太康县第一高级中学2023-2024学年高一下学期5月月考数学试卷(含答案)

这是一份太康县第一高级中学2023-2024学年高一下学期5月月考数学试卷(含答案)，共15页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知a,,,若,则z的虚部是( )
A.-2B.1C.-2iD.2i
2．下列命题正确的是( )
A.若直线,则a平行于经过b的任何平面
B.若直线a,b和平面,,满足,,,则
C.若直线a,b和平面满足,,则
D.若直线a和平面满足,则a与内任何直线平行
3．已知O为等腰直角三角形的直角顶点,以为旋转轴旋转一周得到几何体,是底面圆O上的弦,为等边三角形,则异面直线与所成角的余弦值为( )
A.B.C.D.
4．已知的外接圆圆心为O,且,,则向量在向量上的投影向量为( )
A.B.C.D.
5．某房地产公司为了解小区业主对户型结构——平层与复式结构的满意度,采取分层随机抽样方式对华润中央公园小区的业主进行问卷调查。购买平层与复式结构户数之比为,购买平层户型的业主满意度平均分为8,购买复式户型的业主满意度平均分为9,用样本平均数估计该小区业主对户型结构满意度的平均分为( )
A.8.4B.8.5C.8.6D.8.7
6．如图,在矩形中,已知,E是的中点,将沿直线翻折成,连接.若当三棱锥的体积取得最大值时,三棱锥外接球的体积为,则( )
A.2B.C.D.4
7．如图,在梯形中,且,点E为线段的靠近点C的一个四等分点,点为线段的中点,与交于点O,且,则的值为( )
A.1B.C.D.
8．已知是锐角三角形,若,则的取值范围是( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．已知复数（且,i为虚数单位）,若,则下列说法正确的是( )
A.在复平面上对应的点位于第四象限
B.
C.
D.若复数满足,则在复平面内对应的点构成的图形的面积为
10．已知甲组数据为：1,1,3,3,5,7,9,乙组数据为：1,3,5,7,9,则下列说法正确的是( )
A.这两组数据的第80百分位数相等
B.这两组数据的极差相等
C.这两组数据分别去掉一个最大值和一个最小值后,仅仅乙组数据的均值不变
D.甲组数据比乙组数据分散
11．已知正方体的棱长为1,E为线段的中点,,其中,,则下列选项正确的是( )
A.时,
B.时,的最小值为
C.时,三棱锥的体积为定值
D.时,直线与面的交点轨迹长度为
三、填空题
12．某校在高一、高二、高三三个年级中招募志愿者50人,现用分层随机抽样的方法分配三个年级的志愿者人数,已知高一、高二、高三年级的学生人数之比为,则应从高三年级抽取__________名志愿者.
13．已知向量,.若,,则______________.
14．某人在塔的正东方向沿着南偏西的方向前进40m以后,望见塔在东北方向上,若沿途测得塔的最大仰角为,则塔高为________________m.
四、解答题
15．已知平面向量,,,且,
（1）若,且,求向量的坐标;
（2）若,求在方向的投影向量(用坐标表示).
16．在矩形ABCD中,,,E为AD的中点,如图1,将沿BE折起,使得点A到达点P的位置（如图2）,且平面平面BCDE.
（1）证明：平面PEC;
（2）若M为PB的中点,N为PC的中点,求三棱锥的体积.
17．已知在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且满足.
(1)求角A；
(2)若D点在线段上，且平分，若，且，求的面积.
18．某市政府为了节约生活用水,实施居民生活用水定额管理政策,即确定一个居民月用水量标准x（单位：吨）,用水量不超过x的部分按平价收费,超出x的部分按议价收费,并随机抽取部分居民进行调查,抽取的居民月均用水量的频率分布直方图如图所示.（同一组中的数据以该组区间的中点值为代表）
（1）求频率分布直方图中a的值;
（2）试估计该市居民月均用水量的众数、平均数;
（3）如果希望85%的居民月均用水量不超过标准x,那么标准x定为多少比较合理？
19．如图,在三棱锥中,平面, 是直角三角形,,,,点D、E、F分别为、、的中点.
（1）求证：;
（2）求直线与平面所成的角的正弦值;
（3）求二面角的正切值.
参考答案
1．答案：A
解析：
2．答案：B
解析：对于A：若直线,则直线a与直线b唯一确定一个平面,
不妨设为平面,则,故A错误;
对于B：过b作平面,使得,作平面,使得,
因为,所以,因为,所以,所以,又,,所以,
又因为,,所以,所以,故B正确.
对于C：若,,则a与b平行或相交或异面,故C错误;
对于D：若,则a与内任何直线不相交,即平行或异面,故D错误.
3．答案：B
解析：
4．答案：A
解析：
5．答案：C
解析：
6．答案：B
解析：在矩形中,已知,E是的中点,
所以为等腰直角三角形;
斜边上的高为,
要想三棱锥的体积最大;需高最大,则平面面时体积最大,
此时平面.三棱锥的高等于：;
因为三棱锥外接球的体积为,可得,解答,
取的中点H,连接,,
由平面.得平面,,
由已知是正方形,.且与平分于K,
,
H即为外接球球心,,即.
7．答案：C
解析：根据向量的线性运算法则,可得
,
因为B,O,F三点共线,可得,即;
又由,
因为A,O,E三点共线,可得,即,
联立方程组,解得,,
所以.
8．答案：D
解析：因为,所以由正弦定理得,得,
由余弦定理得,所以,
即,由正弦定理得,
因为,则
所以,即.
因为为锐角三角形,,,
又在上单调递增,所以,则,
因为为锐角三角形,,,,.
所以.
9．答案：ACD
解析：
10．答案：BC
解析：对于A,由,得甲组数据的第80百分位数为7,
由,乙组数据的第80百分位数为8,A错误;
对于B,甲组数据与乙组数据的极差均为为8,B正确;
对于C,甲组数据去掉前后的均值分别为,;乙组数据去掉前后的均值分别为5,5,C正确;
对于D,甲组数据的方差,
乙组数据的方差,显然,
因此乙组数据较分散,D错误.
11．答案：ABC
解析：由题意,正方体的棱长为1,E为线段的中点,且,其中,,
对于A中,取M,N分别为,的中点,当时,可得点P在线段上运动,
如图（1）所示,在正方形中,因为M,E的中点,可得,
又由平面,平面,所以,
因为,所以平面,
又因为平面,所以,所以A正确.
对于B中,在,上分别取点G和点H,使得,连接,
当时,可得点P在线段上运动,
在直角中,,,可得,
如图（2）所示,沿将平面旋转到与平面重合,得到平面,

连接,则,
即的最小值为,所以B正确.
对于C中,如图（3）所示,取的中点F,分别连接,,,,
当时,可得点P在线段上运动,
由且平面,所以平面,
所以点P到平面的距离为定值,即三棱锥的高h为定值,
又由的面积为定值,所以（定值）,所以C正确.
对于D中,如图（4）所示,连接,,交,于点K和点L,
当时,可得点P在线段上运动,
因为且平面,所以平面,
又因为平面平面,所以,
由与相似,且相似比为,
所以,即直线与面的交点轨迹长度为,所以D不正确.
综上可得,选项正确的是:ABC.
12．答案：15
解析：
13．答案：-1
解析：
14．答案：
解析：画示意图如下图所示,
此人在C处,AB为塔高,他沿CD前进,,此时,
从点C到点D所测塔的仰角,只有点B到CD的距离最短时,仰角最大,
这是因为,为定值.
过点B作于点E,连接AE,则.
在中,,,,
由正弦定理,得,.
在中,,
,
在中,,
15．答案：（1）或
（2）
解析：（1）设,,
,,又,,
,,
或,
或.
（2）,,设与的夹角为.
故,
在上的投影向量为.
16．答案：（1）证明见解析;
（2）
解析：（1）证明：由题意,得,,
,即,
又平面平面BCDE,交线为BE,平面PBE,,
又,,平面PEC;
（2）取BE中点O,连接PO,,,且,
又平面平面BCDE,交线为BE,平面BCDE,
M为PB的中点,N为PC的中点,
17．答案：(1)
(2)
解析：(1)解：，
由正弦定理得：，
即，
则，
又在中，，，故，
故.
(2)由题可知，
设，则，，，
由正弦定理得：，，
即，，
解得，
由余弦定理得，解得；
又，故.
由余弦定理得，即，
解得，则，.
的面积为.
18．答案：（1）
（2）2.25吨,2.035吨
（3）
解析：（1）由频率分布直方图中所有矩形的面积之和为1,
可得,解得.
（2）由频率分布直方图可知,该市居民月均用水量的众数约为（吨）,
由频率分布直方图可知,平均数约为（吨）.
（3）由频率分布直方图可知,月均用水量低于2.5吨的居民人数所占的百分比为,月均用水量低于3吨的居民人数所占的百分比为,
所以,由题意可得,解得.
所以如果希望85%的居民月均用水量不超过标准x,那么x定为2.9吨比较合理.
19．答案：（1）证明见解析;
（2）;
（3）
解析：（1）连接,在中,.
,点D为的中点,.
又平面,平面,,
,平面,平面,平面,
、F分别为、的中点,,平面,
平面,;
（2）连接交于点O,由（1）知平面,
为直线与平面所成的角, 平面,.
平面,、平面,,,
又,,
,,
在直角三角形中,,
因此,直线与平面所成的角的正弦值为;
（3）过点B作于点M,连接,
,,,且平面,平面,
平面,即平面,平面,,
又,,平面,平面,
平面,平面,,
所以,为二面角的平面角.
在直角三角形中,,所以,.
因此,二面角的正切值为.