青海省西宁市大通县2024届高三下学期四模考试数学（文）试卷(含答案)

这是一份青海省西宁市大通县2024届高三下学期四模考试数学（文）试卷(含答案)，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．已知集合,,则( )
A.B.C.D.
2．复数满足,则( )
A.B.C.D.
3．椭圆的焦距为( )
A.2B.4C.6D.8
4．某公司10月23日,10月30日,11月6日,11月13日,11月20日,11月27日这6天员工的出勤率的折线图如图所示,则下列判断正确的是( )
A.这6天员工的出勤率呈递增趋势
B.这6天员工的出勤率呈递减趋势
C.这6天员工的出勤率的极差大于0.15
D.这6天员工的出勤率的中位数小于0.85
5．函数的部分图象大致为( )
A.B.C.D.
6．记等差数列的前n项和为.若,,则( )
A.140B.70C.160D.80
7．三人被邀请参加一个晚会,若晚会必须有人去,去几人自行决定,则恰有一人参加晚会的概率为( )
A.B.C.D.
8．在直三棱柱中,,,D为线段BC的中点,点E在线段上,且,则直线DE与平面所成角的正弦值为( )
A.B.C.D.
9．已知,则( )
A.B.C.D.
10．在平行四边形ABCD中,,,,沿BD将折起,则三棱锥的体积最大时,三棱锥外接球的表面积为( )
A.B.C.D.
11．设,是双曲线:的两条渐近线,若直线与直线关于直线对称,则双曲线的离心率的平方为( )
A.B.C.D.
12．已知定义域为的函数满足,给出以下结论:
①;
②;
③是奇函数;
④存在函数以及,使得的值为.所有正确结论的序号是( )
A.①②B.①③C.①③④D.①②④
二、填空题
13．已知向量，的夹角的余弦值为，，且，则________.
14．将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的3倍,纵坐标不变,得到函数的图象,则的最小正周期为______,______.
15．已知函数是定义在R上的偶函数,且满足,当时,,则______.
16．假设在某种细菌培养过程中,正常细菌每小时分裂1次(1个正常细菌分裂成2个正常细菌和1个非正常细菌),非正常细菌每小时分裂1次(1个非正常细菌分裂成2个非正常细菌).若1个正常细菌经过14小时的培养,则可分裂成的细菌的个数为______.
三、解答题
17．现统计了甲12次投篮训练的投篮次数和乙8次投篮训练的投篮次数,得到如下数据:
已知甲12次投篮次数的平均数,乙8次投篮次数的平均数.
（1）求这20投篮次数的中位数m,估计甲每次训练投篮次数超过的概率;
（2）求这20次投篮次数的平均数与方差.
18．在中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知.
（1）求B;
（2）若,,D为AC边的中点,求BD的长.
19．设函数.
（1）求曲线在点处的切线方程;
（2）求在上的最大值和最小值.
20．如图,在三棱柱中,,四边形为菱形,.
（1）证明:.
（2）已知平面平面,,求四棱锥的体积.
21．已知O为坐标原点，经过点的直线l与抛物线交于A，B（A，B异于点O）两点，且以为直径的圆过点O.
（1）求C的方程；
（2）已知M，N，P是C上的三点，若为正三角形，Q为的中心，求直线斜率的最大值.
22．已知直线(t为参数),曲线.
（1）求l的普通方程和曲线C的参数方程;
（2）将直线l向下平移个单位长度得到直线,是曲线C上的一个动点,若点P到直线的距离的最小值为,求a的值.
23．已知函数.
（1）当时,解不等式;
（2）当时,恒成立,求实数a的取值范围.
参考答案
1．答案：A
解析：因为,,所以.
2．答案：C
解析：,则.
3．答案：B
解析：因为,所以.
4．答案：D
解析：由图可知,这6天员工的出勤率有增也有减,所以A,B均错误.这6天员工的出勤率按照从小到大的顺序排列为0.776,0.8077,0.8333,0.86,0.895,0.92,所以这6天员工的出勤率的极差为,中位数为,C错误,D正确.
5．答案：A
解析：设,则,所以为奇函数,设,可知为偶函数,所以为奇函数,则B,C错误,易知,所以A正确.
6．答案：D
解析：因为是等差数列,所以,故.
7．答案：B
解析：设三人为A,B,C,则参加晚会的情况有A,B,C,AB,AC,BC,ABC,共7种情况,其中恰有一人参加晚会的情况有3种,故所求的概率为.
8．答案：B
解析：作,,垂足分别为F,G,连接FG(图略),易知四边形EFGD为直角梯形,其中.设,则,,.作,垂足为H(图略),则为直线DE与平面所成的角,所以,.
9．答案：A
解析：因为,所以,解得或(舍去),所以.
10．答案：C
解析：在中,,则,且,则.由题可知,当平面平面BCD时,三棱锥的体积最大.如图,
可将三棱锥补全为正方体,则三棱锥外接球的半径为,故其外接球的表面积为.
11．答案：D
解析：由题可知经过第二,四象限,经过第一,三象限,设的倾斜角为.
当时,则,即,,
即,所以.
当时,,即,,
即,所以.
综上,双曲线C的离心率的平方为.
12．答案：C
解析：由,取,得,①正确.
取,得,解得.取,得,所以,②错误.
取,得,所以是奇函数,③正确.
当时,,两边同时除以,得,当时,令,则,当时,,所以,所以,④正确.
13．答案：4
解析：向量，的夹角的余弦值为，，则，
由，解得(负值舍去).
故答案为：4.
14．答案：;
解析：依题意得,则的最小正周期,
15．答案：
解析：设函数的最小正周期为T,则.因为是定义在R上的偶函数,所以,所以.
16．答案：
解析：设经过n小时,有个正常细菌,个非正常细菌,则,.
又,,所以,,则,,
所以,所以.
17．答案：（1）
（2）33
解析：（1）将这20个数据从小到大排列,第10个数和第11个数都是77,所以
估计甲每次训练投篮次数超过m的概率为.
（2）这20次投篮次数的平均数,方差.
18．答案：（1）
（2）
解析：（1）因为,所以,
化简得.
因为,所以.
因为,所以.
（2）因为,
所以,解得.
因为为的中线,所以,
所以.
因为,,所以,
解得.
19．答案：（1）
（2）
解析：（1）因为,
所以,
又,
所以曲线在点处的切线方程为
（2）由（1）可知,.
令,则,
当时,,,所以,
所以在上单调递增
当时,,即,
所以在上单调递增,
所以的最大值为,
的最小值为
20．答案：（1）见解析
（2）2
解析：（1）证明:设O为AB的中点,连接CO,,,.
因为,所以.
因为四边形为菱形,,所以为等边三角形,
则
又,所以平面
因为平面,所以
（2）因为,,所以平面
因为平面,所以,
所以四边形为菱形,即
因为平面平面,且平面平面,
所以平面.
故.
21．答案：（1）
（2）
解析：（1）设，，，联立方程得，
则，.
因为以为直径的圆过点O，所以，则，即，
解得，
所以，解得，所以C的方程为.
（2）设，，.不妨设N，M，P按逆时针顺序排列.
①当有一边斜率不存在时，另一顶点为，不妨设，
则，.
与抛物线C的方程联立得，，中心.
②当三边的斜率都存在时，，.
又，所以，
化简可得，
同理可得，
，
三式相加得.
因为M，N，P是C上的三点，所以，
又，
所以.
设，则，，代入上式得.
又①也满足，所以Q的轨迹方程为.
当，直线的斜率为，当且仅当时，直线的斜率取得最大值.当时，直线的斜率.综上，直线斜率的最大值为.
22．答案：（1）
（2）
解析：（1）由直线(t为参数),
消去参数t,可得l的普通方程为.
由曲线,可得曲线C的参数方程为(为参数).
（2）的方程为,即.
设点P的坐标为,
则点P到直线的距离.
因为,所以当时,d取得最小值,
即,解得.
23．答案：（1）
（2）
解析：（1）当时,,
当时,可化为,
解得,所以;
当时,可化为,
解得,所以
当时,可化为,
解得,所以.
综上,不等式的解集为.
（2）当时,可化为,则,
即,则.
因为,所以,故实数a的取值范围为.
甲
77
73
77
81
85
81
77
85
93
73
77
81
乙
71
81
73
73
71
73
85
73