC
10．答案：BC
解析：对于选项，当与反向时，，A错误；
对于选项B，，，，B正确；
对于选项C，表示与同向的单位向量，表示与同向的单位向量，，所以与夹角为，表起点相同的两个单位向量的和向量，为角平分线同向的向量，与垂直，所以，所以为等边三角形，C正确；
对于选项，因为，所以，两边平方得，，即，，D错误.
11．答案：BCD
解析：对于选项A：若存在点N，使得平面，又因为平面，N不与C重合.BN与BC相交于B点，且都在平面内，则平面平面与题目不相符，A错误.对于选项B，连接BD，且，如图所示，当N在中点时，因为点O为AC的中点，所以，因为平面ABCD，
所以平面ABCD，又因为平面ABCD，所以，
因为ABCD为正方形，所以.
又因为，且平面BDN，所以平面BDN，
因为平面BDN，所以，所以正确；
对于选项：将和所在的平面沿着展开在一个平面上，如图所示和是全等的直角三角形，，，
连结，，则的最小值为BD，直角斜边上高为，直角斜边上高也为，所以的最小值为，所以C正确；
对于选项D：过N点作，交于P，作，交AC于T，过T作交AB于M.(若M在其它位置，MN长度比此时大)如图所示
易证明平面平面，平面MNT，所以平面
，，所以，平面，平面平面，所以，所以四边形AMNP为平行四边形.
所以，当AP最小时MN最小，
在中，，，可得，
所以由等面积得|AP|最小值为，即MN最小值为，所以D正确，故选：BCD.
12．答案：-10
解析：由复数，
所以复数的虚部为-10.
故答案为：-10.
13．答案：20.1
解析：如图所示，设雕像的高为PO=h，则，，，为中线，
由平行四边形的性质得.
故答案为：20.1
14．答案：；
解析：如图所示，延长侧棱相交于点P，取BC中点D，AD的三等分点O(靠近D点)连接OP，
依题意得，，所以，又因为三棱台是正三棱台，，所以三棱锥为正四面体.所以平面，与底面所成角为，，，
所以，.
，
同理，
所以该三棱台的体积为
15．答案：(1)；
(2)和
解析：(1)
，时，，解得：.
(2)由(1)知：
令，解得：
又因为，的单调递增区间为和
16．答案：(1)；
(2)；
(3)或
解析：(1)
(2)
，，，
(3)设，
则，所以①
因为是纯虚数，所以，②
由①②联立，解得或
所以或
17．答案：(1)；
(2)4
解析：(1)(方法)：连接BD，因为，所以，
在中，，得.
设，则，在中由正弦定理得
，所以，
所以
当且仅当时，周长的最大值为
(方法二)连接BD，因为，所以，
在中，，得，
在中由余弦定理得
，所以，
因为当且仅当时等号成立
所以，
所以周长的最大值为
(2)依题意得，设，
在中由余弦定理得
，
所以，，，，
，所以，
在中，由正弦定理得，所以
在中，由余弦定理得，
18．答案：(1)3；
(2)证明见解析；
(3)证明见解析
解析：(1)，，，，，且
又，，，由余弦定理得，
，又平面平面，平面平面，平面PAD，
平面ABCD
连接，，，，为等边三角形，
，，，，，，，得为直角三角形.
(2)取PC中点M，F为PB中点，为中位线，，又，
，四边形AFME为平行四边形
，又平面，平面，
平面PCE
(3)由(2)得四边形AFME为平行四边形.，M为PC的中点，
，又，
在中，，F为PB中点，
平面，平面，
平面
又平面平面平面
19．答案：(1)①；
②；
(2)
解析：(1)①因为，，
，
所以
②由，，得.
..
因为与的夹角为，则，得.
(2)方法：依题意设，，，
，，，，
因为F为BC中点
E为BD中点，所以
所以
因为，.
在中依据余弦定理得，所以，代入上式
设，则
令得，得(舍)，所以，，
方法二：方法一：依题意设，，，
，，，
因为F为BC中点
E为BD中点，所以
所以
因为，.
在中依据余弦定理得，所以，代入上式
在中，由正弦定理，
设，，，
，