上海市进才中学、曹杨二中2023-2024学年高二下学期5月阶段性诊断数学试卷(含答案)

这是一份上海市进才中学、曹杨二中2023-2024学年高二下学期5月阶段性诊断数学试卷(含答案)，共17页。试卷主要包含了填空题，选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、填空题
1．已知x为正整数,若,则_____________.
2．已知某圆锥的高为4,底面积为,则该圆锥的侧面积为____________.
3．设.若直线和直线平行,则____________.
4．已知事件A与事件B相互独立,若,,则________.
5．某个品种的小麦麦穗长度（单位：）的样本数据的茎叶图如图所示,其中整数部分为“茎”,小数部分为“叶”,则这组数据的第60百分位数为____________.
6．设n为正整数,已知的二项展开式中第4项为常数项.若从展开式中任取一项,则该项的系数为偶数的概率为____________.
7．已知具有线性相关关系的两个变量x、y之间的一组数据如下：
若回归方程为,则________.
8．设,P为双曲线右支上一动点.若点P到直线的距离大于c恒成立,则c的最大值为_____________.
9．设,已知随机变量,随机变量.若,则_____________.
10．已知卷纸中的纸是单层的,且卷纸整体呈一个空心圆柱形,即大圆柱在其正中间挖去了一个小圆柱.小吴想测量一个卷纸展开后的总长度,测得小圆柱底面的直径为4.0厘米,大圆柱底面的直径为10.0厘米.由于单层纸的厚度不易测量,小吴利用游标卡尺测得10层纸的总厚度为0.3厘米.试估算这个卷纸的长度为____________米.（取,结果精确到个位）
11．某景点的票价为5元,售票窗口只有2张5元并有足够多的门票.现有4人持一张5元,5人持一张10元来买票,则没有顾客需要等待找钱的概率为_____________.（结果用最简分数表示）
12．已知动圆M经过点、,P是圆M与圆的一个公共点.当最大时,圆M的半径为___________.
二、选择题
13．抛物线的焦点是( )
A.B.C.D.
14．已知一组样本数据,,,…,满足：,则去掉后,下列数字特征中一定变化的是( )
A.平均数B.中位数C.极差D.方差
15．将1,2,3,…,50这50个正整数分成甲、乙两组,每组各25个数,使得甲组的中位数比乙组的中位数小2,则不同的分组方法数是( )
A.B.C.D.
16．如图,在正方体中,P,Q分别是线段、BD上的点.给出下列两个说法：①存在点P,对任意点Q,均有;②若,则直线与恒为异面直线,则( )
A.①、②都正确B.①、②都错误C.①正确,②错误D.①错误,②正确
三、解答题
17．如图,三棱柱中､四边形是菱形,且,,,,
（1）证明：平面平面;
（2）求直线和平面所成角的正弦值;
18．某药物公司为了研发一种抗病毒疫苗,在200名志愿者中进行试验.研究人员将疫苗注射到200名志愿者体内,一段时间后测量志愿者的某项指标值,按,,,,,分组,绘制成如图所示的频率分布直方图.经检测发现,志愿者中体内产生抗体的共有150人,其中该项指标值不小于30的有110人.
（1）求这200名志愿者该项指标值的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）;
（2）填写下列列联表;
（3）根据列联表判断,在显著性水平的前提下,能否认为注射疫苗后产生抗体与指标值不小于30有关？
参考公式：,其中;参考数据：.
19．某企业准备把一种新型零件交给甲工厂或乙工厂生产.经过试生产,质检人员抽样发现：甲工厂试生产的一批零件的合格率为90％,乙工厂试生产的另一批零件的合格率为96％;若将这两批零件混合放在一起,则合格率为94％.
（1）从混合放在一起的零件中随机抽取3个.用频率估计概率,记这3个零件中来自甲工厂的个数为X,求随机变量X的分布和期望;
（2）为了争取获得该零件的生产订单,甲工厂提高了生产该零件的质量指标.已知在甲工厂提高质量指标的条件下,该企业把零件交给甲工厂生产的概率,大于在甲工厂不提高质量指标的条件下,该企业把零件交给甲工厂生产的概率.用事件A表示“甲工厂提高了生产该零件的质量指标”,事件B表示“该企业把零件交给甲工厂生产”.已知,求证：.
20．在平面直角坐标系xOy中,已知双曲线的左、右焦点分别为、,是双曲线C上一点,且.
（1）求双曲线C的方程;
（2）过点P作直线l与双曲线C的两条渐近线分别交于R、S两点.若点P恰为线段RS的中点,求直线l的方程;
（3）设斜率为-2的直线l与双曲线C交于A、B两点,点B关于坐标原点的对称点为D.若直线PA、PD的斜率均存在且分别为、,求证：为定值.
21．在平面直角坐标系中,已知椭圆,过点作直线l与椭圆交于A,B两点.
（1）若是直线l一个法向量,求直线l的标准方程;
（2）若的面积为,求直线l的方程;
（3）在线段上取点Q,使得,求证：点Q在一条定直线上.
参考答案
1．答案：3
解析：若,则或,解得或,
而x为正整数,故符合题意.
故答案为：3.
2．答案：
解析：圆锥底面积为,则底面半径为3,又圆锥的高为4,
则圆锥的母线长为5,则该圆锥的侧面积为
故答案为：.
3．答案：4
解析：若直线和直线平行,
可得,解得,
则直线为,直线为,
显然两直线平行,故符合题意
故答案为：4.
4．答案：0.4
解析：已知事件A与事件B相互独立,可推出事件A与事件相互独立,
故,解得,
故.
故答案为：0.4.
5．答案：9.8
解析：由题知,
样本数据有7.8,8.6,8.9,9.1,9.6,9.7,9.8,10,10.2,10.6,11.2,11.7,
共13个,则,
则这组数据的第60百分位数为.
故答案为：9.8.
6．答案：
解析：设展开式中的通项为,则,
当时,,解得,展开式中共有7项,
其中只有3项的系数,,为偶数.该项的系数为偶数的概率是.
故答案为：.
7．答案：2
解析：,,
因为回归方程为,所以,解得.
故答案为：2.
8．答案：
解析：由双曲线方程可得,则双曲线的一条渐近线方程为,
因为双曲线无限接近于渐近线,且显然直线与直线平行,
则两直线之间的距离d即为c的最大值,此时.
故答案为：
9．答案：46.
解析：由,得,,,
由,且设,
故有,解得,则.
故答案为：46.
10．答案：22
解析：设圆柱的高为,则卷纸的体积为,
每层纸的厚度为厘米,展开后的体积为,
所以,解得厘米,
所以这个卷纸的长度为22米.
故答案为：22.
11．答案：
解析：设售票窗口每次售票后累计有a张10元,b张5元(不考虑找零),记为数组,
则顾客一种买票的情况即为到的变化途径,
变化途径为:顾客买10元票,则横坐标加1,否则纵坐标加1.
故不同的买票情况共有种情况.
每种不同的买票情况对于图中从坐标到坐标的最短途径.
若没有顾客需要等待找钱,则需即最短途径与直线没有交点,
考虑关于直线的对称点,该对称点为,
考虑到的最短途径,数目为,
故没有顾客需要等待找钱的情况共有90种,
设所求概率为P,则,
故答案为：.
12．答案：
解析：如图:
由圆的性质知：圆心M在AB的垂直平分线上,设AB与直线交于点,
记圆M半径为R,当最大时,最大,即最大,
则,由正弦函数的单调性知,最大时,R最小,此时两圆内切.
设,,又的圆心,半径为,
所以,即,
平方化简得,
进一步平方化简得,解得或（舍去）,
所以,即圆的半径为.
故答案为：.
13．答案：D
解析：焦点在y轴上,又,故焦点坐标为,故选D.
14．答案：D
解析：由,知原始中位数为,新数据的中位数为与没法比较,
即中位数不一定变化,故B不符合题意;
原平均数为,新平均数为,
平均数受极端值影响较大,所以平均数不一定变化,故选项A不符合题意;
去掉后,原始数据和新数据的极差都是,故极差一定不变化,故C不符合题意;
因为,去掉后剩余的8个数的波动变大了,故新数据的方差比原方差要大,故D符合题意.
故选：D.
15．答案：B
解析：将1,2,3,…,50这50个正整数分成甲、乙两组,每组各25个数,
使得甲组的中位数比乙组的中位数小2,
则每组个数据,每组中位数均为第13个数,比它大的或比它小的数均为12个数,
所以甲组的中位数可能为24,而此时乙组的中位数一定是26,
则一定在乙组数据中;此时不同的分组方法数为：;
甲组的中位数可能为25,而乙组的中位数一定为27,此时26必须在甲组数据中,
此时不同的分组方法数为：;
所以不同的分组方法数为：.
故选：B.
16．答案：C
解析：①如图,当点P是线段,交点时,满足题意.
此时无论点Q在线段何处,线段都在平面上,
由正方体结论知平面,由线面垂直定义得,所以①正确;
②如图,在下底面上过点Q作直线与平行,且交棱于点M,交棱于点N,
由于正方体中,由平行传递公理得,
在中,作,且交于点R,
在左侧面上,延长,且;
在后侧面上,延长,且,
连接,由公理及推论可得在截面上,
由于,
所以判断直线与是否恒为异面直线,只需判断是否在截面上.
如图,当在截面上,则与重合,
则由得,
由得,
不妨设,正方体棱长为,又,设,,
则,解得,
此时直线与为共面直线,故②错误.
故选：C.
17．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）连接交于O,连接,如图,
四边形是菱形,所以,
又,,O是的中点,
所以且,
由,可知为正三角形,
所以,,
在中,,所以,
又,,平面,
所以平面,又平面,
所以平面平面.
（2）设到平面的距离为d,
因为中,,,
所以,
又,,
所以由,可得,
即,
设直线和平面所成角为,
则.
18．答案：（1）35.5
（2）表格见解析
（3）不能认为注射疫苗后产生抗体与指标值不小于30有关
解析：（1）由题意平均值为.
（2）由频率分布直方图可知指标值不小于30的有人,
（3）零假设：注射疫苗后产生抗体与指标值不小于30有关,
,
没有充分的理由说明注射疫苗后产生抗体与指标值不小于30有关,
即不能认为注射疫苗后产生抗体与指标值不小于30有关.
19．答案：（1）分布列见解析;
（2）证明见解析
解析：（1）设甲工厂试生产的这批零件有m件,乙工厂试生产的这批零件有n件,
事件“混合放在一起零件来自甲工厂”;
事件“混合放在一起零件来自乙工厂”,
事件“混合放在一起的某一零件是合格品”
则,,
,
即,
解得：,所以,
X的可能取值为0,1,2,3,且由题意知：,
所以,,
,,
所以X的分布列为：
.
（2）证明：因为在甲工厂提高质量指标的条件下,该大型企业把零件交给甲工厂生产的概率,
大于在甲工厂不提高质量指标的条件下该大型企业把零件交给甲工厂生产的概率,
所以：,
即,因为,
所以,
由,
所以,
即得：,
所以,
即,
由因为,
所以,
因为,所以,
所以.
20．答案：（1）
（2）
（3）证明见解析
解析：（1）因为是双曲线C上一点,所以,
由,,所以,,
因为,所以,
即,②联立解得：,,
所以双曲线的方程为：.
（2）由（1）知：双曲线的渐近线方程为,由图象可知直线l的斜率存在并大于1,
不妨设,,由l的方程为：,
将R,S代入得：,,
同理,由PR,S中点,则,
所以,解得,
所以直线l的方程为.
（3）设,,点B与点D关于原点对称,所以,
设直线l的方程为,
由,得,
由可知或,
则,,
所以
,
由题意知：,,
所以,
所以为定值.
21．答案：（1）;
（2）或;
（3）证明见解析.
解析：（1）直线l的一个法向量为,则直线l的斜率为
又直线l过点,所以直线l的方程为：,即
（2）根据题意直线l的斜率不为0,则其方程为：
设,
所以,可得
所以,即
,,
,即
设,则
所以,即,解得或
即或
经检验,或都满足
所以直线l的方程为：或
即直线l的方程为：或
（3）设,,
根据题意,Q点在A,B之间,不妨设点A在点B的左侧.
当直线l与椭圆交于A,B两点,A,B两点x轴上方时,
由
则,即
所以,则
同理当A,B两点x轴下方时,也有成立.
所以当直线l的斜率不为0时,有,
由（2）有
当直线l的斜率为0时,即A,B两点为椭圆的左右顶点,即,,
所以满足的点为
综上所述:满足条件的点Q在直线上.即点Q在一条定直线上.
x
0
1
2
3
4
y
1
2a
5
7
指标值
指标值
合计
产生抗体
未产生抗体
合计
指标值
指标值
合计
产生抗体
40
110
150
未产生抗体
10
40
50
合计
50
150
200
X
0
1
2
3
P