辽宁省七校2023-2024学年高一下学期期初考试数学试卷(含答案)

这是一份辽宁省七校2023-2024学年高一下学期期初考试数学试卷(含答案)，共13页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．已知集合,若,则C的子集有( )
A.3个B.4个C.7个D.8个
2．下列命题为真命题的是( )
A.,B.,
C.,D.,
3．下列各式正确的是( )
A.B.C.D.
4．设,,,则a,b,c的大小关系是( )
A.B.C.D.
5．函数的图像为( )
A.B.
C.D.
6．若函数则( )
A.-2B.2C.-3D.3
7．若,是不平行的两个向量,,其中,,,则A、B、C三点共线的充要条件是( )
A.B.C.D.
8．已知函数,则关于x的不等式的解集为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．下列函数中是偶函数,且在上为增函数的有( ).
A.B.C.D.
10．同时拋郑两个质地均匀的四面分别标有1,2,3,4,的正四面体一次,记事件第一个四面体向下的一面出现偶数;事件第二个四面体向下的一面出现奇数;事件两个四面体向下的一面或同时出现奇数,或者同时出现偶数,则( )
A.B.C.D.
11．若a，b，，则下列命题正确的是( ).
A.若且，则B.若，则
C.若，则D.若且，则
12．已知函数有两个零点,,以下结论正确的是( )
A.B.若,则
C.D.函数有四个零点
三、填空题
13．_______________．
14．已知四边形的对角线交于点O,E为的中点,若,则__________.
15．抽样统计某位射击运动员10次的训练成绩分别为86,85,88,86,90,89,88,87,85,92,则该运动员这10次成绩的分位数为__________.
16．已知函数,若对任意的正数a、b,满足,则的最小值为：______.
四、解答题
17．已知集合,.
（1）分别求,;
（2）已知,若,求实数a的取值范围.
18．在平面内给定三个向量，，.
（1）求满足的实数m，n的值；
（2）若向量d满足，且，求向量d的坐标.
19．已知关于x的不等式的解集为或.
（1）求a,b的值;
（2）当,且满足时,有恒成立,求k的取值范围.
20．某学校为了解本校历史、物理方向学生的学业水平模拟测试数学成绩情况,分别从物理方向的学生中随机抽取60人的成绩得到样本甲,从历史方向的学生中随机抽取n人的成绩得到样本乙,根据两个样本数据分别得到如下直方图：
已知乙样本中数据在的有10个.
（1）求n和乙样本直方图中a的值;
（2）试估计该校物理方向的学生本次模拟测试数学成绩的平均值和历史方向的学生本次模拟测试数学成绩的中位数（同一组中的数据用该组区间中点值为代表）.
（3）采用分层抽样的方法从甲样本数据中分数在和的学生中抽取6人,并从这6人中任取2人,求这两人分数都在中的概率.
21．已知函数,.
（1）解关于x的不等式;
（2）若方程有两个正实数根,,求的最小值.
22．已知函数.
（1）当时,求满足的x的值;
（2）若函数是定义在R上的奇函数,函数满足,若对任意且,不等式恒成立,求实数m的最大值.
参考答案
1．答案：B
解析：集合,因为,
所以,其子集有4个.
故选：B.
2．答案：C
解析：对于A,因为,所以,,A错误;
对于B,当时,,B错误;
对于C,当时,,C正确;
由可得均为无理数,故D错误,
故选：C.
3．答案：A
解析：对于A,,正确;
对于B,,错误;
对于C,,错误;
对于D,,错误;
故选：A.
4．答案：D
解析：,,,
故.
故选：D.
5．答案：A
解析：函数的定义域为,可以排除选项B、C;
由,
可知函数为偶函数,其图像应关于y轴轴对称,可以排除选项D.
故选：A.
6．答案：D
解析：,.
故选：D.
7．答案：C
解析：A、B、C三点共线,共线,
存使
整理得
故选：C.
8．答案：D
解析：,
由于,所以的定义域为R,
又
,所以是奇函数,
当时,为增函数,为增函数,
所以是增函数,则,由是奇函数可知,在R上单调递增,
由得,即,
则,解得,所以不等式的解集是.
故选：D.
9．答案：BD
解析：对于A:定义域为,关于原点对称,是奇函数,不满足题意;
对于B:定义域为R,关于原点对称,,,是偶函数,由二次函数的性质可知,函数在上为增函数,满足题意;
对于C:定义域为R,关于原点对称,,,是奇函数,不满足题意;
对于D:定义域为,关于原点对称,,,是偶函数,当时,,由对数函数的性质可知,在上为增函数,满足题意.
故选:BD.
10．答案：AC
解析：依题意,,
,故选项A正确,B不正确;
因为A,B为相互独立事件,
所以,故选项C正确;
又因为事件A、B、C不可能同时发生,
所以,故选项D不正确;
故选：AC.
11．答案：BC
解析：对于A，取，，则不成立.
对于B，若，则，.
对于C，若，则，，.
对于D，若且，则，，而b可能为0，因此不正确.
12．答案：ABC
解析：二次函数对应二次方程根的判别式,,故A正确;
韦达定理,,,故B正确;
对于C选项,,,所以,故C选项正确;
对于D选项,当时,由得,所以,,,故有三个零点,则D选项错误．
故选：ABC.
13．答案：6
解析：
.
故答案为：6.
14．答案：
解析：由E为的中点,及,得,即,
又四边形的对角线交于点O,即点B,O,D共线,因此,
所以.
故答案为：.
15．答案：89.5
解析：该射击运动员10次的训练成绩从小到大分别为85,85,86,86,87,88,88,89,90,92,又,
这10次成绩的分位数为.
故答案为：89.5.
16．答案：4
解析：对任意的,,所以,函数的定义域为R,
因为,即函数为奇函数,
又因为,且函数在R上为增函数,
所以,函数在R上为增函数,
对任意的正数a,b,满足,则,
所以,,即,
所以,,
当且仅当时,即当时,等号成立,故的最小值为4.
故答案为：4.
17．答案：（1）,
（2）
解析：（1）,,解得,则,
,,解得,则,
,;
（2）,,
.
18、
（1）答案：，
解析：由已知条件以及，可得.
解得，.
（2）答案：或
解析：，设向量，则.
，，
解得或
向量d的坐标为或.
19．答案：（1）,
（2）.
解析：（1）因为不等式的解集为或,
所以1和b是方程的两个实数根且,
所以,解得,即,.
（2）由（1）知,于是有,
故,
当且仅当,结合,即时,等号成立,
依题意有,即,
得,即,
所以k的取值范围为.
20．答案：（1）0.018
（2）乙样本数据的中位数为82,即理科学生本次模拟测试数学成绩的平均值为81.5,文科班学生本次模拟测试数学成绩的中位数为82
（3）
解析：（1）由直方图可知,乙样本中数据在的频率为,则,解得;
由乙样本数据直方图可知,,解得;
（2）甲样本数据的平均值估计值为,
乙样本数据直方图中前3组的频率之和为,前4组的频率之和为,所以乙样本数据的中位数在第4组,
设中位数为x,,解得,
所以乙样本数据的中位数为82,即理科学生本次模拟测试数学成绩的平均值为81.5,
文科班学生本次模拟测试数学成绩的中位数为82;
（3）由频率分布直方图可知从分数在和的学生中分别抽取2人和4人,
将从分数在中抽取的2名学生分别记为,,从分数在中抽取的4名学生分别记为,,,,
则从这6人中随机抽取2人的基本事件有：,,,,,
,,,,,,,,,共15个,
所抽取的两人分数都在中的基本事件有6个,
即这两人分数都在中的概率为.
21．答案：（1）答案见解析;
（2）6.
解析：（1）不等式即为,
当,即时,不等式的解集为,
当,即时,不等式的解集为,
当,即时,不等式的解集为,
综上可知：当时,不等式的解集为,
当时,不等式的解集为,
当时,不等式的解集为.
（2）方程有两个正实数根,,
即有两个正实数根,,
故,解得,
所以
令,则,故
当且仅当即时取得等号,
故的最小值为6.
22．答案：（1）2;
（2）
解析：（1）当,时,.
即,
解得：或=−1(舍去),
;
（2）若函数是定义在R上奇函数,
则,即,
即,
解得：,,或,,
经检验,满足函数的定义域为R,
.
当时,函数满足,
,(),
则,
不等式恒成立,
即恒成立,
即恒成立,
设,则,
即,恒成立,
由对勾函数的图象和性质可得：当时,取最小值．
故,即实数m的最大值为.