广东省河源市正德中学2023-2024学年高一下学期期末复习数学试卷（幂、指、对函数，三角函数）

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这是一份广东省河源市正德中学2023-2024学年高一下学期期末复习数学试卷（幂、指、对函数，三角函数），共22页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知幂函数f(x)的图象过点(4,12)，则f(9)的值为( )
A. 13B. 3C. 3D. 33
2.使式子lg(2x-1)(2-x)有意义的x的取值范围是( )
A. x>2B. x<2
C. 123.已知函数y=f(x)的定义域为[-8,1]，则函数g(x)=f(2x+1)x+2的定义域是( )
A. (-∞,-2)∪(-2,3]B. [-8,-2)∪(-2,1]
C. [-92,-2]D. [-92,-2)∪(-2,0]
4.函数f(x)=xlg2|x|的图象大致为( )
A. B.
C. D.
5.已知函数y=(x-a)(x-b)-2的两个零点分别为α，β，其中aA. a<α6.已知2x=5y=t，1x+1y=2，则t=( )
A. 110B. 1100C. 10D. 100
7.设a=30.7，b=(13)-0.8，c=lg0.70.8，则a，b，c的大小关系为( )
A. a8.已知sinαcsα=18，且5π4<α<3π2，则csα-sinα的值为( )
A. - 32B. 32C. -34D. 34
9.函数f(x)=15sin(x+π3)+cs(x-π6)的最大值为( )
A. 65B. 1C. 35D. 15
10.已知函数f(x)=lgax,x>3,mx+8,x≤3.若f(2)=4，且函数f(x)存在最小值，则实数a的取值范围为( )
A. (1,3]B. (1,2]C. (0,33]D. [3,+∞)
二、多选题：本题共5小题，共25分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
11.给出下列命题，其中正确的命题有( )
A. 函数fx=lga2x-1-1的图象过定点1,0
B. 已知函数fx是定义在R上的偶函数，当x≤0时fx=xx+1，则fx的解析式为fx=x2-x
C. 若lga12>1，则a的取值范围是12,1
D. 若2-x-2y>lnx-ln-yx>0,y<0，则x+y<0
12.下列结论正确的是( )
A. -4π3是第二象限角
B. 函数f(x)=|sinx|的最小正周期是π
C. 若tanα=3，则sinα+csαsinα-csα=4
D. 若圆心角为π6的扇形的弧长为π，则该扇形的面积为3π
13.下列表达式中，正确的是( )
A. csπ12csπ6-sinπ12sinπ6= 22B. 3sinx+csx=2sin(x+π6)
C. 1-tan15∘1+tan15∘= 3D. cs4π8-sin4π8=12
14.已知函数f(x)=2sin(2x+π3)，g(x)=2cs(2x+π6)，则下列说法正确的是( )
A. 直线x=π12是f(x)图象的一条对称轴
B. 将g(x)图象上所有的点向右平移π6个单位长度即可得到f(x)的图象
C. g(x)在区间(π3,2π3)上单调递减
D. 函数h(x)=f(x)+g(x)的最大值为2 3
15.已知函数f(x)= 2cs(2x+π4)+1，对于任意的a∈[0,1)，方程f(x)-a=1(0≤x≤m)仅有一个实数根，则m的取值可以为( )
A. π8B. π2C. 5π8D. 3π4
三、填空题：本题共12小题，共48分。
16.若函数f(x)=lg12(-x2+4x+5)在区间(3m-2,m+2)内单调递增，则实数m的取值范围为．
17.已知函数f(x)=x-n2+2n+3(n=2k,k∈N)的图象在[0,+∞)上单调递增，则n=______．
18.函数y=ax-1-5(a>0且a≠1)的图象恒过定点
19.指数函数f(x)=(a-1)x在R上是增函数，则a的取值范围是______．
20.已知lg0.72m21.函数f(x)=lga(2x-3)+1(a>0且a≠1)的图象过定点______．
22.用二分法求方程2x-x-4=0的一个近似解时，已知一个解在区间(2,3)内，则下一步可断定该解所在的区间为．
23.函数y= lg0.5(4x2-3x)的定义域为．
24.若k<4x+1对一切实数x都成立，则实数k的取值范围是______．
25.函数y=sin(x-π4)的图象的对称轴为，对称中心为．
26.已知函数f(x)=sin(x+π6)，其中x∈[-π3,a]，若f(x)的值域是[-12,1]，则实数a的取值范围是．
27.已知函数f(x)=|2-x-1|，g(x)=|lg2x|,0四、解答题：本题共8小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
28.(本小题8分)
当x∈(0,+∞)时，幂函数y=(m2-m-1)⋅x-5m-3为减函数，求实数m的值．
29.(本小题10分)
已知函数f(x)=ax+b(a>0,a≠1)的图象过点(0,-2)，(2,0)．
(1)求a与b的值；
(2)求x∈[-1,2]时，求f(x)的最大值与最小值．
(3)求使f(x)>0成立的x范围．
30.(本小题10分)
已知二次函数f(x)满足f(x+1)-f(x)=2x-1且f(0)=0，
(1)求二次函数f(x)的解析式．
(2)求函数g(x)=(12)f(x)的单调增区间和值域．
31.(本小题12分)
已知函数f(x)=2sin(2x+π6)+a+1(其中a为常数)．
(1)求f(x)的单调区间;
(2)当x∈[0,π2]时，f(x)的最大值为4，求a的值．
32.(本小题12分)
已知函数f(x)=csxsin(x+π3)- 3cs2x+ 34，x∈R.
(1)求f(x)的最小正周期;
(2)求f(x)在闭区间[-π4,π4]上的最大值和最小值．
33.(本小题12分)
已知函数f(x)=4sin(ωx-π4)csωx在x=π4处取得最值，其中ω∈(0,2)．
(1)求函数f(x)的最小正周期;
(2)将函数f(x)的图象向左平移π36个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标不变，得到函数g(x)的图象.若α为锐角，且g(α)=43- 2，求csα的值．
34.(本小题12分)
已知奇函数f(x)=a⋅2x-12x+1的定义域为-a-2,b
⑴求实数a,b的值；
⑵判断函数f(x)的单调性，并用定义证明；
⑶当x∈[1,2]时，2+mf(x)+2x>0恒成立，求m的取值范围．
35.(本小题10分)
已知a>0且满足不等式22a+1>25a-2．
(1)求实数a的取值范围；
(2)求不等式lga(3x-1)(3)若函数y=lga(2x-1)在区间[1,3]有最小值为-2，求实数a的值．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：设幂函数f(x)=xα(α∈R)，
∵幂函数f(x)的图象过点(4,12)，
∴4α=12，解得α=-12，
∴幂函数f(x)=x-12，
∴f(9)=13
故选：A．
先利用待定系数法求出幂函数f(x)的解析式，再代入自变量的值即可求出函数值．
本题主要考查了幂函数的定义，以及待定系数法求函数解析式，是基础题．
2.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查对数函数的性质，属于基础题．
由题可得2x-1>02x-1≠12-x>0，解出即可．
【解答】
解：要使lg(2x-1)(2-x)有意义，
则2x-1>02x-1≠12-x>0，解得：12故选D．
3.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了求抽象函数的定义域问题，是一道基础题．
根据函数f(x)的定义域求出2x+1中x的范围，结合分母不为0，求出函数g(x)的定义域即可．
【解答】
解：由题意得：-8≤2x+1≤1，解得：-92≤x≤0，
由x+2≠0解得：x≠-2，
故函数的定义域是[-92,-2)∪(-2,0] ．
故选D．
4.【答案】A
【解析】【分析】
本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数的对称性和排除法进行判断是解决本题的关键，是基础题．
判断函数的奇偶性和对称性，以及函数值的正负，利用排除法进行判断即可．
【解答】
解：易知函数f(x)的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，
且f(-x)=-xlg2|-x|=-xlg2|x|=-f(x)，
所以f(x)是奇函数，图象关于原点对称，排除选项C、D，
当x>1时，f(x)>0，排除选项B，
故选A．
5.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查函数零点的概念，函数图象的变换，以及二次函数的图象，属于基础题．
【解答】解：设f(x)=(x-a)(x-b)-2，g(x)=(x-a)(x-b)，
则a，b是g(x)的两个零点；
函数f(x)的图象可以看成g(x)图象向下平移2个单位得到，且a如图所示：
∴α6.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查指数式和对数式互化，考查对数的运算，考查方程的思想，属于中档题．
将指数式化为对数式，写出x,y的表达式，代入1x+1y=2，化简后求得t的值．
【解答】
解：由于2x=5y=t>0，则x=lg2 t,y=lg5 t，
1x=lgt2,1y=lgt5，
故1x+1y=lgt2+lgt5=lgt10=2，
所以t= 10．
故选C．
7.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了指数函数和对数函数的性质，属于基础题．
根据指数函数和对数函数的性质即可求出．
【解答】
解：a=30.7，b=(13)-0.8=30.8，
则b>a>1，
lg0.70.8<，
∴c故选：D．
8.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查利用同角三角函数的基本关系化简求值，属于基础题．
【解答】
解：(csα-sinα)2=cs2α-2sinαcsα+sin2α=1-2sinαcsα=34，
因为5π4<α<3π2，所以sinα所以csα-sinα>0，所以csα-sinα= 32．
9.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查正弦型函数的最值的求解以及利用诱导公式化简，属于基础题．
利用诱导公式化简函数式，即可求最值．
【解答】
解：f(x)=15sin(x+π3)+cs(x-π6)
=15sin(x+π3)+cs(π6-x)
=15sin(x+π3)+sin(x+π3)
=65sin(x+π3)，
故函数有最大值65．
10.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查分段函数，对数函数性质，属基础题．
代入数值求得m的值，根据函数单调性研究函数最值，即可求解．
【解答】
解：依题意f(2)=4，
2m+8=4，
故m=-2，f(3)=3m+8=2，
当0当a>1时，lga⁡3⩾2=lgaa2，故a2≤3，
解得1综上，实数a的取值范围为(1, 3].
故选A．
11.【答案】BCD
【解析】【分析】
本题考查函数性质的综合应用，涉及函数过定点，函数的奇偶性、单调性，对数不等式，属于中档题．
令2x-1=1，解得x=1，函数经过定点(1,-1)，判断A错误；根据函数的奇偶性，求出当x>0时，f(x)的解析式，判断B正确；根据对数函数的单调性解不等式，判断C正确；构造函数f(x)=2-x-lnx，可知f(x)在(0,+∞)上是减函数，根据减函数的性质判断D正确．
【解答】解：A.令2x-1=1，解得x=1，所以函数经过定点(1,-1)，故A错误；
B.当x>0时，-x<0，由条件可知f(x)=f(-x)=-x(-x+1)=x(x-1)，
则f(x)的解析式为f(x)=x(x+1),x≤0,x(x-1),x>0=x2-|x|，故B正确；
C.当a>1时，若lga12>1=lgaa，解得0当01=lgaa，解得a>12，所以1>a>12；
综上可知a的取值范围是(12,1)，故C正确；
D.构造函数f(x)=2-x-lnx，由指对数函数的单调性可知f(x)在(0,+∞)上是减函数，
又2-x-2y>lnx-ln(-y)(x>0,y<0)，
即2-x-lnx>2-(-y)-ln(-y)，
所以f(x)>f(-y)，
所以x<-y，即x+y<0，故D正确．
故答案为BCD．
12.【答案】ABD
【解析】【分析】
直接利用象限角的定义，三角函数的周期性，三角函数关系式，扇形面积公式的应用即可判断得解．
点评本题考查的知识要点：象限角的定义，三角函数关系式，扇形面积公式，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．
【解答】
解：对于A，根据象限角的定义，-4π3为第二象限角，故A正确;
对于B，函数f(x)=|sinx|的最小正周期是π，故B正确;
对于C，若tanα=3，则原式=tanα+1tanα-1=3+13-1=2，故C错误;
对于D，若圆心角为π6的扇形的弧长为π，则利用l=R⋅α，解得R=6，故该扇形
的面积为S=12×π×6=3π，故D正确.故选ABD．
13.【答案】AB
【解析】【分析】
A，由两角差的余弦公式，得解;
B，利用辅助角公式，得解;
C，由两角差的正切公式，得解;
D，结合平方差公式，同角三角函数的平方关系，二倍角公式，得解．
本题考查三角函数的化简，熟练掌握两角和差公式，辅助角公式，二倍角公式是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
【解答】
解：对于A，csπ12csπ6-sinπ12sinπ6=cs(π12+π6)=csπ4= 22，故A正确;
对于B， 3sinx+csx=2(sinx⋅csπ6+csx⋅sinπ6)=2sin(x+π6)，故B正确;
对于C，1-tan15∘1+tan15∘=tan45∘-tan15∘1+tan45∘tan15∘=tan(45∘-15∘)= 33，故C错误;
对于D，cs4π8-sin4π8=(cs2π8+sin2π8)⋅(cs2π8-sin2π8)=cs(π8×2)= 22，故D错误.故选AB．
14.【答案】ABD
【解析】【分析】
根据三角函数的图象和性质分别进行判断即可．
本题主要考查命题的真假判断，涉及三角函数的图象和性质，利用三角函数的性质分别进行判断是解决本题的关键，是中档题．
【解答】
解：对于A，当x=π12时，可得2x+π3=π2，显然是函数f(x)图象的一条对称轴，故A正确．
对于B，将g(x)图象上所有的点向右平移π6个单位长度，可得y=2cs[2(x-π6)+π6]=2cs(2x-π6)=2cs(2x-π2+π3)=2cs[π2-(2x+π3)]=2sin(2x+π3)的图象，即为f(x)的图象，故B正确．
对于C，x∈(π3,2π3)，则2x+π6∈(5π6,3π2).故令2x+π6=π，得x=5π12，
所以函数g(x)在区间(π3,5π12]上单调递减，在区间[5π12,2π3)上单调递增，故C错误．
对于D，h(x)=f(x)+g(x)=2sin(2x+π3)+2cs(2x+π6)=2(sin2x⋅12cs2x⋅ 32)+2(cs2x⋅ 32-sin2x⋅12)=sin2x+ 3cs2x+ 3cs2x-sin2x=2 3cs2x≤2 3，
所以的数n(x)=f(x)+g(x)的取大值为2 3，故D正确．
故选ABD．
15.【答案】AB
【解析】【分析】
构造新函数y=f(x)-1与函数y=a的图象的交点个数为1可得答案．
本题主要考查余弦函数图象和性质，利用图象交点是解决本题的关键．
【解答】
解：函数f(x)= 2cs(2x+π4)+1，对于任意的a∈[0,1)，方程f(x)-a=1(0≤x≤m)仅有一个实数根，等价于函数y=f(x)-1在[0,m]上的图象与直线y=a只有一个交点.由函数y=f(x)-1的最小正周期为π，且与x轴的交点为(π8+kπ2,0)，k∈Z，可知当π8≤m<5π8时，对任意的a∈[0,1)，函数y=f(x)-1的图象与直线y=a仅有一个交点，故m的取值可以为π8或π2．
故选AB．
16.【答案】[43,2)
【解析】【分析】
本题考查对数函数的性质，涉及复合函数的单调性和不等式组的解法，属于中档题．
先由对数函数和二次函数的性质易得函数f(x)的单调递增区间，再根据题意可得m的不等式组，解不等式组可得．
【解答】
解：函数f(x)=lg12(-x2+4x+5)，
则-x2+4x+5>0，解得-1又可得二次函数y=-x2+4x+5的对称轴为x=-42×(-1)=2，
由复合函数单调性可得函数f(x)=lg12(-x2+4x+5)的单调递增区间为(2,5)，
要使函数f(x)在区间(3m-2,m+2)内单调递增，
则3m-2≥2m+2≤53m-2故实数m的取值范围为[43,2)．
故答案为[43,2)．
17.【答案】0或2
【解析】解：∵函数f(x)=x-n2+2n+3(n=2k,k∈N)的图象在[0,+∞)上单调递增，
∴-n2+2n+3>0
∴n2-2n-3<0
∴-1∵n=2k，k∈N
∴n=0或2
故答案为：0或2
根据函数f(x)=x-n2+2n+3(n=2k,k∈N)的图象在[0,+∞)上单调递增，确定指数大于0，再根据n=2k，k∈N，即可求得结论．
本题考查幂函数的性质，考查解不等式，正确运用幂函数的性质是关键．
18.【答案】(1,-4)
【解析】【分析】
本题主要考查指数函数的图象恒过定点问题，属于基础题．
令幂指数等于零，求得x、y的值，可得图象恒过定点的坐标．
【解答】
解：对于函数y=ax-1-5(a>0且a≠1)，令x-1=0，求得x=1，y=-4，
可得它的图象恒过定点(1,-4)，
故答案为：(1,-4)．
19.【答案】(2,+∞)
【解析】解；∵指数函数f(x)=(a-1)x在R上是增函数，
∴a-1>1，
即a>2，
故a的取值范围是(2,+∞)，
故答案为：(2,+∞)．
根据指数函数的图象和性质，即可得到答案．
本题主要考查了指数函数的图象和性质，属于基础题．
20.【答案】(1,+∞)
【解析】解：∵lg0.72mm-1>0，求得m>1，
故答案为：(1,+∞)．
由条件利用对数函数的定义域、单调性和特殊点，求得m的取值范围．
本题主要考查对数函数的定义域、单调性和特殊点，属于基础题．
21.【答案】(2,1)
【解析】解：令2x-3=1，解得x=2，此时f(2)=lga1+1=1，
∴函数f(x)的图象过定点(2,1)．
故答案为：(2,1)．
令对数函数的真数等于1，即可求得定点坐标．
本题考查对数函数的图象及性质，考查运算求解能力，属于基础题．
22.【答案】(52,3)
【解析】【分析】
本题考查二分法，属于基础题．
【解答】
解：令f(x)=2x-x-4，则f(2)=4-2-4 =-2<0，f(3)=8-3-4=1>0，f(52)= 252-52-4<0，由f(3)f(52)<0知根所在的区间为(52,3)．
23.【答案】[-14,0)∪(34,1]
【解析】【分析】
本题考查对数函数有关的定义域问题，是基础题．
首先要保证根式内部的代数式大于等于0，而根式内部又是对数式，除借助对数函数的单调性外还要保证真数大于0，即可求得答案．
【解答】
解：要使原函数有意义，需要lg0.5(4x2-3x)≥04x2-3x>0,
即0<4x2-3x≤1，
解得：x∈[-14,0)∪(34,1].
所以原函数的定义域为[-14,0)∪(34,1].
故答案为[-14,0)∪(34,1].
24.【答案】(-∞,1]
【解析】解：由y=4x+1的值域为(1,+∞)，
k<4x+1对一切实数x都成立，
可得k≤1，
即k的取值范围是(-∞,1]．
故答案为：(-∞,1]．
由指数函数的值域和不等式恒成立思想，可得所求范围．
本题考查不等式恒成立问题解法，以及指数函数的值域，考查运算能力和推理能力，属于基础题．
25.【答案】x=3π4+kπ，k∈Z；(π4+kπ,0)，k∈Z
【解析】【分析】
本题考查正弦(型)函数的对称轴、对称中心的求解，属于简单题.
【解答】
解：由x-π4=π2+kπ，k∈Z，得x=3π4+kπ，k∈Z.
由x-π4=kπ，k∈Z，得x=π4+kπ，k∈Z.
故函数y=sin(x-π4)的图象的对称轴为x=3π4+kπ，k∈Z，对称中心为(π4+kπ,0)，k∈Z.
26.【答案】[π3,π]
【解析】【分析】
本题考查由正弦型函数的值域求参，属于基础题．
【解答】
解：∵x∈[-π3,a]，
∴x+π6∈[-π6,a+π6].
∵当x+π6∈[-π6,π2]时，f(x)的值域为[-12,1]，
∴结合正弦函数的图象知π2≤a+π6≤7π6，
∴π3≤a≤π．
27.【答案】(0,1)；4
【解析】【分析】
本题考查函数零点与方程根的关系，考查了转化思想，数形结合思想，属于中档题．
作出函数f(x)和y=m的图象，数形结合即可得到实数m的取值范围；在方程g[f(x)]=m中，设t=f(x)∈(0,+∞)，作出函数g(x)=|lg2x|,0【解答】解：函数f(x)=|2-x-1|=1-2-x,x≥02-x-1,x<0，
当x≥0时，-x≤0，则0<2-x≤1，此时f(x)=1-2-x∈[0,1)，
由题可知，方程f(x)=m有两个不同的解，即直线y=m与函数y=f(x)的图象有两个不同的交点，如下图所示：
由题可知，当0方程g[f(x)]=m中，由g(x)定义域为(0,+∞)，设t=f(x)∈(0,+∞)，即g(t)=m，
即求y=g(t)与直线y=m∈(0,1)的交点问题，
作出函数g(x)=|lg2x|,0因为0所以g(t)=m有3个根t1、t2、t3，其中t1∈(0,1)、t2∈(1,2)、t3∈(2,3)，
结合f(x)的图象可知，方程f(x)=t1有2个不同的根，f(x)=t2有1个根，f(x)=t3有1个根，综上所述，方程g[f(x)]=m有4个不同的解．
故答案为：(0,1)；4．
28.【答案】解：因当x∈(0,+∞)时，幂函数y=(m2-m-1)⋅x-5m-3为减函数，
所以，m2-m-1=1且-5m-3<0，解得m=2或-1，且m>-35，
即 m=2．
【解析】由题意可得m2-m-1=1且-5m-3<0，由此解得实数m的值．
本题主要考查幂函数的定义和性质，属于基础题．
29.【答案】解：(1)因为函数图象过点(0,-2)和点(2,0)，
所以将点(0,-2)和点(2,0)代入f(x)，得a0+b=-2a2+b=0，
解得a= 3b=-3(舍去a=- 3)，
故a= 3,b=-3；
(2)因为f(x)=( 3)x-3，指数函数的底 3>1，
所以，该函数在定义域内单调递增，
即当x∈[-1,2]时，f(x)单调递增，
所以，f(x)min=f(-1)= 33-3'
f(x)max=f(2)=0
(3)由f(x)>0可得( 3)x-3>0，
即( 3)x>3=( 3)2，
因为y=( 3)x是单调递增函数，
所以解得x>2，故x∈(2,+∞)．
【解析】(1)将点(0,-2)和点(2,0)代入f(x)，得到关于a，b的方程组，解得答案；
(2)根据f(x)解析式，判断出其单调性，根据单调性和x的范围，求得最大值和最小值；
(3)由f(x)>0，得到( 3)x>3，根据指数函数单调性，解得答案．
本题考查复合函数的单调性，考查学生的运算能力，属于中档题．
30.【答案】解：(1)由f(0)=0，设f(x)=ax2+bx，
∵f(x+1)-f(x)=2ax+a+b=2x-1，
∴2a=2a+b=-1⇒a=1b=-2，
∴f(x)=x2-2x，
(2)由(1)知g(x)=(12)f(x)=(12)x2-2x，
令t=x2-2x，则y=(12)t；
∵t=x2-2x在(-∞,1]递减，在[1,+∞)递增；
y=(12)t在R上是减函数，
∴g(x)的单调递增区间是(-∞,1]，单调递减区间是[1,+∞)．
∴g(x)≤g(1)=2，由g(x)>0，
所以0【解析】(1)依题意设f(x)=ax2+bx，a≠0，代入已知等式，建立a，b方程关系，求解即可；
(2)令t=f(x)根据(1)求出f(x)单调区间，再由y=(12)t在R上单调递减，结合复合函数的单调性，得出g(x)的单调区间，即可求出g(x)的值域．
本题考查待定系数法求解析式、指数型函数的单调性和值域，掌握基本初等函数的性质是解题的关键，属于中档题．
31.【答案】解(1)由-π2+2kπ≤2x+π6≤π2+2kπ，k∈Z，解得-π3+kπ≤x≤π6+kπ，k∈Z，
所以函数f(x)的单调递增区间为[-π3+kπ,π6+kπ](k∈Z);
由π2+2kπ≤2x+π6≤3π2+2kπ，k∈Z，解得π6+kπ≤x≤2π3+kπ，k∈Z，
所以函数f(x)的单调递减区间为[π6+kπ,2π3+kπ](k∈Z)．
(2)因为0≤x≤π2，所以π6≤2x+π6≤7π6，
所以-12≤sin(2x+π6)≤1，
所以f(x)的最大值为2+a+1=4，所以a=1．

【解析】本题考查正弦型函数的单调区间的求解以及由正弦型函数的值域或最值求参，属于一般题.
32.【答案】解(1)f(x)=csx(12sinx+ 32csx)- 3cs2x+ 34
=12sinx⋅csx- 32cs2x+ 34
=14sin2x- 34(1+cs2x)+ 34
=14sin2x- 34cs2x
=12sin(2x-π3).
∴f(x)的最小正周期T=2π2=π．
(2)∵-π4≤x≤π4，∴-5π6≤2x-π3≤π6，
∴-1≤sin(2x-π3)≤12，
∴-12≤f(x)≤14，
∴函数f(x)在闭区间[-π4,π4]上的最大值为14，最小值为-12．

【解析】本题考查三角恒等变换的综合，考查正弦型函数的最小正周期的求解以及正弦型函数的最值的求解，属于一般题．
33.【答案】解(1)f(x)=4sin(ωx-π4)⋅csωx
=4( 22sinωx- 22csωx)csωx
=2 2sinωxcsωx-2 2cs2ωx
= 2sin2ωx- 2cs2ωx- 2
=2sin(2ωx-π4)- 2．
∵函数f(x)在x=π4处取得最值，
∴2ω×π4-π4=kπ+π2，k∈Z，
解得ω=2k+32，k∈Z.
又ω∈(0,2)，∴ω=32，
∴f(x)=2sin(3x-π4)- 2，
∴最小正周期T=2π3．
(2)将函数f(x)的图象向左平移π36个单位长度，
得到函数y= 2sin[3(x+π36)-π4]- 2=2sin(3x-π6)- 2的图象，
再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标不变，
得到函数y= 2sin(x-π6)- 2的图象，
即g(x)=2sin(x-π6)- 2．
∵α为锐角，g(α)=2sin(α-π6)- 2=43- 2，
∴sin(α-π6)=23，
∴cs(α-π6)= 1-sin2(α-π6)= 53，
∴csα=cs[(α-π6)+π6]
= 32cs(α-π6)-12sin(α-π6)
= 32× 53-12×23
= 15-26．

【解析】本题考查三角恒等变换的综合应用，考查正弦函数的最小正周期以及利用两角和与差的余弦公式求值，属于一般题．
34.【答案】解：(1)∵f(x)是奇函数，
∴f(-x)=-f(x)，即a×2-x-12-x+1=-a×2x-12x+1，
∴a-2x2x+1=-a×2x+12x+1，整理得(a-1)(2x+1)=0，
∴a-1=0，解得：a=1，故-a-2=-3，
∵函数的定义域为[-a-2,b]，关于原点对称，故b=3；
(2)函数f(x)在[-3,3]上单调递增.
证明如下：任取x1，x2∈[-3,3]，且x1则f(x1)-f(x2)=2x1-12x1+1-2x2-12x2+1
=2(2x1-2x2)(2x1+1)(2x2+1)，
∵-3≤x1∴2x1-2x2<0，
又2x2+1>0,2x1+1>0，
∴f(x1)-f(x2)<0，
∴f(x1)∴f(x)在[-3,3]上单调递增；
(3)当x∈[1,2]时，f(x)=2x-12x+1>0，
由2+mf(x)+2x>0可得-m<2x+22x+12x-1，
即当x∈[1,2]时，-m<2x+22x+12x-1min，
令t=2x-1,t∈1,3，
则-mt+6t+5≥2 t×6t+5=2 6+5，
当且仅当t= 6时等号成立，
所以m>-2 6-5
∴实数m的取值范围-2 6-5,+∞．
【解析】本题考查函数的奇偶性运用和单调性的判断，不等式恒成立，求函数的最值，考查运算能力，属于较难题．
(1)由函数为奇函数得出关系式求出a的值，再由函数的定义域为[-a-2,b]得出b的值；
(2)利用函数的单调性的定义法证明出函数的单调性；
(3)分离参数转化为基本不等式求最值即可求出m的取值范围．
35.【答案】解：(1)由题意，a>0且满足不等式22a+1>25a-2．
可得2a+1>5a-2
解得：a<1，
故得实数a的取值范围是(0,1)．
(2)由(1)可知0则3x-1>07-5x>03x-1>7-5x解得：1故不等式的解集为{x|1(3)由(1)可知0函数y=lga(2x-1)在区间[1,3]有最小值为-2，即lga(2×3-1)=-2
可得：a= 55．
【解析】本题主要考查指数，对数不等式的求解，根据对数函数的单调性是解决本题的关键．属于基础题．
(1)根据指数函数的单调性即可求解；
(2)根据对数的单调性即可求解
(3)根据对数的单调性在区间[1,3]有最小值为-2，可得y=lga5=-2，可得a的值．

广东省河源市正德中学2023-2024学年高一下学期期末复习数学试卷（幂、指、对函数，三角函数）

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