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河北省唐县第一中学2023-2024学年高二下学期6月期末数学试题
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这是一份河北省唐县第一中学2023-2024学年高二下学期6月期末数学试题，共10页。
1、已知集合A={x|-1A. A>B B. AB C. BA D. A=B
2.已知离散型随机变量X的概率分布如表，离散型随机变量Y满足，则（ ）
A. B. C. D.
3.第19届亚运会在杭州举行，为了弘扬“奉献，友爱，互助，进步”的志愿服务精神，5名大学生将前往3个场馆开展志愿服务工作．若要求每个场馆都要有志愿者，则当甲不去场馆时，场馆仅有2名志愿者的概率为（ ）A. B. C. D.
4.已知函数的导函数为，函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．在，上为减函数
B．在，上为增函数
C．的极小值为，极大值为
D．的极大值为，极小值为
5.将三颗骰子各掷一次，记事件 “三个点数都不同”， “至少出现一个6点”，则条件概率等于（ ）A．B．C．D．
6.下列说法正确的是（ ）
A．若数据的极差和平均数相等，则
B．数据的中位数为8
C．若，随机变量，则
D．若，则
7.现某社区服务中心俱乐部将5名京剧演员、2名说书演员分配到甲、乙、丙3个居民区去义演，则每个居民区都有京剧演员的分配方法有（ ）
A．240种 B．640种C．1350种D．1440种
8.已知函数，若方程有六个相异实根，则实数的取值范围（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9.下列命题中，正确的有（ ）
A. 若随机变量，，则
B. 数据1，2，3，4，5，6，7，8，9，10的第分是
C. 若随机变量，则
D. 若两组成对数据的样本相关系数分别为，，则组数据比组数据的相关性较强
10. 若，则下列说法正确的是（ ）
A. B. C.
D.
11.已知函数，则（ ）
A．有两个极值点 B．点是曲线的对称中心
C．有三个零点且三个零点的和为0 D．直线是曲线的切线
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．若的展开式中常数项为，则的最小值为__________.
若随机变量，随机变量，则__________.
已知函数在处取得极大值，则的取值范围是______.
四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16,17题15分，第18,19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.已知函数，，记
。(1)判断的奇偶性（不用证明）并写出的单调区间；
（2）若对于一切恒成立，求实数的取值范围.
（3）对任意，都存在，使得，.若，求实数的值；
16.某城市人口数量950万人左右，共900个社区．在实施垃圾分类之前，随机抽取300个社区，并对这300个社区某天产生垃圾量（单位：吨）进行了调查，每个社区在这一天的垃圾量X大致服从正态分布．将垃圾量超过32吨天的社区确定为“超标”社区．
（1）请利用正态分布知识估计这900个社区中“超标”社区的个数；(结果取整数部分)
（2）通过研究样本原始数据发现，抽取的300个社区中这一天共有7个“超标”社区，市政府决定对7个“超标”社区的垃圾来源进行跟踪调查．现计划在这7个“超标”社区中任取4个进行跟踪调查，已知这7个社区中有3个社区在这一天的垃圾量超过35吨．设为抽到的这一天的垃圾量超过35吨的社区个数，求的概率分布与数学期望；
（3）用样本的频率代替总体的概率，现从该市所有社区中随机抽取50个社区，记为这一天垃圾量超过32吨的小区的个数，求的值．
(参考数据：； ；；)
17.已知函数.
（1）讨论的单调性；（2），，求的取值范围.
18.ChatGPT作为一个基于大型语言模型的聊天机器人，最近成为全球关注的焦点.ChatGPT是一个超强的AI，它能像人类一样聊天交流，甚至能完成撰写邮件、文案、写论文、答辩、编程等任务.专家预言，随着人工智能技术的发展，越来越多的职业可能会被ChatGPT或其他类似的人工智能工具所取代.某地区为了了解ChatGPT的普及情况，统计了该地区从2023年1月至5月使用ChatGPT的用户人数y（万人），详见下表：
（1）根据表中数据信息及模型①与模型②，判断哪一个模型更适合描述变量x和y的变化规律（无需说明理由），并求出y关于x的经验回归方程；
（2）为了进一步了解人们对适应人工智能所将带来的职业结构变化的自信程度（分为“基本适应”和“不适应”）是否跟年龄有关，某部门从该地区随机抽取300人进行调查，调查数据如下表：
根据小概率的独立性检验，分析该地区对职业结构变化的自信程度是否与年龄有关.
附参考数据：，；，.
19. 定义：若曲线或函数的图象上的两个不同点处的切线互相重合，则称该切线为曲线或函数的图象的“自公切线”.
（1）设曲线C：，在直角坐标系中作出曲线C的图象，并判断C是否存在“自公切线”？（给出结论即可，不必说明理由）
（2）证明：当时，函数不存在“自公切线”；
（3）证明：当，时，.
数学答案
一、
二、
三、12．3 13． 14．
四、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15.（13分）试题解析：
（Ⅰ）函数为奇函数，在R上单调递增
（Ⅱ）当时，即，
，令，
下面求函数的最大值。，∴
故的取值范围是
（Ⅲ）据题意知，当时，，
∵在区间上单调递增，∴，即
又∵∴函数的对称轴为
∴函数在区间上单调递减∴，即由，得，∴
（15分）
【小问1详解】因为该市人口数量在950万人左右的社区这一天的垃圾量大致服从正态分布，所以，因为，
所以这个社区中“超标”社区的个数为.
【小问2详解】
由题可知随机变量的取值为：0，1，2，3，
则，，，，
所以，的分布列为：
则.
【小问3详解】由（1）可知随机变量
所以，所以的值约为0.35．
（15分）
【小问1详解】的定义域为，，
当时，，所以在上单调递增；
当时，当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增.
【小问2详解】当时，显然成立，此时可为任意实数；
当时，由，在上恒成立，得，
令，，
则，
设，由（1）可知，在上单调递增，所以，
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减；则，所以，
综上，实数的取值范围为.
（17分）
【小问1详解】选择模型②：. 记，则. 由题知，，，，，所以，，
所以，即y关于x的回归方程为.
【小问2详解】
由题意，得到列联表：
，
根据的独立性检验，认为该地区对职业结构变化的自信程度与年龄有关，此推断犯错误的概率不大于0.01.
19(17分）
【小问1详解】曲线C：，当时，，表示以点为圆心，半径为的部分圆弧，当时，，表示以点为圆心，半径为的半圆圆，从而图象如下：
由图象可知，存在“自公切线”；
【小问2详解】
由题意，，下面只需证明在上单调即可，
令，则，
当时，，此时单调递减，即单调递减；
当时，，此时单调递减，即单调递减；综上所述，当时，在上单调递减，
所以在不同点处的切线斜率不同，所以图象不存在“自公切线”，得证.
【小问3详解】
，，
故只需证明，即只需证明，
构造函数，则，
当时，，从而在上单调递减，
所以，即，故只需证，
设，注意到，
，注意到，
令，则由（2）知，，
且由（2）知，在上单调递减，所以，
从而在上单调递减，所以，所以在上单调递增，所以，所以在上单调递增，
所以，即，
从而，当，时，.
X
0
1
2
3
P
a
5a
x（月份）
1
2
3
4
5
y（万人）
3.6
6.4
11.7
18.8
27.5
基本适应
不适应
年龄小于30岁
100
50
年龄不小于30岁
75
75
15
55
979
68
264
1122
0.15
0.1
0.05
0.025
0.01
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
1
2
3
4
5
6
7
8
C
A
B
D
A
C
C
B
9
10
11
AC
ABD
ABC
基本适应
不适应
合计
年龄不小于30岁
75
75
150
年龄小于30岁
100
50
150
合计
175
125
300
1、已知集合A={x|-1
2.已知离散型随机变量X的概率分布如表，离散型随机变量Y满足，则（ ）
A. B. C. D.
3.第19届亚运会在杭州举行，为了弘扬“奉献，友爱，互助，进步”的志愿服务精神，5名大学生将前往3个场馆开展志愿服务工作．若要求每个场馆都要有志愿者，则当甲不去场馆时，场馆仅有2名志愿者的概率为（ ）A. B. C. D.
4.已知函数的导函数为，函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．在，上为减函数
B．在，上为增函数
C．的极小值为，极大值为
D．的极大值为，极小值为
5.将三颗骰子各掷一次，记事件 “三个点数都不同”， “至少出现一个6点”，则条件概率等于（ ）A．B．C．D．
6.下列说法正确的是（ ）
A．若数据的极差和平均数相等，则
B．数据的中位数为8
C．若，随机变量，则
D．若，则
7.现某社区服务中心俱乐部将5名京剧演员、2名说书演员分配到甲、乙、丙3个居民区去义演，则每个居民区都有京剧演员的分配方法有（ ）
A．240种 B．640种C．1350种D．1440种
8.已知函数，若方程有六个相异实根，则实数的取值范围（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9.下列命题中，正确的有（ ）
A. 若随机变量，，则
B. 数据1，2，3，4，5，6，7，8，9，10的第分是
C. 若随机变量，则
D. 若两组成对数据的样本相关系数分别为，，则组数据比组数据的相关性较强
10. 若，则下列说法正确的是（ ）
A. B. C.
D.
11.已知函数，则（ ）
A．有两个极值点 B．点是曲线的对称中心
C．有三个零点且三个零点的和为0 D．直线是曲线的切线
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．若的展开式中常数项为，则的最小值为__________.
若随机变量，随机变量，则__________.
已知函数在处取得极大值，则的取值范围是______.
四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16,17题15分，第18,19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.已知函数，，记
。(1)判断的奇偶性（不用证明）并写出的单调区间；
（2）若对于一切恒成立，求实数的取值范围.
（3）对任意，都存在，使得，.若，求实数的值；
16.某城市人口数量950万人左右，共900个社区．在实施垃圾分类之前，随机抽取300个社区，并对这300个社区某天产生垃圾量（单位：吨）进行了调查，每个社区在这一天的垃圾量X大致服从正态分布．将垃圾量超过32吨天的社区确定为“超标”社区．
（1）请利用正态分布知识估计这900个社区中“超标”社区的个数；(结果取整数部分)
（2）通过研究样本原始数据发现，抽取的300个社区中这一天共有7个“超标”社区，市政府决定对7个“超标”社区的垃圾来源进行跟踪调查．现计划在这7个“超标”社区中任取4个进行跟踪调查，已知这7个社区中有3个社区在这一天的垃圾量超过35吨．设为抽到的这一天的垃圾量超过35吨的社区个数，求的概率分布与数学期望；
（3）用样本的频率代替总体的概率，现从该市所有社区中随机抽取50个社区，记为这一天垃圾量超过32吨的小区的个数，求的值．
(参考数据：； ；；)
17.已知函数.
（1）讨论的单调性；（2），，求的取值范围.
18.ChatGPT作为一个基于大型语言模型的聊天机器人，最近成为全球关注的焦点.ChatGPT是一个超强的AI，它能像人类一样聊天交流，甚至能完成撰写邮件、文案、写论文、答辩、编程等任务.专家预言，随着人工智能技术的发展，越来越多的职业可能会被ChatGPT或其他类似的人工智能工具所取代.某地区为了了解ChatGPT的普及情况，统计了该地区从2023年1月至5月使用ChatGPT的用户人数y（万人），详见下表：
（1）根据表中数据信息及模型①与模型②，判断哪一个模型更适合描述变量x和y的变化规律（无需说明理由），并求出y关于x的经验回归方程；
（2）为了进一步了解人们对适应人工智能所将带来的职业结构变化的自信程度（分为“基本适应”和“不适应”）是否跟年龄有关，某部门从该地区随机抽取300人进行调查，调查数据如下表：
根据小概率的独立性检验，分析该地区对职业结构变化的自信程度是否与年龄有关.
附参考数据：，；，.
19. 定义：若曲线或函数的图象上的两个不同点处的切线互相重合，则称该切线为曲线或函数的图象的“自公切线”.
（1）设曲线C：，在直角坐标系中作出曲线C的图象，并判断C是否存在“自公切线”？（给出结论即可，不必说明理由）
（2）证明：当时，函数不存在“自公切线”；
（3）证明：当，时，.
数学答案
一、
二、
三、12．3 13． 14．
四、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15.（13分）试题解析：
（Ⅰ）函数为奇函数，在R上单调递增
（Ⅱ）当时，即，
，令，
下面求函数的最大值。，∴
故的取值范围是
（Ⅲ）据题意知，当时，，
∵在区间上单调递增，∴，即
又∵∴函数的对称轴为
∴函数在区间上单调递减∴，即由，得，∴
（15分）
【小问1详解】因为该市人口数量在950万人左右的社区这一天的垃圾量大致服从正态分布，所以，因为，
所以这个社区中“超标”社区的个数为.
【小问2详解】
由题可知随机变量的取值为：0，1，2，3，
则，，，，
所以，的分布列为：
则.
【小问3详解】由（1）可知随机变量
所以，所以的值约为0.35．
（15分）
【小问1详解】的定义域为，，
当时，，所以在上单调递增；
当时，当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增.
【小问2详解】当时，显然成立，此时可为任意实数；
当时，由，在上恒成立，得，
令，，
则，
设，由（1）可知，在上单调递增，所以，
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减；则，所以，
综上，实数的取值范围为.
（17分）
【小问1详解】选择模型②：. 记，则. 由题知，，，，，所以，，
所以，即y关于x的回归方程为.
【小问2详解】
由题意，得到列联表：
，
根据的独立性检验，认为该地区对职业结构变化的自信程度与年龄有关，此推断犯错误的概率不大于0.01.
19(17分）
【小问1详解】曲线C：，当时，，表示以点为圆心，半径为的部分圆弧，当时，，表示以点为圆心，半径为的半圆圆，从而图象如下：
由图象可知，存在“自公切线”；
【小问2详解】
由题意，，下面只需证明在上单调即可，
令，则，
当时，，此时单调递减，即单调递减；
当时，，此时单调递减，即单调递减；综上所述，当时，在上单调递减，
所以在不同点处的切线斜率不同，所以图象不存在“自公切线”，得证.
【小问3详解】
，，
故只需证明，即只需证明，
构造函数，则，
当时，，从而在上单调递减，
所以，即，故只需证，
设，注意到，
，注意到，
令，则由（2）知，，
且由（2）知，在上单调递减，所以，
从而在上单调递减，所以，所以在上单调递增，所以，所以在上单调递增，
所以，即，
从而，当，时，.
X
0
1
2
3
P
a
5a
x（月份）
1
2
3
4
5
y（万人）
3.6
6.4
11.7
18.8
27.5
基本适应
不适应
年龄小于30岁
100
50
年龄不小于30岁
75
75
15
55
979
68
264
1122
0.15
0.1
0.05
0.025
0.01
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
1
2
3
4
5
6
7
8
C
A
B
D
A
C
C
B
9
10
11
AC
ABD
ABC
基本适应
不适应
合计
年龄不小于30岁
75
75
150
年龄小于30岁
100
50
150
合计
175
125
300
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