湖南省衡阳县第四中学2023-2024学年高二下学期期末考试数学模拟试题

这是一份湖南省衡阳县第四中学2023-2024学年高二下学期期末考试数学模拟试题，共10页。试卷主要包含了选择题的作答，非选择题的作答，已知圆O等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷（选择题）
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分）
1．已知集合A=xy=lg3x-2，集合B=y∈Z0≤y≤5，则A∩B=（ ）
A．∅B．2,5C．2,5D．3,4,5
2．已知复数z=csπ6+isinπ6（i为虚数单位），则z=（ ）
A．12B．32C．1D．1+32
3．已知函数fx的定义域为R，且yfx-xfy=xyx-y，则下列结论一定成立的是（ ）
A．f1=1B．fx为偶函数
C．fx有最小值D．fx在0,1上单调递增
4．如图，已知正六边形ABCDEF的边长为4，对称中心为O，以O为圆心作半径为2的圆，点M为圆O上任意一点，则AD⋅CM的取值范围为（ ）
A．-24,16B．0,32C．-32,0D．-123,0
5．设函数fx的定义域为R，导数为f'x，若当x≥0时，f'x>2x-1，且对于任意的实数x,f-x=fx+2x，则不等式f2x-1-fx0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在C上，且PF1⋅PF2=2a2，PO⃗=2b，则C的离心率为（ ）
A．3B．2C．3D．2
8．已知圆O:x2+y2=3,P是圆O外一点，过点P作圆O的两条切线，切点分别为A,B，若PA⋅PB=92，则OP=（ ）
A．6B．3C．23D．15
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
9．已知数列an满足a1∈13,12，an+1=sinπan2，n∈N*，记数列an的前n项和为Sn，则对任意n∈N*，下列结论正确的是（ ）
A．存在k∈N* ，使ak=1B．数列an单调递增
C．an+1≥34an+14D．2an+1≤2a1+Sn
10．已知函数fx=sin2x+φ(0b>0，且a2+2b=b2+2a，则1a-1+1b的最小值为 .
15．已知正方体ABCD-A1B1C1D1的体积为8，且C1E=λC1B03,∴x2=12，即x=23.
故选：C.
9．【答案】BCD
【解析】对于B，要证数列an单调递增，只需要证sinπan2>an，
令fx=sinπ2x-x,x∈13,1，则f'x=π2csπ2x-1，
f'x在13,1上单调递减，因为f'13=π34-1>0,f'1=-10，当x∈x0,1时，f'x0,f1=0，所以当x∈13,1时，有fx>0即sinπ2x>x，
令x=an，则有sinπ2an>an，故B正确；
对于A，假设存在k∈N*，使得ak=1，则ak+1=sinπak2=sinπ2=1，
所以ak+1=1，所以ak+1=ak=1，
与B选项中数列an单调递增矛盾，故A错误；
对于C，要证an+1≥34an+14，只需证sinπ2an≥34an+14，
令gx=sinπ2x-34x-14,x∈13,1，则g'x=π2csπ2x-34，
g'x在13,1上单调递减，因为g'13=π34-34>0,f'1=-340，当x∈x1,1时，g'x0，所以a-b≠0，即a+b-2=0，则a-1+b=1，
则1a-1+1b=1a-1+1ba-1+b=2+ba-1+a-1b≥2+2ba-1⋅a-1b=4，
当且仅当ba-1=a-1b，即a=32,b=12时等号成立，故1a-1+1b的最小值为4.
故答案为：4.
15．【答案】323π/32π3
【解析】由题意得，AB=2,BC1=22，将平面BCC1展成与平面ABC1D1同一平面，
当点A,E,C共线时，此时AE+EC最小，
在展开图中作CN⊥AB，垂足为N，
因为△BCC1为等腰直角三角形，所以BC=CC1=2，BN=CN=2，
由△ABE∼△ANC得，BECN=ABAN⇒BE2=22+2，解得BE=22-2，
在正方体ABCD-A1B1C1D1，过点E作EF⊥BC，垂足为F，则EF=BF=2-2，
如图，以D为原点，DA,DC,DD1所在直线为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，
则A2,0,0,B2,2,0，C0,2,0，E2,2,2-2，B12,2,2,C10,2,2,D10,0,2，
则AC1=-2,2,2,B1C=-2,0,-2,B1D1=-2,-2,0，
因为AC1⋅B1C=0,AC1⋅B1D1=0，所以AC1⊥B1C,AC1⊥B1D1，
又因为B1C,B1D1⊂平面B1CD1，且B1C∩B1D1=B1，
所以AC1⊥平面CB1D1，
因为AD1=AB1=AC,C1D1=C1B1=C1C，
所以三棱锥B1-ECD1外接球的球心在AC1上，
设球心为O，设AO=kAC1=-2k,2k,2kk≠0，则O2-2k,2k,2k，
因为OC=OE，
所以2-2k2+2k-22+2k2=2-2k-22+2k-22+2k-2+22，
解得k=1，即O0,2,2，所以外接球R=OC=2，
所以三棱锥B1-ECD1外接球的体积V=43πR3=323π，
故答案为：323π.
16．【答案】72
【解析】f(x)=2sinωx2csωx2-23sin2ωx2+3 =sinωx+3csωx=2sinωx+π3
所以fx=2sinωx+π3的最小正周期为T=2πω，
于是π20，令h'x>0，得x>1，令h'x