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沪教版 (五四制)第5节 长方体中平面与平面位置关系的认识获奖课件ppt
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8.5 长方体中平面与平面位置关系的认识 分层练习1．下列说法中，正确的是（ ）A．长方体中与一条棱平行的面只有一个 B．长方体中任何一个面都与两个面垂直C．长方体中与一条棱垂直的平面有两个 D．长方体中任何一个面都与两个面平行【答案】C【分析】此题主要考查了认识立体图形．直接利用长方体的性质分别分析得出答案．【详解】解：A、长方体中与一条棱平行的平面有两个，故本选项不符合题意；B、长方体中任何一个面都与4个面垂直，故本选项不符合题意；C、长方体中与一条棱垂直的面有两个，故本选项符合题意；D、长方体中任何一个面都与1个面平行，故本选项不符合题意；故选：C．2．把一根长16米的方木锯成相等的5段，表面积增加了4平方米，这根方木的体积是（ ）A．64立方米 B．32立方米 C．8立方米 D．48立方米【答案】C【分析】把一根长16米的方木锯成相等的5段，锯了次，每次一个锯口，一个锯口增加2个横截面．用增加的面积除以增加的横截面数，就是这根方木的底面积，根据长方体的体积计算公式“”即要求出这根方木的体积．【详解】解：（立方米）答：这根方木的体积是8立方米．故选：C．【点睛】关键明白：把这根方木锯成相等的5段，锯了次，每次一个锯口，一个锯口增加2个横截面．3．下列说法中，不正确的是（ ）A．长方体的任意一条棱垂直于两个面B．凡与铅垂线平行的直线一定垂直于水平面C．长方体的每个面都是长与宽不相等的长方形D．单杠的横杠与地面平行【答案】C【分析】根据长方体棱与棱，棱与面，面与面之间的关系判断出错误的选项即可．【详解】解：A.长方体的任意一条棱垂直于两个面，正确，故此选项不符合题意；B.凡与铅垂线平行的直线一定垂直于水平面，正确，故此选项不符合题意；C.底面是正方形的长方体中存在长与宽相等的面，故此选项符合题意；D.单杠的横杠与地面平行，正确，故此选项不符合题意；故选：C．【点睛】考查长方体的相关知识；理解长方体的图形特征是解题关键．4．如图，在长方体中，与面垂直的平面个数为（ ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根据平面垂直的判定定理解答．【详解】∵BF⊥FG，BF⊥EF，BF∩GF=F，∴BF⊥平面EFGH，∵BF在平面BDHF内，∴平面BDHF⊥平面EFGH；同理平面BDHF⊥平面ABCD．故选：B．【点睛】本题借助长方体的棱与面考查立体图形，考查学生的观察能力及空间想象能力．5．下列说法中不正确的是（ ）．A．用“长方形纸片”可以检查直线与平面平行B．用“三角尺”可以检查直线与平面垂直C．用“合页型折纸”可以检查平面与平面垂直D．空间两条直线有四种位置关系：平行、相交，垂直、异面【答案】D【分析】根据直线与平面平行，直线与平面垂直，平面与平面垂直的检验方式以及空间中两直线的位置关系对各选项进行判断即可．【详解】A选项：根据长方形的对边平行，所以用“长方形纸片”可以检验直线与平面平行，故A正确；不符合题意；B选项：利用“三角尺”中的直角可以检验直线与平面垂直，故B正确；不符合题意；C选项：“合页型折纸”其折痕与纸被折断的一边垂直，即折痕与被折断的两线段垂直，把折断的两边放到平面上，可判断折痕与水平面垂直，从而检验平面与平面垂直，故C正确；不符合题意；D选项：空间的两条直线有以下三种位置关系：相交直线、平行直线、异面直线．故D错误，符合题意．故选D．【点睛】本题考查了直线与平面平行，直线与平面垂直，平面与平面垂直，空间中两直线的位置关系等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．6．淘气将长，宽、高分别为8厘米、6厘米、5厘米的长方体的五个面涂上红色，然后将它切成棱长为1厘米的小正方体，那么这些小正方体中，恰好有一个面是红色的最多有 个．【答案】110【分析】本题主要考查了长方体的认识，解题的关键是抓住表面涂色的长方体切割成小正方体的特点：1面涂色的在长方体的面上，2面涂色的在棱长上，3面涂色的在顶点上，没有涂色的在内部，根据此规律，列式计算即可．【详解】解：一面涂色的正方体都在长方体的面上，所以淘气涂色的五个面应是较大的五个面，即涂色的面是：2个的面，2个的面，1个的面，因为与不涂色的那个面相邻的四个面上的小正方体，除了顶点处的4个，也是一面涂色的，所以恰好有一个面是红色的正方体有：（个）．故答案为：110．7．如图，在长方体中，与平面垂直的平面是 ．【答案】平面、平面【分析】本题考查了长方体中平面与平面的位置关系，如果一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直，找到平面的垂线是解答本题的关键．【详解】解：∵，∴，∵在平面内，∴，同理可得：，故答案为：平面、平面．8．把4个棱长为3分米的小正方体粘成一个长方体，他们的表面积最多会减少( )平方分米．【答案】72【分析】根据4个小正方形粘成一个长方体，有两个排列方法，①排列，表面积减少6个正方形的面积；②排列，分两层，表面积减少8个正方形的面积，进行求解即可．【详解】解：由题意，得：把4个棱长为3分米的小正方体粘成一个长方体，他们的表面积最多会减少8个边长为3分米的小正方形的面积，即：平方分米；故答案为：72．【点睛】本题考查长方体的拼组．解题的关键是掌握4个小正方体拼组长方体的方法．9．如图，在长方体中，与面平行的面是 ．【答案】面【分析】根据长方体的特征，它有6个面都是长方形（特殊情况下有两个相对的面是正方形），相对的面的面积相等且平行，由此解答．【详解】解：根据长方体的特征，相对的面的面积相等且平行，由此得：与面平行的面是面．故答案为：面．【点睛】本题考查了认识立体图形，主要根据长方体的面的特征解决问题．10．如图，在长方体中，可以把平面与平面组成的图形看作直立于面上的合页形折纸从而说明棱 垂直于平面．【答案】【分析】根据平面与平面组成的图形看作直立于面上的合页形折纸从而说明棱垂直于平面．【详解】解：把平面与平面组成的图形看作直立于面上的合页形折纸从而说明棱垂直于平面，故答案是：．【点睛】此题主要考查了认识立体图形．解题的关键是能够正确认识立体图形，题目比较简单，要注意审题．11．在长方体中，与平面平行的平面是 ．【答案】平面【分析】根据长方体的特征可直接求解．【详解】解：如图，与平面平行的平面有平面．故答案为：平面．【点睛】本题考查认识立体图形，平面平行的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．12．如图，在长方体中，在检测直线与平面平行时，如果将面看作长方形纸片，那么可以检测与平面平行的棱是棱 ． 【答案】【分析】先找到与平面平行的面，再找到与面相交的棱即为所求．【详解】∵与平面平行的面是，∴如果将面看作长方形纸片，那么可以检测与平面平行的棱是棱，故答案为：．【点睛】本题考查直线与平面平行的判定，平面与平面平行，是基础题．13．如图，在长方体中，与面与面都垂直的面是 ． 【答案】面和面【分析】根据长方体的性质即可解答．【详解】解：根据长方体的性质，相邻的是垂直的，对立面是平行的，与面与面同时相邻的面只有面和面，故答案为：面和面．【点睛】此题考查了长方体，熟练掌握长方体的性质是解题的关键．14．在长方体中，可以把面和面组成的图形看作是长方形纸片交叉地放置两次，而且都分别能够与面和面紧贴，从而说明平面 ．【答案】面【分析】根据每两相邻的两个面互相垂直来得到相对的两个面互相平行可直接作答．【详解】因为在长方体中，可以把面和面组成的图形看作是长方形纸片交叉地放置两次，而且都分别能够与面和面紧贴，所以得到平面平面；故答案为面．【点睛】本题主要考查长方体中平面与平面的位置关系，正确理解概念是解题的关键．15．把一块长是的长方体木块分成长为的两块后，它的表面积增加了，则分成的两块长方体木块的体积分别为 ．【答案】，【分析】根据增加的面积÷2，得到每一个面的面积，再根据占比求出体积即可；【详解】，，．故答案为，．【点睛】本题主要考查了长方体的面与面的位置关系，准确计算是解题的关键．16．一个长方体的表面展开图如图所示，每一面上都标注了字母（标字母的面是外表面），根据要求回答问题：(1)如果D面在长方体的左面，那么F面在长方体的哪一面？(2)B面和哪个面是相对的面？(3)如果C面在长方体的前面，从上面看是D面，那么长方体的左面是哪个面？(4)如果B面在长方体的后面，从左面看是D面，那么长方体的前面是哪个面？(5)如果A面在长方体的右面，从下面看是F面，那么B面在长方体的哪一面？【答案】(1)右面(2)E面(3)B面(4)E面(5)后面【分析】（1）根据长方体的平面展开图，可知面D与面F相对，即可解答；（2）根据长方体的平面展开图，可知面B与面E相对，即可解答；（3）根据长方体的平面展开图，可知面C与面A相对，面D与面F相对，面B与面E相对，即可解答；（4）根据长方体的平面展开图，可知面C与面A相对，面D与面F相对，面B与面E相对，即可解答；（5）根据长方体的平面展开图，可知面C与面A相对，面D与面F相对，面B与面E相对，即可解答．【详解】（1）解：由图可知：D面和F面为该长方体的相对面，∴如果D面在长方体的左面，那么F面在长方体的右面；（2）解：由图可知：B面和E面是相对的面；（3）解：由图可知：如果C面在长方体的前面，从上面看是D面，那么长方体的左面是B面；（4）解：由图可知：如果B面在长方体的后面，从左面看是D面，那么长方体的前面是E面；（5）解：由图可知：如果A面在长方体的右面，从下面看是F面，那么B面在长方体的后面．【点睛】本题主要考查了长方体的相对面，解题的关键是掌握找长方体相对面的方法，正确找出长方体的相对面．17．用斜二测画法画长方体直观图： (1)补全长方体；(2)若量得图中的长度是，则所表示的实际长方体长度是_______．(3)与平面平行的平面是________．【答案】(1)见解析(2)(3)．【分析】（1）作，且连接，BC，作，且，连接，即可；（2）利用测量法解决问题即可（3）根据平面平行的定义，判断即可．【详解】（1）解：如图，长方体即为所求． （2）测量,根据斜二测画法可知实际长度为．故答案为：．（3）与平面，平行的平面是面故答案为： ．【点睛】本题考查作图−复杂作图，认识立体图形等知识，解题的关键是学会利用斜二测画法画长方体．18．（1）用斜二测画法补全长方体（不写画法，需写结论）；（2）若量得的长度是，则其表示的实际长度是________；（3）在长方体中，与棱平行的平面是________． 【答案】（1）见解析；（2）4；（3）平面，平面【分析】（1）利用斜二侧画法首先建立坐标系，再利用图象各边与坐标轴位置关系画出图象即可；（2）（2）利用测量法解决问题即可．（3）根据平面平行的定义，判断即可．【详解】解：（1）如图所示； （2）∵量得的长度是，∴其表示的实际长度是4；故答案为：4；（3）与棱平行的平面是平面，平面，故答案为：平面，平面．【点睛】此题主要考查了斜二测法画立体图形以及直线与面平行的性质，根据已知图象建立坐标，再画出图形是解题关键．19．用斜二测面法补全长方体ABCD-EFGH（不写画法，标注字母，写出结论） (1)画图时，图中∠ABC=________°，若画出的宽BC长为2厘米，那么实际宽为________厘米.(2)与平面EABF平行的平面是：________；(3)既与棱AB异面又与棱DH平行的棱是：________；(4)如果把面ABCD与面DCGH组成的图形看作是直立于面ADHE上的合页型折纸，那么可以说明棱________垂直于平面________；(5)长方体ABCD-EFGH的长，宽，高的比是3∶2∶1，它的所有棱长和是24厘米，那么这个长方体的体积是________立方厘米．【答案】(1)，4；(2)(3)(4)，(5)6【分析】直接由斜二测画法画出图形，结合图形，即可求解相应问题；【详解】（1）由斜二测画法可知：，故答案为：，4（2）由图可知；与平面平行的平面为，故答案为： （3）由图可知：既与棱异面又与棱平行的棱是：故答案为：（4）由图可知：如果把面与面组成的图形看作是直立于面上的合页型折纸，那么可以说明棱垂直于平面故答案为：，（5）设长，宽，高分别为，依题意，解得：，故长，宽，高分别为，其体积为，故答案为：6【点睛】本题主要考查了认识立体图形及会用斜二测画法画立体图形的几何直观图，熟练掌握斜二测画法是解题的关键．20．将棱长为3厘米的正方体木块表面涂成红色，切割成棱长为1厘米的小正方体，分别求出三面红色、两面红色和没有红色的小正方体的数量．【答案】三面红色的8个，两面红色的12个，没有红色的1个．【分析】根据题意得三面涂色的在8个顶点上，两面涂色的在除了顶点外的棱上，没有颜色在第二层正中间，故可直接得出答案．【详解】解：由题意得：因为（个），所以大正方体每条棱长上面都有3个小正方体；三面涂色的在8个顶点处，所以一共有8个；两面都涂有红色，在除了顶点外的棱上：（个）；一面涂色的在大正方体的6个面上，共（个）；没有涂色的在第二层正中间，只有1个．答：三面涂色的小正方体有8个，两面涂色的有12个，没有涂色的只有1个．【点睛】本题主要考查长方体的面与面的位置关系的应用，关键是根据题意得到大正方体的切割方式，然后分别求出问题的答案即可．21．小明准备用透明胶和硬纸板制作一个长方体纸盒，现在需要你的帮忙：（单位：） （1）制作前，要画出长方体纸盒的直观图，小明只画了一部分（如图1），请你帮他画完整（不写画法）；（2）制作时，需要裁剪一块长方形的硬纸板，小明经过设计发现正好将这块硬纸板全部用完（如图2），请你求出长方体的长a、宽b和高c；（3）制作完成后，小明想把这个盒子表面的其中5个面都涂满相同的颜色，而且要使涂色部分的面积最少，那么涂色部分的面积是多少呢？【答案】（1）画图见解析；（2），，；（3）216cm2【分析】（1）根据小明画的一部分图，结合长方形纸盒的实际形状，即可完成画图；（2）结合图2，根据长方体中棱与平面位置关系、长方体中平面与平面位置关系，可依次算出b、c、a的长度；（3）长方体的长a、宽b和高c对应的各个平面的面积，即可找到面积最大的面不涂色，经计算即可得到答案．【详解】（1）见下图（2）由图2可知：∴∵∴∵∴∴cm，cm，cm.（3）∵小明想把这个盒子表面的其中5个面都涂满相同的颜色，而且要使涂色部分的面积最少∴边长为6cm和12cm的两个面中的一个面不涂色∴cm2．【点睛】本题考查了长方体直观图、长方体中平面和平面的位置关系、长方体中棱与平面位置关系等知识点；解题的关键是熟练掌握长方体直观图、长方体中平面和平面的位置关系、长方体中棱与平面位置关系的性质，从而完成求解． 22．一个长方体，从同一顶点出发的三个面的面积之比是，最大面比最小面的面积大60平方厘米，求这个长方体的表面积．【答案】336平方厘米【分析】设一个顶点出发的三条棱长分别为厘米、厘米、厘米，则根据题意易得，，，然后直接求解即可．【详解】解：设一个顶点出发的三条棱长分别为厘米、厘米、厘米，则有：．又∵（平方厘米），（平方厘米），（平方厘米），（平方厘米），所以这个长方体的表面积：（平方厘米）．答：这个长方体的表面积为336平方厘米．【点睛】本题主要考查长方体的表面积，关键是根据题意得到从同一顶点出发的三个面的面积，然后进行求解即可．23．一个长方体的长、宽、高分别为8厘米、6厘米、4厘米，现将其切成两个相同的小长方体，怎样切其表面积最大？求此时每个小长方体的表面积．【答案】按高切平分成两个小长方体，此时每个小长方体的表面积是152平方厘米【分析】把一个长方体切成两个长方体，只切一次，增加两个横截面，由题意应增加面积为8×6=48平方厘米的横截面，其表面之和最大，由此即可求解．【详解】解：把一个长方体切成两个长方体，只切一次，增加两个横截面，所以只要增加的两个横截面的面积最大，则切成的表面积就最大，所以应该按照高来切，平分成两个小长方体，切的横截面即为长×宽，此时每一个小长方体的表面积为：2×(8×6)+2×(8×2)+2×(6×2)=96+32+24=152平面厘米，故答案为：按照高来切，平分成两个小长方体；每个小长方体表面积为152平方厘米．【点睛】本题考查了长方体切割后的图形的表面积计算，本题沿长和宽切割，可使切出的长方体的表面积之和最大．
8.5 长方体中平面与平面位置关系的认识 分层练习1．下列说法中，正确的是（ ）A．长方体中与一条棱平行的面只有一个 B．长方体中任何一个面都与两个面垂直C．长方体中与一条棱垂直的平面有两个 D．长方体中任何一个面都与两个面平行【答案】C【分析】此题主要考查了认识立体图形．直接利用长方体的性质分别分析得出答案．【详解】解：A、长方体中与一条棱平行的平面有两个，故本选项不符合题意；B、长方体中任何一个面都与4个面垂直，故本选项不符合题意；C、长方体中与一条棱垂直的面有两个，故本选项符合题意；D、长方体中任何一个面都与1个面平行，故本选项不符合题意；故选：C．2．把一根长16米的方木锯成相等的5段，表面积增加了4平方米，这根方木的体积是（ ）A．64立方米 B．32立方米 C．8立方米 D．48立方米【答案】C【分析】把一根长16米的方木锯成相等的5段，锯了次，每次一个锯口，一个锯口增加2个横截面．用增加的面积除以增加的横截面数，就是这根方木的底面积，根据长方体的体积计算公式“”即要求出这根方木的体积．【详解】解：（立方米）答：这根方木的体积是8立方米．故选：C．【点睛】关键明白：把这根方木锯成相等的5段，锯了次，每次一个锯口，一个锯口增加2个横截面．3．下列说法中，不正确的是（ ）A．长方体的任意一条棱垂直于两个面B．凡与铅垂线平行的直线一定垂直于水平面C．长方体的每个面都是长与宽不相等的长方形D．单杠的横杠与地面平行【答案】C【分析】根据长方体棱与棱，棱与面，面与面之间的关系判断出错误的选项即可．【详解】解：A.长方体的任意一条棱垂直于两个面，正确，故此选项不符合题意；B.凡与铅垂线平行的直线一定垂直于水平面，正确，故此选项不符合题意；C.底面是正方形的长方体中存在长与宽相等的面，故此选项符合题意；D.单杠的横杠与地面平行，正确，故此选项不符合题意；故选：C．【点睛】考查长方体的相关知识；理解长方体的图形特征是解题关键．4．如图，在长方体中，与面垂直的平面个数为（ ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根据平面垂直的判定定理解答．【详解】∵BF⊥FG，BF⊥EF，BF∩GF=F，∴BF⊥平面EFGH，∵BF在平面BDHF内，∴平面BDHF⊥平面EFGH；同理平面BDHF⊥平面ABCD．故选：B．【点睛】本题借助长方体的棱与面考查立体图形，考查学生的观察能力及空间想象能力．5．下列说法中不正确的是（ ）．A．用“长方形纸片”可以检查直线与平面平行B．用“三角尺”可以检查直线与平面垂直C．用“合页型折纸”可以检查平面与平面垂直D．空间两条直线有四种位置关系：平行、相交，垂直、异面【答案】D【分析】根据直线与平面平行，直线与平面垂直，平面与平面垂直的检验方式以及空间中两直线的位置关系对各选项进行判断即可．【详解】A选项：根据长方形的对边平行，所以用“长方形纸片”可以检验直线与平面平行，故A正确；不符合题意；B选项：利用“三角尺”中的直角可以检验直线与平面垂直，故B正确；不符合题意；C选项：“合页型折纸”其折痕与纸被折断的一边垂直，即折痕与被折断的两线段垂直，把折断的两边放到平面上，可判断折痕与水平面垂直，从而检验平面与平面垂直，故C正确；不符合题意；D选项：空间的两条直线有以下三种位置关系：相交直线、平行直线、异面直线．故D错误，符合题意．故选D．【点睛】本题考查了直线与平面平行，直线与平面垂直，平面与平面垂直，空间中两直线的位置关系等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．6．淘气将长，宽、高分别为8厘米、6厘米、5厘米的长方体的五个面涂上红色，然后将它切成棱长为1厘米的小正方体，那么这些小正方体中，恰好有一个面是红色的最多有 个．【答案】110【分析】本题主要考查了长方体的认识，解题的关键是抓住表面涂色的长方体切割成小正方体的特点：1面涂色的在长方体的面上，2面涂色的在棱长上，3面涂色的在顶点上，没有涂色的在内部，根据此规律，列式计算即可．【详解】解：一面涂色的正方体都在长方体的面上，所以淘气涂色的五个面应是较大的五个面，即涂色的面是：2个的面，2个的面，1个的面，因为与不涂色的那个面相邻的四个面上的小正方体，除了顶点处的4个，也是一面涂色的，所以恰好有一个面是红色的正方体有：（个）．故答案为：110．7．如图，在长方体中，与平面垂直的平面是 ．【答案】平面、平面【分析】本题考查了长方体中平面与平面的位置关系，如果一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直，找到平面的垂线是解答本题的关键．【详解】解：∵，∴，∵在平面内，∴，同理可得：，故答案为：平面、平面．8．把4个棱长为3分米的小正方体粘成一个长方体，他们的表面积最多会减少( )平方分米．【答案】72【分析】根据4个小正方形粘成一个长方体，有两个排列方法，①排列，表面积减少6个正方形的面积；②排列，分两层，表面积减少8个正方形的面积，进行求解即可．【详解】解：由题意，得：把4个棱长为3分米的小正方体粘成一个长方体，他们的表面积最多会减少8个边长为3分米的小正方形的面积，即：平方分米；故答案为：72．【点睛】本题考查长方体的拼组．解题的关键是掌握4个小正方体拼组长方体的方法．9．如图，在长方体中，与面平行的面是 ．【答案】面【分析】根据长方体的特征，它有6个面都是长方形（特殊情况下有两个相对的面是正方形），相对的面的面积相等且平行，由此解答．【详解】解：根据长方体的特征，相对的面的面积相等且平行，由此得：与面平行的面是面．故答案为：面．【点睛】本题考查了认识立体图形，主要根据长方体的面的特征解决问题．10．如图，在长方体中，可以把平面与平面组成的图形看作直立于面上的合页形折纸从而说明棱 垂直于平面．【答案】【分析】根据平面与平面组成的图形看作直立于面上的合页形折纸从而说明棱垂直于平面．【详解】解：把平面与平面组成的图形看作直立于面上的合页形折纸从而说明棱垂直于平面，故答案是：．【点睛】此题主要考查了认识立体图形．解题的关键是能够正确认识立体图形，题目比较简单，要注意审题．11．在长方体中，与平面平行的平面是 ．【答案】平面【分析】根据长方体的特征可直接求解．【详解】解：如图，与平面平行的平面有平面．故答案为：平面．【点睛】本题考查认识立体图形，平面平行的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．12．如图，在长方体中，在检测直线与平面平行时，如果将面看作长方形纸片，那么可以检测与平面平行的棱是棱 ． 【答案】【分析】先找到与平面平行的面，再找到与面相交的棱即为所求．【详解】∵与平面平行的面是，∴如果将面看作长方形纸片，那么可以检测与平面平行的棱是棱，故答案为：．【点睛】本题考查直线与平面平行的判定，平面与平面平行，是基础题．13．如图，在长方体中，与面与面都垂直的面是 ． 【答案】面和面【分析】根据长方体的性质即可解答．【详解】解：根据长方体的性质，相邻的是垂直的，对立面是平行的，与面与面同时相邻的面只有面和面，故答案为：面和面．【点睛】此题考查了长方体，熟练掌握长方体的性质是解题的关键．14．在长方体中，可以把面和面组成的图形看作是长方形纸片交叉地放置两次，而且都分别能够与面和面紧贴，从而说明平面 ．【答案】面【分析】根据每两相邻的两个面互相垂直来得到相对的两个面互相平行可直接作答．【详解】因为在长方体中，可以把面和面组成的图形看作是长方形纸片交叉地放置两次，而且都分别能够与面和面紧贴，所以得到平面平面；故答案为面．【点睛】本题主要考查长方体中平面与平面的位置关系，正确理解概念是解题的关键．15．把一块长是的长方体木块分成长为的两块后，它的表面积增加了，则分成的两块长方体木块的体积分别为 ．【答案】，【分析】根据增加的面积÷2，得到每一个面的面积，再根据占比求出体积即可；【详解】，，．故答案为，．【点睛】本题主要考查了长方体的面与面的位置关系，准确计算是解题的关键．16．一个长方体的表面展开图如图所示，每一面上都标注了字母（标字母的面是外表面），根据要求回答问题：(1)如果D面在长方体的左面，那么F面在长方体的哪一面？(2)B面和哪个面是相对的面？(3)如果C面在长方体的前面，从上面看是D面，那么长方体的左面是哪个面？(4)如果B面在长方体的后面，从左面看是D面，那么长方体的前面是哪个面？(5)如果A面在长方体的右面，从下面看是F面，那么B面在长方体的哪一面？【答案】(1)右面(2)E面(3)B面(4)E面(5)后面【分析】（1）根据长方体的平面展开图，可知面D与面F相对，即可解答；（2）根据长方体的平面展开图，可知面B与面E相对，即可解答；（3）根据长方体的平面展开图，可知面C与面A相对，面D与面F相对，面B与面E相对，即可解答；（4）根据长方体的平面展开图，可知面C与面A相对，面D与面F相对，面B与面E相对，即可解答；（5）根据长方体的平面展开图，可知面C与面A相对，面D与面F相对，面B与面E相对，即可解答．【详解】（1）解：由图可知：D面和F面为该长方体的相对面，∴如果D面在长方体的左面，那么F面在长方体的右面；（2）解：由图可知：B面和E面是相对的面；（3）解：由图可知：如果C面在长方体的前面，从上面看是D面，那么长方体的左面是B面；（4）解：由图可知：如果B面在长方体的后面，从左面看是D面，那么长方体的前面是E面；（5）解：由图可知：如果A面在长方体的右面，从下面看是F面，那么B面在长方体的后面．【点睛】本题主要考查了长方体的相对面，解题的关键是掌握找长方体相对面的方法，正确找出长方体的相对面．17．用斜二测画法画长方体直观图： (1)补全长方体；(2)若量得图中的长度是，则所表示的实际长方体长度是_______．(3)与平面平行的平面是________．【答案】(1)见解析(2)(3)．【分析】（1）作，且连接，BC，作，且，连接，即可；（2）利用测量法解决问题即可（3）根据平面平行的定义，判断即可．【详解】（1）解：如图，长方体即为所求． （2）测量,根据斜二测画法可知实际长度为．故答案为：．（3）与平面，平行的平面是面故答案为： ．【点睛】本题考查作图−复杂作图，认识立体图形等知识，解题的关键是学会利用斜二测画法画长方体．18．（1）用斜二测画法补全长方体（不写画法，需写结论）；（2）若量得的长度是，则其表示的实际长度是________；（3）在长方体中，与棱平行的平面是________． 【答案】（1）见解析；（2）4；（3）平面，平面【分析】（1）利用斜二侧画法首先建立坐标系，再利用图象各边与坐标轴位置关系画出图象即可；（2）（2）利用测量法解决问题即可．（3）根据平面平行的定义，判断即可．【详解】解：（1）如图所示； （2）∵量得的长度是，∴其表示的实际长度是4；故答案为：4；（3）与棱平行的平面是平面，平面，故答案为：平面，平面．【点睛】此题主要考查了斜二测法画立体图形以及直线与面平行的性质，根据已知图象建立坐标，再画出图形是解题关键．19．用斜二测面法补全长方体ABCD-EFGH（不写画法，标注字母，写出结论） (1)画图时，图中∠ABC=________°，若画出的宽BC长为2厘米，那么实际宽为________厘米.(2)与平面EABF平行的平面是：________；(3)既与棱AB异面又与棱DH平行的棱是：________；(4)如果把面ABCD与面DCGH组成的图形看作是直立于面ADHE上的合页型折纸，那么可以说明棱________垂直于平面________；(5)长方体ABCD-EFGH的长，宽，高的比是3∶2∶1，它的所有棱长和是24厘米，那么这个长方体的体积是________立方厘米．【答案】(1)，4；(2)(3)(4)，(5)6【分析】直接由斜二测画法画出图形，结合图形，即可求解相应问题；【详解】（1）由斜二测画法可知：，故答案为：，4（2）由图可知；与平面平行的平面为，故答案为： （3）由图可知：既与棱异面又与棱平行的棱是：故答案为：（4）由图可知：如果把面与面组成的图形看作是直立于面上的合页型折纸，那么可以说明棱垂直于平面故答案为：，（5）设长，宽，高分别为，依题意，解得：，故长，宽，高分别为，其体积为，故答案为：6【点睛】本题主要考查了认识立体图形及会用斜二测画法画立体图形的几何直观图，熟练掌握斜二测画法是解题的关键．20．将棱长为3厘米的正方体木块表面涂成红色，切割成棱长为1厘米的小正方体，分别求出三面红色、两面红色和没有红色的小正方体的数量．【答案】三面红色的8个，两面红色的12个，没有红色的1个．【分析】根据题意得三面涂色的在8个顶点上，两面涂色的在除了顶点外的棱上，没有颜色在第二层正中间，故可直接得出答案．【详解】解：由题意得：因为（个），所以大正方体每条棱长上面都有3个小正方体；三面涂色的在8个顶点处，所以一共有8个；两面都涂有红色，在除了顶点外的棱上：（个）；一面涂色的在大正方体的6个面上，共（个）；没有涂色的在第二层正中间，只有1个．答：三面涂色的小正方体有8个，两面涂色的有12个，没有涂色的只有1个．【点睛】本题主要考查长方体的面与面的位置关系的应用，关键是根据题意得到大正方体的切割方式，然后分别求出问题的答案即可．21．小明准备用透明胶和硬纸板制作一个长方体纸盒，现在需要你的帮忙：（单位：） （1）制作前，要画出长方体纸盒的直观图，小明只画了一部分（如图1），请你帮他画完整（不写画法）；（2）制作时，需要裁剪一块长方形的硬纸板，小明经过设计发现正好将这块硬纸板全部用完（如图2），请你求出长方体的长a、宽b和高c；（3）制作完成后，小明想把这个盒子表面的其中5个面都涂满相同的颜色，而且要使涂色部分的面积最少，那么涂色部分的面积是多少呢？【答案】（1）画图见解析；（2），，；（3）216cm2【分析】（1）根据小明画的一部分图，结合长方形纸盒的实际形状，即可完成画图；（2）结合图2，根据长方体中棱与平面位置关系、长方体中平面与平面位置关系，可依次算出b、c、a的长度；（3）长方体的长a、宽b和高c对应的各个平面的面积，即可找到面积最大的面不涂色，经计算即可得到答案．【详解】（1）见下图（2）由图2可知：∴∵∴∵∴∴cm，cm，cm.（3）∵小明想把这个盒子表面的其中5个面都涂满相同的颜色，而且要使涂色部分的面积最少∴边长为6cm和12cm的两个面中的一个面不涂色∴cm2．【点睛】本题考查了长方体直观图、长方体中平面和平面的位置关系、长方体中棱与平面位置关系等知识点；解题的关键是熟练掌握长方体直观图、长方体中平面和平面的位置关系、长方体中棱与平面位置关系的性质，从而完成求解． 22．一个长方体，从同一顶点出发的三个面的面积之比是，最大面比最小面的面积大60平方厘米，求这个长方体的表面积．【答案】336平方厘米【分析】设一个顶点出发的三条棱长分别为厘米、厘米、厘米，则根据题意易得，，，然后直接求解即可．【详解】解：设一个顶点出发的三条棱长分别为厘米、厘米、厘米，则有：．又∵（平方厘米），（平方厘米），（平方厘米），（平方厘米），所以这个长方体的表面积：（平方厘米）．答：这个长方体的表面积为336平方厘米．【点睛】本题主要考查长方体的表面积，关键是根据题意得到从同一顶点出发的三个面的面积，然后进行求解即可．23．一个长方体的长、宽、高分别为8厘米、6厘米、4厘米，现将其切成两个相同的小长方体，怎样切其表面积最大？求此时每个小长方体的表面积．【答案】按高切平分成两个小长方体，此时每个小长方体的表面积是152平方厘米【分析】把一个长方体切成两个长方体，只切一次，增加两个横截面，由题意应增加面积为8×6=48平方厘米的横截面，其表面之和最大，由此即可求解．【详解】解：把一个长方体切成两个长方体，只切一次，增加两个横截面，所以只要增加的两个横截面的面积最大，则切成的表面积就最大，所以应该按照高来切，平分成两个小长方体，切的横截面即为长×宽，此时每一个小长方体的表面积为：2×(8×6)+2×(8×2)+2×(6×2)=96+32+24=152平面厘米，故答案为：按照高来切，平分成两个小长方体；每个小长方体表面积为152平方厘米．【点睛】本题考查了长方体切割后的图形的表面积计算，本题沿长和宽切割，可使切出的长方体的表面积之和最大．
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