2023-2024学年数学八年级下册北师大版期末模拟预测卷

这是一份2023-2024学年数学八年级下册北师大版期末模拟预测卷，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．数学考试必备学习用具：黑色的水笔、2B铅笔、橡皮、圆规、三角板全套、量角器，下列学习用具所抽象出的几何图形中（忽略刻度和线和数字），是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．如果把下列各分式中的a和b都扩大为原来的2倍，那么分式的值变为原来的2倍的是（ ）
A．B．C．D．
3．如图，某学校欲增设一个篮球场，为了方便学生活动，要求新建的篮球场到A点、B点和C点的距离均相等，则篮球场应该建设在（ ）
A．两边垂直平分线的交点处B．在两边中线的交点处
C．在两内角平分线的交点处D．在两边高线的交点处
4．如图，和都是等腰直角三角形，，的顶点A在的斜边上，下列说法中正确的有（ ）
①；②；③；④
A．1个B．2个C．3个D．4个
5．如图，中，，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点分别为，延长交于点，下列结论一定正确的是（ ）
A．B．
C．D．
6．下列各式从左到右的变形属于因式分解的是（ ）
A．B．
C．D．
7．数学家裴波那契编写的《算经》中有如下问题，一组人平分10元钱，每人分得若干，若再加上6人，平分40元钱，则第二次每人所得与第一次相同，求第二次分钱的人数．设第二次分钱的人数为人，则可列方程为（ ）
A．B．
C．D．
8．如图，根据图象，可得关于x的不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
9．定义一种运算：，则不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．无解
10．如图，在中，，，，点为上任意一点，连接，以，为邻边作平行四边形，连接，则的最小值为（ ）
A．2B．C．D．4
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分．
11．把多项式因式分解时，应提取的公因式是 ．
12．已知在中，，，垂足为点，点在直线上，且，如果点绕点旋转后恰好与点重合，那么 度．
13．如图，正方形①和②关于点对称，正方形②和③关于点对称，若正方形①经过一次旋转后和正方形③重合，则旋转角至少为 °．
14．若关于x的一元一次不等式组，有解，关于y的分式方程解为正整数，则所有满足条件的整数的值之和是 ．
15．我们规定符号表示a、b中的较大值，如：，按这样的规定，如果那么x的值为 .
16．如图，在中，P是边上一点，且和分别平分和，若，，则的周长是 ．
三、解答题：本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．因式分解：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
18．化简：．
19．计算
(1)解不等式：；
(2)解不等式：．
20．如图，已知是等边三角形，D为边上一点，以为边向形外作等边三角形、联结
(1)试说明的理由；
(2)如果，试说明的理由．
21．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求作图，保留适当的作图痕迹．
(1)在图①中，找到格点C，连接，使得；
(2)在图②中，在边上找一点E，连接，使；
(3)在图③中，点F在格点上，在上找一点H，连接，使．
22．如图所示，已知点在的对角线上，且．
(1)试说明线段和的关系．
(2)若，点A到线段的距离为3，求．
23．某中学为绿化美丽校园，营造温馨环境，计划购进甲、乙两种规格的花架用于放置新购进的绿植，调查发现，甲种花架的单价是乙种花架的单价的1.5倍，用2160元购买甲花架的数量比用2160元购买乙花架的数量少10个．
(1)甲、乙两种花架的单价分别是多少元？
(2)该校计划购进这两种规格的花架共28个，要求甲种花架的数量不少于乙种花架的数量，并且乙种花架的数量不少于10个，设购买这批花架所需费用为元，甲种花架购买个，求与之间的函数关系式，并求出当为何值时，费用最少，最少费用是多少？
24．问题提出
（1）将线段平移至线段，则线段与线段的数量关系是______，位置关系是______．
问题研究
（2）如图1，正方形的边长为4，E，F是对角线上的两个动点，且，连接，，则的最小值为多少？
问题解决
（3）如图2，有一块三角形余料，，．工人师傅想利用余料裁一个，要求，D在上，且，请问能否裁出一个周长最小的？如果能，请求出周长的最小值，并说明理由．
参考答案：
1．A
【分析】本题考查中心对称图形的定义与判断，根据中心对称图形定义：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心，逐项验证即可得到答案，熟练掌握中心对称图形的定义是解决问题的关键．
【详解】解：A、该图形是中心对称图形，符合题意；
B、该图形不是中心对称图形，不符合题意；
C、该图形不是中心对称图形，不符合题意；
D、该图形不是中心对称图形，不符合题意；
故选：A．
2．A
【分析】本题考查了分式的基本性质．熟练掌握分式的基本性质是解答本题的关键．
【详解】解：A．，分式的值变为原来的2倍，故选项符合题意；
B．，分式的值变为原来的，故选项不符合题意；
C．，分式的值不变，故选项不符合题意；
D．，分式的值变为原来的，故选项不符合题意；
故选：A．
3．A
【分析】本题考查了线段的垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线的性质判断即可．
【详解】作两边的垂直平分线，它们的交点是P，
由线段的垂直平分线的性质，，
故选：A．
4．C
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、角平分线的性质等知识，根据等腰直角三角形的性质逐个判断即可．
【详解】∵和都是等腰直角三角形，
∴，，
①，
故①正确；
②∵，，，，
∴，
故②正确；
③如图，连接，作于M，于N．
∵，，
∴，
∴，
∴当时才有；
故③错误；
④∵，，，
∴，
∴，
即，
故④正确；
综上所述，正确的有①②④，
故选：C．
5．D
【分析】本题考查了旋转性质以及两个锐角互余的三角形是直角三角形，平行线的判定，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据旋转性质得，结合，即可得证，再根据同旁内角互补证明两直线平行，来分析不一定成立；根据图形性质以及角的运算或线段的运算得出A和C选项是错误的．
【详解】解：记与相交于一点H，如图所示：
∵中，将绕点顺时针旋转得到，
∴
∵
∴在中，
∴
故D选项是正确的，符合题意；
设
∴
∵
∴
∴
∵不一定等于
∴不一定等于
∴不一定成立，
故B选项不正确，不符合题意；
∵不一定等于
∴不一定成立，
故A选项不正确，不符合题意；
∵将绕点顺时针旋转得到，
∴
∴
故C选项不正确，不符合题意；
故选：D
6．C
【分析】本题考查因式分解的识别．将一个多项式化为几个整式的积的形式即为因式分解，据此进行判断即可．
【详解】解：是乘法运算，则选项A不符合题意；
是单项式，则选项B不符合题意；
符合因式分解的定义，则选项C符合题意；
，原式中左右两边不相等，则选项D不符合题意；
故选：C．
7．B
【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．设第二次分钱的人数为x人，则第一次分钱的人数为人，根据两次每人分得的钱数相同，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
【详解】解：设第二次分钱的人数为x人，则第一次分钱的人数为人，
依题意得：
故选：B．
8．D
【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，根据图象，写出直线在直线上方所对应的自变量的范围即可．
【详解】解：根据图象，可得：不等式的解集是．
故选：D．
9．C
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式， 新定义，根据新定义当，即时，建立不等式求解即可．
【详解】解；当，即时，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
10．D
【分析】本题考查了平行四边形的性质、等腰直角三角形的性质以及垂线段最短的性质，勾股定理等知识，设与交于点O，作于，首先利用勾股定理求出，当P与重合时，的值最小，的最小值，从而求解．
【详解】解：设与交于点O，作于．如图所示：
在中，，
，
∵四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
当P与重合时，的值最小，则的值最小，
的最小值．
故选：D．
11．/
【分析】本题考查公因式的确定方法，根据公因式确定的方法：“①系数：取各项系数的最大公约数；②字母：取各项都含有的相同的字母；③指数：取各项相同字母的最低次幂”进行求解即可．
【详解】解：，
故答案为：．
12．
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的外角性质，解题的关键是掌握等腰三角形的性质．根据题意可得，由，，可得，结合，可推出，，再根据三角形的外角性质求出，即可求解．
【详解】解：根据题意可得，
，，，点在直线上，
，
又，
，，
，
，
，
故答案为：．
13．
【分析】此题考查了中心对称和旋转，根据中心对称的定义和旋转的性质进行求解即可．
【详解】解：如图，设正方形①、②、③的对角线交点分别为，连接，，，
∵正方形①和②关于点对称，正方形②和③关于点对称，
∴必过点A，必过点B，且，
∴，
由图可知，正方形①经过一次旋转后和正方形③重合，则旋转角至少为，
故答案为：
14．
【分析】此题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式组，正确求解是解本题的关键．不等式组整理后，根据已知解集确定出a的范围，分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有正整数解，确定出a的值，求出和即可．
【详解】解：解不等式组得：，
由不等式组有解，即解集为，得到，
分式方程去分母得：，即，
解得：，
由y为正整数解，且得到，
∴所有满足条件的整数a的值之和为，
故答案为：．
15．或
【分析】本题考查方程和不等式，分为和两种情况化简方程解题即可．
【详解】解：当时，即时，，解得；
当时，即时，，解得；
故答案为：或.
16．12
【分析】本题考查了平行四边形的性质、角平分线的定义、平行线的性质、等角对等边、三角形的内角和定理、勾股定理，得到是解答的关键．根据平行四边形的性质和角平分线的定义证得，，，再根据等角对等边和三角形的内角和定理得到，，，利用勾股定理求得，进而可求得三角形的周长．
【详解】解：在中，，，，，
∴，，，
∵和分别平分和，
∴，，
∴，，，
∴，，
则，
∵，
∴，
∴的周长是，
故答案为：12．
17．(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等．
（1）利用提公因式法因式分解即可；
（2）先提公因式，然后利用平方差公式因式分解即可；
（3）先提公因式，然后利用完全平方公式因式分解即可；
（4）利用完全平方公式因式分解即可．
【详解】（1）
；
（2）
；
（3）
；
（4）
．
18．
【分析】本题考查分式的混合运算，先计算小括号内的减法，再计算除法．解题的关键是掌握相应的运算法则和公式．
【详解】解：
．
19．(1)
(2)
【分析】本题考查解一元一次不等式、解一元一次不等式组．
（1）根据解一元一次不等式的方法可以解答本题；
（2）先分别解不等式，再取公共部分即可．
【详解】（1）不等式两边同乘以6，得
去括号，得
移项及合并同类项，得，
系数化为1，得，
故原不等式的解集是；
（2）由不等式，得，
由不等式，得，
故原不等式组的解集是．
20．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
（1）利用等边三角形的性质证明即可；
（2）由（1）的结论，再结合条件可证明平分，根据等边三角形的性质可证得．
【详解】（1）∵和为等边三角形，
∴，
在和中
，
∴，
∴；
（2）由（1）可知，
∴，
∴，
∴，即平分，
∵为等边三角形，
∴．
21．(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】本题考查了无刻度直尺作图，涉及了等腰直角三角形的性质、平移的性质等知识点，熟记相关结论即可．
（1）由图可得，作出以为对角线的 的矩形即可；
（2）根据平移的性质，过点作出的平行线即可；
（3）根据平移的性质，过点作出的平行线即可．
【详解】（1）解：如图所示：格点C即为所求
（2）解：如图所示：点E即为所求
（3）解：如图所示，点H即为所求
22．(1)，，证明见解析
(2)
【分析】本题考查的是平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的性质和判定定理并灵活运用是解题的关键．
（1）连接交于点O，连接，，证明四边形是平行四边形，即可得到结论；
（2）求解，再利用三角形的面积公式计算即可．
【详解】（1）证明：，，理由如下：
连接交于点O，连接，，

∵四边形是平行四边形，
∴，，
又，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，．
（2）∵，，
∴，
∵点A到线段的距离为3，
∴．
23．(1)甲种花架每个的价格为108元，乙种花架每个的价格为72元
(2)；当时w取最小值，最少费用为2520元
【分析】本题考查分式方程的实际应用，一元一次不等式组的应用，一次函数的应用：
（1）设乙种花架的单价格为x元，根据甲种花架的单价是乙种花架的单价的1.5倍，用2160元购买甲花架的数量比用2160元购买乙花架的数量少10个，列出方程进行求解即可；
（2）根据甲种花架的数量不少于乙种花架的数量，并且乙种花架的数量不少于10个，列出不等式组，求出的范围，根据总费用等于两种花架的费用之和，列出一次函数关系式，根据一次函数的性质，求最值即可．
【详解】（1）解：设乙种花架的单价格为x元，则甲种花架的单价为元，
根据题意得：，
解得：，
经检验：是原方程的解，
答：甲种花架每个的价格为108元，乙种花架每个的价格为72元；
（2）∵甲种花架购买a个，则乙种花架购买个，
∵甲种花架的数量不少于乙种花架的数量，
且乙种花架的数量不少于10个，
∴
∴
根据题意得：
∵，
∴w随a的增大而增大，
∴当时，w取最小值，
最少费用为（元）
24．（1）相等；平行；（2）的最小值为6；（3）能，周长的最小值是，理由见解析
【分析】（1）由平移的性质可得答案；
（2）如图1，过点A作，且使，连接交于点F，则此时的值最小，连接，证明四边形是平行四边形，再进一步解答即可；
（3）如图2，作点B关于的对称点，连接 ，，，作，且，可得四边形是平行四边形，由的周长，可得要求的周长最小，即求最小，再进一步解答即可．
【详解】解：（1）∵线段平移至线段，
∴，，
（2）如图1，过点A作，且使，
连接交于点F，则此时的值最小，
连接，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∵四边形是正方形，，
∴，，
∵，
∴，
∴，在中，
，
∴的最小值为6；
（3）能，
理由：如图2，作点B关于的对称点，连接 ，，，
作，且，
∴四边形是平行四边形，
由对称得，，
，，
∴，为等边三角形，
∴，
∵四边形 是平行四边形，
∴，，
∴，，
∵的周长，
∴要求的周长最小，即求最小，
∵，
∴如图3，当点B，C，共线时，的值最小，即求的长，
在中，
∴周长的最小值是．
【点睛】本题考查的是平移的性质，平行四边形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理的应用，二次根式的乘法运算，作出合适的辅助线是解本题的关键．