运城市康杰中学2023-2024学年高一下学期4月月考数学试卷(含答案)

这是一份运城市康杰中学2023-2024学年高一下学期4月月考数学试卷(含答案)，共17页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．复数，则复数z的虚部是( )
A.-2B.2C.-1D.1
2．已知向量，满足，，若与的夹角为，则( )
A.1B.2C.D.
3．已知向量，，，则( )
A.1B.2C.6D.1或者2
4．如图所示的矩形中，E，F满足，，G为EF的中点，若，则的值为( )
A.B.3C.D.2
5．在中,若,且,那么一定是( )
A. 等腰直角三角形B.直角三角形
C. 等腰三角形D.等边三角形
6．桂林日月塔又称金塔银塔､情侣塔，日塔别名叫金塔，月塔别名叫银塔，所以也有金银塔之称.如图1，这是金银塔中的金塔，某数学兴趣小组成员为测量该塔的高度，在塔底O的同一水平面上的A，B两点处进行测量，如图2已知在A处测得塔顶P的仰角为，在B处测得塔顶P的仰角为，米，，则该塔的高度( )
A.米B.米C.50米D.米
7．如图,A、B、C三点在半径为1 圆O上运动,且, M是圆O外一点,,则的最大值是( )
A.5B.8C.10D.12
8．我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作《数书九章》中提出了一种求三角形面积的方法——三斜求积术：“以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积”.也就是说，在中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，那么的面积，若，且，则面积S的最大值为( )
A.B.C.6D.
二、多项选择题
9．已知单位向量，的夹角为，则下列结论正确的有( )
A.
B.在方向上的投影向量为
C.若，则
D.若，则
10．在中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则下列说法中正确的是( )
A.若,则
B.若,则是锐角三角形
C.若,,,则符合条件的有两个
D.对任意,都有
11．对于非零向量，定义变换以得到一个新的向量．则关于该变换，下列说法正确的是( )
A.若，则
B.若，则
C.存在，，使得
D.设，，，…，，则
12．已知三个内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且，．则下列结论正确( )
A.面积的最大值为B.的最大值为
C.D.的取值范围为
三、填空题
13．已知复数，，满足，，则的最大值为________．
14．已知平面直角坐标系中，向量，，若与的夹角为锐角.则实数的取值范围为___________．
15．平面四边形ABCD中,,,,则AC的最大值为__________.
16．在中，角ABC所对的边分别为a、b、c，AD是的角平分线，若，，则的最小值为_______
四、解答题
17．已知向量,,
（1）若向量与垂直,求与夹角的余弦值;
（2）若,且与共线,求k的值．
18．已知复数，为z的共轭复数，且．
（1）求m的值；
（2）若是关于x的实系数一元二次方程的一个根，求该一元二次方程的另一复数根．
19．已知的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若.
（1）求角A;
（2）若,,求的面积．
20．如图，中，，，D是AC的中点，，AB与DE交于点M．
（1）用，，表示﹔
（2）设，求的值；
21．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答问题．
已知a，b，c是的三个内角A，B，C的对边，且______．
（1）求B；
（2）若，求的周长的取值范围．
22．在边长为2的等边中，D为BC边上一点，且．
（1）若P为内一点（不包含边界），且，求的取值范围；
（2）若AD上一点K满足，过K作直线分别交AB，AC于M，N两点，设，，的面积为，四边形BCNM的面积为，且，求实数k的最大值．
参考答案
1．答案：A
解析：由题意可得：，
所以复数z的虚部是-2.
故选：A.
2．答案：B
解析：.
故选：B
3．答案：D
解析：由已知，
又，
所以，
解得1或者2
故选：D.
4．答案：A
解析：因为，，G为EF的中点，
所以
，
所以，，所以.
故选：A.
5．答案：D
解析：,则,
因为A,,所以,则,
又因为,,则,
则,即,
即,又因为A,,则,
所以,即.
即一定是等边三角形,故D正确.
故选：D.
6．答案：B
解析：由题意可知，，，
设米，则
在中，米，
在中，米.
由余弦定理可得，即，解得.
因为米，所以米.
故选：B.
7．答案：C
解析：连接,如下图所示：

因为,则为圆O的一条直径,故O为的中点,
所以,
所以
.
当且仅当M、O、C共线且、 同向时,等号成立,
因此, 的最大值为10
故选：C.
8．答案：B
解析：因为，所以，
所以，
由正弦定理得，又，所以
，
所以当即时，面积S的最大值为.
故选：B.
9．答案：AB
解析：因为，都是单位向量，所以，
所以，即，故A正确；
在方向上的投影向量为，故B正确；
若，则，即，即，
因为，所以，故C错误；
若，则，
所以，即，故D错误.
故选：AB
10．答案：ABD
解析：对于A选项,由,根据正弦定理得,（r为外接圆半径）,
即则,故A正确;
对于B,,
所以,
所以,
所以,,三个数有0个或2个为负数,又因A,B,C最多一个钝角,
所以,,,即A,B,C都是锐角,
所以一定为锐角三角形,故B正确;
对于C,由正弦定理得,则,
又,则,知满足条件的三角形只有一个,故C错误;
对于D,因为,所以,又函数在上单调递减,
所以,所以,故D正确;
故选：ABD.
11．答案：ABD
解析：A选项，，设，，，
若，则有，所以，
则，故A选项正确；
B选项，若，则有，
故，
则，故B选项正确；
C选项，
，
，
，故C选项错误；
D选项，当时，，
，，
，，
，
，D选项正确．
故选：ABD．
12．答案：AB
解析：由余弦定理得：，解得：，
由基本不等式得：，当且仅当时，等号成立，
所以，故，A正确；
，
其中由正弦定理得：，
所以
，
因，所以，
故，最大值为，的最大值为，
B正确；
，
故C错误；
，
因为，所以，
所以，D错误.
故选：AB
13．答案：或
解析：设复数，a，，由，得，
整理得，于是，，即，，，
由，得复平面内表示复数的对应点在以表示复数的对应点为圆心，1为半径的圆上，
表示这个圆上的点到表示复数2i的对应点的距离，
距离的最大值是.
故答案为：
14．答案：且
解析：因为，，
所以，
因为与的夹角为锐角，所以，且与不同向共线，
由，得，则；
由与共线，得，则，
此时与同向共线，故；
综上，且.
故答案为：且
15．答案：4
解析：如图所示,因为,设,,且,,
在中,可得,
即,可得,
在中,可得,
所以,
当时,即时,取得最大值,最大值为,
所以AC的最大值为4.
故答案为:4.
16．答案：
解析：是的角平分线，
，
由张角定理得：，
即，
，
，
（当且仅当，即时取“=”）.
故答案为：.
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）,,,,
（2）
,,
,又,与共线,
,.
18．答案：（1）；
（2）
解析：（1）已知，则，
由于，得，解得：
（2）由（1）可知，，将，代入方程可得：，
即：，得：，解得：，，
代入一元二次方程中得：，
解得：，，
即方程另外一个复数根为
19．答案：（1）
（2）
解析：（1）因为,
由正弦定理,又,
,即,由,得.
（2）由余弦定理知,
即,则,解得（负值舍去）,
.
20．答案：（1）；
（2）.
解析：（1）依题意，.
（2）依题意，
，而E，M，D三点共线，则，
所以.
21．答案：（1）；
（2）
解析：（1）选①，由，
可得，
因为，及正弦定理，可得，
所以，整理得，
则，因为，所以．
选②，由，可得，即，
因为，可得，所以，即．
选③，由，由正弦定理得，
即，
即，
整理得，
因，，可得，即，
因为，所以．
（2）由，，可得，
所以周长，
又由，可得，
又因为，可得，所以，
所以，所以的周长的取值范围为.
22．答案：（1）；
（2）
解析：（1）取BC的中点E，所以，
因为E为BC的中点，所以，
所以，
又因为，所以，故，
故的取值范围.
（2）因为，所以，
因为，，，
所以，也即，
因为点K，M，N三点共线，所以①
因为，所以，
所以，又因为，所以，
所以②，
由①得：，将其代入②式可得：，
所以当时，k取最大值.