广西南宁市武鸣区锣圩高级中学2023-2024学年高一下学期6月月考数学试题

这是一份广西南宁市武鸣区锣圩高级中学2023-2024学年高一下学期6月月考数学试题，共13页。

A．B．C．4D．
2．若，，，则向量与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
3．已知一组数据：125，121，123，125，127，129，125，128，130，129，126，124，125，127，126.则这组数据的第25百分位数和第80百分位数分别是（ ）
A．125 128B．124 128C．125 129D．125 128.5
4．甲、乙两人进行射击比赛，分别对同一目标各射击10次，其成绩（环数）如下：下列说法正确的是（ ）
A．甲的平均数大于乙的平均数
B．甲的中位数等于乙的中位数
C．甲、乙的众数都是7
D．乙的成绩更稳定
5．已知m，n表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是
A．若则B．若，，则
C．若，，则D．若，，则
6．已知△ABC中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c，若A＝，b＝2acs B，c＝1，则△ABC的面积等于( )
A．B．C．D．
7．已知向量， ，若，则( )
A．-1或2B．-2或1C．1或2D．-1或-2
8．在边长为2的正方形中，动点P，Q在线段上，且，则的最小值为（ ）
A．2B．C．1D．
二、多项选择题 (本题共3小题，每题6分，共18分）
9．下列命题正确的是（ ）
A．三点确定一个平面 B．一条直线和直线外一点确定一个平面
C．圆心和圆上两点可确定一个平面 D．梯形可确定一个平面
10．志愿者是一个城市的一道靓丽的风景，他们以自己的行动和热情，为社会做出了积极的贡献，他们是社会进步的推动者，是人类文明的传承者，更是社会和谐的守护者.城市为举办2024年城市马拉松比赛招募了一批志愿者，现从中随机选出200人，并将他们按年龄（单位:岁）进行分组:第1组[15，25），第2组[25，35），第3组，第4组，第5组[55，65]，得到如图所示的频率分布直方图.则（ ）
A．a=0.035B．估计众数为:40
C．估计平均数为:38D．估计第80百分位数为:
11．在中，D，E，F分别是边BC，AC，AB中点，下列说法正确的是（ ）
A． B．若，则是在方向上的投影向量
C． D．若点P是线段AD上的动点，目，则的最大值为
三、填空题 (本题共3小题，每题5分，共15分）
12．圆锥被一平面所截得到一个圆台，若圆台的上底面半径为2cm，下底面半径为3cm，圆台母线长为4cm，则该圆锥的侧面积为 cm2.
13．2022年8月16日，航天员的出舱主通道——问天实验舱气闸舱首次亮相.某高中为了解学生对这一新闻的关注度，利用分层抽样的方法从高中三个年级中抽取了30人进行问卷调查，其中高一年级抽取了11人，高二年级抽取了9人，且高三年级共有学生900人，则该高中的学生总数为 人.
14．已知的内角，，的对边分别为，，，点在边上，且，，，，则的面积的最大值为 .
四、解答题 (本题共5小题，共77分）
15．已知向量．
(1)求； (2)当时，求的值 (3)当时，求的值
16．全民健身，强国有我，某企业为增强广大职工的身体素质和健康水平，组织全体职工开启了“学习强国”平台的强国运动项目，为了解他们的具体运动情况，企业工会从该企业全体职工中随机抽取了100名，统计他们的日均运动步数，并得到如下频率分布直方图：
(1)求直方图中a的值；
(2)估计该企业职工日均运动步数的平均数；（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）
(3)若该企业恰好有的职工的日均运动步数达到了企业制定的优秀强国运动者达标线，试估计该企业制定的优秀强国运动者达标线是多少？
17．如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧面底面，且，设，分别为，的中点.
(1)求证：//平面；
(2)求证：平面平面.
18．已知的内角、、所对的边分别为、、，.
(1)求角的大小;
(2)若，的面积为，求的周长.
19．如图，已知正方体中，分别是和的中点．
(1)求证：；
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
2026届高一（下）6月份数学月考参考答案：
1．A
【分析】根据共轭复数的概念，及复数代数形式的乘法运算化简即可；
【详解】解：因为，所以，所以；
故选：A
2．A
【分析】借助向量模长与数量积的关系以及夹角公式计算即可得.
【详解】由，，，则，
而，即得，所以，又，所以.
故选：A.
3．D
【分析】根据百分位数的计算方法即可求解.
【详解】把这15个数据按从小到大排序，可得121，123，124，125，125，125，125，126，126，127，127，128，129，129，130，由25%×15＝3.75，80%×15＝12，可知数据的第25百分位数为第4项数据为125，第80百分位数为第12项与第13项数据的平均数，即×(128＋129)＝128.5.
故选：D
4．D
【分析】求出甲乙的平均数、中位数和众数，即可判断选项ABC，求出方差判断选项D.
【详解】计算得甲、乙的平均数都是8，故A错误；
甲从小到大进行排序：6,7,7,7,7,8,9,9,10,10，乙从小到大进行排序,7,7,7,8,8,8,8,9,9,9，
所以甲的中位数是7.5，而乙的中位数是8，故B错误；乙的众数是8，故C错误；
甲的方差为，
乙的方差为，所以乙的方差小，所以乙的成绩更稳定，故D正确．
故选：D
5．B
【详解】试题分析：线面垂直，则有该直线和平面内所有的直线都垂直，故B正确.
考点：空间点线面位置关系．
6．B
【详解】试题分析：根据正弦定理由可得,
, 在中,
,为边长为1的正三角形, .故B正确.
考点：正弦定理.
【思路点睛】本题主要考查正弦定理,属容易题.三角形问题中强调边角统一,边角互化可以用正弦定理和余弦定理.本题中应根据正弦定理将已知条件转化为角的三角函数之间的关系式,即可轻松求得所求.
7．A
【分析】根据向量平行满足的坐标关系即可求解.
【详解】∵， ， ，
∴，∴或，
故选：A.
【点睛】向量的坐标运算常用的公式和结论有：
(1)向量平行：，,
(2)向量垂直：，
(3)向量加减乘：
8．C
【分析】方法一：设的中点为，则可得，化简后可求出其最小值；方法二：建立平面直角坐标系如图所示.设，则，化简后可求得其最小值.
【详解】方法一：设的中点为，
则
（当为中点时取等号）.
方法二：建立平面直角坐标系如图所示.设，
因为在边长为2的正方形中，动点P，Q在线段上，且，
所以，，
所以
，
所以当时，有最小值1.
故选：C.
9．BD
【分析】根据已知条件，利用平面的基本性质，以及推论，逐一判断即可：
【详解】平面上不共线的三点确定一个平面，故A错误；
一条直线和直线外一点确定一个平面，故B正确；
如果圆上两点和圆心共线，不能确定一个平面，故C错误；
梯形上下底是两平行直线，可以确定一个平面，故D正确；
故选：BD.
10．ABD
【分析】由，计算可判断A；易得众数的估计值判断B；利用平均数的估计值的计算公式计算可判断C；求得百分位数判断D.
【详解】对于A：，解得，故A正确；
对于B：频率分布直方图的第三组的频率最大，故数据的众数的估计值为，故B正确；
对于C：平均数的估计值为，故C错误；
第一组的频率为，第二组的频率为，第三组的频率为，第四组的频率为，
前三个组的频率和为，所以第百分位数在第四个组，
所以百分位数为，故D正确.
故选：ABD.
11．CD
【分析】对选项A，C，利用平面向量的加减法即可判断A错误，C正确；对选项B，首先根据已知得到为的平分线，即，再利用平面向量的投影概念即可判断B错误；对选项D，首先根据三点共线，设，，再根据已知得到，从而得到，即可判断选项D正确.
【详解】如图所示：
对选项A，，故A错误；
对选项B，，，分别表示平行于，，的单位向量，
由平面向量加法可知：为的角平分线表示的向量.
因为，所以为的平分线，
又因为为的中线，所以，如图所示：
所以是在的投影向量，故选项B错误；
对选项C，
，故B正确；
对选项D，如图所示：
因为在上，即三点共线，
设，.
又因为，所以.
因为，则，.
令，
当时，取得最大值为.故选项D正确.
故选：BD.
12．
【分析】由所截圆台的上下底面半径的比例及母线长，即可求得圆锥的母线长，以及圆锥底面周长，应用扇形面积公式即可求圆锥的侧面积.
【详解】
如上图，圆台的上底面半径为2cm，下底面半径为3cm，圆合母线长为4cm，
∴圆锥的侧面积等于扇形OAB面积：，
而且，得，即，又，
∴.
故答案为：
13．2700
【分析】根据题意求得每个学生抽到的概率，结合分层抽样列出方程，即可求解.
【详解】每个学生被抽到的概率为，设该校共有n名学生，可得，
解得（人）.
故答案为：2700.
14．
【分析】由余弦定理结合基本不等式求出的最大值，即可由面积公式求出.
【详解】解析：的面积，
如图，过作的平行线，交于点.
在中，，，，.
由余弦定理，得，
所以，
当且仅当时，的最大值为，
故的面积，最大为.
故答案为：.
15．(1)5； (2)； (3).
【分析】（1）求出的坐标，根据平面向量模的坐标运算求解；
（2）根据共线向量的坐标表示求解即可；
（3）求出的坐标，根据平面向量数量积的坐标运算求解.
【详解】（1）由，，得，∴.
（2）∵，，，∴，解得．
（3）∵，，且，
∴，解得．
16．(1) (2)9.08千步 (3)11千步
【分析】（1）由频率和为1列式求解，（2）（3）由频率分布直方图数据求解，
【详解】（1）由频率分布直方图得，解得．
（2）设平均数为，则．
所以该企业职工日均运动步数的平均数约为9.08千步．
（3）日均运动步数在的频率为，
日均运动步数在的频率为，
则位数在内，为，
该企业制定的优秀强国运动者达标线是11千步
17．(1)证明见解析 (2)证明见解析
【分析】（1）根据给定条件，结合线面平行的判定定理作答；
（2）根据给定条件，证明，由面面垂直、线面垂直的性质证得，再利用面面垂直、线面垂直的判定推理作答.
【详解】（1）连结，如图：

∵底面为正方形，为的中点，∴为中点，
又∵为的中点，∴为的中位线，
∴，又平面，平面，
∴//平面；
（2）∵为正方形，∴，
又平面平面，平面面，平面，
∴平面，平面，∴，
又，则，
∴是等腰直角三角形，且，
又平面，平面，且，
∴平面，又平面，∴平面平面.
18．(1) (2)8
【分析】（1）利用三角形内角和定理及诱导公式得到，再由正弦定理将边化角，最后利用二倍角公式计算可得；
（2）由面积公式求出，再由余弦定理求出，即可求出，从而得解；
【详解】（1）解：由已知，所以，
所以，由正弦定理得，
因为、，则，，，
所以，则，
所以，所以，则；
（2）解：由的面积为，得，
又，所以，
在中，由余弦定理得，
因为，所以，
所以 所以 ，
所以，即的周长为8.
19．(1)证明见解析 (2)
【分析】（1）取的中点，连接、．由题意可证得，因为为的中点，所以，即可证得.
（2）设到平面（即平面）的距离为，直线与平面所成角为，由线面垂直的判定定理可证得平面，所以，由等体积法求出，再由，代入即可得出答案.
【详解】（1）证明：如图，正方体中，
取的中点，连接、．∵是的中点，
∴，．∵是的中点，且，，
∴，，∴，，
∴四边形是平行四边形，
∴，∵正方体，又为的中点，
∴，∴．
（2）设到平面（即平面）的距离为，直线与平面所成角为，
设正方体棱长为2，则，
由（1）知：，由正方体的性质知平面，
因为平面，所以，平面，，
所以平面，因为，所以平面，
∴即，
∴，
∴．

甲的环数
7
7
10
6
10
8
7
9
7
9
乙的环数
7
8
8
9
8
7
7
9
8
9