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苏科版数学八年级下册第8章《认识概率》 单元综合检测
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第8章 认识概率 单元综合检测一、单选题1．下列事件：①从装满红球的袋子中取出红球；②367人中至少有2人的生日相同；③抛掷一枚均匀硬币，正面朝上，其中是确定事件的有（ ）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【答案】A【分析】根据确定事件的概念，逐项判断即可求解．【解析】解：①从装满红球的袋子中取出红球，是确定事件；②367人中至少有2人的生日相同，是确定事件；③抛掷一枚均匀硬币，正面朝上，是不确定事件；∴其中是确定事件的有①②．故选：A【点睛】本题考查的是对确定事件的概念的理解，熟练掌握确定事件指在一定条件下一定发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件是解题的关键．2．做“抛掷一枚质地均匀的硬币试验”，在大量重复试验中，对于事件“正面朝上”的频率和概率，下列说法正确的是( )A．概率等于频率 B．频率等于C．概率是随机的 D．频率会在某一个常数附近摆动【答案】D【分析】大量反复试验时，某事件发生的频率会稳定在某个常数的附近，这个常数就叫做事件概率的估计值，而不是一种必然的结果，据此一一判断选择即可.【解析】A.频率只能估计概率，故此选项错误；B.概率等于，故此选项错误；C.频率是随机的，随实验而变化，但概率是唯一确定的一个值，故此选项错误；D.当实验次数很大时，频率稳定在概率附近，故此选项正确.综上，答案选D.【点睛】本题考查的是频率与概率的关系，能够准确掌握二者的关系是解题的关键.3．不透明的袋子中装有标号为1，2，2，3，3，3的完全相同的六个小球，从中任意摸出一个球，则（ ）A．摸到标号为1的球的可能性最大B．摸到标号为2的球的可能性最大C．摸到标号为3的球的可能性最大D．摸到标号为1，2，3的球的可能性一样大【答案】C【分析】根据题意得到相应的可能性，然后再比较即可．【解析】解：摸到标号为1的球的可能性为，摸到标号为2的球的可能性为，摸到标号为3的球的可能性为，∵，∴摸到标号为3的球的可能性最大．故选：C．【点睛】本题考查的是对可能性大小的判断，解决这类题目要注意具体情况具体对待，用到的知识点为：可能性等于所求情况数与总情况数之比．4．“14人中至少有2人在同一个月过生日”这一事件发生的概率为P，则（ ）A．P＝0 B．0＜P＜1 C．P＝1 D．P＞1【答案】C【分析】根据不可能事件的概率为，随机事件的概率大于而小于，必然事件的概率为1，即可判断．【解析】解：∵一年有12个月，14个人中有12个人在不同的月份过生日，剩下的两人不论哪个月生日，都和前12人中的一个人同一个月过生日∴“14人中至少有2人在同一个月过生日”是必然事件，即这一事件发生的概率为．故选：．【点睛】本题考查了概率的初步认识，确定此事件为必然事件是解题的关键．5．在一个不透明的盒子里有形状、大小相同的黄球2个、红球3个，从盒子里任意摸出1个球，摸到黄球的概率是（ ）A． B． C． D．【答案】B【分析】直接利用概率公式求解．【解析】解：从盒子里任意摸出1个球，摸到黄球的概率==，故选：B．【点睛】本题考查了概率公式：某事件的概率=某事件所占的情况数与总情况数之比．6． 在做抛硬币试验时，甲、乙两个小组画出折线统计图后发现频率的稳定值分别是50.00%和50.02%，则下列说法错误是（ ）A．乙同学的试验结果是错误的 B．这两种试验结果都是正确的C．增加试验次数可以减小稳定值的差异 D．同一个试验的稳定值不是唯一的【答案】A【分析】大量重复试验中频率估计概率，但不一定完全等于概率．【解析】解：A、两试验结果虽然不完全相等，但都是正确的，故错误；B、两种试验结果都正确，正确；C、增加试验次数可以减小稳定值的差异，正确；D、同一个试验的稳定值不是唯一的，正确，故选：A．【点睛】本题主要考查概率的计算和频率估计概率思想，注意这种概率的得出是在大量实验的基础上得出的，不能单纯的依靠几次决定．7．在一个不透明的口袋中装有4个红球和若干个白球，他们除颜色外其他完全相同．通过多次摸球实验后发现，摸到红球的频率稳定在25%附近，则口袋中白球可能有( )A．6个 B．15个 C．13个 D．12个【答案】D【解析】解：设白球个数为：x个，∵摸到红色球的频率稳定在25%左右，∴口袋中得到红色球的概率为25%．∴，解得：x=12．经检验：x=12是原方程的解∴白球的个数为12个．故选D．8．小明和同学做“抛掷质地均匀的硬币试验”，获得的数据如下表：若抛掷硬币的次数为3 000，则“正面朝上”的频数最接近（ ）A．1 000 B．1 500 C．2 000 D．2 500【答案】B【分析】根据表格估计出频率，再乘以3000即可得出答案．【解析】观察表格发现：随着实验次数的增加，正面朝上的频率逐渐稳定到0.5附近，∴抛掷硬币的次数为3000，则“正面朝上”的频数最接近3000×0.5=1500（次），故选：B．【点睛】本题考查了利用频率估计概率，掌握知识点是解题关键．9．关于频率与概率有下列几种说法：①“明天下雨的概率是90%”表示明天下雨的可能性很大；②“抛一枚硬币正面朝上的概率为”表示每抛两次就有一次正面朝上；③“某彩票中奖的概率是1%”表示买10张该种彩票不可能中奖；④“抛一枚硬币正面朝上的概率为”表示随着抛掷次数的增加，“抛出正面朝上”这一事件发生的频率稳定在附近，正确的说法是（ ）A．②④ B．②③ C．①④ D．①③【答案】C【分析】分别利用概率的意义分析得出答案．【解析】①“明天下雨的概率是90%”表示明天下雨的可能性很大；正确；②“抛一枚硬币正面朝上的概率为”表示每抛两次就有一次正面朝上；错误；③“某彩票中奖的概率是1%”表示买10张该种彩票不可能中奖；错误；④“抛一枚硬币正面朝上的概率为”表示随着抛掷次数的增加，“抛出正面朝上”这一事件发生的频率稳定在附近，正确．故选C．【点睛】此题主要考查了概率的意义，正确理解概率的意义是解题关键．10．罚球是篮球比赛中得分的一个组成部分，罚球命中率的高低对篮球比赛的结果影响很大．如图是对某球员罚球训练时命中情况的统计：下面三个推断：①当罚球次数是500时，该球员命中次数是411，所以“罚球命中”的概率是0.822；②随着罚球次数的增加，“罚球命中”的频率总在0.812附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计该球员“罚球命中”的概率是0.812；③由于该球员“罚球命中”的频率的平均值是0.809，所以“罚球命中”的概率是0.809．其中合理的是（ ）A．① B．② C．①③ D．②③【答案】B【分析】根据图形和各个小题的说法可以判断是否正确，从而解答本题【解析】当罚球次数是500时，该球员命中次数是411，所以此时“罚球命中”的频率是：411÷500＝0.822，但“罚球命中”的概率不一定是0.822，故①错误；随着罚球次数的增加，“罚球命中”的频率总在0.812附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计该球员“罚球命中”的概率是0.812．故②正确；虽然该球员“罚球命中”的频率的平均值是0.809，但是“罚球命中”的概率不是0.809，故③错误．故选B．【点睛】此题考查了频数和频率的意义,解题的关键在于利用频率估计概率.二、填空题11．“a是实数，”这一事件是______事件（选填以下内容：不可能事件、必然事件、随机事件）．【答案】必然事件【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念可判断它们分别属于哪一种类别．根据实际情况即可解答．【解析】解：因为数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，因为a是实数，所以|a|≥0．故答案为：必然事件．【点睛】此题主要考查了必然事件概念以及绝对值的性质，用到的知识点为：必然事件指在一定条件下一定发生的事件．12．已知数据：，，π，，0，其中无理数出现的频率为_____．【答案】．【分析】把每个数据进行化简，对最简结果进行有理数，无理数的甄别，后根据频率意义计算即可．【解析】∵=2，∴，，0是有理数，，π是无理数，∴无理数出现的频率为．故答案为：．【点睛】本题考查了频率的意义，熟练掌握频率的数学意义是解题的关键．13．转动如图所示的这些可以自由转动的转盘（转盘均被等分），当转盘停止转动后，根据“指针落在白色区域内”的可能性的大小，将转盘的序号按事件发生的可能性从小到大排列为______．【答案】①③②【分析】指针落在白色区域内的可能性是：白色÷总面积，比较白色部分的面积即可．【解析】解：指针落在白色区域内的可能性分别为：，， ∴从小到大的顺序为：①③②．【点睛】此题主要考查了可能性大小的比较：只要总情况数目（面积）相同，谁包含的情况数目（面积）多，谁的可能性就大；反之也成立；若包含的情况（面积）相当，那么它们的可能性就相等．14．某同学做抛硬币实验，共抛10次，结果为3正7反，若再进行大量的同一实验，则出现正面朝上的频率将会接近于___.【答案】0.5【解析】分析：大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，而题中10次的试验次数太少，为迷惑性数据．解答：抛硬币正面朝上的概率为，故进行大量的同一实验，则出现正面朝上的频率将会接近于0.5．故答案为0.5.点睛：本题考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．概率=所求情况数与总情况数之比．15．在一个暗箱里放有m个除颜色外其他完全相同的小球，这m个小球中红球只有4个，每次将球搅匀后，任意摸出一个球记下颜色再放回暗箱．通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在25%，那么可以推算m大约是_____．【答案】16【分析】由于摸到红球的频率稳定在25%，由此可以确定摸到红球的概率为25%，而m个小球中红球只有4个，由此即可求出m．【解析】∵摸到红球的频率稳定在25%，∴摸到红球的概率为25%，而m个小球中红球只有4个，∴推算m大约是4÷25%=16．故答案为：16．【点睛】本题考查了利用频率估计概率，其中解题时首先通过实验得到事件的频率，然后利用频率估计概率即可解决问题．16．如图是一枚图钉被抛起后钉尖触地频率随抛掷次数变化趋势图，则一枚图钉被抛起后钉尖触地的概率估计值是________．【答案】46.0％【解析】随着抛掷次数的增加，钉尖触地频率逐渐稳定在46.0％，所以一枚图钉被抛起后钉尖触地的概率估计值是46.0％.故答案为46.0％.17．从3名男生和2名女生中随机抽取“支援江苏、抗击疫情”志愿者，若抽取1名，则恰好抽到1名男生的概率是________．【答案】【分析】先求出总人数，再根据概率公式求解即可．【解析】解：∵总人数为：（人），其中男生有3名，∴抽取1名，则恰好是1名男生的概率是：．故答案为：．【点睛】本题考查的是概率公式，熟知随机事件的概率事件可能出现的结果数与所有可能出现的结果数的商是解答此题的关键．18．“抛掷图钉实验”的结果如下:由表可知，“针尖不着地的”的概率的估计值是______.【答案】0.61【分析】观察表格，先确定频率的稳定值，再估算概率即可．【解析】观察表格可知随着抛掷次数的增多，针尖着地的频率稳定到常数0.61，估计此次实验钉尖着地的概率为0.61，故答案为0.61.【点睛】本题考查了利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率=所求情况数与总情况数之比．三、解答题19．在一个不透明的口袋里，装有6个除颜色外其余都相同的小球，其中2个红球，2个白球，2个黑球．它们已在口袋中被搅匀，现在有一个事件：从口袋中任意摸出n个球，红球、白球、黑球至少各有一个．（1）当n为何值时，这个事件必然发生？（2）当n为何值时，这个事件不可能发生？（3）当n为何值时，这个事件可能发生？【答案】（1）n=5或6；（2）n=1或2；（3）n=3或4【分析】（1）利用必然事件的定义确定n的值；（2）利用不可能事件的定义确定n的值；（3）利用随机事件的定义确定n的值．【解析】（1）当n=5或6时，这个事件必然发生；（2）当n=1或2时，这个事件不可能发生；（3）当n=3或4时，这个事件为随机事件．【点睛】本题考查了随机事件在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件．也考查了必然事件和不可能事件．20．桌上倒扣着背面图案相同的5张扑克牌，其中3张黑桃、2张红桃．从中随机抽取1张．（1）能够事先确定抽取的扑克牌的花色吗？（2）你认为抽到哪种花色的可能性大？（3）能否通过改变某种花色的扑克牌的数量，使“抽到黑桃”和“抽到红桃”的可能性大小相同？【答案】（1）不能；（2）抽到黑桃的可能性大；（3）增加一张红桃或减少一张黑桃，使黑桃与红桃张数相同，可使可能性大小相同．【分析】根据确定事件和随机事件的定义来区分判断即可，必然事件和不可能事件统称确定性事件；必然事件：在一定条件下，一定会发生的事件称为必然事件；不可能事件：在一定条件下，一定不会发生的事件称为不可能事件；随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件称为随机事件．【解析】(1)不能． (2)抽到黑桃的可能性大． (3)增加一张红桃或减少一张黑桃，使黑桃与红桃张数相同，可使可能性大小相同．【点睛】本题考查了随机事件相关概念，判断事件发生的可能性大小是解题的关键．21．5只不透明的袋子中各装有10个球，每个球除颜色外都相同．（1）将球搅匀，分别从每只袋子中摸一个球，摸到白球的概率一样大吗？为什么？（2）将袋子的序号按摸到白球的概率从小到大的顺序排列． （1） （2） （3） （4） （5）【答案】（1）不一样大，理由见详解；（2）排列顺序为：（5），（2），（1），（3），（4）【分析】（1）每个袋子中白球与黑球个数的不同，摸到白球的概率也不一样；（2）根据概率公式可分别计算摸到白球的概率；【解析】解：（1）摸到白球的概率不一样大．理由：因为每个袋子中白球与黑球个数所占比例都不同，因此摸到白球的概率不一样大；（2）根据概率公式可得出每个袋子中摸出白球的概率分别为：∴将袋子的序号按摸到白球的概率从小到大的顺序排列为：（5），（2），（1），（3），（4）．【点睛】本题考查的知识点是概率，熟记概率公式是解此题的关键．比较基础．22．一只不透明的袋子中，装有2个白球、3个黄球和4个红球，这些球除颜色外都相同，将球摇匀，从中任意摸出1个球.（1）能事先确定摸到的这个球的颜色吗?（2）你认为摸到哪种颜色的球的概率最大?（3）怎样改变袋子中白球、黄球、红球的个数，使摸到这这三种颜色的球的概率相等?【答案】（1）不能事先确定摸到的这个球是哪一种颜色；（2）摸到红球的概率最大；（3）只要使袋子中白球、黄球、红球的个数相等即可；【分析】（1）根据颜色不同质地相同可以确定不能事先确定摸到球的颜色；（2）那种球的数量最多，摸到那种球的概率就大；（3）使得球的数量相同即可得到概率相同．【解析】解：（1）不能事先确定摸到的球是哪一种颜色；（2）摸到红球的概率最大；（3）只要使袋子中的白球、黄球、红球的个数相等即可．【点睛】本题考查了概率公式，随机事件，属于概率基础题，随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数：所有可能出现的结果数．23．小颖和小红两位同学在做投掷骰子（质地均匀的正方体）实验，他们共做了次实验，实验的结果如下：（1）计算“点朝上”的频率和“点朝上”的频率．（2）小颖说：“根据实验得出，出现点朝上的机会最大”；小红说：“如果投掷次，那么出现 点朝上的次数正好是次．”小颖和小红的说法正确吗？为什么？【答案】（1）；；（2）两人的说法都是错误的，见解析.【分析】（1）根据概率的公式计算“3点朝上”的频率和“5点朝上”的频率；（2）根据随机事件的性质回答．【解析】（1）“点朝上”出现的频率是，“点朝上”出现的频率是；（2）两人的说法都是错误的，因为一个随机事件发生的概率是由这个随机事件自身决定的，并客观存在．随机事件发生的可能性大小由随机事件自身的属性即概率决定．因此去判断事件发生的可能性大小不能由此次实验中的频率决定．【点睛】用到的知识点为：频率=所求情况数与总情况数之比．频率能反映出概率的大小，但是要经过n次试验，而不是有数的几次，几次试验属于随机事件，不能反映事物的概率．24．某校研究学生的课余爱好情况，采取抽样调查的方法，从阅读、运动、娱乐、上网等四个方面调查了若干名学生的兴趣爱好，并将调查结果绘制成下面两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息解答下列问题：（1）在这次调查中，一共调查了 名学生；（2）补全条形统计图；（3）若该校共有1500名学生，估计爱好运动的学生有 人；（4）在全校同学中随机选取一名学生参加演讲比赛，用频率估计概率，则选出的恰好是爱好阅读的学生的概率是 ．【答案】（1）100（2）见解析（3）600（4）【分析】（1）用娱乐人数除以对应的百分比即可；（2）用总数除以相应百分比，求出各组频数，再画图；（3）估计爱好运用的学生人数为：1500×40%；（4）爱好阅读的学生人数所占的百分比30%，用频率估计概率，则选出的恰好是爱好阅读的学生的概率为.【解析】解：（1）爱好运动的人数为40，所占百分比为40%∴共调查人数为：40÷40%=100（2）爱好上网的人数所占百分比为10%∴爱好上网人数为：100×10%=10，∴爱好阅读人数为：100﹣40﹣20﹣10=30，补全条形统计图，如图所示，（3）爱好运动所占的百分比为40%，∴估计爱好运用的学生人数为：1500×40%=600（4）爱好阅读的学生人数所占的百分比30%，∴用频率估计概率，则选出的恰好是爱好阅读的学生的概率为故答案为（1）100；（3）600；（4）【点睛】本题考核知识点：统计初步，用频率估计概率. 解题关键点：从统计图表获取信息，用频率估计概率.25．“摩拜单车”公司调查无锡市民对其产品的了解情况，随机抽取部分市民进行问卷，结果分“非常了解”、“比较了解”、“一般了解”、“不了解”四种类型，分别记为A、B、C、D．根据调查结果绘制了如下尚不完整的统计图．（1）本次问卷共随机调查了 名市民，扇形统计图中m＝ ．（2）请根据数据信息补全条形统计图．（3）扇形统计图中“D类型”所对应的圆心角的度数是 ．（4）从这次接受调查的市民中随机抽查一个，恰好是“不了解”的概率是 ．【答案】（1）50，m=32;(2)见解析；（3）43.2o；（4）【解析】整体分析：（1）由类型A对应的人数和所占的百分比求调查的人数，计算出类型D所占的百分比；（2）计算出类型B的人数；（3）类型D占调查人数的比乘以360°；（4）由概率的定义计算类型D的人数除以调查的人数.解：（1）本次问卷共随机调查了8÷16%=50名市民；因为×100%=32%，所以m=32.（2）因为50-8-16-6=20，所以补全的图形为：（3）扇形统计图中“D类型”所对应的圆心角的度数是.（4）从这次接受调查的市民中随机抽查一个，恰好是“不了解”的概率是=.26．在一个不透明的布袋中装有黄、白两种颜色的球共40只，这些球除颜色外其余均相同．小红按如下规则做摸球实验：将这些球搅匀后从中随机摸出一只球，记下颜色后再把球放回布袋中，不断重复上述过程. 下表是实验得到的一组统计数据：（1）对实验得到的数据，选用“扇形统计图”、“条形统计图”或“折线统计图”中的 （填写一种），能使我们更好地观察摸到黄球频率的变化情况；（2）请估计：①当摸球次数很大时，摸到黄球的频率将会接近 ；（精确到0.1）②若从布袋中随机摸出一只球，则摸到白球的概率为 ；（精确到0.1）（3）试估算布袋中黄球的只数.【答案】（1）折线统计图；（2）0.6，0.4；（3）24只．【解析】试题分析：（1）要观察摸到黄球频率的变化情况，根据各统计的特点可知应该选用折线统计图；（2）①计算出其平均值即可；②1-①得到的频率即可得；（3）黄球个数=球的总数×得到的黄球的概率．试题解析：（1）根据统计图的特点，要想观察摸到黄球频率的变化情况，应该选用折线统计图，故答案为折线统计图；（2）①∵摸到黄球的频率为（0.72+0.67+0.61+0.59+0.61+0.59+0.63+0.60）÷8≈0.6，∴当n很大时，摸到白球的频率将会接近0.6，故答案为0.6； ②∵袋子中只有黄球与白球，∴摸到白球的频率约为1-0.6=0.4，故答案为0.4；（3）布袋中黄球约有：40×0.6=24只.27．计数问题是我们经常遇到的一类问题，学会解决计数问题的方法，可以使我们方便快捷，准确无误的得到所要求的结果，下面让我们借助两个问题，了解计数问题中的两个基本原理---加法原理、乘法原理.问题1.从青岛到大连可以乘坐飞机、火车、汽车、轮船直接到达.如果某一天中从青岛直接到达大连的飞机有3班，火车有4班，汽车有8班，轮船有5班，那么这一天中乘坐某种交通工具从青岛直接到达大连共有 种不同的走法：问题2.从甲地到乙地有3条路，从乙地到丙地有4条路，那么从甲地经过乙地到丙地，共有 种不同的走法：方法探究加法原理：一般的，完成一件事有两类不同的方案,在第一类方案中有m种不同的方法,在第二类方案中有n种不同的方法．那么完成这件事共有N=m+n种不同的方法,这是分类加法计数原理;完成一件事需要两个步骤,做第一步有m种不同的方法,做第二步有n种不同的方法.那么完成这件事共有N=m×n种不同的方法,这就是分步乘法计数原理.实践应用1问题3.如图1，图中线段代表横向、纵向的街道，小明爸爸打算从A点出发开车到B点办事(规定必须向北走,或向东走，不走回头路)，问他共有多少种不同的走法？其中从A点出发到某些交叉点的走法数已在图2填出.(1)根据以上原理和图2的提示，算出从A出发到达其余交叉点的走法数，如果将走法数填入图2的空圆中，便可以借助所填数字回答：从A点出发到B点的走法共有 种：(2)根据上面的原理和图3的提示，请算出从A点出发到达B点，并禁止通过交叉点C的走法有 种.(3)现由于交叉点C道路施工,禁止通行．小明爸爸如果任选一种走法,从A点出发能顺利开车到达B点(无返回)概率是 实践应用2问题4.小明打算用 5种颜色给如下图的5个区域染色，每个区域染一种颜色，相邻的区域染不同的颜色，问共有 种不同的染色方法.【答案】问题1：20；问题2：12；问题3：（1）35；（2）17；（3）；问题4：240种.【分析】问题1. 根据一天中乘飞机有3种走法，乘火车有4种走法，乘汽车有8种走法，轮船有5种走法，再由加法原理求解即可，问题2. 根据乘火车有3种走法，乘汽车有2种走法，再由乘法原理求解即可，问题3.（1）根据完成一件事有两类不同的方案，在第一类方案中有m种不同的方法，在第二类方案中有n种不同的方法．那么完成这件事共有N=m+n种不同的方法，则到达A点以外的任意交叉点的走法数只能是与其相邻的南边交叉点和西边交叉点的数字之和．从而计算出从A点到达其余各交叉点的走法数；（2）此题有两种计算方法：方法一是先求从A点到B点，并经过交叉点C的走法数，再用从A点到B点总走法数减去它；方法二是删除与C点紧相连的线段，运用分类加法计数原理，算出从A点到B点并禁止通过交叉点C的走法；（3）结合（1）和（2）的结论，即可求得概率．问题4. 因为A与其它4个区域都相邻，所以先填A区域，有5种选择；那么B区域，有4种选择；由于C区域与A和B都相邻，所以有3种选择；同理，E区域与A、B、C都相邻，所以有2种选择；而D区域只与A、C、E相邻，不与B相邻，因此可以和B区域同色，所以D区域有2种选择；根据乘法原理可得共有：5×4×3×2×2=240（种）染色方法．【解析】问题1. 一天中乘飞机有3种走法，乘火车有4种走法，乘汽车有8种走法，轮船有5种走法，每一种走法都可以从青岛直接到达大连，按加法原理，所以共有3+4+8+5=20种不同的走法．问题2. 因为乘火车有3种走法，乘汽车有2种走法，所以乘一次火车再接乘一次汽车从甲地到乙地，按乘法原理，共有 3×2=6种不同的走法．问题3.（1）∵完成从A点到B点必须向北走，或向东走，∴到达A点以外的任意交叉点的走法数只能是与其相邻的南边交叉点和西边交叉点的数字之和，故使用分类加法计数原理，由此算出从A点到达其余各交叉点的走法数，填表如图1．答：从A点到B点的走法共有35种．（2）方法一：可先求从A点到B点，并经过交叉点C的走法数，再用从A点到B点总走法数减去它，即得从A点到B点，但不经过交叉点C的走法数．完成从A点出发经C点到B点这件事可分两步，先从A点到C点，再从C点到B点，使用分类加法计数原理，算出从A点到C点的走法是3种，见图2；算出从C点到B点的走法为6种，见图3，再运用分步乘法计数原理，得到从A点经C点到B点的走法有3×6=18种．∴从A点到B点但不经过C点的走法数为35-18=17种．方法二：由于交叉点C道路施工，禁止通行，故视为相邻道路不通，可删除与C点紧相连的线段，运用分类加法计数原理，算出从A点到B点并禁止通过交叉点C的走法有17种．从A点到各交叉点的走法数见图4，∴从A点到B点并禁止经过C点的走法数为35-18=17种．（3）P（顺利开车到达B点）=．答：任选一种走法，顺利开车到达B点的概率是．问题4. 解：乘法原理可得：5×4×3×2×2=240（种）．答：共有240种染色方法．【点睛】此题考查了加法原理与乘法原理．此题难度较大，理解题意，能利用题意中的方法进行计算是解此题的关键，注意利用画图的方法求解比较简单． 抛掷次数1005001 0001 5002 000正面朝上的频数452535127561 020抛掷次数1002003004006008001000针尖不着地的频数64118189252360488610针尖不着地的频数0.640.590.630.630.600.610.61朝上的点数出现的次数摸球的次数501002003005001 00020003 000摸到黄球的频数366712817630659312561803摸到黄球的频率0.720.670.640.590.610.590.630.60
第8章 认识概率 单元综合检测一、单选题1．下列事件：①从装满红球的袋子中取出红球；②367人中至少有2人的生日相同；③抛掷一枚均匀硬币，正面朝上，其中是确定事件的有（ ）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【答案】A【分析】根据确定事件的概念，逐项判断即可求解．【解析】解：①从装满红球的袋子中取出红球，是确定事件；②367人中至少有2人的生日相同，是确定事件；③抛掷一枚均匀硬币，正面朝上，是不确定事件；∴其中是确定事件的有①②．故选：A【点睛】本题考查的是对确定事件的概念的理解，熟练掌握确定事件指在一定条件下一定发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件是解题的关键．2．做“抛掷一枚质地均匀的硬币试验”，在大量重复试验中，对于事件“正面朝上”的频率和概率，下列说法正确的是( )A．概率等于频率 B．频率等于C．概率是随机的 D．频率会在某一个常数附近摆动【答案】D【分析】大量反复试验时，某事件发生的频率会稳定在某个常数的附近，这个常数就叫做事件概率的估计值，而不是一种必然的结果，据此一一判断选择即可.【解析】A.频率只能估计概率，故此选项错误；B.概率等于，故此选项错误；C.频率是随机的，随实验而变化，但概率是唯一确定的一个值，故此选项错误；D.当实验次数很大时，频率稳定在概率附近，故此选项正确.综上，答案选D.【点睛】本题考查的是频率与概率的关系，能够准确掌握二者的关系是解题的关键.3．不透明的袋子中装有标号为1，2，2，3，3，3的完全相同的六个小球，从中任意摸出一个球，则（ ）A．摸到标号为1的球的可能性最大B．摸到标号为2的球的可能性最大C．摸到标号为3的球的可能性最大D．摸到标号为1，2，3的球的可能性一样大【答案】C【分析】根据题意得到相应的可能性，然后再比较即可．【解析】解：摸到标号为1的球的可能性为，摸到标号为2的球的可能性为，摸到标号为3的球的可能性为，∵，∴摸到标号为3的球的可能性最大．故选：C．【点睛】本题考查的是对可能性大小的判断，解决这类题目要注意具体情况具体对待，用到的知识点为：可能性等于所求情况数与总情况数之比．4．“14人中至少有2人在同一个月过生日”这一事件发生的概率为P，则（ ）A．P＝0 B．0＜P＜1 C．P＝1 D．P＞1【答案】C【分析】根据不可能事件的概率为，随机事件的概率大于而小于，必然事件的概率为1，即可判断．【解析】解：∵一年有12个月，14个人中有12个人在不同的月份过生日，剩下的两人不论哪个月生日，都和前12人中的一个人同一个月过生日∴“14人中至少有2人在同一个月过生日”是必然事件，即这一事件发生的概率为．故选：．【点睛】本题考查了概率的初步认识，确定此事件为必然事件是解题的关键．5．在一个不透明的盒子里有形状、大小相同的黄球2个、红球3个，从盒子里任意摸出1个球，摸到黄球的概率是（ ）A． B． C． D．【答案】B【分析】直接利用概率公式求解．【解析】解：从盒子里任意摸出1个球，摸到黄球的概率==，故选：B．【点睛】本题考查了概率公式：某事件的概率=某事件所占的情况数与总情况数之比．6． 在做抛硬币试验时，甲、乙两个小组画出折线统计图后发现频率的稳定值分别是50.00%和50.02%，则下列说法错误是（ ）A．乙同学的试验结果是错误的 B．这两种试验结果都是正确的C．增加试验次数可以减小稳定值的差异 D．同一个试验的稳定值不是唯一的【答案】A【分析】大量重复试验中频率估计概率，但不一定完全等于概率．【解析】解：A、两试验结果虽然不完全相等，但都是正确的，故错误；B、两种试验结果都正确，正确；C、增加试验次数可以减小稳定值的差异，正确；D、同一个试验的稳定值不是唯一的，正确，故选：A．【点睛】本题主要考查概率的计算和频率估计概率思想，注意这种概率的得出是在大量实验的基础上得出的，不能单纯的依靠几次决定．7．在一个不透明的口袋中装有4个红球和若干个白球，他们除颜色外其他完全相同．通过多次摸球实验后发现，摸到红球的频率稳定在25%附近，则口袋中白球可能有( )A．6个 B．15个 C．13个 D．12个【答案】D【解析】解：设白球个数为：x个，∵摸到红色球的频率稳定在25%左右，∴口袋中得到红色球的概率为25%．∴，解得：x=12．经检验：x=12是原方程的解∴白球的个数为12个．故选D．8．小明和同学做“抛掷质地均匀的硬币试验”，获得的数据如下表：若抛掷硬币的次数为3 000，则“正面朝上”的频数最接近（ ）A．1 000 B．1 500 C．2 000 D．2 500【答案】B【分析】根据表格估计出频率，再乘以3000即可得出答案．【解析】观察表格发现：随着实验次数的增加，正面朝上的频率逐渐稳定到0.5附近，∴抛掷硬币的次数为3000，则“正面朝上”的频数最接近3000×0.5=1500（次），故选：B．【点睛】本题考查了利用频率估计概率，掌握知识点是解题关键．9．关于频率与概率有下列几种说法：①“明天下雨的概率是90%”表示明天下雨的可能性很大；②“抛一枚硬币正面朝上的概率为”表示每抛两次就有一次正面朝上；③“某彩票中奖的概率是1%”表示买10张该种彩票不可能中奖；④“抛一枚硬币正面朝上的概率为”表示随着抛掷次数的增加，“抛出正面朝上”这一事件发生的频率稳定在附近，正确的说法是（ ）A．②④ B．②③ C．①④ D．①③【答案】C【分析】分别利用概率的意义分析得出答案．【解析】①“明天下雨的概率是90%”表示明天下雨的可能性很大；正确；②“抛一枚硬币正面朝上的概率为”表示每抛两次就有一次正面朝上；错误；③“某彩票中奖的概率是1%”表示买10张该种彩票不可能中奖；错误；④“抛一枚硬币正面朝上的概率为”表示随着抛掷次数的增加，“抛出正面朝上”这一事件发生的频率稳定在附近，正确．故选C．【点睛】此题主要考查了概率的意义，正确理解概率的意义是解题关键．10．罚球是篮球比赛中得分的一个组成部分，罚球命中率的高低对篮球比赛的结果影响很大．如图是对某球员罚球训练时命中情况的统计：下面三个推断：①当罚球次数是500时，该球员命中次数是411，所以“罚球命中”的概率是0.822；②随着罚球次数的增加，“罚球命中”的频率总在0.812附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计该球员“罚球命中”的概率是0.812；③由于该球员“罚球命中”的频率的平均值是0.809，所以“罚球命中”的概率是0.809．其中合理的是（ ）A．① B．② C．①③ D．②③【答案】B【分析】根据图形和各个小题的说法可以判断是否正确，从而解答本题【解析】当罚球次数是500时，该球员命中次数是411，所以此时“罚球命中”的频率是：411÷500＝0.822，但“罚球命中”的概率不一定是0.822，故①错误；随着罚球次数的增加，“罚球命中”的频率总在0.812附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计该球员“罚球命中”的概率是0.812．故②正确；虽然该球员“罚球命中”的频率的平均值是0.809，但是“罚球命中”的概率不是0.809，故③错误．故选B．【点睛】此题考查了频数和频率的意义,解题的关键在于利用频率估计概率.二、填空题11．“a是实数，”这一事件是______事件（选填以下内容：不可能事件、必然事件、随机事件）．【答案】必然事件【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念可判断它们分别属于哪一种类别．根据实际情况即可解答．【解析】解：因为数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，因为a是实数，所以|a|≥0．故答案为：必然事件．【点睛】此题主要考查了必然事件概念以及绝对值的性质，用到的知识点为：必然事件指在一定条件下一定发生的事件．12．已知数据：，，π，，0，其中无理数出现的频率为_____．【答案】．【分析】把每个数据进行化简，对最简结果进行有理数，无理数的甄别，后根据频率意义计算即可．【解析】∵=2，∴，，0是有理数，，π是无理数，∴无理数出现的频率为．故答案为：．【点睛】本题考查了频率的意义，熟练掌握频率的数学意义是解题的关键．13．转动如图所示的这些可以自由转动的转盘（转盘均被等分），当转盘停止转动后，根据“指针落在白色区域内”的可能性的大小，将转盘的序号按事件发生的可能性从小到大排列为______．【答案】①③②【分析】指针落在白色区域内的可能性是：白色÷总面积，比较白色部分的面积即可．【解析】解：指针落在白色区域内的可能性分别为：，， ∴从小到大的顺序为：①③②．【点睛】此题主要考查了可能性大小的比较：只要总情况数目（面积）相同，谁包含的情况数目（面积）多，谁的可能性就大；反之也成立；若包含的情况（面积）相当，那么它们的可能性就相等．14．某同学做抛硬币实验，共抛10次，结果为3正7反，若再进行大量的同一实验，则出现正面朝上的频率将会接近于___.【答案】0.5【解析】分析：大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，而题中10次的试验次数太少，为迷惑性数据．解答：抛硬币正面朝上的概率为，故进行大量的同一实验，则出现正面朝上的频率将会接近于0.5．故答案为0.5.点睛：本题考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．概率=所求情况数与总情况数之比．15．在一个暗箱里放有m个除颜色外其他完全相同的小球，这m个小球中红球只有4个，每次将球搅匀后，任意摸出一个球记下颜色再放回暗箱．通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在25%，那么可以推算m大约是_____．【答案】16【分析】由于摸到红球的频率稳定在25%，由此可以确定摸到红球的概率为25%，而m个小球中红球只有4个，由此即可求出m．【解析】∵摸到红球的频率稳定在25%，∴摸到红球的概率为25%，而m个小球中红球只有4个，∴推算m大约是4÷25%=16．故答案为：16．【点睛】本题考查了利用频率估计概率，其中解题时首先通过实验得到事件的频率，然后利用频率估计概率即可解决问题．16．如图是一枚图钉被抛起后钉尖触地频率随抛掷次数变化趋势图，则一枚图钉被抛起后钉尖触地的概率估计值是________．【答案】46.0％【解析】随着抛掷次数的增加，钉尖触地频率逐渐稳定在46.0％，所以一枚图钉被抛起后钉尖触地的概率估计值是46.0％.故答案为46.0％.17．从3名男生和2名女生中随机抽取“支援江苏、抗击疫情”志愿者，若抽取1名，则恰好抽到1名男生的概率是________．【答案】【分析】先求出总人数，再根据概率公式求解即可．【解析】解：∵总人数为：（人），其中男生有3名，∴抽取1名，则恰好是1名男生的概率是：．故答案为：．【点睛】本题考查的是概率公式，熟知随机事件的概率事件可能出现的结果数与所有可能出现的结果数的商是解答此题的关键．18．“抛掷图钉实验”的结果如下:由表可知，“针尖不着地的”的概率的估计值是______.【答案】0.61【分析】观察表格，先确定频率的稳定值，再估算概率即可．【解析】观察表格可知随着抛掷次数的增多，针尖着地的频率稳定到常数0.61，估计此次实验钉尖着地的概率为0.61，故答案为0.61.【点睛】本题考查了利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率=所求情况数与总情况数之比．三、解答题19．在一个不透明的口袋里，装有6个除颜色外其余都相同的小球，其中2个红球，2个白球，2个黑球．它们已在口袋中被搅匀，现在有一个事件：从口袋中任意摸出n个球，红球、白球、黑球至少各有一个．（1）当n为何值时，这个事件必然发生？（2）当n为何值时，这个事件不可能发生？（3）当n为何值时，这个事件可能发生？【答案】（1）n=5或6；（2）n=1或2；（3）n=3或4【分析】（1）利用必然事件的定义确定n的值；（2）利用不可能事件的定义确定n的值；（3）利用随机事件的定义确定n的值．【解析】（1）当n=5或6时，这个事件必然发生；（2）当n=1或2时，这个事件不可能发生；（3）当n=3或4时，这个事件为随机事件．【点睛】本题考查了随机事件在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件．也考查了必然事件和不可能事件．20．桌上倒扣着背面图案相同的5张扑克牌，其中3张黑桃、2张红桃．从中随机抽取1张．（1）能够事先确定抽取的扑克牌的花色吗？（2）你认为抽到哪种花色的可能性大？（3）能否通过改变某种花色的扑克牌的数量，使“抽到黑桃”和“抽到红桃”的可能性大小相同？【答案】（1）不能；（2）抽到黑桃的可能性大；（3）增加一张红桃或减少一张黑桃，使黑桃与红桃张数相同，可使可能性大小相同．【分析】根据确定事件和随机事件的定义来区分判断即可，必然事件和不可能事件统称确定性事件；必然事件：在一定条件下，一定会发生的事件称为必然事件；不可能事件：在一定条件下，一定不会发生的事件称为不可能事件；随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件称为随机事件．【解析】(1)不能． (2)抽到黑桃的可能性大． (3)增加一张红桃或减少一张黑桃，使黑桃与红桃张数相同，可使可能性大小相同．【点睛】本题考查了随机事件相关概念，判断事件发生的可能性大小是解题的关键．21．5只不透明的袋子中各装有10个球，每个球除颜色外都相同．（1）将球搅匀，分别从每只袋子中摸一个球，摸到白球的概率一样大吗？为什么？（2）将袋子的序号按摸到白球的概率从小到大的顺序排列． （1） （2） （3） （4） （5）【答案】（1）不一样大，理由见详解；（2）排列顺序为：（5），（2），（1），（3），（4）【分析】（1）每个袋子中白球与黑球个数的不同，摸到白球的概率也不一样；（2）根据概率公式可分别计算摸到白球的概率；【解析】解：（1）摸到白球的概率不一样大．理由：因为每个袋子中白球与黑球个数所占比例都不同，因此摸到白球的概率不一样大；（2）根据概率公式可得出每个袋子中摸出白球的概率分别为：∴将袋子的序号按摸到白球的概率从小到大的顺序排列为：（5），（2），（1），（3），（4）．【点睛】本题考查的知识点是概率，熟记概率公式是解此题的关键．比较基础．22．一只不透明的袋子中，装有2个白球、3个黄球和4个红球，这些球除颜色外都相同，将球摇匀，从中任意摸出1个球.（1）能事先确定摸到的这个球的颜色吗?（2）你认为摸到哪种颜色的球的概率最大?（3）怎样改变袋子中白球、黄球、红球的个数，使摸到这这三种颜色的球的概率相等?【答案】（1）不能事先确定摸到的这个球是哪一种颜色；（2）摸到红球的概率最大；（3）只要使袋子中白球、黄球、红球的个数相等即可；【分析】（1）根据颜色不同质地相同可以确定不能事先确定摸到球的颜色；（2）那种球的数量最多，摸到那种球的概率就大；（3）使得球的数量相同即可得到概率相同．【解析】解：（1）不能事先确定摸到的球是哪一种颜色；（2）摸到红球的概率最大；（3）只要使袋子中的白球、黄球、红球的个数相等即可．【点睛】本题考查了概率公式，随机事件，属于概率基础题，随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数：所有可能出现的结果数．23．小颖和小红两位同学在做投掷骰子（质地均匀的正方体）实验，他们共做了次实验，实验的结果如下：（1）计算“点朝上”的频率和“点朝上”的频率．（2）小颖说：“根据实验得出，出现点朝上的机会最大”；小红说：“如果投掷次，那么出现 点朝上的次数正好是次．”小颖和小红的说法正确吗？为什么？【答案】（1）；；（2）两人的说法都是错误的，见解析.【分析】（1）根据概率的公式计算“3点朝上”的频率和“5点朝上”的频率；（2）根据随机事件的性质回答．【解析】（1）“点朝上”出现的频率是，“点朝上”出现的频率是；（2）两人的说法都是错误的，因为一个随机事件发生的概率是由这个随机事件自身决定的，并客观存在．随机事件发生的可能性大小由随机事件自身的属性即概率决定．因此去判断事件发生的可能性大小不能由此次实验中的频率决定．【点睛】用到的知识点为：频率=所求情况数与总情况数之比．频率能反映出概率的大小，但是要经过n次试验，而不是有数的几次，几次试验属于随机事件，不能反映事物的概率．24．某校研究学生的课余爱好情况，采取抽样调查的方法，从阅读、运动、娱乐、上网等四个方面调查了若干名学生的兴趣爱好，并将调查结果绘制成下面两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息解答下列问题：（1）在这次调查中，一共调查了 名学生；（2）补全条形统计图；（3）若该校共有1500名学生，估计爱好运动的学生有 人；（4）在全校同学中随机选取一名学生参加演讲比赛，用频率估计概率，则选出的恰好是爱好阅读的学生的概率是 ．【答案】（1）100（2）见解析（3）600（4）【分析】（1）用娱乐人数除以对应的百分比即可；（2）用总数除以相应百分比，求出各组频数，再画图；（3）估计爱好运用的学生人数为：1500×40%；（4）爱好阅读的学生人数所占的百分比30%，用频率估计概率，则选出的恰好是爱好阅读的学生的概率为.【解析】解：（1）爱好运动的人数为40，所占百分比为40%∴共调查人数为：40÷40%=100（2）爱好上网的人数所占百分比为10%∴爱好上网人数为：100×10%=10，∴爱好阅读人数为：100﹣40﹣20﹣10=30，补全条形统计图，如图所示，（3）爱好运动所占的百分比为40%，∴估计爱好运用的学生人数为：1500×40%=600（4）爱好阅读的学生人数所占的百分比30%，∴用频率估计概率，则选出的恰好是爱好阅读的学生的概率为故答案为（1）100；（3）600；（4）【点睛】本题考核知识点：统计初步，用频率估计概率. 解题关键点：从统计图表获取信息，用频率估计概率.25．“摩拜单车”公司调查无锡市民对其产品的了解情况，随机抽取部分市民进行问卷，结果分“非常了解”、“比较了解”、“一般了解”、“不了解”四种类型，分别记为A、B、C、D．根据调查结果绘制了如下尚不完整的统计图．（1）本次问卷共随机调查了 名市民，扇形统计图中m＝ ．（2）请根据数据信息补全条形统计图．（3）扇形统计图中“D类型”所对应的圆心角的度数是 ．（4）从这次接受调查的市民中随机抽查一个，恰好是“不了解”的概率是 ．【答案】（1）50，m=32;(2)见解析；（3）43.2o；（4）【解析】整体分析：（1）由类型A对应的人数和所占的百分比求调查的人数，计算出类型D所占的百分比；（2）计算出类型B的人数；（3）类型D占调查人数的比乘以360°；（4）由概率的定义计算类型D的人数除以调查的人数.解：（1）本次问卷共随机调查了8÷16%=50名市民；因为×100%=32%，所以m=32.（2）因为50-8-16-6=20，所以补全的图形为：（3）扇形统计图中“D类型”所对应的圆心角的度数是.（4）从这次接受调查的市民中随机抽查一个，恰好是“不了解”的概率是=.26．在一个不透明的布袋中装有黄、白两种颜色的球共40只，这些球除颜色外其余均相同．小红按如下规则做摸球实验：将这些球搅匀后从中随机摸出一只球，记下颜色后再把球放回布袋中，不断重复上述过程. 下表是实验得到的一组统计数据：（1）对实验得到的数据，选用“扇形统计图”、“条形统计图”或“折线统计图”中的 （填写一种），能使我们更好地观察摸到黄球频率的变化情况；（2）请估计：①当摸球次数很大时，摸到黄球的频率将会接近 ；（精确到0.1）②若从布袋中随机摸出一只球，则摸到白球的概率为 ；（精确到0.1）（3）试估算布袋中黄球的只数.【答案】（1）折线统计图；（2）0.6，0.4；（3）24只．【解析】试题分析：（1）要观察摸到黄球频率的变化情况，根据各统计的特点可知应该选用折线统计图；（2）①计算出其平均值即可；②1-①得到的频率即可得；（3）黄球个数=球的总数×得到的黄球的概率．试题解析：（1）根据统计图的特点，要想观察摸到黄球频率的变化情况，应该选用折线统计图，故答案为折线统计图；（2）①∵摸到黄球的频率为（0.72+0.67+0.61+0.59+0.61+0.59+0.63+0.60）÷8≈0.6，∴当n很大时，摸到白球的频率将会接近0.6，故答案为0.6； ②∵袋子中只有黄球与白球，∴摸到白球的频率约为1-0.6=0.4，故答案为0.4；（3）布袋中黄球约有：40×0.6=24只.27．计数问题是我们经常遇到的一类问题，学会解决计数问题的方法，可以使我们方便快捷，准确无误的得到所要求的结果，下面让我们借助两个问题，了解计数问题中的两个基本原理---加法原理、乘法原理.问题1.从青岛到大连可以乘坐飞机、火车、汽车、轮船直接到达.如果某一天中从青岛直接到达大连的飞机有3班，火车有4班，汽车有8班，轮船有5班，那么这一天中乘坐某种交通工具从青岛直接到达大连共有 种不同的走法：问题2.从甲地到乙地有3条路，从乙地到丙地有4条路，那么从甲地经过乙地到丙地，共有 种不同的走法：方法探究加法原理：一般的，完成一件事有两类不同的方案,在第一类方案中有m种不同的方法,在第二类方案中有n种不同的方法．那么完成这件事共有N=m+n种不同的方法,这是分类加法计数原理;完成一件事需要两个步骤,做第一步有m种不同的方法,做第二步有n种不同的方法.那么完成这件事共有N=m×n种不同的方法,这就是分步乘法计数原理.实践应用1问题3.如图1，图中线段代表横向、纵向的街道，小明爸爸打算从A点出发开车到B点办事(规定必须向北走,或向东走，不走回头路)，问他共有多少种不同的走法？其中从A点出发到某些交叉点的走法数已在图2填出.(1)根据以上原理和图2的提示，算出从A出发到达其余交叉点的走法数，如果将走法数填入图2的空圆中，便可以借助所填数字回答：从A点出发到B点的走法共有 种：(2)根据上面的原理和图3的提示，请算出从A点出发到达B点，并禁止通过交叉点C的走法有 种.(3)现由于交叉点C道路施工,禁止通行．小明爸爸如果任选一种走法,从A点出发能顺利开车到达B点(无返回)概率是 实践应用2问题4.小明打算用 5种颜色给如下图的5个区域染色，每个区域染一种颜色，相邻的区域染不同的颜色，问共有 种不同的染色方法.【答案】问题1：20；问题2：12；问题3：（1）35；（2）17；（3）；问题4：240种.【分析】问题1. 根据一天中乘飞机有3种走法，乘火车有4种走法，乘汽车有8种走法，轮船有5种走法，再由加法原理求解即可，问题2. 根据乘火车有3种走法，乘汽车有2种走法，再由乘法原理求解即可，问题3.（1）根据完成一件事有两类不同的方案，在第一类方案中有m种不同的方法，在第二类方案中有n种不同的方法．那么完成这件事共有N=m+n种不同的方法，则到达A点以外的任意交叉点的走法数只能是与其相邻的南边交叉点和西边交叉点的数字之和．从而计算出从A点到达其余各交叉点的走法数；（2）此题有两种计算方法：方法一是先求从A点到B点，并经过交叉点C的走法数，再用从A点到B点总走法数减去它；方法二是删除与C点紧相连的线段，运用分类加法计数原理，算出从A点到B点并禁止通过交叉点C的走法；（3）结合（1）和（2）的结论，即可求得概率．问题4. 因为A与其它4个区域都相邻，所以先填A区域，有5种选择；那么B区域，有4种选择；由于C区域与A和B都相邻，所以有3种选择；同理，E区域与A、B、C都相邻，所以有2种选择；而D区域只与A、C、E相邻，不与B相邻，因此可以和B区域同色，所以D区域有2种选择；根据乘法原理可得共有：5×4×3×2×2=240（种）染色方法．【解析】问题1. 一天中乘飞机有3种走法，乘火车有4种走法，乘汽车有8种走法，轮船有5种走法，每一种走法都可以从青岛直接到达大连，按加法原理，所以共有3+4+8+5=20种不同的走法．问题2. 因为乘火车有3种走法，乘汽车有2种走法，所以乘一次火车再接乘一次汽车从甲地到乙地，按乘法原理，共有 3×2=6种不同的走法．问题3.（1）∵完成从A点到B点必须向北走，或向东走，∴到达A点以外的任意交叉点的走法数只能是与其相邻的南边交叉点和西边交叉点的数字之和，故使用分类加法计数原理，由此算出从A点到达其余各交叉点的走法数，填表如图1．答：从A点到B点的走法共有35种．（2）方法一：可先求从A点到B点，并经过交叉点C的走法数，再用从A点到B点总走法数减去它，即得从A点到B点，但不经过交叉点C的走法数．完成从A点出发经C点到B点这件事可分两步，先从A点到C点，再从C点到B点，使用分类加法计数原理，算出从A点到C点的走法是3种，见图2；算出从C点到B点的走法为6种，见图3，再运用分步乘法计数原理，得到从A点经C点到B点的走法有3×6=18种．∴从A点到B点但不经过C点的走法数为35-18=17种．方法二：由于交叉点C道路施工，禁止通行，故视为相邻道路不通，可删除与C点紧相连的线段，运用分类加法计数原理，算出从A点到B点并禁止通过交叉点C的走法有17种．从A点到各交叉点的走法数见图4，∴从A点到B点并禁止经过C点的走法数为35-18=17种．（3）P（顺利开车到达B点）=．答：任选一种走法，顺利开车到达B点的概率是．问题4. 解：乘法原理可得：5×4×3×2×2=240（种）．答：共有240种染色方法．【点睛】此题考查了加法原理与乘法原理．此题难度较大，理解题意，能利用题意中的方法进行计算是解此题的关键，注意利用画图的方法求解比较简单． 抛掷次数1005001 0001 5002 000正面朝上的频数452535127561 020抛掷次数1002003004006008001000针尖不着地的频数64118189252360488610针尖不着地的频数0.640.590.630.630.600.610.61朝上的点数出现的次数摸球的次数501002003005001 00020003 000摸到黄球的频数366712817630659312561803摸到黄球的频率0.720.670.640.590.610.590.630.60
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