山东省临沂河东外国语学校2021-2022学年高一下学期期末监测数学试卷

这是一份山东省临沂河东外国语学校2021-2022学年高一下学期期末监测数学试卷，共18页。

2．（5分）sin70°sin40°﹣sin50°cs110°＝（ ）
A．B．C．D．
3．（5分）某居民小区户主人数和户主对户型结构的满意率如图（1）和图（2）所示，为了解该小区户主对户型结构的满意程度，用比例分配的分层随机抽样方法抽取25%的户主作为样本进行调查，则样本容量和抽取的户主对四居室满意的人数分别为（ ）
A．200，16B．200，18C．240，16D．240，18
4．（5分）考虑掷硬币试验，设事件A＝“正面朝上”，则下列论述正确的是（ ）
A．掷2次硬币，事件“一个正面，一个反面”发生的概率为
B．掷8次硬币，事件A发生的次数一定是4
C．重复掷硬币，事件A发生的频率等于事件A发生的概率
D．当投掷次数足够多时，事件A发生的频率接近0.5
5．（5分）已知m，n表示两条不同的直线，α，β表示两个不同的平面，则下列结论正确的是（ ）
A．若m∥α，m⊥n，则n⊥αB．若m∥α，β⊥α，则m∥β
C．若m∥α，n⊥α，则m⊥nD．若m∥α，m⊥β，则α∥β
6．（5分）攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构样式，多见于亭阁式建筑、园林建筑．如图所示的带有攒尖的建筑屋顶可近似看作一个圆锥，其底面积为9π，侧面展开图是圆心角为的扇形，则该屋顶的体积约为（ ）
A．B．16πC．18πD．
7．（5分）已知在边长为2的等边△ABC中，向量，满足，，则||＝（ ）
A．2B．C．D．3
8．（5分）一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A处测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A向北偏东30°前进60m到达点B，在点B处测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是（ ）
A．25mB．30mC．35mD．40m
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
（多选）9．（5分）已知复数z满足（i﹣1）z＝2i，则（ ）
A．|z|＝
B．z的虚部为﹣i
C．z的共轭复数为＝﹣1+i
D．z是方程x2﹣2x+2＝0的一个根
（多选）10．（5分）某学生5次考试的成绩（单位：分）分别为85，69，m，80，91，其中m＞0．若该学生在这5次考试中成绩的中位数为80，则5次考试成绩的平均数可能为（ ）
A．76B．80C．81D．85
11．（5分）盒子里有2个红球和2个白球，从中不放回地依次取出2个球，设事件A＝“两个球颜色相同”，B＝“第1次取出的是红球”，C＝“第2次取出的是红球”，D＝“两个球颜色不同”．则下列说法错误的是（ ）
A．A与B相互独立B．A与D互为对立
C．B与C互斥D．B与D相互独立
（多选）12．（5分）已知正三棱台的上底面边长为6，下底面边长为12，侧棱长为6，则（ ）
A．棱台的高为
B．棱台的表面积为
C．棱台的侧棱与底面所成角的余弦值为
D．棱台的侧面与底面所成二面角的正弦值为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（5分）甲、乙两人打把，已知甲的命中率为0.6，乙的命中率为0.7，若甲、乙分别向同一靶子射击一次，则该靶子被击中的概率为 ．
14．（5分）如图，正方形A1B1C1D1是一水平放置的平面图形ABCD在斜二测画法下的直观图．若A1B1＝3，则平面图形ABCD的面积是 ．
15．（5分）公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割值约为0.618，这一数值也可以表示为m＝2sin18°．若m2+n＝4，则＝ ．
16．（5分）如图，四个边长为1的等边三角形有一条边在同一条直线上，边B4C4上有10个不同的点P1，P2，…，P10，记mi＝，则m1+m2+…+m10＝ ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）某数学学习小组有男同学3名（记为a1，a2，a3），女同学2名（记为b1，b2）、现从中随机选出2名同学去参加学校组织的数学竞赛（每人被选到的可能性相同）．
（1）求参赛学生中恰为1名男同学和1名女同学的概率；
（2）求参赛学生中至少有1名女同学的概率．
18．（12分）已知函数．
（1）求f（x）的周期；
（2）将函数f（x）的图象向右平移个单位，再把图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数g（x）的图象，求g（x）在[0，π]上的值域．
19．（12分）已知向量，．
（1）若，求实数m的值；
（2）若非零向量满足，求与的夹角．
20．（12分）已知△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（1）求A；
（2）若，且BC边上的高为，求a．
21．（12分）文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：[40，50），[50，60），…，[90，100]，得到如图所示的频率分布直方图．
（1）求频率分布直方图中a的值；
（2）求样本成绩的第75百分位数；
（3）已知落在[50，60）的平均成绩是54，方差是7，落在[60，70）的平均成绩为66，方差是4，求两组成绩的总平均数和总方差s2．
22．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC＝90°，AA1＝AC＝3．
（1）设平面A1BC1与平面ABC的交线为l，判断l与AC的位置关系，并证明；
（2）求证：A1C⊥BC1；
（3）A1C与平面BCC1B1所成的角为30°，求三棱锥A1﹣ABC内切球的表面积S．
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）若复数z（1﹣i）＝1+i，则|z|＝（ ）
A．B．1C．D．2
【解答】解：因为复数z（1﹣i）＝1+i，
所以，
所以|z|＝1．
故选：B．
2．（5分）sin70°sin40°﹣sin50°cs110°＝（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：sin50°＝sin（90°﹣40°）＝cs40°，
cs110°＝cs（180°﹣70°）＝﹣cs70°，
故sin70°sin40°﹣sin50°cs110°＝sin70°sin40°+cs40°cs70°＝cs（70°﹣40°）＝cs30°＝．
故选：C．
3．（5分）某居民小区户主人数和户主对户型结构的满意率如图（1）和图（2）所示，为了解该小区户主对户型结构的满意程度，用比例分配的分层随机抽样方法抽取25%的户主作为样本进行调查，则样本容量和抽取的户主对四居室满意的人数分别为（ ）
A．200，16B．200，18C．240，16D．240，18
【解答】解：由图（1）得该小区户主总人数为240+400+160＝800人，
所以样本容量为800×25%＝200人，
其中四后室户主有160×25%＝40人，
由图（2）得抽取的户主中对四后室满意的有40×40%＝16人．
故选：A．
4．（5分）考虑掷硬币试验，设事件A＝“正面朝上”，则下列论述正确的是（ ）
A．掷2次硬币，事件“一个正面，一个反面”发生的概率为
B．掷8次硬币，事件A发生的次数一定是4
C．重复掷硬币，事件A发生的频率等于事件A发生的概率
D．当投掷次数足够多时，事件A发生的频率接近0.5
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，掷2次硬币，有4个基本事件，事件“一个正面，一个反面”有2个基本事件，则该事件发生的概率为，A错误；
对于B，掷8硬币，事件A发生的次数不一定是4，B错误；
对于C，重复掷硬币，事件A发生的频率接近事件A发生的概率，C错误；
对于D，当投掷次数足够多时，事件A发生的频率接近事件A发生的概率，即接近0.5，D正确，
故选：D．
5．（5分）已知m，n表示两条不同的直线，α，β表示两个不同的平面，则下列结论正确的是（ ）
A．若m∥α，m⊥n，则n⊥αB．若m∥α，β⊥α，则m∥β
C．若m∥α，n⊥α，则m⊥nD．若m∥α，m⊥β，则α∥β
【解答】解：若m∥α，不妨设m在α内的投影为m′，则m∥m′，
对于选项A：若m∥α，m⊥n，则n⊥m′，结合线面垂直判定定理可知，n不一定垂直α，故A错误；
对于选项B：若m∥α，β⊥α，此时m与α可能相交、平行或m在α上，故B错误；
对于选项C：若m∥α，n⊥α，则n⊥m′，从而m⊥n，故C正确；
对于选项D：若m∥α，m⊥β，则m′⊥β，结合面面垂直判定定理可知，α⊥β，故D错误．
故选：C．
6．（5分）攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构样式，多见于亭阁式建筑、园林建筑．如图所示的带有攒尖的建筑屋顶可近似看作一个圆锥，其底面积为9π，侧面展开图是圆心角为的扇形，则该屋顶的体积约为（ ）
A．B．16πC．18πD．
【解答】解：底面圆的面积为9π，即πr2＝9π，
解得底面圆的半径为r＝3，
所以底面圆周长为2π×3＝6π，
即圆锥侧面展开图的弧长为l＝6π，
又因为圆锥侧面展开图是圆心角为的扇形，
所以扇形半径为R＝＝9，如图所示：
所以圆锥的高为，
圆锥的体积为．
故选：D．
7．（5分）已知在边长为2的等边△ABC中，向量，满足，，则||＝（ ）
A．2B．C．D．3
【解答】解：根据题意可得＝，又等边△ABC的边长为2，
∴＝＝12，
∴||＝，
故选：C．
8．（5分）一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A处测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A向北偏东30°前进60m到达点B，在点B处测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是（ ）
A．25mB．30mC．35mD．40m
【解答】解：如图所示：
设水柱CD的高度为h，
在Rt△ACD中，∵∠DAC＝45°，∴AC＝h，
∵∠BAE＝30°，∴∠CAB＝66°，
又∵B，A，C在同一水平面上，
∴△BCD是以C为直角顶点的直角三角形，在Rt△BCD中，∠CBD＝30°，
∴BC＝h，
在△ABC中，由余弦定理可得BC2＝AC2+AB2﹣2AC•ABcs60°，
∴（）2＝，
即h2+30h﹣1800＝0，解得h＝30，
∴水柱的高度是30m．
故选：B．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
（多选）9．（5分）已知复数z满足（i﹣1）z＝2i，则（ ）
A．|z|＝
B．z的虚部为﹣i
C．z的共轭复数为＝﹣1+i
D．z是方程x2﹣2x+2＝0的一个根
【解答】解：∵（i﹣1）z＝2i，
∴＝，
对于A，|z|＝，故A正确，
对于B，z的虚部为﹣1，故B错误，
对于C，，故C错误，
对于D，（1﹣i）2﹣2（1﹣i）+2＝0，
则z是方程x2﹣2x+2＝0的一个根，故D正确．
故选：AD．
（多选）10．（5分）某学生5次考试的成绩（单位：分）分别为85，69，m，80，91，其中m＞0．若该学生在这5次考试中成绩的中位数为80，则5次考试成绩的平均数可能为（ ）
A．76B．80C．81D．85
【解答】解：一共有5个分数，从小到大排列，第3个是中位数，依题意可知，中位数是80，
比80大的有85，91两个数，所以0＜m≤80，
这5个分数的平均值为，
由于，所以，
所以ABC选项符合题意．
故选：ABC．
11．（5分）盒子里有2个红球和2个白球，从中不放回地依次取出2个球，设事件A＝“两个球颜色相同”，B＝“第1次取出的是红球”，C＝“第2次取出的是红球”，D＝“两个球颜色不同”．则下列说法错误的是（ ）
A．A与B相互独立B．A与D互为对立
C．B与C互斥D．B与D相互独立
【解答】解：盒子里有2个红球和2个白球，从中不放回地依次取出2个球，共4×3＝12个基本事件，
事件A共4个基本事件，事件B共6个基本事件，事件C共6个基本事件，事件D共8个基本事件，
A．由于P（A）＝，P（B）＝，P（A•B）＝，故P（A）•P（B）＝P（A•B）成立，所以A与B相互独立，故选：A．
B．由于A∩D＝∅，A∪D＝Ω，故A与D是对立事件，故B正确，
C．由于B∩C≠∅，故B与C不互斥，故C不正确，
D．由于P（D）＝，P（B）＝，P（B•D）＝，
故P（B）•P（D）＝P（B•D）成立，故B与D相互独立，故D正确，
故选：C．
（多选）12．（5分）已知正三棱台的上底面边长为6，下底面边长为12，侧棱长为6，则（ ）
A．棱台的高为
B．棱台的表面积为
C．棱台的侧棱与底面所成角的余弦值为
D．棱台的侧面与底面所成二面角的正弦值为
【解答】解：由题意，在正三棱台ABC﹣A1B1C1中，A1B1＝6，AB＝12，AA1＝6，
在平面ABB1A1中，由点A1向AB作垂线，垂足为D，取线段BC的中点E，
连接AE，在平面AEA1中，由点A1向AE作垂线，垂足为F，连接DF，
在等腰梯形ABB1A1中，AB＝12，B1A1＝6，AA1＝6，则，，
所以棱台的表面积为，故选项B正确；
又三棱台为正三棱台，所以A1F为正三棱台ABC﹣A1B1C1的高，
所以A1F⊥AB，由A1F∩A1D＝A1，所以AB⊥平面A1DF，AB⊥DF，
在Rt△ADF中，，
在Rt△A1AF中，，
所以棱台的高为，故选项A错误；
棱台的侧棱与底面所成角为∠A1AE，，故选项C错误；
棱台的侧面与底面所成二面角为∠A1DF，，故选项D正确．
故选：BD．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（5分）甲、乙两人打把，已知甲的命中率为0.6，乙的命中率为0.7，若甲、乙分别向同一靶子射击一次，则该靶子被击中的概率为 0.88 ．
【解答】解：该靶子被击中的概率为1﹣（1﹣0.6）（1﹣0.7）＝1﹣0.12＝0.88．
故答案为：0.88．
14．（5分）如图，正方形A1B1C1D1是一水平放置的平面图形ABCD在斜二测画法下的直观图．若A1B1＝3，则平面图形ABCD的面积是 18 ．
【解答】解：由斜二测画法的规矩知与x1轴平行或重合的线段与x轴平行或重合，其长度不变，
所以AB＝3，
与y1轴平行或重合的线段与y轴平行或重合，其长度变成原来的一半，
正方形的对角线在y1轴上，可求得取长度为＝3，
如图所示，平面图中，AC在y轴上，且长度变为原来的2倍，即AC＝6，
则平面图形ABCD的面积S＝3×＝18．
故答案为：18．
15．（5分）公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割值约为0.618，这一数值也可以表示为m＝2sin18°．若m2+n＝4，则＝ 2 ．
【解答】解：因为m＝2sin18°，m2+n＝4，
所以n＝4﹣m2＝4﹣4sin218°＝4cs218°，，
所以＝．
故答案为：．
16．（5分）如图，四个边长为1的等边三角形有一条边在同一条直线上，边B4C4上有10个不同的点P1，P2，…，P10，记mi＝，则m1+m2+…+m10＝ 60 ．
【解答】解：以A为坐标原点，AC1所在直线为x轴建系，如图所示：
可得B2（，），B3（，），B4（，），C4（4，0），
直线B4C4的方程为y＝﹣（x﹣4），
可设Pi（xi，yi），则有，
即有mi＝＝＝＝6，
∴m1+m2+…+m10＝6×10＝60．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）某数学学习小组有男同学3名（记为a1，a2，a3），女同学2名（记为b1，b2）、现从中随机选出2名同学去参加学校组织的数学竞赛（每人被选到的可能性相同）．
（1）求参赛学生中恰为1名男同学和1名女同学的概率；
（2）求参赛学生中至少有1名女同学的概率．
【解答】解：从5名同学中选取2名同学参赛可能的结果有：（a1，a2），（a1，a3），（a1，b1），（a1，b2），（a2，a3），（a2，b1），（a2，b2），（a3，b1），（a3，b2），（b1，b2），共10种．
设A＝“参赛学生中恰为1名男同学和1名女同学”，
则事件A包含的基本事件有：（a1，b1），（a1，b2），（a2，b1），（a2，b2），（a3，b1），（a3，b2），共6种，
所以．
（2）设B＝“参赛学生中至少有1名女同学”，
则事件B包含的基本事件有：（a1，b1），（a1，b2），（a2，b1），（a2，b2），（a3，b1），（a3，b2），（b1，b2），共7种．
所以．
18．（12分）已知函数．
（1）求f（x）的周期；
（2）将函数f（x）的图象向右平移个单位，再把图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数g（x）的图象，求g（x）在[0，π]上的值域．
【解答】解：（1）
＝
＝
＝
＝2cs2x﹣1，
所以f（x）的周期．
（2）将函数f（x）的图象向右平移个单位，可得，
再把图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，可得，
所以，
因为0≤x≤π，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以g（x）在[0，π]上的值域为．
19．（12分）已知向量，．
（1）若，求实数m的值；
（2）若非零向量满足，求与的夹角．
【解答】解：（1）∵，，
∴，
又，
∴，即﹣m+（1﹣m）＝0，
∴．
（2），
∵，
∴x＝﹣y，
∵，∴y≠0，
设向量与的夹角为θ，θ∈[0，π]，
，，，
则csθ＝＝，
当y＞0时，，，
当y＜0时，，，
∴与的夹角为或．
20．（12分）已知△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（1）求A；
（2）若，且BC边上的高为，求a．
【解答】解：（1）由正弦定理，原式可化为，
由于sinC＝sin（A+B）＝sinAcsB+csAsinB，
整理得，
又∵sinB≠0，∴，
∴，
∵A∈（0，π），∴，
∴，即．
（2）由，得bc＝4a，
又，∴c2＝16a，b2＝a，
由余弦定理知a2＝b2+c2﹣2bccsA＝a+16a﹣4a＝13a，
解得a＝13．
21．（12分）文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：[40，50），[50，60），…，[90，100]，得到如图所示的频率分布直方图．
（1）求频率分布直方图中a的值；
（2）求样本成绩的第75百分位数；
（3）已知落在[50，60）的平均成绩是54，方差是7，落在[60，70）的平均成绩为66，方差是4，求两组成绩的总平均数和总方差s2．
【解答】解：（1）∵每组小矩形的面积之和为1，
∴（0.005+0.010+0.020+a+0.025+0.010）×10＝1，
∴a＝0.030．
（2）成绩落在[40，80）内的频率为（0.005+0.010+0.020+0.030）×10＝0.65，
落在[40，90）内的频率为（0.005+0.010+0.020+0.030+0.025）×10＝0.9，
设第75百分位数为m，
由0.65+（m﹣80）×0.025＝0.75，得m＝84，故第75百分位数为84；
（3）由图可知，成绩在[50，60）的市民人数为100×0.1＝10，
成绩在[60，70）的市民人数为100×0.2＝20，
故．
所以两组市民成绩的总平均数是62，
s2＝[10×（54﹣62）2+10×7+20×（66﹣62）2+20×4]＝37，
所以两组市民成绩的总平均数是62，总方差是37．
22．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC＝90°，AA1＝AC＝3．
（1）设平面A1BC1与平面ABC的交线为l，判断l与AC的位置关系，并证明；
（2）求证：A1C⊥BC1；
（3）A1C与平面BCC1B1所成的角为30°，求三棱锥A1﹣ABC内切球的表面积S．
【解答】解：（1）l与AC平行，证明如下：
由棱柱的性质可知AC∥A1C1，
由线面平行的判断定理可得AC∥平面A1BC1，
由线面平行的性质定理可知过直线AC的平面ABC与平面A1BC1的交线l平行．
（2）如图所示，连结BC1，AC1，由于AC⊥AB，AA1⊥AB，
故AB⊥平面ACC1A1，即AC1为直线BC1在平面ACC1A1内的射影，
由棱柱的性质结合题意可知ACC1A1为正方形，则AC1⊥A1C，
由射影定理可得A1C⊥BC1．
（3）解：如图所示，做A1D⊥B1C1于点D，结合棱柱的性质可知BB1⊥A1D，
据此可得A1D⊥平面BCC1B1，即∠A1CD为A1C与平面BCC1B1所成的角，
即Rt△A1DC中，∠A1CD＝30°，易知，
故，
在△A1B1C1中，利用等面积法可得，
解得A1B1＝3，则三棱锥A1﹣ABC可以看作是一个棱长为3的正方体的一个角，
其表面积S＝3×（×3×3）+×（3）2＝，
其体积，
设其内切球半径为R，由等体积法可得，即＝×Rr，
解得R＝＝，其表面积S＝4πR2＝π（3﹣）2＝（12﹣6）π．