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苏科版数学八年级下册第12章 《二次根式》 单元综合检测
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第12章 二次根式 单元综合检测一、单选题1．下列判断正确的是 A．带根号的式子一定是二次根式B．一定是二次根式C．一定是二次根式D．二次根式的值必定是无理数【答案】C【分析】直接利用二次根式的定义分析得出答案．【解析】解：A、带根号的式子不一定是二次根式，故此选项错误；B、，a≥0时，一定是二次根式，故此选项错误；C、一定是二次根式，故此选项正确；D、二次根式的值不一定是无理数，故此选项错误；故选C．【点睛】此题主要考查了二次根式的定义，正确把握二次根式的性质是解题关键．2．如果代数式有意义，那么x的取值范围是（ ）A．x≠2 B．x≥-1 C．x≠-1 D．x≥-1，且x≠2【答案】D【分析】由题意得，x+1≥0且x-2≠0，【解析】解得x≥-1且x≠2，故选D．【点睛】本题考查二次根式有意义的条件；分式有意义的条件．掌握二次根式有意义的条件是被开方数为非负数；分式有意义的条件是分母不为0．3．下列各式，化简后能与合并的是（ ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据同类二次根式的定义即可求出答案．【解析】解：与是同类二次根式即可合并，由于=2，2与是同类二次根式，∴2与可以合并，故选C．【点睛】本题考查同类二次根式，解题的关键是正确理解同类二次根式，本题属于基础题型．4．下列二次根式中，最简二次根式是( )A． B． C． D．【答案】B【分析】满足以下两个条件的二次根式叫做最简二次根式：（1）、被开方数的因数是整数，因式是整式；（2）、被开方数中不能含有开方开的尽的因数或者因式．【解析】解：A、 ，不是最简二次根式，不符合题意，B、，是最简二次根式，符合题意，C、，不是最简二次根式，不符合题意，D、，不是最简二次根式，不符合题意，故选B．【点睛】本题考查了最简二次根式的定义，理解掌握最简二次根式定义是解题关键．5．下列计算正确的是（ ）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据二次根式的加减乘除法则分别计算，即可判断．【解析】解：A、，不能合并，故本选项错误；B、，故本选项正确；C、，故本选项错误；D、，故本选项错误；故选A．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算的应用，主要考查学生的计算能力．6．下列算式：（1）；（2）；（3）=；（4），其中正确的是（ ）A．（1）和（3） B．（2）和（4） C．（3）和（4） D．（1）和（4）【答案】B【分析】根据二次根式的性质和二次根式的加法运算，分别进行判断，即可得到答案．【解析】（1）和不是同类项，不能合并，错误；（2），正确；（3）＝，错误；（4），正确；故选：B．【点睛】本题考查了二次根式的加法运算，二次根式的性质，解题的关键是熟练掌握运算法则进行解题．7．若a＝+、b＝﹣，则a和b互为（ ）A．倒数 B．相反数 C．负倒数 D．有理化因式【答案】D【分析】根据二次根式的运算法则即可求出答案【解析】a+b≠0，ab≠1a与b不是互为相反数，倒数，负倒数故选D【点睛】本题考查二次根式，解题的关键是正确理解相反数，倒数，负倒数的概念.8．实数a，b在数轴上的位置如图所示，且，则化简的结果为（ ）A． B． C．b D．【答案】C【分析】根据点的坐标，可得a、b的关系，根据二次根式的性质，可化简二次根式，根据整式的加减，可得答案．【解析】解：由数轴上点的位置关系，得．．故选：C．【点睛】本题考查了实数与数轴，以及二次根式的性质，利用点的坐标得出a、b的关系是解题关键．9．等式成立的条件是（ ）A． B． C．或 D．【答案】A【分析】根据二次根式的乘法法则成立的条件为且，即可确定答案．【解析】解：根据题意，可得，解不等式组，得 ，所以，等式成立的条件是．故选：A．【点睛】本题主要考查了二次根式的乘法法则和解一元一次不等式组，理解二次根式有意义的条件是解题关键．10．一块边长为 a 的正方形桌布，平铺在直径为 b 的圆桌上，若桌布四角下垂的最大长度相等，则该最大长度为（ ）A． B．C． D．【答案】C【分析】桌布四角下垂的最大长度为正方形的对角线减去圆桌的直径的一半．【解析】如图，∵正方形的对角线为a，圆桌的直径为b∴桌布下垂的最大长度为（a-b）=a−．故选C．【点睛】本题主要是将实际问题转化为数学模型，运用数学的思想进行求解．11．设S=，则不大于S的最大整数[S]等于( )A．98 B．99 C．100 D．101【答案】B【分析】由，代入数值，求出S=+++ …+=99+1-，由此能求出不大于S的最大整数为99．【解析】∵==，∴S=+++ …+= = =100-，∴不大于S的最大整数为99．故选B.【点睛】本题主要考查了二次根式的化简求值，知道是解答本题的基础．二、填空题12．当时，二次根式的值为_____．【答案】3【分析】直接将代入进行计算即可．【解析】解：当时，，故答案为：3．【点睛】本题考查了代数式的值，二次根式的计算，题目比较简单．13．将从小到大排列_______________________．【答案】【分析】先求出三个数的平方，再比较大小即可．【解析】，，，∵，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了比较二次根式的大小，熟知正数比较大小的法则是解答此题的关键．平方法是比较二次根式的大小常用的方法．14．化简：＝_____．【答案】．【分析】直接根据二次的性质进行化简即可．【解析】解：因为＞1，所以＝故答案为：．【点睛】此题主要考查了二次根式的性质，掌握是解答此题的关键．15．计算：___________【答案】1【分析】根据积的乘方逆运算求解即可．【解析】解：== =1故答案为：1【点睛】此题主要考查了积的乘方，熟练掌握积的乘方运算法则是解答此题的关键．16．已知x，y为实数，且y＝，则的平方根等于________．【答案】【分析】首先根据二次根式有意义的条件：被开方数是非负数求得x的值，然后求得y的值，然后求解．【解析】由题意知，，解得：，则，∴，∴的平方根等于，故填：．【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，理解有意义的条件是a≥0是关键．17．化简－÷＝___________． 当1＜x＜4时，|x－4|-＝____________．【答案】 ； ．【分析】由二次根式的性质进行化简，然后计算除法运算即可；由绝对值的意义和二次根式的性质进行化简即可求出答案．【解析】解：－÷====；∵，∴，，∴；∴；故答案为：；．【点睛】本题考查了二次根式的乘除运算，二次根式的性质，绝对值的意义，解题的关键是熟练掌握运算法则，正确的进行解题．18．甲容器中装有浓度为a的果汁，乙容器中装有浓度为b的果汁，两个容器都倒出m kg，把甲容器倒出的果汁混入乙容器，把乙容器倒出的果汁混入甲容器，混合后，两容器内的果汁浓度相同，则m的值为_________．【答案】【分析】分别求出甲，乙容器中原溶液中纯果汁的含量，再求出mkg溶液中纯果汁的含量，最后利用混合后果汁的浓度相等列出关系式，求出m即可．【解析】解：根据题意，甲容器中纯果汁含量为akg，乙容器中纯果汁含量为bkg，甲容器倒出mkg果汁中含有纯果汁makg，乙容器倒出mkg果汁中含有纯果汁mbkg，重新混合后，甲容器内果汁的浓度为，重新混合后，乙容器内果汁的浓度为，由题意可得，，整理得，6a-6b=5ma-5mb，∴6（a-b）=5m（a-b），∴m=．故答案为：．【点睛】本题考查二次根式的应用，能够正确理解题意，化简二次根式是解题的关键．三、解答题19．计算（1）()() （2）（3） （4）＋【答案】（1）；（2）；（3）；（4）【分析】（1）利用平方差公式计算即可；（2）先化成最简二次根式，再合并同类二次根式即可；（3）先利用二次根式的除法运算法则计算，再合并同类二次根式即可；（4）利用平方差公式、完全平方公式计算，再合并同类二次根式即可．【解析】（1） ()()；（2）；（3）；（4）+．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是熟练运用二次根式的运算法则．20．计算：（1）﹣+； （2）﹣（2）2（3）（3﹣）（+2）； （4）（7+）2﹣（7﹣）2．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）【分析】（1）直接运用二次根式的加减运算法则计算即可；（2）综合二次根式的化简与分母有理化进行计算；（3）运用多项式乘多项式及二次根式的乘法运算进行计算；（4）利用平方差公式进行简便计算．【解析】（1）原式==；（2）原式===；（3）原式==；（4）原式===．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练化最简二次根式并灵活运用乘法公式是解题关键．21．如图A，B，C三点表示的数分别为a，b，c．利用图形化简：．【答案】0【分析】根据数轴判断出a、b、c的大小情况，然后根据绝对值的性质与二次根式的性质化简整理即可．【解析】解：由已知得， b＞a＞c，所以，a−b＜0，c−b＜0，a−c＞0，所以，＝＝＝0．故答案为：0．【点睛】本题主要考查了二次根式的性质：＝|a|，根据数轴上的点准确识图判断出a、b、c的大小情况是解题的关键．22．如图，正方形 ABCD的面积为5，正方形 BEFG的面积为7，求△ACE的面积．【答案】【分析】根据正方形的面积求出两个正方形的边长，然后求出CE，再利用三角形的面积公式列式计算即可得解．【解析】∵正方形 ABCD的面积为5，正方形 BEFG的面积为7，∴AB=CB= ， BE=，CE=，∴△ACE的面积=CE·AB==故答案为．【点睛】本题考查了正方形的性质，算术平方根的定义，利用面积求出两正方形的边长，从而得到CE的长度是解题的关键．23．求代数式a+的值，其中a＝−2020．如图是小亮和小芳的解答过程．（1） 的解法是错误的；（2）错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质： ；（3）求代数式a+2的值，其中a＝−2019．【答案】（1）小芳；（2）被开方的数具有非负性；（3）2025．【分析】（1）根据题目中的解答过程，可以得到哪位同学做错了；（2）根据题目中的解答过程，可知错误的原因是没有正确运用被开方的数具有非负性；（3）根据题目中的式子和a的值，可以求得所求式子的值．【解析】（1）∵a＝−2020，∴1−a＝1−（−2020）＝2021，故小芳开方时，出现错误，故答案为小芳；（2）错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质：被开方的数具有非负性，故答案为被开方的数具有非负性；（3）a+2＝a+2，∵a＝−2019，∴a﹣3＜0，∴原式＝a+2（3﹣a）＝a+6﹣2a＝6﹣a＝6﹣（﹣2019）＝6+2019＝2025，即代数式a+2的值是2025．【点睛】本题考查二次根式的化简求值，解答本题的关键是明确二次根式化简求值的方法．24．化简：（1） （2）（）（3）当时，求的值．【答案】（1）；（2）；（3）【分析】（1）把2和5看作和，然后把被开方数化简成完全平方式的形式，再去根号即可．（2）根据x的范围，得出，然后把被开方数化简成完全平方式的形式，再去根号，合并同类项即可．（3）首先把a的值化简，再把化简，然后把a的值代入计算即可．【解析】（1）．（2）∵，∴，∴，，∴．（3）∵ ∴．【点睛】本题主要考查二次根式的化简以及化简求值，关键是开放数的结果为非负数，即，当为非负数时等于它本身，当为负数时，等于它的相反数．25．阅读下面的问题：；；；……（1）求与的值.（2）比较与的大小，并说明理由.（3）若，求的值.【答案】（1）；；（2），理由见解析；（3）121【分析】（1）根据所给等式的变化规律即可求解；（2）先化成分数形式，通过比较分母大小即可解答；（3）根据规律先化简，再解方程即可解答．【解析】（1），；（2）∵，，，∴，∴；（3）由得：，∴即，解得：．【点睛】本题考查了二次根式的加减运算、分母有理化、实数的大小比较，找出规律并能灵活运用是解答的关键．26．如图，张大伯家有一块长方形空地，长方形空地的长为，宽为，现要在空地中划出一块长方形地养鸡（即图中阴影部分），其余部分种植蔬菜，长方形养鸡场的长为，宽为．(1)长方形的周长是多少？（结果化为最简二次根式）(2)若市场上蔬菜8元/千克，张大伯种植该种蔬菜，每平方米可以产15千克的蔬菜，张大伯如果将所种蔬菜全部销售完，销售收入为多少元？【答案】(1)长方形的周长是；(2)张大伯如果将所种蔬菜全部销售完，销售收入为4680元．【分析】（1）利用长方形的周长公式即可求解；（2）先求得蔬菜地的面积，据此计算即可求解．【解析】（1）解：长方形的周长． 答：长方形的周长是；（2）解：蔬菜地的面积．（元）．答：张大伯如果将所种蔬菜全部销售完，销售收入为4680元．【点睛】本题考查了二次根式的应用，掌握二次根式的混合运算的法则是解题的关键．27．细心观察如图，认真分析各式，然后解答下列问题：，（是的面积）；，（是的面积）；，（是的面积）；(1)请用含有（为正整数）的式子填空：_______，_______；(2)求的值．【答案】(1)，(2)【分析】（1）认真阅读新定义，根据已知内容归纳总结即可；（2）代入值化简整理后即可得到答案．【解析】（1）解：由已知条件可知，，故答案为：，；（2）解：原式，故答案为：．【点睛】本题考查了数学中的阅读能力，以及对新定义的理解，还有二次根式的化简，关键是理解新定义和有关二次根式的化简运算．28．（1）观察下列各式的特点：，>，，，…根据以上规律可知：______（填“＞”“＜”或“＝”）．（2）观察下列式子的化简过程：，，＝，…根据观察，请写出式子（n≥2，且n是正整数）的化简过程．（3）根据上面（1）（2）得出的规律计算下面的算式：+||+•••+||．【答案】（1）＞；（2）见解析；（3）【分析】（1）根据题目所给的例题大小关系可直接得到答案；（2）把分子分母同时乘以，然后化简即可得到答案；（3）根据（2）中的规律可得，，，分别把绝对值里面的式子化简计算即可．【解析】解：（1）∵，>，，，…，∴，∴，故答案为：＞；（2）==；（3）原式．【点睛】此题主要考查了分母有理化，关键是注意观察题目所给的例题，找出其中的规律，然后再进行计算．
第12章 二次根式 单元综合检测一、单选题1．下列判断正确的是 A．带根号的式子一定是二次根式B．一定是二次根式C．一定是二次根式D．二次根式的值必定是无理数【答案】C【分析】直接利用二次根式的定义分析得出答案．【解析】解：A、带根号的式子不一定是二次根式，故此选项错误；B、，a≥0时，一定是二次根式，故此选项错误；C、一定是二次根式，故此选项正确；D、二次根式的值不一定是无理数，故此选项错误；故选C．【点睛】此题主要考查了二次根式的定义，正确把握二次根式的性质是解题关键．2．如果代数式有意义，那么x的取值范围是（ ）A．x≠2 B．x≥-1 C．x≠-1 D．x≥-1，且x≠2【答案】D【分析】由题意得，x+1≥0且x-2≠0，【解析】解得x≥-1且x≠2，故选D．【点睛】本题考查二次根式有意义的条件；分式有意义的条件．掌握二次根式有意义的条件是被开方数为非负数；分式有意义的条件是分母不为0．3．下列各式，化简后能与合并的是（ ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据同类二次根式的定义即可求出答案．【解析】解：与是同类二次根式即可合并，由于=2，2与是同类二次根式，∴2与可以合并，故选C．【点睛】本题考查同类二次根式，解题的关键是正确理解同类二次根式，本题属于基础题型．4．下列二次根式中，最简二次根式是( )A． B． C． D．【答案】B【分析】满足以下两个条件的二次根式叫做最简二次根式：（1）、被开方数的因数是整数，因式是整式；（2）、被开方数中不能含有开方开的尽的因数或者因式．【解析】解：A、 ，不是最简二次根式，不符合题意，B、，是最简二次根式，符合题意，C、，不是最简二次根式，不符合题意，D、，不是最简二次根式，不符合题意，故选B．【点睛】本题考查了最简二次根式的定义，理解掌握最简二次根式定义是解题关键．5．下列计算正确的是（ ）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据二次根式的加减乘除法则分别计算，即可判断．【解析】解：A、，不能合并，故本选项错误；B、，故本选项正确；C、，故本选项错误；D、，故本选项错误；故选A．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算的应用，主要考查学生的计算能力．6．下列算式：（1）；（2）；（3）=；（4），其中正确的是（ ）A．（1）和（3） B．（2）和（4） C．（3）和（4） D．（1）和（4）【答案】B【分析】根据二次根式的性质和二次根式的加法运算，分别进行判断，即可得到答案．【解析】（1）和不是同类项，不能合并，错误；（2），正确；（3）＝，错误；（4），正确；故选：B．【点睛】本题考查了二次根式的加法运算，二次根式的性质，解题的关键是熟练掌握运算法则进行解题．7．若a＝+、b＝﹣，则a和b互为（ ）A．倒数 B．相反数 C．负倒数 D．有理化因式【答案】D【分析】根据二次根式的运算法则即可求出答案【解析】a+b≠0，ab≠1a与b不是互为相反数，倒数，负倒数故选D【点睛】本题考查二次根式，解题的关键是正确理解相反数，倒数，负倒数的概念.8．实数a，b在数轴上的位置如图所示，且，则化简的结果为（ ）A． B． C．b D．【答案】C【分析】根据点的坐标，可得a、b的关系，根据二次根式的性质，可化简二次根式，根据整式的加减，可得答案．【解析】解：由数轴上点的位置关系，得．．故选：C．【点睛】本题考查了实数与数轴，以及二次根式的性质，利用点的坐标得出a、b的关系是解题关键．9．等式成立的条件是（ ）A． B． C．或 D．【答案】A【分析】根据二次根式的乘法法则成立的条件为且，即可确定答案．【解析】解：根据题意，可得，解不等式组，得 ，所以，等式成立的条件是．故选：A．【点睛】本题主要考查了二次根式的乘法法则和解一元一次不等式组，理解二次根式有意义的条件是解题关键．10．一块边长为 a 的正方形桌布，平铺在直径为 b 的圆桌上，若桌布四角下垂的最大长度相等，则该最大长度为（ ）A． B．C． D．【答案】C【分析】桌布四角下垂的最大长度为正方形的对角线减去圆桌的直径的一半．【解析】如图，∵正方形的对角线为a，圆桌的直径为b∴桌布下垂的最大长度为（a-b）=a−．故选C．【点睛】本题主要是将实际问题转化为数学模型，运用数学的思想进行求解．11．设S=，则不大于S的最大整数[S]等于( )A．98 B．99 C．100 D．101【答案】B【分析】由，代入数值，求出S=+++ …+=99+1-，由此能求出不大于S的最大整数为99．【解析】∵==，∴S=+++ …+= = =100-，∴不大于S的最大整数为99．故选B.【点睛】本题主要考查了二次根式的化简求值，知道是解答本题的基础．二、填空题12．当时，二次根式的值为_____．【答案】3【分析】直接将代入进行计算即可．【解析】解：当时，，故答案为：3．【点睛】本题考查了代数式的值，二次根式的计算，题目比较简单．13．将从小到大排列_______________________．【答案】【分析】先求出三个数的平方，再比较大小即可．【解析】，，，∵，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了比较二次根式的大小，熟知正数比较大小的法则是解答此题的关键．平方法是比较二次根式的大小常用的方法．14．化简：＝_____．【答案】．【分析】直接根据二次的性质进行化简即可．【解析】解：因为＞1，所以＝故答案为：．【点睛】此题主要考查了二次根式的性质，掌握是解答此题的关键．15．计算：___________【答案】1【分析】根据积的乘方逆运算求解即可．【解析】解：== =1故答案为：1【点睛】此题主要考查了积的乘方，熟练掌握积的乘方运算法则是解答此题的关键．16．已知x，y为实数，且y＝，则的平方根等于________．【答案】【分析】首先根据二次根式有意义的条件：被开方数是非负数求得x的值，然后求得y的值，然后求解．【解析】由题意知，，解得：，则，∴，∴的平方根等于，故填：．【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，理解有意义的条件是a≥0是关键．17．化简－÷＝___________． 当1＜x＜4时，|x－4|-＝____________．【答案】 ； ．【分析】由二次根式的性质进行化简，然后计算除法运算即可；由绝对值的意义和二次根式的性质进行化简即可求出答案．【解析】解：－÷====；∵，∴，，∴；∴；故答案为：；．【点睛】本题考查了二次根式的乘除运算，二次根式的性质，绝对值的意义，解题的关键是熟练掌握运算法则，正确的进行解题．18．甲容器中装有浓度为a的果汁，乙容器中装有浓度为b的果汁，两个容器都倒出m kg，把甲容器倒出的果汁混入乙容器，把乙容器倒出的果汁混入甲容器，混合后，两容器内的果汁浓度相同，则m的值为_________．【答案】【分析】分别求出甲，乙容器中原溶液中纯果汁的含量，再求出mkg溶液中纯果汁的含量，最后利用混合后果汁的浓度相等列出关系式，求出m即可．【解析】解：根据题意，甲容器中纯果汁含量为akg，乙容器中纯果汁含量为bkg，甲容器倒出mkg果汁中含有纯果汁makg，乙容器倒出mkg果汁中含有纯果汁mbkg，重新混合后，甲容器内果汁的浓度为，重新混合后，乙容器内果汁的浓度为，由题意可得，，整理得，6a-6b=5ma-5mb，∴6（a-b）=5m（a-b），∴m=．故答案为：．【点睛】本题考查二次根式的应用，能够正确理解题意，化简二次根式是解题的关键．三、解答题19．计算（1）()() （2）（3） （4）＋【答案】（1）；（2）；（3）；（4）【分析】（1）利用平方差公式计算即可；（2）先化成最简二次根式，再合并同类二次根式即可；（3）先利用二次根式的除法运算法则计算，再合并同类二次根式即可；（4）利用平方差公式、完全平方公式计算，再合并同类二次根式即可．【解析】（1） ()()；（2）；（3）；（4）+．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是熟练运用二次根式的运算法则．20．计算：（1）﹣+； （2）﹣（2）2（3）（3﹣）（+2）； （4）（7+）2﹣（7﹣）2．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）【分析】（1）直接运用二次根式的加减运算法则计算即可；（2）综合二次根式的化简与分母有理化进行计算；（3）运用多项式乘多项式及二次根式的乘法运算进行计算；（4）利用平方差公式进行简便计算．【解析】（1）原式==；（2）原式===；（3）原式==；（4）原式===．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练化最简二次根式并灵活运用乘法公式是解题关键．21．如图A，B，C三点表示的数分别为a，b，c．利用图形化简：．【答案】0【分析】根据数轴判断出a、b、c的大小情况，然后根据绝对值的性质与二次根式的性质化简整理即可．【解析】解：由已知得， b＞a＞c，所以，a−b＜0，c−b＜0，a−c＞0，所以，＝＝＝0．故答案为：0．【点睛】本题主要考查了二次根式的性质：＝|a|，根据数轴上的点准确识图判断出a、b、c的大小情况是解题的关键．22．如图，正方形 ABCD的面积为5，正方形 BEFG的面积为7，求△ACE的面积．【答案】【分析】根据正方形的面积求出两个正方形的边长，然后求出CE，再利用三角形的面积公式列式计算即可得解．【解析】∵正方形 ABCD的面积为5，正方形 BEFG的面积为7，∴AB=CB= ， BE=，CE=，∴△ACE的面积=CE·AB==故答案为．【点睛】本题考查了正方形的性质，算术平方根的定义，利用面积求出两正方形的边长，从而得到CE的长度是解题的关键．23．求代数式a+的值，其中a＝−2020．如图是小亮和小芳的解答过程．（1） 的解法是错误的；（2）错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质： ；（3）求代数式a+2的值，其中a＝−2019．【答案】（1）小芳；（2）被开方的数具有非负性；（3）2025．【分析】（1）根据题目中的解答过程，可以得到哪位同学做错了；（2）根据题目中的解答过程，可知错误的原因是没有正确运用被开方的数具有非负性；（3）根据题目中的式子和a的值，可以求得所求式子的值．【解析】（1）∵a＝−2020，∴1−a＝1−（−2020）＝2021，故小芳开方时，出现错误，故答案为小芳；（2）错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质：被开方的数具有非负性，故答案为被开方的数具有非负性；（3）a+2＝a+2，∵a＝−2019，∴a﹣3＜0，∴原式＝a+2（3﹣a）＝a+6﹣2a＝6﹣a＝6﹣（﹣2019）＝6+2019＝2025，即代数式a+2的值是2025．【点睛】本题考查二次根式的化简求值，解答本题的关键是明确二次根式化简求值的方法．24．化简：（1） （2）（）（3）当时，求的值．【答案】（1）；（2）；（3）【分析】（1）把2和5看作和，然后把被开方数化简成完全平方式的形式，再去根号即可．（2）根据x的范围，得出，然后把被开方数化简成完全平方式的形式，再去根号，合并同类项即可．（3）首先把a的值化简，再把化简，然后把a的值代入计算即可．【解析】（1）．（2）∵，∴，∴，，∴．（3）∵ ∴．【点睛】本题主要考查二次根式的化简以及化简求值，关键是开放数的结果为非负数，即，当为非负数时等于它本身，当为负数时，等于它的相反数．25．阅读下面的问题：；；；……（1）求与的值.（2）比较与的大小，并说明理由.（3）若，求的值.【答案】（1）；；（2），理由见解析；（3）121【分析】（1）根据所给等式的变化规律即可求解；（2）先化成分数形式，通过比较分母大小即可解答；（3）根据规律先化简，再解方程即可解答．【解析】（1），；（2）∵，，，∴，∴；（3）由得：，∴即，解得：．【点睛】本题考查了二次根式的加减运算、分母有理化、实数的大小比较，找出规律并能灵活运用是解答的关键．26．如图，张大伯家有一块长方形空地，长方形空地的长为，宽为，现要在空地中划出一块长方形地养鸡（即图中阴影部分），其余部分种植蔬菜，长方形养鸡场的长为，宽为．(1)长方形的周长是多少？（结果化为最简二次根式）(2)若市场上蔬菜8元/千克，张大伯种植该种蔬菜，每平方米可以产15千克的蔬菜，张大伯如果将所种蔬菜全部销售完，销售收入为多少元？【答案】(1)长方形的周长是；(2)张大伯如果将所种蔬菜全部销售完，销售收入为4680元．【分析】（1）利用长方形的周长公式即可求解；（2）先求得蔬菜地的面积，据此计算即可求解．【解析】（1）解：长方形的周长． 答：长方形的周长是；（2）解：蔬菜地的面积．（元）．答：张大伯如果将所种蔬菜全部销售完，销售收入为4680元．【点睛】本题考查了二次根式的应用，掌握二次根式的混合运算的法则是解题的关键．27．细心观察如图，认真分析各式，然后解答下列问题：，（是的面积）；，（是的面积）；，（是的面积）；(1)请用含有（为正整数）的式子填空：_______，_______；(2)求的值．【答案】(1)，(2)【分析】（1）认真阅读新定义，根据已知内容归纳总结即可；（2）代入值化简整理后即可得到答案．【解析】（1）解：由已知条件可知，，故答案为：，；（2）解：原式，故答案为：．【点睛】本题考查了数学中的阅读能力，以及对新定义的理解，还有二次根式的化简，关键是理解新定义和有关二次根式的化简运算．28．（1）观察下列各式的特点：，>，，，…根据以上规律可知：______（填“＞”“＜”或“＝”）．（2）观察下列式子的化简过程：，，＝，…根据观察，请写出式子（n≥2，且n是正整数）的化简过程．（3）根据上面（1）（2）得出的规律计算下面的算式：+||+•••+||．【答案】（1）＞；（2）见解析；（3）【分析】（1）根据题目所给的例题大小关系可直接得到答案；（2）把分子分母同时乘以，然后化简即可得到答案；（3）根据（2）中的规律可得，，，分别把绝对值里面的式子化简计算即可．【解析】解：（1）∵，>，，，…，∴，∴，故答案为：＞；（2）==；（3）原式．【点睛】此题主要考查了分母有理化，关键是注意观察题目所给的例题，找出其中的规律，然后再进行计算．
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