2024年湖北省宜昌市长江中学中考数学二模试卷

这是一份2024年湖北省宜昌市长江中学中考数学二模试卷，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）比﹣1小2的数是（ ）
A．﹣3B．﹣2C．1D．3
2．（3分）下列图形中是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（3分）已知点P（1﹣a，2a+6）在第四象限，则a的取值范围是（ ）
A．a＜﹣3B．﹣3＜a＜1C．a＞﹣3D．a＞1
4．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a2•a3＝a5B．2a﹣a＝2
C．（a+2）2＝a2+4D．2a+3b＝5ab
5．（3分）下列事件中是必然事件的是（ ）
A．抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上
B．随意翻到一本书的某页，这一页的页码是偶数
C．打开电视机，正在播放广告
D．从两个班级中任选三名学生，至少有两名学生来自同一个班级
6．（3分）如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P，点F为焦点．若∠1＝155°，∠2＝30°，则∠3的度数为（ ）
A．35°B．45°C．55°D．65°
7．（3分）一种弹簧秤最大能称不超过10kg的物体，不挂物体时弹簧的长为12cm，每挂重1kg物体，弹簧伸长0.5cm，在弹性限度内，挂重后弹簧的长度y（cm）与所挂物体的质量x（kg）之间的函数关系式为（ ）
A．y＝12﹣0.5xB．y＝12+0.5xC．y＝10+0.5xD．y＝0.5x
8．（3分）已知点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）在反比例函数的图象上．其中x1＜x2＜0＜x3．下列结论正确的是（ ）
A．y3＜y1＜y2B．y1＜y2＜y3C．y3＜y2＜y1D．y2＜y1＜y3
9．（3分）如图，已知⊙O的半径是2，点A、B、C在⊙O上，若四边形OABC为菱形，则图中阴影部分面积为（ ）
A．π﹣2B．π﹣C．π﹣2D．π﹣
10．（3分）已知点M（x1，y1），N（x2，y2）在抛物线y＝mx2﹣2m2x+m（m≠0）上，当x1+x2＞4且x1＜x2时，都有y1＜y2，则m的取值范围为（ ）
A．0＜m≤2B．﹣2≤m＜0C．m＞2D．m＜﹣2
二、填空题（共5题，每题3分，共15分）
11．（3分）计算的结果是 ．
12．（3分）我国古代的数学名著《九章算术》中有下列问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺．问日织几何？”其意思为：今有一女子很会织布，每日加倍增长，5日共织布5尺．问每日各织多少布？根据此问题中的已知条件，可求得该女子第一天织布 尺．
13．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是边AB上一点，连接CD，将线段CD绕点C按逆时针方向旋转90°得到线段CE，连接DE交BC于点F，连接BE．当AD＝BF时，∠BEF的大小是 ．
14．（3分）班长邀请A，B，C，D四位同学参加圆桌会议．如图，班长坐在⑤号座位，四位同学随机坐在①②③④四个座位，则A，B两位同学座位相邻的概率是 ．
15．（3分）如图，菱形ABCD的边AB＝10，，E是AB的中点，F是边CD上一点，将四边形AEFD沿直线EF折叠，A的对应点为A′，当CA′的长度最小时，CF的长是 ．
三、解答题（共9题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16．（6分）计算：．
17．（6分）如图，B，E，C，F在一条直线上，已知AB∥DE，AC∥DF，BE＝CF，连接AD．求证：四边形ABED是平行四边形．
18．（6分）如图所示，某海监船以20海里/小时的速度在某海域执行巡航任务，当海监船由西向东航行至A处时，测得岛屿P恰好在其正北方向，继续向东航行1小时到达B处，测得岛屿P在其北偏西30°方向，保持航向不变又航行2小时到达C处，求出此时海监船与岛屿P之间的距离（即PC的长，结果精确到0.1）（参考数据：≈1.732，≈1.414）
19．（8分）某板栗育种改良试验基地对新培育的甲、乙两个品种各试种一亩，从两块试验地中各随机抽取10棵，对其产量（千克/棵）进行整理分析．下面给出了部分信息：
甲品种：2.0，3.2，3.1，3.2，3.1，2.5，3.2，3.6，3.8，3.9
乙品种：如图所示
根据以上信息，完成下列问题：
（1）填空：a＝ ，b＝ ；
（2）若乙品种种植300棵，估计其产量不低于3.2千克的棵数；
（3）请从某一个方面简要说明哪个品种更好．
20．（8分）已知直线y＝x与反比例函数y＝的图象在第一象限交于点M（2，a）．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）如图，将直线y＝x向上平移b个单位后与y＝的图象交于点A（1，m）和点B（n，﹣1），求b的值；
（3）在（2）的条件下，设直线AB与x轴、y轴分别交于点C，D，求证：△AOD≌△BOC．
21．（8分）如图，△ABC是圆的内接三角形，点E在弦AD上，BE平分∠ABC，BD＝ED．
（1）求证：AD平分∠BAC；
（2）若BC为直径，且BC＝10，AB＝8，求AD的长．
22．（10分）如图，某公园的一组同步喷泉由间隔等距的若干个一样的喷泉组成，呈抛物线形的水流从垂直于地面且高出湖面1m的喷头中向同一侧喷出，每个喷头喷出的水流可看作同样的抛物线．若记水柱上某一位置与喷头的水平距离为x m，喷出水流与湖面的垂直高度为y m．
如表中记录了一个喷头喷出水柱时x m与y m的几组数据：
（1）如图，以喷泉与湖面的交点为原点，建立如图平面直角坐标系，求此抛物线的解析式；
（2）现有一个顶棚为矩形的单人皮划艇，顶棚每一处离湖面的距离为1.75m．顶棚刚好接触到水柱，求该皮划艇顶棚的宽度．
（3）现公园管理方准备通过只调节喷头露出湖面的高度，使得游船能从抛物线形水柱下方通过，为避免游客被喷泉淋湿，要求游船从抛物线形水柱下方中间通过时，顶棚上任意一点到水柱的竖直距离均不小于0.5m，已知游船顶棚宽度为2m，顶棚到湖面的高度为1.5m，那么公园应将喷头（喷头忽略不计）至少向上移动多少m才能符合要求？（直接写出结果）
23．如图，正方形ABCD的顶点B在矩形AEFG的边EF上运动．
（1）如图1，点C在FG上，求∠FBG的大小；
（2）如图1，C是FG的中点，求证：CH＝DH；
（3）如图2，若AE＝2，EF＝3，，直接写出BE的长．
24．（11分）已知抛物线y＝﹣（x﹣m）2+4m的顶点在第一象限．
（1）如图（1），若m＝1，抛物线交x轴于点A，B，交y轴于点C．
①求A，B两点的坐标；
②D是第一象限内抛物线上的一点，连接AD，若AD恰好平分四边形ABDC的面积，求点D的坐标；
如图（2），P是抛物线对称轴与x轴的交点，T是x轴负半轴上一点，M，N是x轴下方抛物线上的两点，若四边形TMNP是平行四边形，且∠MTP＝45°，求OT的最大值．
参考答案与试题解析
一、选择题（共10题，每题3分，共30分.在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．（3分）比﹣1小2的数是（ ）
A．﹣3B．﹣2C．1D．3
【解答】解：比﹣1小2的数是就是﹣1与2的差，即﹣1﹣2＝﹣3．
故选：A．
2．（3分）下列图形中是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：选项A、B、D的图形都不能找到一个点，使这些图形绕某一点旋转180°与原来的图形重合，所以不是中心对称图形；
选项C的图形能找到一个点，使这个图形绕某一点旋转180°与原来的图形重合，所以是中心对称图形；
故选：C．
3．（3分）已知点P（1﹣a，2a+6）在第四象限，则a的取值范围是（ ）
A．a＜﹣3B．﹣3＜a＜1C．a＞﹣3D．a＞1
【解答】解：∵点P（1﹣a，2a+6）在第四象限，
∴，
解得a＜﹣3．
故选：A．
4．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a2•a3＝a5B．2a﹣a＝2
C．（a+2）2＝a2+4D．2a+3b＝5ab
【解答】解：A、a2•a3＝a5，故选项计算正确，符合题意；
B、2a﹣a＝a，故选项计算错误，不符合题意；
C、（a+2）2＝a2+4a+4，故选项计算错误，不符合题意；
D、2a，3b不是同类项，不能合并，故选项计算错误，不符合题意；
故选：A．
5．（3分）下列事件中是必然事件的是（ ）
A．抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上
B．随意翻到一本书的某页，这一页的页码是偶数
C．打开电视机，正在播放广告
D．从两个班级中任选三名学生，至少有两名学生来自同一个班级
【解答】解：A、抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上，是随机事件；
B、随意翻到一本书的某页，这一页的页码是偶数，是随机事件；
C、打开电视机，正在播放广告，是随机事件；
D、从两个班级中任选三名学生，至少有两名学生来自同一个班级，是必然事件；
故选：D．
6．（3分）如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P，点F为焦点．若∠1＝155°，∠2＝30°，则∠3的度数为（ ）
A．35°B．45°C．55°D．65°
【解答】解：∵AB∥OF，
∴∠1+∠OFB＝180°，
∵∠1＝155°，
∴∠OFB＝25°，
∵∠POF＝∠2＝30°，
∴∠3＝∠POF+∠OFB＝30°+25°＝55°．
故选：C．
7．（3分）一种弹簧秤最大能称不超过10kg的物体，不挂物体时弹簧的长为12cm，每挂重1kg物体，弹簧伸长0.5cm，在弹性限度内，挂重后弹簧的长度y（cm）与所挂物体的质量x（kg）之间的函数关系式为（ ）
A．y＝12﹣0.5xB．y＝12+0.5xC．y＝10+0.5xD．y＝0.5x
【解答】解：根据题意，得y＝12+0.5x（0≤x≤10），
故选：B．
8．（3分）已知点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）在反比例函数的图象上．其中x1＜x2＜0＜x3．下列结论正确的是（ ）
A．y3＜y1＜y2B．y1＜y2＜y3C．y3＜y2＜y1D．y2＜y1＜y3
【解答】解：∵反比例函数，
∴函数图象在第二、四象限，在每个象限内，y随着x的增大而增大，
又∵x1＜x2＜0＜x3，
∴y1＞0，y2＞0，y3＜0，y1＜y2，
∴y3＜y1＜y2，
故选：A．
9．（3分）如图，已知⊙O的半径是2，点A、B、C在⊙O上，若四边形OABC为菱形，则图中阴影部分面积为（ ）
A．π﹣2B．π﹣C．π﹣2D．π﹣
【解答】解：连接OB和AC交于点D，如图所示：
∵圆的半径为2，
∴OB＝OA＝OC＝2，
又四边形OABC是菱形，
∴OB⊥AC，OD＝OB＝1，
在Rt△COD中利用勾股定理可知：CD＝＝，AC＝2CD＝2，
∵sin∠COD＝＝，
∴∠COD＝60°，∠AOC＝2∠COD＝120°，
∴S菱形ABCO＝OB×AC＝×2×2＝2，
S扇形AOC＝＝，
则图中阴影部分面积为S扇形AOC﹣S菱形ABCO＝π﹣2，
故选：C．
10．（3分）已知点M（x1，y1），N（x2，y2）在抛物线y＝mx2﹣2m2x+m（m≠0）上，当x1+x2＞4且x1＜x2时，都有y1＜y2，则m的取值范围为（ ）
A．0＜m≤2B．﹣2≤m＜0C．m＞2D．m＜﹣2
【解答】解：方法一：∵抛物线y＝mx2﹣2m2x+m（m≠0），
∴该抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝m，
∵当x1+x2＞4且x1＜x2时，都有y1＜y2，
∴当m＞0时，
0＜2m≤4，
解得0＜m≤2；
当m＜0时，
2m＞4，
此时m无解；
由上可得，m的取值范围为0＜m≤2，
故选：A．
方法二：由y1＜y2可得，
（﹣2m2x2+n）﹣（﹣2m2x1+n）＞0，
整理，得：m（x2﹣x1）（x2+x1﹣2m）＞0，
∵x1+x2＞4且x1＜x2，
∴当m＞0时，则x2+x1﹣2m＞0，
即2m≤4，
解得m≤2，
∴0＜m≤2；
当m＜0时，则x2+x1﹣2m＜0，此时无解；
由上可得，0＜m≤2，
故选：A．
二、填空题（共5题，每题3分，共15分）
11．（3分）计算的结果是 x﹣1 ．
【解答】解：原式＝．
故答案为：x﹣1．
12．（3分）我国古代的数学名著《九章算术》中有下列问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺．问日织几何？”其意思为：今有一女子很会织布，每日加倍增长，5日共织布5尺．问每日各织多少布？根据此问题中的已知条件，可求得该女子第一天织布 尺．
【解答】解：设第一天织布x尺，则第二天织布2x尺，第三天织布4x尺，第四天织布8x尺，第五天织布16x尺，根据题意可得：
x+2x+4x+8x+16x＝5，
解得：x＝，
即该女子第一天织布尺．
故答案为：．
13．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是边AB上一点，连接CD，将线段CD绕点C按逆时针方向旋转90°得到线段CE，连接DE交BC于点F，连接BE．当AD＝BF时，∠BEF的大小是 67.5° ．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴∠A＝45°，
∵将线段CD绕点C按逆时针方向旋转90°得到线段CE，
∴CD＝CE，∠ECD＝∠ACB＝90°，
∴∠ACD＝∠BCE＝90°﹣∠BCD，
∵AC＝BC，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴∠CBE＝∠A＝45°，BE＝AD，
∵AD＝BF，
∴BF＝BE，
∴；
故答案为：67.5°．
14．（3分）班长邀请A，B，C，D四位同学参加圆桌会议．如图，班长坐在⑤号座位，四位同学随机坐在①②③④四个座位，则A，B两位同学座位相邻的概率是 ．
【解答】解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中A，B两位同学座位相邻的结果有6种，即①②、②①、②③、③②、③④、④③，
∴A，B两位同学座位相邻的概率为＝，
故答案为：．
15．（3分）如图，菱形ABCD的边AB＝10，，E是AB的中点，F是边CD上一点，将四边形AEFD沿直线EF折叠，A的对应点为A′，当CA′的长度最小时，CF的长是 ．
【解答】解：如图，过点A作关于EF的对称点A′，连接AA′，EA′，过点C作CG⊥AB于点G，
∵四边形ABCD为菱形，AB＝10，
∴BC＝AB＝10，AB∥CD，
∵E是AB的中点，
∴BE＝AE＝AB＝5，
根据折叠的性质可知，AE＝A′E＝5，∠AEF＝∠A′EF，
在△A′CE中，A′C＞CE﹣A′E，
∴当点A′在CE上时，A′C取得最小值，此时A′C＝CE﹣A′E，
当点A′在CE上时，如图，设AA′交EF于点H，
在Rt△BGC中，BC＝10，tan∠B＝＝，
∴设CG＝3x，BG＝4x（x＞0），
在Rt△BCG中，BG2+CG2＝BC2，
∴（4x）2+（3x）2＝102，
解得：x1＝2，x2＝﹣2（舍去），
∴CG＝6，BG＝8，
∴EG＝BG﹣BE＝8﹣5＝3，
在Rt△CEG中，CE＝＝＝，
∵AB∥CD，
∴∠CFE＝∠AEF，
∴∠CFE＝∠CEF，
∴CE＝CF＝．
故答案为：．
三、解答题（共9题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16．（6分）计算：．
【解答】解：原式＝2+4+2+2＝10．
17．（6分）如图，B，E，C，F在一条直线上，已知AB∥DE，AC∥DF，BE＝CF，连接AD．求证：四边形ABED是平行四边形．
【解答】证明：∵AB∥DE，AC∥DF，
∴∠B＝∠DEF，∠ACB＝∠F．
∵BE＝CF，
∴BE+CE＝CF+CE，
∴BC＝EF．
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（ASA），
∴AB＝DE．
又∵AB∥DE，
∴四边形ABED是平行四边形．
18．（6分）如图所示，某海监船以20海里/小时的速度在某海域执行巡航任务，当海监船由西向东航行至A处时，测得岛屿P恰好在其正北方向，继续向东航行1小时到达B处，测得岛屿P在其北偏西30°方向，保持航向不变又航行2小时到达C处，求出此时海监船与岛屿P之间的距离（即PC的长，结果精确到0.1）（参考数据：≈1.732，≈1.414）
【解答】解：在Rt△PAB中，∵∠APB＝30°，
∴PB＝2AB，
由题意BC＝2AB，
∴PB＝BC，
∴∠C＝∠CPB，
∵∠ABP＝∠C+∠CPB＝60°，
∴∠C＝30°，
∴PC＝2PA，
∵PA＝AB•tan60°，
∴PC＝2×20×≈69.3（海里）．
19．（8分）某板栗育种改良试验基地对新培育的甲、乙两个品种各试种一亩，从两块试验地中各随机抽取10棵，对其产量（千克/棵）进行整理分析．下面给出了部分信息：
甲品种：2.0，3.2，3.1，3.2，3.1，2.5，3.2，3.6，3.8，3.9
乙品种：如图所示
根据以上信息，完成下列问题：
（1）填空：a＝ 3.2 ，b＝ 3.5 ；
（2）若乙品种种植300棵，估计其产量不低于3.2千克的棵数；
（3）请从某一个方面简要说明哪个品种更好．
【解答】解：（1）甲中数据排序后，第5个数据和第6个数据均为：3.2，
∴a＝3.2；
由折线图可知，乙中数据出现次数最多的是：3.5，
∴b＝3.5；
故答案为：3.2，3.5；
（2）（棵）；
（3）因为甲品种的方差为0.29，乙品种的方差为0.15，所以乙品种更好，产量稳定．
20．（8分）已知直线y＝x与反比例函数y＝的图象在第一象限交于点M（2，a）．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）如图，将直线y＝x向上平移b个单位后与y＝的图象交于点A（1，m）和点B（n，﹣1），求b的值；
（3）在（2）的条件下，设直线AB与x轴、y轴分别交于点C，D，求证：△AOD≌△BOC．
【解答】（1）解：∵直线y＝x过点M（2，a），
∴a＝2，
∴将M（2，2）代入中，得k＝4，
∴反比例函数的解析式为；
（2）解：由（1）知，反比例函数的解析式为，
∵点A（1，m）在的图象上，
∴m＝4，
∴A（1，4），
由平移得，平移后直线AB的解析式为y＝x+b，
将A（1，4）代入y＝x+b中，得b＝3；
（3）证明：如图，过点A作AE⊥y轴于点E，过B点作BF⊥x轴于点F．
由（1）知，反比例函数的解析式为，
∵点B（n，﹣1）在的图象上，
∴n＝﹣4，
∴B（﹣4，﹣1），
∵A（1，4），
∴AE＝BF，OE＝OF，
∴∠AEO＝∠BFO，
∴△AOE≌△BOF（SAS），
∴∠AOE＝∠BOF，OA＝OB，
由（2）知，b＝3，
∴平移后直线AB的解析式为y＝x+3，
又∵直线y＝x+3与x轴、y轴分别交于点C，D，
∴C（﹣3，0），D（0，3），
∴OC＝OD，
在△AOD和△BOC中，
，
∴△AOD≌△BOC（SAS）．
21．（8分）如图，△ABC是圆的内接三角形，点E在弦AD上，BE平分∠ABC，BD＝ED．
（1）求证：AD平分∠BAC；
（2）若BC为直径，且BC＝10，AB＝8，求AD的长．
【解答】（1）证明：∵∠CBD＝∠CAD，
∴∠DBE＝∠CBE+∠CBD＝∠CBE+∠CAD，
∵BD＝ED，
∴∠DEB＝∠DBE，
∵∠DEB＝∠ABE+∠BAD，
∴∠ABE+∠BAD＝∠CBE+∠CAD，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，
∴∠BAD＝∠CAD，
∴AD平分∠BAC．
（2）解：作DF⊥AD交AC的延长线于点F，设△ABC是⊙O的外接圆的圆心为点O，
∵BC是⊙O的直径，BC＝10，AB＝8，
∴∠BAC＝90°，
∴AC＝＝＝6，∠CAD＝∠BAD＝∠BAC＝45°，
∵∠ADF＝90°，
∴∠F＝∠CAD＝∠BAD＝45°，
∴FD＝AD，
∵∠FCD+∠ACD＝180°，∠ABD+∠ACD＝180°，
∴∠FCD＝∠ABD，
∵＝，
∴CD＝BD，
在△FCD和△ABD中，
，
∴△FCD≌△ABD（AAS），
∴FC＝AB＝8，
∴AF＝AC+FC＝6+8＝14，
∵AF＝＝＝AD＝14，
∴AD＝7，
∴AD的长是7．
22．（10分）如图，某公园的一组同步喷泉由间隔等距的若干个一样的喷泉组成，呈抛物线形的水流从垂直于地面且高出湖面1m的喷头中向同一侧喷出，每个喷头喷出的水流可看作同样的抛物线．若记水柱上某一位置与喷头的水平距离为x m，喷出水流与湖面的垂直高度为y m．
如表中记录了一个喷头喷出水柱时x m与y m的几组数据：
（1）如图，以喷泉与湖面的交点为原点，建立如图平面直角坐标系，求此抛物线的解析式；
（2）现有一个顶棚为矩形的单人皮划艇，顶棚每一处离湖面的距离为1.75m．顶棚刚好接触到水柱，求该皮划艇顶棚的宽度．
（3）现公园管理方准备通过只调节喷头露出湖面的高度，使得游船能从抛物线形水柱下方通过，为避免游客被喷泉淋湿，要求游船从抛物线形水柱下方中间通过时，顶棚上任意一点到水柱的竖直距离均不小于0.5m，已知游船顶棚宽度为2m，顶棚到湖面的高度为1.5m，那么公园应将喷头（喷头忽略不计）至少向上移动多少m才能符合要求？（直接写出结果）
【解答】解：（1）根据表格可设二次函数的解析式为：y＝a（x﹣2）2+1.8，
将（0，1）代入y＝a（x﹣2）2+1.8得，4a+1.8＝1，
解得a＝﹣0.2，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣0.2（x﹣2）2+1.8；
（2）当y＝1.75时，﹣0.2（x﹣2）2+1.8＝1.75，
解得x1＝2.5，x2＝1.5，
∵2.5﹣1.5＝1（米），
∴该皮划艇顶棚的宽度为1米；
（3）设调节后的水管喷出的抛物线的解析式为：y＝﹣0.2（x﹣2）2+1.8+m，
由题意可知，当横坐标为2+1＝3时，纵坐标的值不小于1.5+0.5＝2，
∴﹣0.2×（3﹣2）2+1.8+m≥2，
解得m≥0.4，
∴水管高度至少向上调节0.4米．
23．如图，正方形ABCD的顶点B在矩形AEFG的边EF上运动．
（1）如图1，点C在FG上，求∠FBG的大小；
（2）如图1，C是FG的中点，求证：CH＝DH；
（3）如图2，若AE＝2，EF＝3，，直接写出BE的长．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，四边形AEFG是矩形，
∴AB＝BC，AE＝GF，∠E＝∠F＝∠ABC＝90°．
又∵∠EBA+∠FBC＝∠BCF+∠FBC＝90°，
∴∠EBA＝∠BCF．
∴△AEB≌△BFC（AAS）．
∴AE＝BF．
∴GF＝BF．
∴∠FBG＝∠BGF＝45°；
（2）证明：如图1，分别延长AG与BC交于点P．
∵∠PGC＝∠BFC＝90°，CG＝FC，∠PCG＝∠BCF，
∴△PCG≌△BCF，
∴PC＝BC．
∵AD＝BC，
∴AD＝PC．
又∵∠ADH＝∠PCH＝90°，∠AHD＝∠PHC，
∴△ADH≌△PCH（AAS）．
∴DH＝CH．
（3）解：过点C作CM⊥FG于点M，作CN⊥EF于点N，连CG，
则四边形CMFN为矩形，
由（1）可得△AEB≌△BNC，
∴BN＝AE＝2，CN＝BE，
设：CN＝BE＝x
则：CM＝FN＝|2﹣3+x|＝|x﹣1|，FM＝CN＝x，
∴GM＝|2﹣x|
在Rt△GMC中，
GC2＝MC2+MG2＝（x﹣1）2+（2﹣x）2＝2，
解得：或．
∴或．
24．（11分）已知抛物线y＝﹣（x﹣m）2+4m的顶点在第一象限．
（1）如图（1），若m＝1，抛物线交x轴于点A，B，交y轴于点C．
①求A，B两点的坐标；
②D是第一象限内抛物线上的一点，连接AD，若AD恰好平分四边形ABDC的面积，求点D的坐标；
（2）如图（2），P是抛物线对称轴与x轴的交点，T是x轴负半轴上一点，M，N是x轴下方抛物线上的两点，若四边形TMNP是平行四边形，且∠MTP＝45°，求OT的最大值．
【解答】解：（1）当m＝1时，抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣1）2+4＝﹣x2+2x+3，
①当y＝0时，﹣x2+2x+3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，
∴A（﹣1，0），B（3，0）．
②连接BC交AD于点E，分别过点B，C作AD的垂线，垂足分别为F，G，如图所示：
由题意，得S△ADB＝S△ADC，
∴BF＝CG，
∴△BFE≌△CGE（AAS），
∴BE＝CE，
∴点E为BC的中点，由B（3，0），C（0，3），点E的坐标为，
求得AD的解析式为，
由，得5x2﹣7x﹣12＝0，
解得，x2＝﹣1（舍去），
∴点D为；
（2）过点N作NH⊥x轴，垂足为H，
∵P是抛物线对称轴与x轴的交点，
∴xP＝m，
∵T是x轴负半轴上一点，
∴设xT＝t（t＜0）．
∵MN∥PT，且MN＝PT，
∴xN﹣xM＝xP﹣xT＝m﹣t，xM+xN＝2m，
两式相加，得，
∵∠MTP＝∠NPH＝45°，
∴△PNH为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
整理为关于m的方程为m2﹣（2t+18）m+t2+2t＝0，
由题意，得Δ＝（2t+18）2﹣4（t2+2t）≥0，
解得，
此时关于m的方程的两根之和m1+m2＝2t+18＞0，
当时，m必有正根，
∴OT的最大值是．平均数
中位数
众数
方差
甲品种
3.16
a
3.2
0.29
乙品种
3.16
3.3
b
0.15
x（m）
0
1
2
3
4.5
y（m）
1
1.6
1.8
1.6
0.55
平均数
中位数
众数
方差
甲品种
3.16
a
3.2
0.29
乙品种
3.16
3.3
b
0.15
x（m）
0
1
2
3
4.5
y（m）
1
1.6
1.8
1.6
0.55