浙江省杭州市建兰中学2023-2024学年七年级下学期期中数学试题

这是一份浙江省杭州市建兰中学2023-2024学年七年级下学期期中数学试题，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）下列计算中，正确的是（ ）
A．a3+a4＝a7B．（a2）3＝a5
C．（2a）5＝10a5D．a2•a3＝a5
2．（3分）下列图形中，∠1与∠2不是同位角的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（3分）下列说法中正确的是（ ）
A．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行
B．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C．从直线外一点到已知直线引垂线，点和垂足之间的垂线段叫做这个点到这条直线的距离
D．如果直线a与b相交，b与c相交，那么a与c相交
4．（3分）已知是方程2x+m+y＝0的一个解，那么m的值是（ ）
A．3B．1C．﹣3D．﹣1
5．（3分）下列多项式相乘，不能用平方差公式计算的是（ ）
A．（4x﹣3y）（3y﹣4x）B．（﹣4x+3y）（﹣4x﹣3y）
C．D．（3y+2x）（2x﹣3y）
6．（3分）小明从家骑车到学校有一段平路和一段上坡路．在平路、上坡路和下坡路上，他踦车的速度分别为12km/h、10km/h、15km/h．他骑车从家到学校需要40分钟；骑车从学校回家需要30分钟．设小明从家到学校的平路有x km，上坡路有y km，则依题意所列的方程组是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（3分）如果（x2+px+q）（x2﹣3x+2）的展开式中不含x2项和x项，则p，q的值分别为（ ）
A．p＝0，q＝0B．p＝﹣3，q＝﹣9C．p＝，q＝D．p＝﹣3，q＝1
8．（3分）两个大小不一的正方形①和②如图1放置时，AB＝a，CD＝b．现有①和②两种正方形各四个，摆放成如图2所示形状，那么阴影部分的面积可用a，b表示为（ ）
A．4a2﹣4b2B．4abC．a2﹣b2D．ab
9．（3分）如图1是某景区电动升降门，将其抽象为几何图形，如图2所示，BA垂直于地面AE于A，当CD平行于地面AE时，则∠ABC+∠BCD的值为（ ）
A．180°B．210°C．250°D．270°
10．（3分）对x、y定义一种新运算T，规定：T（x，y）＝axy+bx﹣4（其中a、b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算．例如：T（0，1）＝a×0×1+b×0﹣4＝﹣4，若T（2，1）＝2，T（﹣1，2）＝﹣8，则下列结论正确的个数为（ ）
（1）a＝1，b＝2；
（2）若T（m，n）＝0，（n≠﹣2），则；
（3）若T（m，n）＝0，则m、n有且仅有3组整数解；
（4）若T（kx，y）＝T（ky，x）对任意有理数x、y都成立，则k＝1．
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）计算x2•（﹣x）3＝ ．
12．（4分）已知3m＝8，3n＝2，则3m+n＝ ．
13．（4分）已知二元一次方程4x﹣7y＝3，用含y的代数式表示x，则x＝ ．
14．（4分）如图，将周长为14的△ABC向右平移1个单位后得到△DEF，则四边形ABFD的周长＝ ．
15．（4分）已知方程组与有相同的解，则（m﹣n）2＝ ．
16．（4分）如图1是一盏可调节台灯，图2，图3为示意图．固定底座AO⊥OE于点O，BA与CB是分别可绕点A和B旋转的调节杆．在调节过程中，灯体CD始终保持平行于OE，台灯最外侧光线DM，DN组成的∠MDN始终保持不变．如图2，调节台灯使光线DN∥BA，此时∠BAO＝130°，且CD的延长线恰好是∠MDN的角平分线，则∠MDN＝ ．如图3，调节台灯使光线MD垂直AB于点B，此时∠BAO＝120°，则∠PDN＝ ．
三、解答题（本题有7小题，共66分）
17．（8分）计算：
（1）（﹣2mn2）•（3m3n）2；
（2）；
（3）3xy•2y+x（2x﹣y2）；
（4）2x（x+y）﹣3y（x+1）．
18．（8分）解下列方程组：
（1）；
（2）．
19．（8分）（1）先化简，再求值：（a+2）（a+3）﹣a（a+4），其中a＝6．
（2）已知x2﹣2x﹣1＝0，求代数式2（x+1）（x﹣1）﹣（x+1）2的值．
20．（8分）如图，已知F，E分别是射线AB，CD上的点．连接AC，AE平分∠BAC，EF平分∠AED，∠2＝∠3．
（1）试说明AB∥CD；
（2）若∠AFE﹣∠2＝30°，求∠AFE的度数．
21．（10分）（1）请同学们观察：用4个长为a宽为b的长方形硬纸片拼成的图形（如图），根据图形的面积关系，我们可以写出一个代数恒等式为：（a+b）2﹣（ ）2＝（ ）；
（2）根据（1）中的等量关系，解决如下问题：
①若m+n＝8，mn＝12，求m﹣n的值；
②已知（2m+n）2＝13，（2m﹣n）2＝5，请利用上述等式求mn的值．
22．（12分）如图，已知点C，F为直线AB上两点，在AB同侧有三条射线CE，CD，FG，CD平分∠ECB，CD∥FG．
（1）若∠ACE＝50°，求∠BFG的度数．
（2）若∠ACE＝m°，请直接用含m的代数式表示∠BFG的度数．
23．（12分）如图1，将三角板ABC与三角板ADE摆放在一起；如图2，其中∠ACB＝30°，∠DAE＝45°，∠BAC＝∠D＝90°．固定三角板ABC，将三角板ADE绕点A按顺时针方向旋转，记旋转角∠CAE＝α（0°＜α＜180°）．
（1）当α为 度时，AD∥BC，并在图3中画出相应的图形；
（2）在旋转过程中，试探究∠CAD与∠BAE之间的关系；
（3）当△ADE旋转速度为5°/秒时，且它的一边与△ABC的某一边平行（不共线）时，直接写出时间t的所有值．
参考答案与试题解析
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）下列计算中，正确的是（ ）
A．a3+a4＝a7B．（a2）3＝a5
C．（2a）5＝10a5D．a2•a3＝a5
【解答】解：A、a3+a4＝a3（1+a），故选项A不符合题意；
B、（a3）2＝a6，故选项B不符合题意；
C、（2a）5＝32a5，故选项C不符合题意；
D、a2a3＝a5，故选项D符合题意；
故选：D．
2．（3分）下列图形中，∠1与∠2不是同位角的是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：A．∠1与∠2是同位角，故本选项不符合题意；
B．∠1与∠2不是同位角，故本选项符合题意；
C．∠1与∠2是同位角，故本选项不符合题意；
D．∠1与∠2是同位角，故本选项不符合题意；
故选：B．
3．（3分）下列说法中正确的是（ ）
A．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行
B．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C．从直线外一点到已知直线引垂线，点和垂足之间的垂线段叫做这个点到这条直线的距离
D．如果直线a与b相交，b与c相交，那么a与c相交
【解答】解：A．在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故本选项不符合题意；
B．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故本选项符合题意；
C．从直线外一点到已知直线引垂线，点和垂足之间的垂线段的长度叫做这个点到这条直线的距离，故本选项不符合题意；
D．如果直线a与b相交，b与c相交，那么a与c相交或者a与c平行，故本选项不符合题意．
故选：B．
4．（3分）已知是方程2x+m+y＝0的一个解，那么m的值是（ ）
A．3B．1C．﹣3D．﹣1
【解答】解：将代入方程2x+m+y＝0中可得，2+m﹣1＝0，
解得m＝﹣1，
故选：D．
5．（3分）下列多项式相乘，不能用平方差公式计算的是（ ）
A．（4x﹣3y）（3y﹣4x）B．（﹣4x+3y）（﹣4x﹣3y）
C．D．（3y+2x）（2x﹣3y）
【解答】解：A、（4x﹣3y）（3y﹣4x）＝﹣（4x﹣3y）2，用的是完全平方公式，故选项A符合题意；
B、（﹣4x+3y）（﹣4x﹣3y）＝（﹣4x）2﹣（3y）2，用的是平方差公式，故选项B不符合题意；
C、（﹣x+2y）（﹣x﹣2y）＝（﹣x）2﹣（2y）2，用的是平方差公式，故选项C不符合题意；
D、（3y+2x）（3y﹣2x）＝（3y）2﹣（2x）2，用的是平方差公式，故选项D不符合题意；
故选：A．
6．（3分）小明从家骑车到学校有一段平路和一段上坡路．在平路、上坡路和下坡路上，他踦车的速度分别为12km/h、10km/h、15km/h．他骑车从家到学校需要40分钟；骑车从学校回家需要30分钟．设小明从家到学校的平路有x km，上坡路有y km，则依题意所列的方程组是（ ）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：依据题意得，小明骑车在平路所需的时间为小时，上坡路所需的时间为，下坡路所需的时间为，
则上学共需时间为小时，放学回家共需的时间为小时，
40分钟＝小时，30分钟＝小时，
可列出方程组为．
故选：A．
7．（3分）如果（x2+px+q）（x2﹣3x+2）的展开式中不含x2项和x项，则p，q的值分别为（ ）
A．p＝0，q＝0B．p＝﹣3，q＝﹣9C．p＝，q＝D．p＝﹣3，q＝1
【解答】解：∵（x2+px+q）（x2﹣3x+2）＝x4+（p﹣3）x3+（2﹣3p+q）x2+（2p﹣3q）x+2，
又∵式子展开式中不含x2项和x项，
∴，
解得．
故选：C．
8．（3分）两个大小不一的正方形①和②如图1放置时，AB＝a，CD＝b．现有①和②两种正方形各四个，摆放成如图2所示形状，那么阴影部分的面积可用a，b表示为（ ）
A．4a2﹣4b2B．4abC．a2﹣b2D．ab
【解答】解：设正方形乙的边长为x，正方形甲的边长为y，由图①可得：
，
∴（x+y）（x﹣y）＝ab，
S阴＝4x2﹣4y2＝4（x2﹣y2）＝4ab．
故选：B．
9．（3分）如图1是某景区电动升降门，将其抽象为几何图形，如图2所示，BA垂直于地面AE于A，当CD平行于地面AE时，则∠ABC+∠BCD的值为（ ）
A．180°B．210°C．250°D．270°
【解答】解：过点B作BF∥AE，如图：
∵CD∥AE，
∴BF∥CD，
∴∠BCD+∠CBF＝180°，
∵AB⊥AE，BF∥AE，
∴AB⊥BF，
∴∠ABF＝90°，
∴∠ABC+∠BCD＝∠ABF+∠CBF+∠BCD＝90°+180°＝270°．
故选：D．
10．（3分）对x、y定义一种新运算T，规定：T（x，y）＝axy+bx﹣4（其中a、b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算．例如：T（0，1）＝a×0×1+b×0﹣4＝﹣4，若T（2，1）＝2，T（﹣1，2）＝﹣8，则下列结论正确的个数为（ ）
（1）a＝1，b＝2；
（2）若T（m，n）＝0，（n≠﹣2），则；
（3）若T（m，n）＝0，则m、n有且仅有3组整数解；
（4）若T（kx，y）＝T（ky，x）对任意有理数x、y都成立，则k＝1．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【解答】解：∵T（2，1）＝2，T（﹣1，2）＝﹣8，
∴，
解得，故（1）正确；
∵T（m，n）＝0，
∴mn+2m﹣4＝0，
∵n≠﹣2，
∴，故（2）正确；
∵T（m，n）＝0，
∴mn+2m﹣4＝0，
当n＝﹣2时，则﹣4＝0不成立，
∴n≠﹣2，
∴，
∵m、n都是整数，
∴n+2＝±4或n+2＝±2或n+2＝±1，
∴n＝2或﹣6或0或﹣4或﹣1或﹣3，
∴满足题意的m、n的值可以为，，，，，，故（3）错误；
∵T（kx，y）＝T（ky，x），
∴kxy+2kx﹣4＝kxy+2ky﹣4，
∴2kx﹣2ky＝0，
∴2k（x﹣y）＝0，
∵T（kx，y）＝T（ky，x）对任意有理数x、y都成立，
∴k＝0，故（4）错误．
综上：正确的有①②．
故选：B．
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）计算x2•（﹣x）3＝ ﹣x5 ．
【解答】解：x2•（﹣x）3＝﹣x5．
故答案为：﹣x5．
12．（4分）已知3m＝8，3n＝2，则3m+n＝ 16 ．
【解答】解：∵3m＝8，3n＝2，
∴3m+n＝3m•3n＝8×2＝16．
故答案为：16．
13．（4分）已知二元一次方程4x﹣7y＝3，用含y的代数式表示x，则x＝ ．
【解答】解：4x﹣7y＝3，
4x＝3+7y，
解得：x＝，
故答案为：．
14．（4分）如图，将周长为14的△ABC向右平移1个单位后得到△DEF，则四边形ABFD的周长＝ 16 ．
【解答】解：∵△ABC沿BC方向向右平移1个单位得到△DEF，
∴AC＝DF，AD＝CF＝1，
∵△ABC的周长为14，即AB+BC+AC＝14，
∴四边形ABFD的周长＝AB+BC+CF+DF+AD＝AB+BC+AC+AD+CF＝14+2＝16．
故答案为：16．
15．（4分）已知方程组与有相同的解，则（m﹣n）2＝ 144 ．
【解答】解：∵方程组与有相同的解，
∴与有相同的解，
①×2+②得：x＝1，
把x＝1代入①得：y＝﹣2，
把x＝1，y＝﹣2代入③得：m＝14，
把x＝1，y＝﹣2代入④得：n＝2，
∴（m﹣n）2＝（14﹣2）2＝122＝144，
故答案为：144．
16．（4分）如图1是一盏可调节台灯，图2，图3为示意图．固定底座AO⊥OE于点O，BA与CB是分别可绕点A和B旋转的调节杆．在调节过程中，灯体CD始终保持平行于OE，台灯最外侧光线DM，DN组成的∠MDN始终保持不变．如图2，调节台灯使光线DN∥BA，此时∠BAO＝130°，且CD的延长线恰好是∠MDN的角平分线，则∠MDN＝ 80° ．如图3，调节台灯使光线MD垂直AB于点B，此时∠BAO＝120°，则∠PDN＝ 20° ．
【解答】解：过点A作AF∥OE，过点B作BG∥AF交DN于点H，
∵AO⊥OE，
∴∠AOE＝90°，
∵AF∥OE，
∴∠OAF＝90°，
∴∠BAF＝∠BAO﹣∠OAF＝40°，
∵BG∥AF，
∴∠BAF＝∠HBA＝40°，
∵DN∥BA，
∴∠DHB＝∠HBA＝40°，
∵AF∥OE，CD∥OE，BG∥AF，
∴BG∥CD；
∴∠DHB＝∠PDN＝40°，
∵CD的延长线恰好是∠MDN的角平分线，
∴∠MDN＝2∠PDN＝80°；
由题意，得：∠MBA＝90°，
过点D作DK∥AB，过点A作AL∥OE，过点B作BQ∥AL交DK于点Q，
同（1）法可得：∠PDK＝∠BQD＝∠ABQ＝∠BAL＝∠BAO﹣∠OAL＝30°，
∵DK∥AB，
∴∠MDK＝∠MBA＝90°，
∴∠NDQ＝∠MDK﹣∠MDN＝90°﹣80°＝10°，
∴∠PDN＝∠PDK﹣∠NDQ＝30°﹣10°＝20°．
故答案为：80°；20°．
三、解答题（本题有7小题，共66分）
17．（8分）计算：
（1）（﹣2mn2）•（3m3n）2；
（2）；
（3）3xy•2y+x（2x﹣y2）；
（4）2x（x+y）﹣3y（x+1）．
【解答】解：（1）（﹣2mn2）•（3m3n）2
＝﹣2mn2•9m6n2；
＝﹣18m7n4；
（2）
＝×
＝1×
＝；
（3）3xy•2y+x（2x﹣y2）
＝6xy2+2x2﹣2xy2
＝2x2+4xy2；
（4）2x（x+y）﹣3y（x+1）
＝2x2+2xy﹣3xy﹣3y
＝2x2﹣xy﹣3y．
18．（8分）解下列方程组：
（1）；
（2）．
【解答】解：（1），
①+②得：9x＝3，
解得x＝，
再将x＝代入①得，y＝，
∴此方程组的解为；
（2）化简原方程组得，
②×5得：﹣5x+45y＝10③，
①+③得：46y＝46，
解得：y＝1，
把y＝1代入②得：﹣x+9＝2，
解得：x＝7，
故原方程组的解是．
19．（8分）（1）先化简，再求值：（a+2）（a+3）﹣a（a+4），其中a＝6．
（2）已知x2﹣2x﹣1＝0，求代数式2（x+1）（x﹣1）﹣（x+1）2的值．
【解答】解：（1）原式＝a2+2a+3a+6﹣a2﹣4a
＝a+6，
当a＝6时，原式＝6+6＝12；
（2）原式＝2（x2﹣1）﹣（x2+2x+1）
＝2x2﹣2﹣x2﹣2x﹣1
＝x2﹣2x﹣3，
∵x2﹣2x﹣1＝0，
∴x2﹣2x＝1，
∴原式＝1﹣3＝﹣2．
20．（8分）如图，已知F，E分别是射线AB，CD上的点．连接AC，AE平分∠BAC，EF平分∠AED，∠2＝∠3．
（1）试说明AB∥CD；
（2）若∠AFE﹣∠2＝30°，求∠AFE的度数．
【解答】解：（1）∵AE平分∠BAC，
∴∠1＝∠2，
∵∠2＝∠3，
∴∠1＝∠3，
∴AB∥CD；
（2）∵∠AFE﹣∠2＝30°，
∴∠AFE＝∠2+30°，
∵AB∥CD，
∴∠AFE＝∠FED＝∠2+30°，
∵EF平分∠AED，
∴∠AED＝2∠FED＝2∠2+60°，
∵∠3+∠AED＝180°，
∴∠3+2∠2+60°＝180°，
∵∠3＝∠2，
∴∠2＝40°，
∴∠AFE＝∠2+30°＝70°，
∴∠AFE的度数为70°．
21．（10分）（1）请同学们观察：用4个长为a宽为b的长方形硬纸片拼成的图形（如图），根据图形的面积关系，我们可以写出一个代数恒等式为：（a+b）2﹣（ a﹣b ）2＝（ 4ab ）；
（2）根据（1）中的等量关系，解决如下问题：
①若m+n＝8，mn＝12，求m﹣n的值；
②已知（2m+n）2＝13，（2m﹣n）2＝5，请利用上述等式求mn的值．
【解答】解：（1）（a+b）2﹣（a﹣b）2＝a2+2ab+b2﹣（a2﹣2ab+b2）＝a2+2ab+b2﹣a2+2ab+b2＝4ab；
故答案为：a﹣b，4ab；
（2）①∵m+n＝8，mn＝12，
∴（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn＝82﹣4×12＝16，
∴m﹣n＝±4；
②∵（2m+n）2＝13，（2m﹣n）2＝5，
∴（2m+n）2﹣（2m﹣n）2＝（2m+n﹣2m+n）（2m+n+2m﹣n）＝2n×4m＝8mn＝13﹣5＝8，
∴mn＝1．
22．（12分）如图，已知点C，F为直线AB上两点，在AB同侧有三条射线CE，CD，FG，CD平分∠ECB，CD∥FG．
（1）若∠ACE＝50°，求∠BFG的度数．
（2）若∠ACE＝m°，请直接用含m的代数式表示∠BFG的度数．
【解答】解：（1）∵∠ACE＝50°，
∴∠BCE＝180°﹣∠ACE＝130°，
∵CD平分∠ECB，
∴∠DCB＝∠BCE＝65°，
∵CD∥FG，
∴∠DCB＝∠BFG＝65°，
∴∠BFG的度数为65°；
（2）∠BFG的度数为90°﹣m°，
理由：∵∠ACE＝m°，
∴∠BCE＝180°﹣∠ACE＝180°﹣m°，
∵CD平分∠ECB，
∴∠DCB＝∠BCE＝90°﹣m°，
∵CD∥FG，
∴∠DCB＝∠BFG＝90°﹣m°，
∴∠BFG的度数为90°﹣m°．
23．（12分）如图1，将三角板ABC与三角板ADE摆放在一起；如图2，其中∠ACB＝30°，∠DAE＝45°，∠BAC＝∠D＝90°．固定三角板ABC，将三角板ADE绕点A按顺时针方向旋转，记旋转角∠CAE＝α（0°＜α＜180°）．
（1）当α为 15 度时，AD∥BC，并在图3中画出相应的图形；
（2）在旋转过程中，试探究∠CAD与∠BAE之间的关系；
（3）当△ADE旋转速度为5°/秒时，且它的一边与△ABC的某一边平行（不共线）时，直接写出时间t的所有值．
【解答】解：（1）当α＝15°时，AD∥BC，
图形如下：
故答案为15；
（2）设：∠CAD＝γ，∠BAE＝β，
①如图，当0°＜α≤45°时，
α+β＝90°，α+γ＝45°，
故β﹣γ＝45°；
②当45°＜α≤90°时，
同理可得：γ+β＝45°，
③当90°＜α＜180°时，
同理可得：γ﹣β＝45°；
（3）①当AD∥BC时，α＝15°，t＝3；
②当DE∥AB时，α＝45°，t＝9；
③当DE∥BC时，α＝105°，t＝21；
④当DE∥AC时，α＝135°，t＝27；
⑤当AE∥BC时，α＝150°，t＝30；
综上，t＝3或9或21或27或30．