专题1.2一元二次方程的解法：直接开平方法与配方法-【讲练课堂】（原卷版+解析版）

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【名师点睛】
直接开平方法：
形如x2=p或（nx+m）²=p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．
如果方程化成x2=p的形式，那么可得=±p如果方程能化成（nx+m）²=p（p≥0）的形式，那么nx+m=±p
注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数．
②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程．
③方法是根据平方根的意义开平方．
配方法
（1）将一元二次方程配成（x+m）²=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
（2）用配方法解一元二次方程的步骤：
①把原方程化为ax²+bx+c=0（a≠0）的形式；
②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；
③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；
⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．
【典例剖析】
【知识点1】直接开平方法
【例1】（2022·江苏·苏州市吴中区城西中学八年级期中）如果关于x的方程(x-9)2=m+4可以用直接开平方法求解，那么m的取值范围是（ ）
A．m>3B．m≥3C．m>-4D．m≥-4
【答案】D
【解析】
【分析】
根据直接开平方法求解可得．
【详解】
解：∵(x-9)2=m+4，且方程(x-9)2=m+4可以用直接开平方法求解，
∴m+4≥0，
∴m≥-4．
故选：D．
【点睛】
此题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，正确化简方程是解题关键．
【变式】（2022·全国·九年级）若方程（x﹣1）2＝m＋1有解，则m的取值范围是（ ）
A．m≤﹣1B．m≥﹣1C．m为任意实数D．m＞0
【答案】B
【解析】
【分析】
根据一个实数的平方非负得关于m的不等式，解不等式即可．
【详解】
解：∵关于x的方程（x﹣1）2＝m+1有解，
∴m+1≥0，
∴m≥﹣1．
故选：B．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法，形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．
【知识点2】配方法
【例2】（2022·浙江宁波·八年级期中）用配方法解方程x2+4x-5=0时，配方结果正确的是（ ）
A．(x+2)2=-1B．(x+2)2=-9C．(x+2)2=1D．(x+2)2=9
【答案】D
【解析】
【分析】
用配方法对方程进行配方后对比选项即可．
【详解】
x2+4x-5=0
移项得：x2+4x=5，
配方得：x2+4x+4=5+4，
合并得：(x+2)2=9，
故选 D．
【点睛】
本题考查了二元一次方程的配方法，熟练运用完全平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2，(a-b)2=a2-2ab+b2是解题关键．
【变式2】（2022·内蒙古赤峰·一模）将一元二次方程x2-6x+5=0化成(x+h)2=k的形式，则k等于（ ）
A．-5B．4C．9D．14
【答案】B
【解析】
【分析】
先将常数项移到右边，再在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，即加上9，计算即可．
【详解】
解：∵x2-6x+5=0
x2-6x=-5
x2-6x+9=-5+9
(x-3)2=4
∴k=4，
故选：B．
【点睛】
本题考查配方法，熟练掌握配方法的一般步骤是解题的关键．
【知识点3】直接开平方法或配方法解方程
【例3】（2022·全国·九年级）解方程：4x-12-9=0．
【答案】x1=52，x2=-12
【解析】
【分析】
由原方程得到x-12=94，利用直接开平方法，方程两边直接开平方即可．
【详解】
解：由原方程，得：
x-12=94，
直接开平方，得：
x-1=±32，
解得：x1=52，x2=-12．
【点睛】
本题主要考查了解一元二次方程﹣直接开平方法，熟练掌握解方程的方法是解题的关键．
【变式3.1】（2022·广东惠州·七年级期中）解方程14(2x-1)2=4 ．
【答案】x1=52，x2=-32
【解析】
【分析】
首先两边同时乘以4可得(2x-1)2=16，再两边直接开平方即可得到两个一元一次方程，再解一元一次方程即可．
【详解】
解：14(2x-1)2=4，
方程两边同时乘以4得：(2x-1)2=16，
两边直接开平方得：2x-1=±4，
即2x-1=4或2x-1=-4，
解得x1=52，x2=-32．
【点睛】
此题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，解这类问题要把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成x2＝a（a≥0）的形式，利用数的开方直接求解．
【知识点4】配方法的应用
【例4】（2022春•亭湖区校级期中）阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣4n+4＝0，求m，n的值．
解：∵m2﹣2mn+2n2﹣4n+4＝0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣4n+4）＝0
∴（m﹣n）2+（n﹣2）2＝0，∴（m﹣n）2＝0，（n﹣2）2＝0，∴n＝2，m＝2．
根据你的观察，探究下面的问题：
（1）a2+b2﹣6a+9＝0，则a＝ 3 ，b＝ 0 ．
（2）已知x2+2y2﹣2xy﹣8y+16＝0，求x•y的值．
（3）已知△ABC的三边长a，b，c都是正整数，且满足a+b＝8，ab﹣c2+10c＝41，求△ABC的周长．
【分析】（1）通过完全平方公式进行变式得（a﹣3）2+b2＝0，然后由非负数性质求得结果；
（2）由x2+2y2﹣2xy+8y+16＝0得（x﹣y）2+（y+4）2＝0，然后由非负数性质求得结果；
（3）把两个方程通过变式得（a﹣4）2+（c﹣5）2＝0，然后由非负数性质求得a、c，进而得b，便可求得三角形的周长．
【解答】解（1）由：a2+b2﹣6a+9＝0，得（a﹣3）2+b2＝0，
∵（a﹣3）2≥0，b2≥0，
∴a﹣3＝0，b＝0，
∴a＝3，b＝0．
故答案为：3；0．
（2）由x2+2y2﹣2xy﹣8y+16＝0得（x﹣y）2+（y﹣4）2＝0，
∴x﹣y＝0，y﹣4＝0，
∴x＝y＝4，
∴x•y＝16；
（3）∵a+b＝8，
∴b＝8﹣a，
∵ab﹣c2+10c＝41，
∴a2﹣8a+16+c2﹣10c+25＝0，
∴（a﹣4）2+（c﹣5）2＝0，
∴a﹣4＝0，c﹣5＝0，
∴a＝4，c＝5，
∴b＝4，
∴△ABC的周长为a+b+c＝4+4+5＝13．
【变式4】（2022春•泗洪县期中）利用完全平方公式（a+b）2＝a2+2ab+b2和（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2的特点可以解决很多数学问题．下面给出两个例子：
例1．分解因式：
x2+2x﹣3＝x2+2x+1﹣4
＝（x+1）2﹣4
＝（x+1+2）（x+1﹣2）
＝（x+3）（x﹣1）
例2．求代数式2x2﹣4x﹣6的最小值：
2x2﹣4x﹣6＝2（x2﹣2x）﹣6
＝2（x2﹣2x+1﹣1）﹣6
＝2[（x﹣1）2﹣1]﹣6
＝2（x﹣1）2﹣8
又∵2（x﹣1）2≥0
∴当x＝1时，代数式2x2﹣4x﹣6有最小值，最小值是﹣8．
仔细阅读上面例题，模仿解决下列问题：
（1）分解因式：m2﹣6m﹣7；
（2）当x、y为何值时，多项式2x2+y2﹣8x+6y+20有最小值？并求出这个最小值；
（3）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a2+b2＝8a+6b﹣25，求△ABC周长的最大值．
【分析】（1）仿照例1的解题思路，利用配方法即可解答；
（2）仿照例2的解题思路，利用配方法即可解答；
（3）利用配方法可得（a﹣4）2+（b﹣3）2＝0，再利用偶次方的非负性可求出a，b的值，然后利用三角形的三边关系求出c的最大值，进行计算即可解答．
【解答】解：（1）m2﹣6m﹣7
＝m2﹣6m+9﹣9﹣7
＝（m﹣3）2﹣16
＝（m﹣3+4）（m﹣3﹣4）
＝（m+1）（m﹣7）；
（2）2x2+y2﹣8x+6y+20
＝（2x2﹣8x）+y2+6y+9+11
＝2（x2﹣4x+4﹣4）+y2+6y+9+11
＝2（x﹣2）2﹣8+（y+3）2+11
＝2（x﹣2）2+（y+3）2+3，
∵2（x﹣2）2≥0，（y+3）2≥0，
∴当x＝2，y＝﹣3时，2x2+y2﹣8x+6y+20有最小值，最小值是3；
（3）∵a2+b2＝8a+6b﹣25，
∴a2﹣8a+16+b2﹣6b+9＝0，
∴（a﹣4）2+（b﹣3）2＝0，
∴a﹣4＝0，b﹣3＝0，
∴a＝4，b＝3，
∵4﹣3＜c＜4+3，
∴1＜c＜7，
∵c为正整数，
∴c最大取6，
∴△ABC周长的最大值＝3+4+6＝13，
∴△ABC周长的最大值为13．
【满分训练】
一．选择题（共10小题）
1．（2021秋•盐都区期末）一元二次方程x2﹣25＝0的解为（ ）
A．x1＝x2＝5B．x1＝5，x2＝﹣5C．x1＝x2＝﹣5D．x1＝x2＝25
【分析】利用直接开平方法解方程得出答案．
【解答】解：x2﹣25＝0，
则x2＝25，
解得：x1＝5，x2＝﹣5．
故选：B．
2．（2021秋•叶县期末）如果一个一元二次方程的根是x1＝x2＝1，那么这个方程是（ ）
A．x2＝1B．x2+1＝0C．（x﹣1）2＝0D．（x+1）2＝0
【分析】分别求出每个方程的根即可得出答案．
【解答】解：A．x2＝1的根为x1＝1，x2＝﹣1；
B．x2+1＝0无实数根；
C．（x﹣1）2＝0的根为x1＝x2＝1；
D．x+1）2＝0的根为x1＝x2＝﹣1；
故选：C．
3．（2022•泗阳县一模）方程x2﹣4＝0的解是（ ）
A．x1＝2，x2＝﹣2B．x＝0C．x1＝x2＝2D．x1＝x2＝﹣2
【分析】将方程常数项移到方程右边，利用平方根的定义开方转化为两个一元一次方程，求出一次方程的解即可得到原方程的解．
【解答】解：（1）x2﹣4＝0，
变形得：x2＝4，
开方得：x1＝﹣2，x2＝2，
故选：A．
4．（2021秋•海陵区期末）方程x2＝4的解是（ ）
A．x1＝4，x2＝﹣4B．x1＝x2＝2C．x1＝2，x2＝﹣2D．x1＝1，x2＝4
【分析】直接开平方法求解可得．
【解答】解：∵x2＝4，
∴x＝2或x＝﹣2，
故选：C．
5．（2021•吴中区开学）方程（x+1）2＝1的根为（ ）
A．0或﹣2B．﹣2C．0D．1或﹣1
【分析】两边开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
【解答】解：（x+1）2＝1，
开方，得x+1＝±1，
解得：x1＝0，x2＝﹣2，
故选：A．
6．（2020秋•高邮市期末）若一元二次方程（x﹣2）2＝9可转化为两个一元一次方程，一个一元一次方程是x﹣2＝3，则另一个一元一次方程是（ ）
A．x﹣2＝3B．x﹣2＝﹣3C．x+2＝3D．x+2＝﹣3
【分析】直接开平方即可得．
【解答】解：原方程两边开方可得：x﹣2＝±3，
即x﹣2＝3或x﹣2＝﹣3，
故选：B．
7．（2022春•温州期中）用配方法解方程x2﹣4x﹣1＝0时，配方后得到的方程为（ ）
A．（x+2）2＝3B．（x+2）2＝5C．（x﹣2）2＝3D．（x﹣2）2＝5
【分析】移项，配方，根据完全平方公式变形，即可得出选项．
【解答】解：x2﹣4x﹣1＝0，
x2﹣4x＝1，
x2﹣4x+4＝1+4，
（x﹣2）2＝5，
故选：D．
8．（2020•眉山）已知a2+b2＝2a﹣b﹣2，则3a﹣b的值为（ ）
A．4B．2C．﹣2D．﹣4
【分析】先将原方程化成非负数和为0的形式，再根据非负数的性质求得a、b，进而代入代数式求得结果．
【解答】解：∵a2+b2＝2a﹣b﹣2，
∴a2﹣2a+1+b2+b+1＝0，
∴，
∴a﹣1＝0，b+1＝0，
∴a＝1，b＝﹣2，
∴3a﹣b＝3+1＝4．
故选：A．
9．对于二次三项式2x2+4x+5的值，下列叙述正确的是（ ）
A．一定为正数
B．可能为正数，也可能为负数
C．一定为负数
D．其值的符号与x值有关
【分析】利用配方法将2x2+4x+5进行配方，再利用非负数的性质得出答案．
【解答】解：∵2x2+4x+5＝2（x2+2x+1）﹣2+5＝2（x+1）2+3≥3，
∴原式一定为正数．
故选：A．
10．（2021•永嘉县校级模拟）《代数学》中记载，形如x2+10x＝39的方程，求正数解的几何方法是：“如图1，先构造一个面积为x2的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为x的矩形，得到大正方形的面积为39+25＝64，则该方程的正数解为8﹣5＝3．”小聪按此方法解关于x的方程x2+6x+m＝0时，构造出如图2所示的图形，已知阴影部分的面积为36，则该方程的正数解为（ ）
A．6B．3﹣3C．3﹣2D．3﹣
【分析】根据已知的数学模型，同理可得空白小正方形的边长为，先计算出大正方形的面积＝阴影部分的面积+4个小正方形的面积，可得大正方形的边长，从而得结论．
【解答】解：x2+6x+m＝0，
x2+6x＝﹣m，
∵阴影部分的面积为36，
∴x2+6x＝36，
设4a＝6，
则a＝，
同理：先构造一个面积为x2的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为x的矩形，得到大正方形的面积为36+（）2×4＝36+9＝45，则该方程的正数解为﹣3＝3﹣3．
故选：B．
二．填空题（共8小题）
11．（2021秋•无锡期末）用配方法将方程x2+4x＝0化成（x+m）2＝n的形式： （x+2）2＝4 ．
【分析】在本题中，在左右两边同时加上一次项系数4的一半的平方．
【解答】解：把方程x2﹣4x＝0两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x2﹣4x+4＝4，
配方得（x﹣2）2＝4．
故答案为：（x+2）2＝4．
12．（2021秋•镇江期末）对方程x2x＝0进行配方，得+m＝+m，其中m＝ ．
【分析】方程两边同时加上一次项系数一半的平方，依此可求m．
【解答】解：由题意得：m＝（÷2）2＝．
故答案为：．
13．（2021秋•吉林期末）已知关于x的方程x2+4x+n＝0可以配方成（x+m）2＝3，则（m﹣n）2＝ 1 ．
【分析】已知配方方程转化成一般方程后求出m、n的值，即可得到结果．
【解答】解：由（x+m）2＝3，得：
x2+2mx+m2﹣3＝0，
∴2m＝4，m2﹣3＝n，
∴m＝2，n＝1，
∴（m﹣n）2＝1，
故答案为1．
14．（2021秋•辛集市期末）将一元二次方程x2﹣3x+1＝0变形为（x+h）2＝k的形式为 （x﹣）2＝ ．
【分析】先移项，再配方，即可得出答案．
【解答】解：x2﹣3x+1＝0，
x2﹣3x＝﹣1，
x2﹣3x+（）2＝﹣1+（）2，
（x﹣）2＝，
故答案为：（x﹣）2＝．
15．（2021秋•秦淮区校级月考）用配方法将方程﹣5x2+x＝﹣1变形为（x+h）2＝k的形式为 （x﹣）2＝ ．
【分析】将一元二次方程的二次项系数化为1，然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方．
【解答】解：﹣5x2+x＝﹣1，
x2﹣x＝，
x2﹣x+（）2＝+，即（x﹣）2＝，
故答案为：（x﹣）2＝．
16．（2021秋•滨海县期中）若一元二次方程x2﹣ax+b＝0配方后为（x﹣2）2＝1，则ab＝ 12 ．
【分析】将（x﹣2）2＝1展开后，利用待定系数法即可求出答案．
【解答】解：∵（x﹣2）2＝1，
∴x2﹣4x+3＝0，
∴a＝4，b＝3，
∴ab＝12，
故答案为：12．
17．（2022•十堰模拟）对于实数p、q，我们用符号min{p，q}表示p、q两数中较小的数，如min{1，2}＝1，若min{（x﹣1）2，x2}＝1，则x＝ 2或﹣1 ．
【分析】首先理解题意，进而可得min{（x﹣1）2，x2}＝1时分情况讨论：当（x﹣1）2＝1时；x2＝1时；进而可得答案．
【解答】解：∵min{（x﹣1）2，x2}＝1，
当（x﹣1）2＝1时，解得x＝2或0，
x＝0时，不符合题意，
∴x＝2．
当x2＝1时，解得x＝1或﹣1，
x＝1不符合题意，
∴x＝﹣1，
故答案为：2或﹣1．
18．（2021秋•江宁区期中）若关于x的一元二次方程ax2+k＝0的一个根为1，则方程a（x﹣1）2+k＝0的解为 x1＝0，x2＝2 ．
【分析】一元二次方程ax2+k＝0变形为x2＝﹣，根据题意得到x2＝﹣＝1，直接开平方解方程a（x﹣1）2+k＝0得到（x﹣1）2＝﹣＝1，
即可得到x﹣1＝±1，解得x1＝0，x2＝2．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程ax2+k＝0的一个根为1，
∴x2＝﹣＝1，
∵方程a（x﹣1）2+k＝0，
∴（x﹣1）2＝﹣＝1，
∴x﹣1＝±1，
∴x1＝0，x2＝2，
故答案为：x1＝0，x2＝2．
三．解答题（共6小题）
19．（2021秋•娄星区校级月考）（1）用直接开平方法解下列方程：9x2﹣81＝0；
（2）用配方法解一元二次方程：x2﹣6x﹣9＝0．
【分析】（1）利用直接开平方法求解即可；
（2）利用配方法求解即可．
【解答】解：（1）9x2﹣81＝0，
x2＝9，
∴x＝±3，
∴x1＝3，x2＝﹣3；
（2）x2﹣6x﹣9＝0，
x2﹣6x＝9，
x2﹣6x+9＝9+9，即（x﹣3）2＝18，
∴x﹣3＝±3，
∴x1＝3+3，x2＝3﹣3．
20．（2021秋•甘井子区期末）解方程：
（1）4x2﹣9＝0；
（2）x2﹣2x﹣5＝0．
【分析】（1）利用直接开平方法求解即可；
（2）将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即可得．
【解答】解：∵4x2﹣9＝0，
∴4x2＝9，
则x2＝，
∴x1＝，x2＝﹣；
（2）∵x2﹣2x﹣5＝0，
∴x2﹣2x＝5，
则x2﹣2x+1＝5+1，即（x﹣1）2＝6，
∴x﹣1＝±，
∴x1＝1+，x2＝1﹣．
21．（2020秋•龙马潭区期末）先阅读下面的内容，再解决问题：
例题：若m2+2mn+2n2﹣6n+9＝0，求m和n的值．
解：m2+2mn+2n2﹣6n+9＝0．
∴m2+2mn+n2+n2﹣6n+9＝0，
∴（m+n）2+（n﹣3）2＝0，
∴m+n＝0，n﹣3＝0．
∴m＝﹣3，n＝3．
解决问题：
已知a、b、c、为△ABC的三边长，a2+5b2﹣4ab﹣2b+1＝0，且△ABC为等腰三角形，求△ABC的周长．
【分析】已知等式配方后，利用非负数的性质求出a与b的值，即可确定出三角形周长．
【解答】解：∵a2+5b2﹣4ab﹣2b+1＝0，
∴a2﹣4ab+4b2+b2﹣2b+1＝0，
∴（a﹣2b）2+（b﹣1）2＝0，
∴a﹣2b＝0，b＝1，
∴a＝2，b＝1，
∴△ABC是等腰三角形，
∴c＝2，
∴△ABC的周长为5．
22．（2020春•工业园区校级期中）已知等腰△ABC的三边长为a，b，c，其中a，b满足：a2+b2＝6a+12b﹣45，求△ABC的周长．
【分析】根据完全平方公式把原式变形，根据偶次方的非负性分别求出a、b，根据三角形的三边关系、三角形的周长公式计算，得到答案．
【解答】解：a2+b2＝6a+12b﹣45，
a2﹣6a+9+b2﹣12b+36＝0，
（a﹣3）2+（b﹣6）2＝0，
则a﹣3＝0，b﹣6＝0，
解得，a＝3，b＝6，
∵△ABC为等腰三角形，
∴三边长分别为3、6、6，
∴△ABC的周长为3+6+6＝15．
23．（2020春•仪征市期末）阅读理解：已知m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，求m、n的值．
解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0
∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）＝0．
∴（m﹣n）2+（n﹣4）2＝0．
∴（m﹣n）2＝0，（n﹣4）2＝0
∴n＝4，m＝4．
方法应用：（1）已知a2+b2﹣10a+4b+29＝0，求a、b的值；
（2）已知x+4y＝4．
①用含y的式子表示x： x＝4﹣4y ；
②若xy﹣z2﹣6z＝10，求yx+z的值．
【分析】（1）利用完全平方公式以及非负数的性质求解即可．
（2）①把y当常数，解一元一次方程求解即可．
②把x换成4﹣4y，配方，利用非负数的性质求解即可．
【解答】解：（1）∵a2+b2﹣10a+4b+29＝0，
∴（a2﹣10a+25）+（b2+4b+4）＝0，
∴（a﹣5）2+（b+2）2＝0，
∴（a﹣5）2＝0，（b+2）2＝0，
∴a＝5，b＝﹣2；
（2）①∵x+4y＝4，
∴x＝4﹣4y；
故答案为：x＝4﹣4y；
②∵xy﹣z2﹣6z＝10，
∴y（4﹣4y）﹣z2﹣6z＝10，
∴4y﹣4y2﹣z2﹣6z＝10，
∴4y2﹣4y+z2+6z+10＝0，
∴（2y﹣1）2+（z+3）2＝0，
∴，z＝﹣3，
∴x＝2，
∴yx+z＝＝2．
24．（2022春•滨海县期中）阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，求m、n的值．
解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，
∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）＝0
（m﹣n）2+（n﹣4）2＝0，
∴（m﹣n）2＝0且（n﹣4）2＝0，
∴m＝n＝4．
根据你的观察，探究下面的问题：
（1）a2﹣2a+1+b2＝0，则a＝ 1 ，b＝ 0 ；
（2）已知x2+2y2﹣2xy+4y+4＝0，求xy的值；
（3）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足2a2+b2﹣4a﹣10b+27＝0，求△ABC的周长．
【分析】（1）根据配方法和非负数的性质求解；
（2）根据配方法和非负数的性质求出x，y的值，代入代数式求值即可；
（3）根据配方法和非负数的性质求出a，b的值，根据三角形三边的关系得到c的范围，根据c是正整数得到c的值，从而得到周长的值．
【解答】解：（1）∵a2﹣2a+1+b2＝0，
∴（a﹣1）2+b2＝0，
∴a﹣1＝0，b＝0，
∴a＝1，b＝0，
故答案为：1，0；
（2）∵x2+2y2﹣2xy+4y+4＝0，
∴x2+y2﹣2xy+y2+4y+4＝0，
即：（x﹣y）2+（y+2）2＝0，
则：x﹣y＝0，y+2＝0，
解得：x＝y＝﹣2，
∴xy＝（﹣2）﹣2
＝；
（3）∵2a2+b2﹣4a﹣10b+27＝0，
∴2a2﹣4a+2+b2﹣10b+25＝0，
∴2（a﹣1）2+（b﹣5）2＝0，
则a﹣1＝0，b﹣5＝0，
解得：a＝1，b＝5，
∵5﹣1＜c＜5+1，
即4＜c＜6，且c是正整数，
∴c＝5，
即三角形三边分别为1，5，5，
∴△ABC的周长为1+5+5＝11．