2024年河北省中考数学试卷(含部分解析)

这是一份2024年河北省中考数学试卷(含部分解析)，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．如图显示了某地连续5天的日最低气温，则能表示这5天日最低气温变化情况的是（ ）
A．B．
C．D．
2．下列运算正确的是（ ）
A．a7﹣a3＝a4B．3a2•2a2＝6a2
C．（﹣2a）3＝﹣8a3D．a4÷a4＝a
3．如图，AD与BC交于点O，△ABO和△CDO关于直线PQ对称，点A，B的对称点分别是点C，D．下列不一定正确的是（ ）
A．AD⊥BCB．AC⊥PQC．△ABO≌△CDOD．AC∥BD
4．下列数中，能使不等式5x﹣1＜6成立的x的值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
5．观察图中尺规作图的痕迹，可得线段BD一定是△ABC的（ ）
A．角平分线B．高线C．中位线D．中线
6．如图是由11个大小相同的正方体搭成的几何体，它的左视图是（ ）
A．B．C．D．
7．节能环保已成为人们的共识．淇淇家计划购买500度电，若平均每天用电x度，则能使用y天．下列说法错误的是（ ）
A．若x＝5，则y＝100
B．若y＝125，则x＝4
C．若x减小，则y也减小
D．若x减小一半，则y增大一倍
8．若a，b是正整数，且满足＝，则a与b的关系正确的是（ ）
A．a+3＝8bB．3a＝8bC．a+3＝b8D．3a＝8+b
9．淇淇在计算正数a的平方时，误算成a与2的积，求得的答案比正确答案小1，则a＝（ ）
A．1B．﹣1C．+1D．1或+1
10．下面是嘉嘉作业本上的一道习题及解答过程：
若以上解答过程正确，①，②应分别为（ ）
A．∠1＝∠3，AASB．∠1＝∠3，ASAC．∠2＝∠3，AASD．∠2＝∠3，ASA
11．直线l与正六边形ABCDEF的边AB，EF分别相交于点M，N，如图所示，则α+β＝（ ）
A．115°B．120°C．135°D．144°
12．在平面直角坐标系中，我们把一个点的纵坐标与横坐标的比值称为该点的“特征值”．如图，矩形ABCD位于第一象限，其四条边分别与坐标轴平行，则该矩形四个顶点中“特征值”最小的是（ ）
A．点AB．点BC．点CD．点D
13．已知A为整式，若计算﹣的结果为，则A＝（ ）
A．xB．yC．x+yD．x﹣y
14．扇文化是中华优秀传统文化的组成部分，在我国有着深厚的底蕴．如图，某折扇张开的角度为120°时，扇面面积为S，该折扇张开的角度为n°时，扇面面积为Sn，若m＝，则m与n关系的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
15．“铺地锦”是我国古代一种乘法运算方法，可将多位数乘法运算转化为一位数乘法和简单的加法运算．淇淇受其启发，设计了如图1所示的“表格算法”，图1表示132×23，运算结果为3036．图2表示一个三位数与一个两位数相乘，表格中部分数据被墨迹覆盖，根据图2中现有数据进行推断，正确的是（ ）
A．“20”左边的数是16
B．“20”右边的“■”表示5
C．运算结果小于6000
D．运算结果可以表示为4100a+1025
16．平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数，且横、纵坐标之和大于0的点称为“和点”．将某“和点”平移，每次平移的方向取决于该点横、纵坐标之和除以3所得的余数（当余数为0时，向右平移；当余数为1时，向上平移；当余数为2时，向左平移），每次平移1个单位长度．
例：“和点”P（2，1）按上述规则连续平移3次后，到达点P3（2，2），其平移过程如下：．
若“和点”Q按上述规则连续平移16次后，到达点Q16（﹣1，9），则点Q的坐标为（ ）
A．（6，1）或（7，1）B．（15，﹣7）或（8，0）
C．（6，0）或（8，0）D．（5，1）或（7，1）
二、填空题（本大题共3个小题，共10分．17小题2分，18～19小题各4分，每空2分）
17．某校生物小组的9名同学各用100粒种子做发芽实验，几天后观察并记录种子的发芽数分别为：89，73，90，86，75，86，89，95，89，以上数据的众数为 ．
18．（4分）已知a，b，n均为正整数．
（1）若n＜＜n+1，则n＝ ；
（2）若n﹣1＜＜n，n＜＜n+1，则满足条件的a的个数总比b的个数少 个．
19．（4分）如图，△ABC的面积为2，AD为BC边上的中线，点A，C1，C2，C3是线段CC4的五等分点，点A，D1，D2是线段DD3的四等分点，点A是线段BB1的中点．
（1）△AC1D1的面积为 ；
（2）△B1C4D3的面积为 ．
三、解答题（本大题共7个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
20．（9分）如图，有甲、乙两条数轴．甲数轴上的三点A，B，C所对应的数依次为﹣4，2，32，乙数轴上的三点D，E，F所对应的数依次为0，x，12．
（1）计算A，B，C三点所对应的数的和，并求的值；
（2）当点A与点D上下对齐时，点B，C恰好分别与点E，F上下对齐，求x的值．
21．（9分）甲、乙、丙三张卡片正面分别写有a+b，2a+b，a﹣b，除正面的代数式不同外，其余均相同．
（1）将三张卡片背面向上并洗匀，从中随机抽取一张，当a＝1，b＝﹣2时，求取出的卡片上代数式的值为负数的概率；
（2）将三张卡片背面向上并洗匀，从中随机抽取一张，放回后重新洗匀，再随机抽取一张．请在表格中补全两次取出的卡片上代数式之和的所有可能结果（化为最简），并求出和为单项式的概率．
22．（9分）中国的探月工程激发了同学们对太空的兴趣．某晚，淇淇在家透过窗户的最高点P恰好看到一颗星星，此时淇淇距窗户的水平距离BQ＝4m，仰角为α；淇淇向前走了3m后到达点D，透过点P恰好看到月亮，仰角为β，如图是示意图．已知，淇淇的眼睛与水平地面BQ的距离AB＝CD＝1.6m，点P到BQ的距离PQ＝2.6m，AC的延长线交PQ于点E．（注：图中所有点均在同一平面）
（1）求β的大小及tanα的值；
（2）求CP的长及sin∠APC的值．
23．（10分）情境 图1是由正方形纸片去掉一个以中心O为顶点的等腰直角三角形后得到的．该纸片通过裁剪，可拼接为图2所示的钻石型五边形，数据如图所示．
（说明：纸片不折叠，拼接不重叠无缝隙无剩余）
操作 嘉嘉将图1所示的纸片通过裁剪，拼成了钻石型五边形．
如图3，嘉嘉沿虚线EF，GH裁剪，将该纸片剪成①，②，③三块，再按照图4所示进行拼接．根据嘉嘉的剪拼过程，解答问题：
（1）直接写出线段EF的长；
（2）直接写出图3中所有与线段BE相等的线段，并计算BE的长．
探究 淇淇说：将图1所示纸片沿直线裁剪，剪成两块，就可以拼成钻石型五边形．
请你按照淇淇的说法设计一种方案：在图5所示纸片的BC边上找一点P（可以借助刻度尺或圆规），画出裁剪线（线段PQ）的位置，并直接写出BP的长．
24．（10分）某公司为提高员工的专业能力，定期对员工进行技能测试．考虑多种因素影响，需将测试的原始成绩x（分）换算为报告成绩y（分）．已知原始成绩满分150分，报告成绩满分100分、换算规则如下：
当0≤x＜p时，y＝；
当p≤x≤150时，y＝+80．
（其中p是小于150的常数，是原始成绩的合格分数线，80是报告成绩的合格分数线）公司规定报告成绩为80分及80分以上（即原始成绩为p及p以上）为合格．
（1）甲、乙的原始成绩分别为95分和130分，若p＝100，求甲、乙的报告成绩；
（2）丙、丁的报告成绩分别为92分和64分，若丙的原始成绩比丁的原始成绩高40分，请推算p的值；
（3）下表是该公司100名员工某次测试的原始成绩统计表：
①直接写出这100名员工原始成绩的中位数；
②若①中的中位数换算成报告成绩为90分，直接写出该公司此次测试的合格率．
25．（12分）已知⊙O的半径为3，弦MN＝2．△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝3．在平面上，先将△ABC和⊙O按图1位置摆放（点B与点N重合，点A在⊙O上，点C在⊙O内），随后移动△ABC，使点B在弦MN上移动，点A始终在⊙O上随之移动．设BN＝x．
（1）当点B与点N重合时，求劣弧的长；
（2）当OA∥MN时，如图2，求点B到OA的距离，并求此时x的值；
（3）设点O到BC的距离为d．
①当点A在劣弧上，且过点A的切线与AC垂直时，求d的值；
②直接写出d的最小值．
26．（13分）如图，抛物线C1：y＝ax2﹣2x过点（4，0），顶点为Q．抛物线C2：y＝﹣（x﹣t）2+t2﹣2（其中t为常数，且t＞2），顶点为P．
（1）直接写出a的值和点Q的坐标．
（2）嘉嘉说：无论t为何值，将C1的顶点Q向左平移2个单位长度后一定落在C2上．
淇淇说：无论t为何值，C2总经过一个定点．
请选择其中一人的说法进行说理．
（3）当t＝4时，
①求直线PQ的解析式；
②作直线l∥PQ，当l与C2的交点到x轴的距离恰为6时，求l与x轴交点的横坐标．
（4）设C1与C2的交点A，B的横坐标分别为xA，xB，且xA＜xB，点M在C1上，横坐标为m（2≤m≤xB）．点N在C2上，横坐标为n（xA≤n≤t），若点M是到直线PQ的距离最大的点，最大距离为d，点N到直线PQ的距离恰好也为d，直接用含t和m的式子表示n．
参考答案
一、选择题（本大题共16个小题，共38分．1～6小题各3分，7～16小题各2分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．解：∵﹣4＜﹣2＜﹣1＜0＜1，
∴选项A的折线统计图符合题意．
故选：A．
2．解：A、a7与﹣a3不属于同类项，不能合并，故A不符合题意；
B、3a2•2a2＝6a4，故B不符合题意；
C、（﹣2a）3＝﹣8a3，故C符合题意；
D、a4÷a4＝1，故D不符合题意；
故选：C．
3．解：如图，连接AC、BD，
∵△ABO和△CDO关于直线PQ对称，
∴△ABO≌△CDO，PQ⊥AC，PQ⊥BD，
∴AC∥BD，
故B、C、D选项正确，
AD不一定垂直BC，故A选项不一定正确，
故选：A．
4．解：解不等式5x﹣1＜6，
得x＜．
故选：A．
5．解：由作图可知BD⊥AC，故线段BD是△ABC的高．
故选：B．
6．解：从左边看，一共有三列，从左到右小正方形的个数分别是3、1、1．
故选：D．
7．解：由题意得，；
A、若x＝5，则y＝＝100，正确，故此选项不符合题意；
B、若y＝125，则，解得x＝4，正确，故此选项不符合题意；
C、若x减小，则y增大，原说法错误，故此选项符合题意；
D、若x减小一半，即y'＝，所以y增大一倍，正确，故此选项不符合题意；
故选：C．
8．解：根据已知得，8×2a＝28b，
即2a+3＝28b，
∴a+3＝8b．
故选：A．
9．解：根据题意得，a2﹣2a＝1，
解得a＝1±，
∵a＞0，
∴a＝+1．
故选：C．
10．证明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠3，
∵∠CAN＝∠ABC+∠3，∠CAN＝∠1+∠2，∠1＝∠2，
∴∠2＝∠3，
∵点M是AC的中点，
∴MA＝MC，
在△MAD和△MCB中，
，
∴△MAD≌△MCB（ASA），
∴MD＝MB，
∴四边形ABCD是平行四边形．
∴①，②分别为∠2＝∠3，ASA，
故选：D．
11．解：正六边形每个内角为：，
而六边形MBCDEN的内角和也为（6﹣2）×180°＝720°，
∴∠B+∠C+∠D+∠E+∠ENM+∠NMB＝720°，
∴∠ENM+∠NMB＝720°﹣4×120°＝240°，
∵β+∠ENM+α+∠NMB＝180°×2＝360°，
∴α+β＝360°﹣240°＝120°，
故选：B．
12．解：设A（a，b），AB＝m，AD＝n，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝n，AB＝CD＝m，
∴D（a，b+n），B（a+m，b），C（a+m，b+n），
∵，而，
∴该矩形四个顶点中“特征值”最小的是点B；
故选：B．
13．解：∵﹣＝，
∴＝+，
∴＝+，
∴Ax＝（x﹣y）（x+y）+y2，
∴Ax＝x2，
∴A＝x；
故选：A．
14．解：设该扇面所在的圆的半径为R，
S＝＝，
∴πR2＝3S，
∵该折扇张开的角度为n°时，扇形面积为Sn，
∴Sn＝＝＝，
∴m＝＝＝＝，
∴m是n的正比例函数，
∵n≥0，
∴它的图象是过原点的一条射线，
故选：C．
15．解：设一个三位数与一个两位数分别为100x+10y+z和10m+n，如图2：
则由题意得：mz＝20，nz＝5，ny＝2，nx＝a，
∴，即m＝4n，
∴当n＝2，y＝1 时，z＝2.5不是正整数，不符合题意，故舍去；
当n＝1，y＝2时，则m＝4，z＝5，x＝a，如图3：
∴A、“20”左边的数是2×4＝8，故本选项不符合题意；
B、“20”右边的“□”表示4，故本选项不符合题意；
∴a上面的数应为4a，如图4：
∴运算结果可以表示为：1000（4a+1）+100a+25＝4100a+1025，
∴D选项符合题意，
当a＝2时，计算的结果大于6000，
故C选项不符合题意，
故选：D．
16．解：根据已知：点P3（2，2）横、纵坐标之和除以3所得的余数为1，继而向上平移1个单位得到P4（2，3），此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为2，继而向左平移1个单位得到P5（1，3），此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为1，又向上平移1个单位………，因此发现规律为若“和点”横、纵坐标之和除以3所得的余数为0时，先向右平移1个单位，再按照向上、向左，向上、向左不断重复的规律平移；
若“和点”Q按上述规则连续平移16次后，到达点Q16（﹣1.9），则按照“和点”Q16 反向运动16次即可，可以分为两种情况：
①Q16先向右1个单位得到Q15（0，9），此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为0，应该是Q15向右平移1个单位得到Q16，故矛盾，不成立； ②Q16先向下1个单位得到Q15（﹣1，8），此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为1，则应该向上平移1个 单位得到Q16，故符合题意，
∴点Q16先向下平移，再向右平移，当平移到第15次时，共计向下平移了8次，向右平移了7次，此时坐标为（﹣1+7，9﹣8），即（6，1），
∴最后一次若向右平移则为（7，1），若向左平移则为（5，1），
故选：D．
二、填空题（本大题共3个小题，共10分．17小题2分，18～19小题各4分，每空2分）
17．解：出现次数最多的是89，因此众数为89．
故答案为：89．
18．解：（1）∵，
∴，
∵n＜＜n+1，n为正整数，
∴n＝3；
故答案为：3；
（2）∵n﹣1＜＜n，
∴（n﹣1）2＜a＜n2，
∴a的取值范围为n2﹣（n﹣1）2＝n2﹣n2+2n﹣1＝2n﹣1，
∵n＜＜n+1，
∴n2＜b＜（n+1）2，
∴b的取值范围为（n+1）2﹣n2＝n2+2n+1﹣n2＝2n+1，
∵（2n+1）﹣（2n﹣1）＝2，
∴满足条件的a的个数总比b的个数少2个，
故答案为：2．
19．解：（1）连接B1D1、B1D2、B1C2、B1C3、C3D3，
∵△ABC的面积为2，AD为BC边上的中线，
∴，
∵点A，C1，C2，C3是线段CC4的五等分点，
∴，
∵点A，D1，D2是线段DD3的四等分点，
∴，
∵点A是线段BB1的中点，
∴，
在△AC1D1和△ACD中，
，
∴△AC1D1≌△ACD（SAS），
∴，∠C1D1A＝∠CDA，
∴△AC1D1的面积为1，
故答案为：1；
（2）在△AB1D1和△ABD中，
，
∴△AB1D1≌△ABD（SAS），
∴，∠B1D1A＝∠BDA，
∵∠BDA+∠CDA＝180°，
∴∠B1D1A+∠C1D1A＝180°，
∴C1、D1、B1三点共线，
∴，
∵AC1＝C1C2＝C2C3＝C3C4，
∴，
∵AD1＝D1D2＝D2D3，，
∴，
在△AC3D3和△ACD中，
，∠C3AD3＝∠CAD，
∴△C3AD3∽△CAD，
∴，
∴，
∵AC1＝C1C2＝C2C3＝C3C4，
∴，
∴，
∴△B1C4D3的面积为7，
故答案为：7．
三、解答题（本大题共7个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
20．解：（1）∵点A，B，C所对应的数依次为﹣4，2，32，
∴A，B，C三点所对应的数的和为﹣4+2+32＝30，
∵AB＝2﹣（﹣4）＝6，AC＝32﹣（﹣4）＝36，
∴；
（2）由数轴得，DE＝x﹣0＝x，DF＝12﹣0＝12，
由题意得，，
∴，
∴x＝2．
21．解：（1）当a＝1，b＝﹣2时，a+b＝﹣1，2a+b＝0，a﹣b＝3．
从三张卡片中随机抽取一张，共有3种等可能的结果，其中取出的卡片上代数式的值为负数的结果有1种，
∴取出的卡片上代数式的值为负数的概率为．
（2）补全表格如下：
共有9种等可能的结果，其中和为单项式的结果有：2a，3a，2a，3a，共4种，
∴和为单项式的概率为．
22．解：（1）由题意可得：PQ⊥AE，PQ＝2.6m，AB＝CD＝EQ＝1.6m，AE＝BQ＝4（m），AC＝BD＝3（m），
∴CE＝4﹣3＝1（m），PE＝2.6﹣1.6＝1（m），∠CEP＝90°．
∴CE＝PE．
∴β＝∠PCE＝45°；．
（2）∵CE＝PE＝1m，∠CEP＝90°，
∴．
如图，过C作 CH⊥AP于H，
∵，设CH＝x m，则AH＝4x m，
∴x2+（4x）2＝AC2＝9．
∴，．
∴．
∴．
23．解：（1）如图，过G′作G′K⊥FH′于K，结合题意可得：四边形FOG′K为矩形，
∴FO＝KG'，
由拼接可得：HF＝FO＝KG'，
由正方形的性质可得：∠A＝45°，
∴△AHG，ΔH′G'D，△AFE为等腰直角三角形，
∴△GKH'为等腰直角三角形，
设H′K＝KG'＝x，
∴H′G′＝H′D＝x，
∴，HF＝FO＝x，
∵正方形的边长为2，
∴对角线的长，
∴，
∴，
解得：，
∴；
（2）∵△AFE为等腰直角三角形，EF＝AF＝1；
∴，
∴，
∵，，
∴BE＝GE＝AH＝GH；
如图，以B为圆心，BO为半径画弧交BC于P'，交AB于Q'，则直线P'Q'为分割线，
此时，，符合要求，
或以C圆心，CO为半径画弧，交BC于P，交CD于Q，则直线PQ为分割线，
此时，，
∴，
综上：BP的长为或．
24．解：（1）当p＝100时，甲的报告成绩为： （分），
乙的探告成绩为： （分）；
（2）设丙的原始成绩为x1分，则丁的原始成绩为（x1﹣40）分，
①0≤x＜p时，y丙＝92＝…①，
，
由①﹣②得：，
∴，
∴，故不成立，舍；
②p≤x1﹣40≤150 时，y丙＝92＝+80…③， ……④，
由③﹣④得：，
∴p＝．
∴92＝+80，
∴，
∴，故不成立，舍；
③0≤x1﹣40＜p，p≤x1≤150 时，
y丙＝92＝+80…⑤，
……⑥，
联立⑤⑥解得：p＝125，x1＝140，且符合题意，
综上所述p＝125；
（3）①共计100名员工，且成绩已经排列好，
∴中位数是第50，51名员工成绩的平均数，
由表格得第50，51名员工成绩都是130分，
∴中位数为130；
②当p＞130时，则，
解得 ，
故不成立，舍；
当p≤130时，
则，
解得p＝110，符合题意，
∴．由表格得到原始成绩为110及110以上的人数为100﹣（1+2+2）＝95，
∴合格率为：．
25．解：如图，连接OA，OB，
∵⊙O的半径为3，AB＝3，
∴OA＝OB＝AB＝3，
∴△AOB 为等边三角形，
∴∠AOB＝60°，
∴ 的长为＝π，
∴劣弧的长为π；
（2）过B作BI⊥OA于I，过O作OH⊥MN于H，连接MO，如图：
∵OA∥MN，
∴∠IBH＝∠BHO＝∠HOI＝∠BIO＝90°，
∴四边形BIOH是矩形，
∴BH＝OI，BI＝OH，
∵，OH⊥MN，
∴，
而OM＝3，
∴，
∴点B到OA的距离为2；
∵AB＝3，BI⊥OA，
∴，
∴，
∴；
（3）①过O作OJ⊥BC于J，过O作OK⊥AB于K，如图：
∵∠ABC＝90°，过点A的切线与AC垂直，
∴AC过圆心，
∴四边形KOJB为矩形，
∴OJ＝KB，
∵AB＝3，，
∴，
∴，
∴，
∴，即 ；
②如图，当B为MN中点时，过O作OL⊥B′C′于L，过O作OJ⊥BC于J，
∵∠OJL＞90°，
∴OL＞OJ，故当B为MN中点时，d最短小，
过A作AQ⊥OB于Q，
∵B为MN中点，
∴OB⊥MN，
同（2）可得OB＝2，
∴BQ＝OQ＝1，
∴，
∵∠ABC＝90°＝∠AQB，
∴∠OBJ+∠ABO＝90°＝∠ABO+∠BAQ，
∴∠OBJ＝∠BAQ，
∴tan∠OBJ＝tan∠BAQ，
∴，
设OJ＝m，则 ，
∵OJ2+BJ2＝OB2，
∴，
解得： （m的负值已舍去），
∴CJ 的最小值为 ，即d的最小值为．
26．解：（1）∵抛物线过点（4，0），顶点为Q，
∴16a﹣8＝0，
解得，
∴抛物线为，
∴Q（2，﹣2）；
（2）把Q（2，﹣2）向左平移2个单位长度得到对应点的坐标为（0，﹣2），
当x＝0时，，
∴（0，﹣2）在C2上，
∴嘉嘉说法正确；
＝，
当x＝0时，y＝﹣2，
∴，
过定点（0，﹣2），
∴淇淇说法正确；
（3）①当t＝4时，，
∴顶点P（4，6），
而Q（2，﹣2），
设PQ为y＝cx+f，
∴，
解得，
∴PQ为y＝4x﹣10；
②如图，当（等于6两直线重合不符合题意），
∴，
∴交点，交点，
由直线l∥PQ，
设直线l为y＝4x+b，
∴，
解得，
∴直线l为，
当时，，
此时直线l与x轴交点的横坐标为，
同理当直线l过点，
直线l为，
当时，，
此时直线l与x轴交点的横坐标为．
（4）∵，，
∴C2是由C1通过旋转180°，再平移得到的，两个函数图象的形状相同，
如图，连接AB交PQ于L，连接AQ，BQ，AP，BP，
∴四边形APBQ是平行四边形，
当点M是到直线PQ的距离最大的点，最大距离为d，点N到直线PQ的距离恰好也为d，此时M与B重合，N与A重合，
∵P（2，﹣2），，
∴L的横坐标为，，，
∴L的横坐标为，
∴，
解得n＝2+t﹣m．
已知：如图，△ABC中，AB＝AC，AE平分△ABC的外角∠CAN，点M是AC的中点，连接BM并延长交AE于点D，连接CD．
求证：四边形ABCD是平行四边形．
证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠3．
∵∠CAN＝∠ABC+∠3，∠CAN＝∠1+∠2，∠1＝∠2，
∴①______．
又∵∠4＝∠5，MA＝MC，
∴△MAD≌△MCB（②______）．
∴MD＝MB．∴四边形ABCD是平行四边形．
第一次
和
第二次
a+b
2a+b
a﹣b
a+b
2a+2b
2a
2a+b
a﹣b
2a
原始成绩（分）
95
100
105
110
115
120
125
130
135
140
145
150
人数
1
2
2
5
8
10
7
16
20
15
9
5
第一次
和
第二次
a+b
2a+b
a﹣b
a+b
2a+2b
3a+2b
2a
2a+b
3a+2b
4a+2b
3a
a﹣b
2a
3a
2a﹣2b