湖南省娄底市涟源市行知高级中学2022-2023学年高一下学期期末数学试卷

这是一份湖南省娄底市涟源市行知高级中学2022-2023学年高一下学期期末数学试卷，共14页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分40分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分.
1．（5分）已知集合A＝{1，3，5，7}，B＝{2，3，4，5}，则A∩B＝（ ）
A．{3}B．{5}
C．{3，5}D．{1，2，3，4，5，7}
2．（5分）命题P：是命题Q：的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
3．（5分）若x＞0，y＞0，且x+y＝1，则xy的最大值是（ ）
A．B．C．D．1
4．（5分）已知函数，则f（﹣1）＝（ ）
A．4B．3C．2D．1
5．（5分）函数y＝xcsx+sinx在区间[﹣π，π]上的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
6．（5分）函数的单调递增区间是（ ）
A．（﹣∞，2）B．（2，+∞）C．（2，5）D．（﹣1，2）
7．（5分）已知，，则sinα＝（ ）
A．B．C．D．
8．（5分）已知函数是定义在（﹣b，b）的奇函数，则ab的取值范围为（ ）
A．（0，4]B．（0，4）C．（1，4]D．（1，4）
二、多项选择题：本题共4小题，每小题满分20分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.
（多选）9．（5分）设0＜b＜a＜1，则下列不等式成立的是（ ）
A．b2＜ab＜1B．C．D．a2＜ab＜1
（多选）10．（5分）关于幂函数f（x）＝xa的性质下列说法中正确的是（ ）
A．当a＝2024时，f（x）在（﹣∞，0）是单调递减
B．当a＝2023时，f（x）在（﹣∞，0）是单调递减
C．当时，f（x）是偶函数
D．当时，f（x）是偶函数
（多选）11．（5分）函数的部分图象如图，则下列说法中正确的是（ ）
A．函数的最小正周期为2π
B．函数的表达式
C．函数的一个对称中心为
D．函数图象是由sin2x图象向左平移个单位而得到
（多选）12．（5分）已知函数f（x）＝|cs2x|+cs|x|，有下列四个结论，其中正确的结论为（ ）
A．f（x）在区间上单调递增
B．2π是f（x）的一个周期
C．f（x）的值域为
D．f（x）的图象关于y轴对称
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）计算：＝ ．
14．（5分）不等式x2﹣3x﹣18＞0的解集是 ．
15．（5分）已知函数f（x）＝sinx+csx，则f（x）的最大值为 ．
16．（5分）已知函数，方程[f（x）]2+bf（x）+1＝0有六个不相等实根，则实数b的取值范围是 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）已知，求下列各式的值：
（1）a+a﹣1；
（2）．
18．（12分）已知tanθ＝2．
（1）若θ是第三象限角，求sinθ，csθ的值；
（2）先化简再求值：．
19．（12分）已知函数f（x）＝是奇函数，并且函数f（x）的图象经过点（1，3）．
（1）求实数a，b的值．
（2）求函数f（x）在x＜0时的值域．
20．（12分）声强级L1（单位：dB）由公式：给出，其中I为声强（单位：W/m2）．
（1）一般正常人听觉能忍受的最高声强为1W/m2，能听到的最低声强为10﹣12W/m2．求人听觉的声强级范围；
（2）平时老师上课时的声强约为10﹣4W/m2，求其声强级．
21．（12分）已知函数．
（1）求函数f（x）的最小正周期和对称轴；
（2）若时，|f（x）|≤3恒成立，则实数a的取值范围．
22．（12分）已知函数f（x）＝lg2x．
（1）用定义法证明：函数f（x）在（0，+∞）是单调递增函数；
（2）若x∈[1，4]，求函数g（x）＝[f（x）+a][f（x）﹣3a]，a∈R的最小值h（a）．
参考答案与试题解析
一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分40分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分.
1．（5分）已知集合A＝{1，3，5，7}，B＝{2，3，4，5}，则A∩B＝（ ）
A．{3}B．{5}
C．{3，5}D．{1，2，3，4，5，7}
【解答】解：∵集合A＝{1，3，5，7}，B＝{2，3，4，5}，
∴A∩B＝{3，5}．
故选：C．
2．（5分）命题P：是命题Q：的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【解答】解：当时，α＝+2kπ或，k∈Z，
当时，sin一定成立，
所以P：是命题Q：的必要不充分条件．
故选：B．
3．（5分）若x＞0，y＞0，且x+y＝1，则xy的最大值是（ ）
A．B．C．D．1
【解答】解：由题意，解得，等号成立当且仅当，
所以xy的最大值为．
故选：B．
4．（5分）已知函数，则f（﹣1）＝（ ）
A．4B．3C．2D．1
【解答】解：由题，f（﹣1）＝f（1）＝2×1﹣4×1+3＝1．
故选：D．
5．（5分）函数y＝xcsx+sinx在区间[﹣π，π]上的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：y＝f（x）＝xcsx+sinx，
则f（﹣x）＝﹣xcsx﹣sinx＝﹣f（x），
∴f（x）为奇函数，函数图象关于原点对称，故排除C，D，
当x＝π时，y＝f（π）＝πcsπ+sinπ＝﹣π＜0，故排除B，
故选：A．
6．（5分）函数的单调递增区间是（ ）
A．（﹣∞，2）B．（2，+∞）C．（2，5）D．（﹣1，2）
【解答】解：根据题意，设t＝﹣x2+4x+5，则y＝lg2t，
必有t＝﹣x2+4x+5＞0，解可得﹣1＜x＜5，即函数的定义域为（﹣1，5），
y＝lg2t在（0，+∞）上为增函数，
t＝﹣x2+4x+5，是对称轴为x＝2，开口向下的二次函数，
故函数的单调递增区间是（﹣1，2）．
故选：D．
7．（5分）已知，，则sinα＝（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：因为，，
所以，
所以
＝．
故选：A．
8．（5分）已知函数是定义在（﹣b，b）的奇函数，则ab的取值范围为（ ）
A．（0，4]B．（0，4）C．（1，4]D．（1，4）
【解答】解：根据题意，函数是定义在（﹣b，b）的奇函数，
则有，解得a＝2，
即，f（x）有意义，，解得﹣2＜x＜2，
所以有0＜b≤2，
此时，满足在（﹣b，b）上为奇函数，
由0＜b≤2，所以ab＝2b∈（1，4]．
故选：C．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题满分20分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.
（多选）9．（5分）设0＜b＜a＜1，则下列不等式成立的是（ ）
A．b2＜ab＜1B．C．D．a2＜ab＜1
【解答】解：因为0＜b＜a＜1，所以b2﹣ab＝b（b﹣a）＜0，所以b2＜ab，又ab＜1，
所以b2＜ab＜1，所以A正确；
当，，则，，所以，所以B不正确；
因为0＜a＜1，所以，又0＜b＜a＜1，所以，即，所以C正确；
因为0＜b＜a＜1，所以a2﹣ab＝a（a﹣b）＞0，即a2＞ab，所以D不正确．
故选：AC．
（多选）10．（5分）关于幂函数f（x）＝xa的性质下列说法中正确的是（ ）
A．当a＝2024时，f（x）在（﹣∞，0）是单调递减
B．当a＝2023时，f（x）在（﹣∞，0）是单调递减
C．当时，f（x）是偶函数
D．当时，f（x）是偶函数
【解答】解：对于A，由幂函数的性质可知，f（x）＝x2024在（0，+∞）单调递增，
f（﹣x）＝（﹣x）2024＝x2024＝f（x），且定义域关于原点对称，即f（x）是偶函数，
所以f（x）在（﹣∞，0）是单调递减，故A正确；
对于B，当a＝2023＞0时，f（x）＝x2023在（0，+∞）单调递增，
且注意到f（﹣x）＝（﹣x）2023＝﹣x2023＝﹣f（x），且定义域关于原点对称，即f（x）是奇函数，
所以f（x）在（﹣∞，0）是单调递增，故B错误；
对于C，当时，定义域为[0，+∞），它为非奇非偶函数，故C错误；
对于D，当时，定义域为R，
且 ，所以此时f（x）是偶函数，故D正确．
故选：AD．
（多选）11．（5分）函数的部分图象如图，则下列说法中正确的是（ ）
A．函数的最小正周期为2π
B．函数的表达式
C．函数的一个对称中心为
D．函数图象是由sin2x图象向左平移个单位而得到
【解答】解：对于A，由图可知函数的最小正周期满足，解得T＝π，即函数的最小正周期为π，故A错误；
对于B，由得ω＝2，由图可知A＝1，且，解得，
又因为，所以只能，所以函数的表达式，故B正确；
对于C，，即不是函数的对称中心，故C错误；
对于D，由sin2x图象向左平移个单位得到图象所对应的函数解析式为，故D正确．
故选：BD．
（多选）12．（5分）已知函数f（x）＝|cs2x|+cs|x|，有下列四个结论，其中正确的结论为（ ）
A．f（x）在区间上单调递增
B．2π是f（x）的一个周期
C．f（x）的值域为
D．f（x）的图象关于y轴对称
【解答】解：对于A，由，
可知f（x）在区间上不单调递增，故A项错误；
对于B，f（x+2π）＝|cs[2（x+2π）]|+cs|（x+2π）|＝f（x）＝|cs2x|+cs|x|，故B项正确；
对于C，由B选项分析可知2π是f（x）的一个周期，所以我们只需讨论函数f（x）在[0，2π]上的值域即可，
当时，，，
当时，，，
当时，，，
当时，，，
当时，，，
综上所述，f（x）的值域为，故C项错误；
对于D，由题意f（﹣x）＝|cs（﹣2x）|+cs|﹣x|＝f（x）＝|cs2x|+cs|x|，
所以f（x）是定义在R上的偶函数，其图象关于y轴对称，故D项正确．
故选：BD．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）计算：＝ 0 ．
【解答】解：由题意．
故答案为：0．
14．（5分）不等式x2﹣3x﹣18＞0的解集是 （﹣∞，﹣3）∪（6，+∞） ．
【解答】解：由题意x2﹣3x﹣18＞0⇒（x﹣6）（x+3）＞0，解得x＜﹣3或x＞6，
所以不等式x2﹣3x﹣18＞0的解集是（﹣∞，﹣3）∪（6，+∞）．
故答案为：（﹣∞，﹣3）∪（6，+∞）．
15．（5分）已知函数f（x）＝sinx+csx，则f（x）的最大值为 2 ．
【解答】解：∵函数＝2sin（x+），
∴f（x）的最大值为2，
故答案为：2．
16．（5分）已知函数，方程[f（x）]2+bf（x）+1＝0有六个不相等实根，则实数b的取值范围是 ．
【解答】解：在同一平面直角坐标系中画出f（x）的图象以及直线y＝t，如图所示：
发现当且仅当0＜t≤4时，关于x的方程f（x）＝t的根的个数最多，且有3个根，
而关于t的一元二次方程t2+bt+1＝0最多有两个根，
若方程[f（x）]2+bf（x）+1＝0有六个不相等实根，
则当且仅当关于t的一元二次方程t2+bt+1＝0有两个不同的根t1，t2，且0＜t1，t2≤4，
所以当且仅当，解得，
即实数b的取值范围是．
故答案为：．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）已知，求下列各式的值：
（1）a+a﹣1；
（2）．
【解答】解：（1）由题意，所以．
（2）由题意，
所以．
18．（12分）已知tanθ＝2．
（1）若θ是第三象限角，求sinθ，csθ的值；
（2）先化简再求值：．
【解答】解：（1）因为，sin2θ+cs2θ＝1，
若θ是第三象限角，
则解得．
（2）由题意，
若tanθ＝2，则原式＝．
19．（12分）已知函数f（x）＝是奇函数，并且函数f（x）的图象经过点（1，3）．
（1）求实数a，b的值．
（2）求函数f（x）在x＜0时的值域．
【解答】解：（1）因为函数f（x）的图象经过点（1，3），
所以f（1）＝3，即＝3，①
因为f（x）＝是奇函数，
所以f（﹣1）＝﹣3，即＝﹣3，②
由①②解得a＝1，b＝﹣1，
所以实数a，b的值为1、﹣1；
（2）由（1）得，f（x）＝＝1+，
又x＜0，则0＜2x＜1，﹣1＜2x﹣1＜0，
所以＜﹣2，即1+＜﹣1，
故函数f（x）在x＜0时的值域为（﹣∞，﹣1）．
20．（12分）声强级L1（单位：dB）由公式：给出，其中I为声强（单位：W/m2）．
（1）一般正常人听觉能忍受的最高声强为1W/m2，能听到的最低声强为10﹣12W/m2．求人听觉的声强级范围；
（2）平时老师上课时的声强约为10﹣4W/m2，求其声强级．
【解答】解：（1）由题意当I∈[10﹣12，1]时，由复合函数单调性可知单调递增，
又，
所以人听觉的声强级范围为[0，120]；
（2）由题意，
即平时老师上课时的声强级为80dB．
21．（12分）已知函数．
（1）求函数f（x）的最小正周期和对称轴；
（2）若时，|f（x）|≤3恒成立，则实数a的取值范围．
【解答】解：（1），
则函数f（x）的最小正周期，
由，解得，
即函数f（x）的对称轴方程为；
（2）因为时，可得，可得，
所以﹣1+a≤f（x）≤2+a，
由|f（x）|≤3恒成立，
则有，即，解得﹣2≤a≤1，
所以实数a的取值范围[﹣2，1]．
22．（12分）已知函数f（x）＝lg2x．
（1）用定义法证明：函数f（x）在（0，+∞）是单调递增函数；
（2）若x∈[1，4]，求函数g（x）＝[f（x）+a][f（x）﹣3a]，a∈R的最小值h（a）．
【解答】解：（1）证明：根据题意，不妨设0＜x1＜x2，所以，
因为0＜x1＜x2，所以，即f（x1）＜f（x2），
所以函数f（x）在（0，+∞）是单调递增函数．
（2）若x∈[1，4]，则t＝f（x）＝lg2x∈[0，2]，
所以g（x）＝[f（x）+a][f（x）﹣3a]＝（t+a）（t﹣3a）＝t2﹣2at﹣3a2
＝（t﹣a）2﹣4a2＝u（t），a∈R，
u（t）＝（t﹣a）2﹣4a2，t∈[0，2]，
若a≥2，则u（t）＝（t﹣a）2﹣4a2，t∈[0，2]单调递减，
所以此时h（a）＝u（2）＝（2﹣a）2﹣4a2＝﹣3a2﹣4a+4，
若0＜a＜2，则h（a）＝u（a）＝（a﹣a）2﹣4a2＝﹣4a2，
若a≤0，则u（t）＝（t﹣a）2﹣4a2，t∈[0，2]单调递增，
所以此时h（a）＝u（0）＝（0﹣a）2﹣4a2＝﹣3a2，
综上所述，．