福建师范大学附属中学2022-2023学年高二（下）期末数学试卷

这是一份福建师范大学附属中学2022-2023学年高二（下）期末数学试卷，共20页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（5分）若集合M＝{x|lnx＜1}，N＝{x|＜2}，则M∩N＝（ ）
A．{x|x＞1}B．{x|1＜x＜e}C．{x|x＜e}D．∅
2．（5分）下列说法中，错误的是（ ）
A．若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有
B．若，则a＞b
C．若b＞a＞0，m＞0，则
D．若a＞b，c＜d，则a﹣c＞b﹣d
3．（5分）已知a∈R，则“0＜a＜1”是“函数f（x）＝ax2﹣2x﹣5在（﹣1，1）内单调递减”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
4．（5分）若a＞0，b＞0，2ab+a+2b＝3，则a+2b的最小值是（ ）
A．1B．2C．D．
5．（5分）（x2﹣x+y）5的展开式中x5y2的系数为（ ）
A．﹣10B．10C．﹣30D．30
6．（5分）中国古代儒家要求学生掌握六种基本才能（六艺）：礼、乐、射、御、书、数．某校国学社团周末开展“六艺”课程讲座活动，一天连排六节，每艺一节，则“射”与“数”之间最多间隔一艺的不同排课方法总数有（ ）
A．432种B．486种C．504种D．540种
7．（5分）已知f（x）＝+ax+cs2x，若f（）＝2，则f（﹣）等于（ ）
A．﹣2B．﹣1C．0D．1
8．（5分）从装有a个红球和b个蓝球的袋中（a，b均不小于2），每次不放回地随机摸出一球．记“第一次摸球时摸到红球”为A1，“第一次摸球时摸到蓝球”为A2；“第二次摸球时摸到红球”为B1，“第二次摸球时摸到蓝球”为B2，则下列说法错误的是（ ）
A．B．P（B1|A1）+P（B2|A1）＝1
C．P（B1）+P（B2）＝1D．P（B2|A1）+P（B1|A2）＝1
二、多项选择题：每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，正确选项不少于2个，全部选对得5分，选对但不全得2分，有选错得0分。
（多选）9．（5分）下列函数中最小值为6的是（ ）
A．y＝lnx+B．y＝6|sinx|+
C．y＝3x+32﹣xD．y＝
（多选）10．（5分）已知由样本数据点集合{（xi，yi）|i＝1，2，⋯，n}，求得的回归直线方程为，且，现发现两个数据点（1.3，2.1）和（4.7，7.9）误差较大，剔除后重新求得的回归直线l的斜率为1.2，则（ ）
A．变量x与y具有负相关关系
B．剔除后不变
C．剔除后的回归方程为
D．剔除后相应于样本点（2，3.75）的残差为0.05
（多选）11．（5分）设函数f（x）的定义域为R，f（x﹣1）为奇函数，f（x+1）为偶函数，当x∈（﹣1，1]时，f（x）＝﹣x2+1，则下列结论正确的是（ ）
A．f（）＝﹣
B．f（x+7）为奇函数
C．f（x）在（6，8）上为减函数
D．方程f（x）+lgx＝0仅有6个实数解
（多选）12．（5分）已知数列{an}满足a1＝1，an+1＝+an，则（ ）
A．{an}是递增数列
B．an≥n
C．a2022≤22021
D．
三、填空题：每小题5分，共20分。
13．（5分）若，则a0+a2+a4+a6＝ ．
14．（5分）在一次投篮游戏中，每人投篮3次，每投中一次记10分，没有投中扣5分，某人每次投中目标的概率为，则此人恰好投中2次的概率为 ，得分的方差为 ．
15．（5分）现有5人通过闸机进站乘车，已知有3个不同的闸机，每人只需通过一个闸机，每个闸机每次只能过1人，而且每个闸机都要有人经过，则有 种不同的进站方式（用数字作答）．
16．（5分）已知函数f（x）＝g（x）＝﹣x2+2x（其中e是自然对数的底数），若关于x的方程g（f（x））＝m恰有三个不等实根x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，则2x1﹣x2+2x3的最大值为 ．
四、解答题：6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）已知Sn为数列{an}的前n项和，且满足Sn+n＝2an，n∈N*．
（1）求证：数列{an+1}是等比数列；
（2）若，记Tn为数列{bn}的前n项和，求满足不等式的n的最大值．
18．（12分）已知函数．
（1）求曲线y＝f（x）在x＝π处的切线方程；
（2）当x∈（0，π]时，求函数f（x）的最小值．
19．（12分）甲、乙两支队伍进行某项比赛，赛制分为两种，一种是五局三胜制，另一种是三局两胜制，根据以往数据，在决胜局（在五局三胜制中指的是第五局比赛，在三局两胜制中指的是第三局比赛）中，甲、乙两队获胜的概率均为0.5；而在非决胜局中，甲队获胜的概率为0.6，乙队获胜的概率为0.4．
（1）若采用五局三胜制，直到比赛结束，共进行了ξ局比赛，求随机变量ξ的分布列，并指出进行几局比赛的可能性最大；
（2）如果你是甲队的领队，你希望举办方采用五局三胜制还是三局两胜制？
20．（12分）某学校号召学生参加“每天锻炼1小时”活动，为了了解学生参与活动的情况，随机调查了100名学生一个月（30天）完成锻炼活动的天数，制成如下频数分布表：
（1）由频数分布表可以认为，学生参加体育锻炼天数X近似服从正态分布N（μ，σ2），其中μ近似为样本的平均数（每组数据取区间的中间值），且σ＝6.1，若全校有3000名学生，求参加“每天锻炼1小时”活动超过21天的人数（精确到1）；
（2）调查数据表明，参加“每天锻炼1小时”活动的天数在（15，30]的学生中有30名男生，天数在[0，15]的学生中有20名男生，学校对当月参加“每天锻炼1小时”活动超过15天的学生授予“运动达人”称号．请填写下面列联表：
并依据小概率值α＝0.05的独立性检验，能否认为学生性别与获得“运动达人”称号有关联．如果结论是有关联，请解释它们之间如何相互影响．
附：参考数据：P（μ﹣σ≤X≤μ+σ）＝0.6827；P（μ﹣2σ≤X≤μ+2σ）＝0.9545；P（μ﹣3σ≤X≤μ+3σ）＝0.9973.
21．（12分）经观测，长江中某鱼类的产卵数y与温度x有关，现将收集到的温度xi和产卵数yi（i＝1，2，⋯，10）的10组观测数据作了初步处理，得到如图的散点图及一些统计量表．
表中
（1）根据散点图判断，与哪一个适宜作为y与x之间的回归方程模型并求出y关于x回归方程；（给出判断即可，不必说明理由）
（2）某兴趣小组抽取两批鱼卵，已知第一批中共有6个鱼卵，其中“死卵”有2个；第二批中共有8个鱼卵，其中“死卵”有3个．现随机挑选一批，然后从该批次中随机取出2个鱼卵．求取出“死卵”个数的分布列及数学期望．
附：对于一组数据（u1，v1），（u2，v2），⋯（un，vn），其回归直线v＝α+βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为．
22．（12分）已知函数f（x）＝lnx﹣x+1，x∈（0，+∞），g（x）＝ex﹣ax．
（1）求f（x）的最大值；
（2）若对∀x1∈（0，+∞），总存在x2∈[1，2]使得f（x1）≤g（x2）成立，求a的取值范围；
（3）证明不等式：．
参考答案与试题解析
一、单项选择题：每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一个选项是正确的。
1．（5分）若集合M＝{x|lnx＜1}，N＝{x|＜2}，则M∩N＝（ ）
A．{x|x＞1}B．{x|1＜x＜e}C．{x|x＜e}D．∅
【解答】解：对于集合M＝{x|lnx＜1}，整理得M＝{x|0＜x＜e}，
对于N＝{x|＜2}，整理得，解得x＞1或x＜0，
故N＝{x|x＞1或x＜0}，
故M∩N＝{x|1＜x＜e}．
故选：B．
2．（5分）下列说法中，错误的是（ ）
A．若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有
B．若，则a＞b
C．若b＞a＞0，m＞0，则
D．若a＞b，c＜d，则a﹣c＞b﹣d
【解答】解：对于A，若a＝2，b＝1，c＝﹣2，d＝﹣1，则，故A错误．
对于B，由，可知c2≠0，即c2＞0，所以a＞b，故B正确．
对于C，，
因为b＞a＞0，m＞0，所以，故，所以C正确．
对于D，因为c＜d，所以﹣c＞﹣d，结合a＞b，所以a﹣c＞b﹣d，故D正确．
故选：A．
3．（5分）已知a∈R，则“0＜a＜1”是“函数f（x）＝ax2﹣2x﹣5在（﹣1，1）内单调递减”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【解答】解：若函数f（x）＝ax2﹣2x﹣5在（﹣1，1）内单调递减，
当a＝0时，f（x）＝﹣2x﹣5在（﹣1，1）内单调递减，符合题意．
当a＞0时，f（x）＝ax2﹣2x﹣5的开口向上，对称轴为，
则，解得0＜a≤1．
当a＜0时，f（x）＝ax2﹣2x﹣5的开口向下，对称轴为，
则，解得﹣1≤a＜0．
综上所述，若函数f（x）＝ax2﹣2x﹣5在（﹣1，1）内单调递减，则﹣1≤a≤1．
所以“0＜a＜1”是“函数f（x）＝ax2﹣2x﹣5在（﹣1，1）内单调递减”的充分不必要条件．
故选：A．
4．（5分）若a＞0，b＞0，2ab+a+2b＝3，则a+2b的最小值是（ ）
A．1B．2C．D．
【解答】解：∵a＞0，b＞0，2ab+a+2b＝3，
∴2ab≤（）2，
∴a+2b＝3﹣2ab≥3﹣，当且仅当a＝1，b＝时取等号
设a+2b＝t，
则t≥3﹣，
∴t2+4t﹣12≥0，
解得t≤﹣6（舍去）或t≥2，
∴a+2b≥2，
故则a+2b的最小值是2，
故选：B．
5．（5分）（x2﹣x+y）5的展开式中x5y2的系数为（ ）
A．﹣10B．10C．﹣30D．30
【解答】解：（x2﹣x+y）5的展开式中x5y2项为y2•（x2）2•（﹣x）＝﹣30x5y2，
即（x2﹣x+y）5的展开式中x5y2的系数为﹣30．
故选：C．
6．（5分）中国古代儒家要求学生掌握六种基本才能（六艺）：礼、乐、射、御、书、数．某校国学社团周末开展“六艺”课程讲座活动，一天连排六节，每艺一节，则“射”与“数”之间最多间隔一艺的不同排课方法总数有（ ）
A．432种B．486种C．504种D．540种
【解答】解：根据题意，分2种情况讨论：
①“射”与“数”相邻，有＝240种排课方法，
②“射”与“数”之间间隔一艺，有＝192种排课方法，
则有240+192＝432种排课方法．
故选：A．
7．（5分）已知f（x）＝+ax+cs2x，若f（）＝2，则f（﹣）等于（ ）
A．﹣2B．﹣1C．0D．1
【解答】解：∵f（x）＝+ax+cs2x＝1﹣+ax+cs2x，
∴f（﹣x）＝﹣ax+cs2x＝1+2cs2x﹣f（x），
由f（）＝2，
则f（﹣）＝1+2cs﹣f（）＝﹣2，
故选：A．
8．（5分）从装有a个红球和b个蓝球的袋中（a，b均不小于2），每次不放回地随机摸出一球．记“第一次摸球时摸到红球”为A1，“第一次摸球时摸到蓝球”为A2；“第二次摸球时摸到红球”为B1，“第二次摸球时摸到蓝球”为B2，则下列说法错误的是（ ）
A．B．P（B1|A1）+P（B2|A1）＝1
C．P（B1）+P（B2）＝1D．P（B2|A1）+P（B1|A2）＝1
【解答】解：由题意可知，P（A1）＝，P（A2）＝，P（B1）＝P（A1B1）+P（A2B1）＝•+•＝，
P（B2）＝P（A1B2）+P（A2B2）＝•+•＝，
从而P（B1）+P（B2）＝1，故AC正确；
又因为P（B1|A1）＝＝，
P（B2|A1）＝＝，P（B1|A1）+P（B2|A1）＝1，故B正确；
P（B1|A2）＝＝，
故P（B2|A1）+P（B1|A2）≠1，故D错误．
故选：D．
二、多项选择题：每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，正确选项不少于2个，全部选对得5分，选对但不全得2分，有选错得0分。
（多选）9．（5分）下列函数中最小值为6的是（ ）
A．y＝lnx+B．y＝6|sinx|+
C．y＝3x+32﹣xD．y＝
【解答】解：对于A，当0＜x＜1时，lnx＜0，显然不符合题意；
对于B，y＝6|sinx|+≥2＝6，当且仅当6|sinx|＝，即|sinx|＝时等号成立，故B符合题意；
对于C，y＝3x+32﹣x≥2＝6，当且仅当3x＝32﹣x，即x＝1时等号成立，故C符合题意；
对于D，y＝＝+≥6，当且仅当＝时等号成立，
解方程＝，得x2＝﹣7，无解，故y＝＞6，故D不符合题意．
故选：BC．
（多选）10．（5分）已知由样本数据点集合{（xi，yi）|i＝1，2，⋯，n}，求得的回归直线方程为，且，现发现两个数据点（1.3，2.1）和（4.7，7.9）误差较大，剔除后重新求得的回归直线l的斜率为1.2，则（ ）
A．变量x与y具有负相关关系
B．剔除后不变
C．剔除后的回归方程为
D．剔除后相应于样本点（2，3.75）的残差为0.05
【解答】解：对于A，由剔除前回归直线的斜率为1.5，剔除后重新求得的回归直线l的斜率为1.2，
两者均大于0，则变量x与y具有正相关关系，故A错误；
对于B，剔除前，而剔除的两个数据点，，
因此剔除后不变，故B正确；
对于C，剔除后，，而回归直线l的斜率为1.2，则回归直线方程为，故C正确；
对于D，剔除后的回归直线方程为，当x＝2时，，则残差为3.75﹣3.8＝﹣0.05，故D错误．
故选：BC．
（多选）11．（5分）设函数f（x）的定义域为R，f（x﹣1）为奇函数，f（x+1）为偶函数，当x∈（﹣1，1]时，f（x）＝﹣x2+1，则下列结论正确的是（ ）
A．f（）＝﹣
B．f（x+7）为奇函数
C．f（x）在（6，8）上为减函数
D．方程f（x）+lgx＝0仅有6个实数解
【解答】解：∵f（x﹣1）为奇函数，∴f（﹣x﹣1）＝﹣f（x﹣1），即f（﹣x）＝﹣f（x﹣2），则函数关于（﹣1，0）对称，
∵f（x+1）为偶函数，∴f（﹣x+1）＝f（x+1），即为f（﹣x）＝f（x+2），则函数关于x＝1对称，
则f（x+2）＝﹣f（x﹣2），
当x＝0时，由f（﹣x﹣1）＝﹣f（x﹣1），得f（﹣1）＝﹣f（﹣1），得f（﹣1）＝0，
得f（x+4）＝﹣f（x），即f（x+8）＝f（x），同时f（x）＝﹣f（x﹣4），
即f（x）是周期为8的周期函数，
则f（）＝f（﹣8）＝f（﹣）＝﹣f（﹣+4）＝﹣f（﹣）＝﹣[1﹣（﹣）2]＝﹣，故A正确，
f（x+7）＝f（x+7﹣8）＝f（x﹣1）＝﹣f（﹣x﹣1）＝﹣f（﹣x﹣1+8）＝﹣f（﹣x+7），则f（x+7）是奇函数，故B正确，
∵函数的周期是8，∴f（x）在（6，8）的单调性和（﹣2，0）的单调性相同，
由图象知，f（x）在（﹣2，0）上为增函数，则f（x）在（6，8）上增函数，故C错误，
由f（x）+lgx＝0得f（x）＝﹣lgx，
作出函数f（x）和y＝﹣lgx的图象如图：由图象知两个函数有6个交点，即f（x）+lgx＝0有6个不同的根，故D正确，
故选：ABD．
（多选）12．（5分）已知数列{an}满足a1＝1，an+1＝+an，则（ ）
A．{an}是递增数列
B．an≥n
C．a2022≤22021
D．
【解答】解：因为，所以an+1＞an，故A正确；
易知，所有an为正整数，又{an}是递增数列，所以an≥n，故B正确；
由递推公式得：a2＝2，a3＝6＞4，
又，
所以，，
易知，故C不正确；
取倒数得，
则由累加法得，，
整理得，，
又，
所以，故D正确；
故选：ABD．
三、填空题：每小题5分，共20分。
13．（5分）若，则a0+a2+a4+a6＝ 365 ．
【解答】解：令x＝1得①，
令x＝﹣1得②，
①+②得2（a0+a2+a4+a6）＝730，
即a0+a2+a4+a6＝365．
故答案为：365．
14．（5分）在一次投篮游戏中，每人投篮3次，每投中一次记10分，没有投中扣5分，某人每次投中目标的概率为，则此人恰好投中2次的概率为 ，得分的方差为 150 ．
【解答】解：由题意可知，记X为击中目标的次数，得分为Y分，则X～B（3，），
所以在3次射击中，此人恰好投中2次的概率为：P（X＝2）＝××（1﹣）＝，
由题意可知，Y＝15X﹣15，所以得分的方差为：
D（Y）＝D（15X﹣15）＝152D（X）＝15×15×3××（1﹣）＝150．
故答案为：；150．
15．（5分）现有5人通过闸机进站乘车，已知有3个不同的闸机，每人只需通过一个闸机，每个闸机每次只能过1人，而且每个闸机都要有人经过，则有 720 种不同的进站方式（用数字作答）．
【解答】解：①当通过3个不同的闸机的人数为”1，1，3“时，
则有＝360种不同的进站方式；
②当通过3个不同的闸机的人数为”2，2，1“时，
则有＝360种不同的进站方式，
即共有360+360＝720种不同的进站方式．
故答案为：720．
16．（5分）已知函数f（x）＝g（x）＝﹣x2+2x（其中e是自然对数的底数），若关于x的方程g（f（x））＝m恰有三个不等实根x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，则2x1﹣x2+2x3的最大值为 3﹣ln3 ．
【解答】解：由题意设f（x）＝t，根据方程g（f（x））＝m恰有三个不等实根，即g（t）＝﹣t2+2t＝m必有两个根t1，t2，
∴t1+t2＝2；则t2＝2﹣t1，作出f（x）的图象，函数y＝t与f（x）三个不等实根x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，
那么x2＝e2x1＝t1，则2x1＝lnt1，
可得x3＝2﹣t1；根据0＜t1＜1，则2x1﹣x2+2x3＝lnt1+4﹣3t1，
构造新函数h（t）＝﹣3t+lnt+4（0＜t＜1），h′（t）＝﹣3＝，
当h′（t）＞0时，t∈（0，），∴h（t）在（0，）单调递减；
当h′（t）＜0时，t∈（，1），∴h（t）在（，1）单调递增；
∴当t＝时，h（t）取得最大值为3﹣ln3，即2x1﹣x2+2x3的最大值是3﹣ln3，
故答案为：3﹣ln3．
四、解答题：6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）已知Sn为数列{an}的前n项和，且满足Sn+n＝2an，n∈N*．
（1）求证：数列{an+1}是等比数列；
（2）若，记Tn为数列{bn}的前n项和，求满足不等式的n的最大值．
【解答】证明：（1）当n＝1时，S1+1＝2a1，解得：a1＝1，
当n≥2时，Sn＝2an﹣n，
所以an＝Sn﹣Sn﹣1＝2an﹣n﹣2an﹣1+n﹣1，即an＝2an﹣1+1，
所以an+1＝2an﹣1+2＝2（an﹣1+1），
所以，
所以数列{an+1}是以a1+1＝2为首项，2为公比的等比数列；
解：（2）由（1）可知数列{an+1}是以a1+1＝2为首项，2为公比的等比数列，
所以，
所以，，
＝，
所以时，即，所以2n+1＜15，
所以n的最大值为2．
18．（12分）已知函数．
（1）求曲线y＝f（x）在x＝π处的切线方程；
（2）当x∈（0，π]时，求函数f（x）的最小值．
【解答】解：（1）f′（x）＝，
所以f′（π）＝，，
所以f（x）在x＝π处的切线方程为，
即；
（2）当x∈（0，π]时，，f′（x）＝，
令g（x）＝x•csx﹣sinx，则g′（x）＝﹣sinx•x，
当x∈（0，π]时，g′（x）≤0，所以g（x）在（0，π]单调递减，
所以g（x）＜g（0）＝0，
所以f′（x）＜0，函数f（x）在（0，π]上单调递减，
所以f（x）≥f（π）＝0，即函数f（x）的最小值为0．
19．（12分）甲、乙两支队伍进行某项比赛，赛制分为两种，一种是五局三胜制，另一种是三局两胜制，根据以往数据，在决胜局（在五局三胜制中指的是第五局比赛，在三局两胜制中指的是第三局比赛）中，甲、乙两队获胜的概率均为0.5；而在非决胜局中，甲队获胜的概率为0.6，乙队获胜的概率为0.4．
（1）若采用五局三胜制，直到比赛结束，共进行了ξ局比赛，求随机变量ξ的分布列，并指出进行几局比赛的可能性最大；
（2）如果你是甲队的领队，你希望举办方采用五局三胜制还是三局两胜制？
【解答】解：（1）ξ的所有可能取值为3，4，5，
P（ξ＝3）＝（0.6）3+（0.4）3＝0.28，
P（ξ＝4）＝+，
P（ξ＝5）＝，
故ξ的分布列为：
∵0.3744＞0.3456＞0.28，
∴进行4局比赛的可能性最大．
（2）采用三局两胜时，
甲获胜概率P1＝＝0.6，
采用五局三胜时，
甲获胜概率P2＝（0.6）3++，
∵P2＞P1，
∴如果我是甲队领队，采用五局三胜制．
20．（12分）某学校号召学生参加“每天锻炼1小时”活动，为了了解学生参与活动的情况，随机调查了100名学生一个月（30天）完成锻炼活动的天数，制成如下频数分布表：
（1）由频数分布表可以认为，学生参加体育锻炼天数X近似服从正态分布N（μ，σ2），其中μ近似为样本的平均数（每组数据取区间的中间值），且σ＝6.1，若全校有3000名学生，求参加“每天锻炼1小时”活动超过21天的人数（精确到1）；
（2）调查数据表明，参加“每天锻炼1小时”活动的天数在（15，30]的学生中有30名男生，天数在[0，15]的学生中有20名男生，学校对当月参加“每天锻炼1小时”活动超过15天的学生授予“运动达人”称号．请填写下面列联表：
并依据小概率值α＝0.05的独立性检验，能否认为学生性别与获得“运动达人”称号有关联．如果结论是有关联，请解释它们之间如何相互影响．
附：参考数据：P（μ﹣σ≤X≤μ+σ）＝0.6827；P（μ﹣2σ≤X≤μ+2σ）＝0.9545；P（μ﹣3σ≤X≤μ+3σ）＝0.9973.
【解答】解：（1）由频数分布表知，
则X﹣N（14.9，6.1），∵P（μ﹣σ≤X≤μ+σ）＝0.6827，
∴，
∴3000×0.15865＝475.95≈476，
∴参加“每天锻炼1小时”活动超过21天的人数约为476人．
（2）由频数分布表知，锻炼活动的天数在[0，15]的人数为：4+15+33＝52，∵参加“每天锻炼1小时”活动的天数在[0，15]的学生中有20名男生，∴参加“每天锻炼1小时”活动的天数在[0，15]的学生中有女生人数：52﹣20＝32，
由频数分布表知，锻炼活动的天数在（15，30]的人数为31+11+6＝48，∵参加“每天锻炼1小时”活动的天数在（15，30]的学生中有30名男生，∴参加“每天锻炼1小时”活动的天数在[0，15]的学生中有女生人数：48﹣30＝18，
列联表如下：
零假设为H0：学生性别与获得“运动达人”称号无关，
依据α＝0.05的独立性检验，我们推断H0不成立，即：可以认为学生性别与获得“运动达人”称号有关；
而且此推断犯错误的概率不大于0.05，根据列联表中的数据得到，男生、女生中活动天数超过15天的频率分别为：和，可见男生中获得“运动达人”称号的频率是女生中获得“运动达人”的称号频率的倍，于是依据频率稳定与概率的原理，我们可以认为男生获得“运动达人”的概率大于女生，即男生更容易获得运动达人称号．
21．（12分）经观测，长江中某鱼类的产卵数y与温度x有关，现将收集到的温度xi和产卵数yi（i＝1，2，⋯，10）的10组观测数据作了初步处理，得到如图的散点图及一些统计量表．
表中
（1）根据散点图判断，与哪一个适宜作为y与x之间的回归方程模型并求出y关于x回归方程；（给出判断即可，不必说明理由）
（2）某兴趣小组抽取两批鱼卵，已知第一批中共有6个鱼卵，其中“死卵”有2个；第二批中共有8个鱼卵，其中“死卵”有3个．现随机挑选一批，然后从该批次中随机取出2个鱼卵．求取出“死卵”个数的分布列及数学期望．
附：对于一组数据（u1，v1），（u2，v2），⋯（un，vn），其回归直线v＝α+βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为．
【解答】解：（1）由散点图的分布可知，样本点分布在一条指数函数的周围，
所以适宜作为y与x之间的回归方程模型；
令z＝lny，则，
，∴，
故lny＝，
所以y关于x回归方程为y＝；
（2）由题意可知，ξ的取值为0，1，2，
设Ai＝“所取两个鱼卵来自第i批”（i＝1，2），
所以，
设Bi＝“所取两个鱼卵有i个”“死卵”（i＝1，2），
，
，
，
所以死卵个数ξ的分布列为：
∴．
22．（12分）已知函数f（x）＝lnx﹣x+1，x∈（0，+∞），g（x）＝ex﹣ax．
（1）求f（x）的最大值；
（2）若对∀x1∈（0，+∞），总存在x2∈[1，2]使得f（x1）≤g（x2）成立，求a的取值范围；
（3）证明不等式：．
【解答】解：（1）因为f（x）＝lnx﹣x+1，x∈（0，+∞），
所以，
当0＜x＜1时，f′（x）＞0，当x＞1时，f′（x）＜0，
所以f（x）在（0，1）上递增，在（1，+∞）上递减，
所以当x＝1时，f（x）取得最大值，即f（x）max＝f（1）＝0．
（2）对∀x1∈（0，+∞），总存在x2∈[1，2]使得f（x1）≤g（x2）成立，等价于f（x）max≤g（x）max，
由（1）可知f（x）max＝0，即问题转化为g（x）max≥0，
当a≤0时，g（x）＝ex﹣ax在[1，2]上恒为正，满足题意，
当a＞0时，由g（x）＝ex﹣ax，得g′（x）＝ex﹣a，令g′（x）＝0，得x＝lna，
所以当x＜lna时，g′（x）＜0，当x＞lna时，g′（x）＞0，
所以g（x）在（﹣∞，lna）上递减，在（lna，+∞）上递增，
当lna≤1，即a≤e时，g（x）在[1，2]上单调递增，
则，
所以e2﹣2a≥0，得，所以a≤e，
当1＜lna≤2，即e＜a≤e2时，g（x）在（1，lna）上递减，在（lna，2]上递增，
因为g（1）＝e﹣a＜0，
所以只要g（2）＝e2﹣2a≥0，得，
所以，
当lna＞2，即a＞e2时，g（x）在[1，2]上单调递减，
则g（x）max＝g（1）＝e﹣a，
所以e﹣a≥0，得a≤e，不合题意，
综上，a的取值范围为．
（3）证明：由（1）得f（x）≤0，即lnx≤x﹣1（x＞0），
取，则，
所以，即，
所以≤e1﹣n+e2﹣n+…+en﹣n＝．天数
[0，5]
（5，10]
（10，15]
（15，20]
（20，25]
（25，30]
人数
4
15
33
31
11
6
性别
活动天数
合计
[0，15]
（15，30]
男生
女生
合计
α
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
xα
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
360
54.5
1360
44
384
3
588
32
6430
ξ
3
4
5
P
0.28
0.3744
0.3456
天数
[0，5]
（5，10]
（10，15]
（15，20]
（20，25]
（25，30]
人数
4
15
33
31
11
6
性别
活动天数
合计
[0，15]
（15，30]
男生
女生
合计
α
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
xα
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
性别
活动天数
合计
男生
20
30
50
女生
32
18
50
合计
52
48
100
360
54.5
1360
44
384
3
588
32
6430
ξ
0
1
2
P