重庆市万州第二高级中学2023-2024学年高二下学期开学考试数学试卷(含答案)

这是一份重庆市万州第二高级中学2023-2024学年高二下学期开学考试数学试卷(含答案)，共16页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．设空间向量，，若，则实数的值为( )
A.2B.－10C.－2D.10
2．过点且与直线垂直的直线方程为( )
A.B.C.D.
3．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒或小石子来研究数.他们根据沙粒或小石头所排列的形状把数分成许多类，如图的1，5，12，22称为五边形数，若五边形数所构成的数列记作，下列不是数列的项的是( )
A.35B.70C.145D.175
4．已知函数在点处的切线方程为，则( )
A.－5B.－3C.3D.5
5．在等差数列中，若，则( )
A.30B.40C.45D.60
6．过x轴上一点P作圆的两条切线，切点为A，B，当切线长最短时，则劣弧长( )
A.B.C.D.
7．古希腊哲学家、百科式科学家阿基米德最早采用分割法求得椭圆的面积为椭圆的长半轴长和短半轴长乘积的倍，这种方法已具有积分计算的雏形.已知椭圆C的面积为，离心率为，，是椭圆C的两个焦点，A为椭圆C上的动点，则下列结论正确的是( )
①椭圆C的标准方程可以为；②若.则
③存在点A，使得④；的最小值为
A.①③B.②④C.②③D.①④
8．斐波那契数列又称黄金分割数列，因数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”.斐波那契数列用递推的方式可如下定义：用表示斐波那契数列的第n项，则数列满足：，，记，则下列结论不正确的是( )
A.B.
C.D.
二、多项选择题
9．下列表述中正确的是( )
A.若不存在.则曲线在点处没有切线
B.曲线在处的切线方程为，则当时.
C.
D.若，则
10．已知数列满足，，，为的前n项和，则( )
A.为等比数列B.的通项公式为
C.为递减数列D.当或时，取得最大值
11．随着我国航天科技的快速发展，双曲线镜的特性使得它在天文观测中具有重要作用，双曲线的光学性质是：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.由此可得，过双曲线上任意一点的切线平分该点与两焦点连线的夹角.已知，分别为双曲线的左，右焦点，过C右支上一点作直线l交x轴于，交y轴于点N，则( )
A.C的渐近线方程为B.过点作，垂足为H，则
C.点N的坐标为D.四边形面积的最小值为
三、填空题
12．已知、，则以为直径的圆的标准方程为______.
13．在移动通信中，总是有很多用户希望能够同享一个发射媒介，进行无线通信，这种通信方式称为多址通信.多址通信的理论基础是：若用户之间的信号可以做到正交，这些用户就可以同享一个发射媒介.在n维空间中，正交的定义是两个n维向量，满足.已知某通信方式中用户的信号是4维非平向量，有四个用户同享一个发射媒介，已知前三个用户的信号向量为，，.写出一个满足条件的第四个用户的信号向量______.
14．如图，正方形的边长为1，连接各边的中点得到正方形，连接正方形各边的中点得到正方形，依此方法一直进行下去.记为正方形的面积，为正方形的面积，为正方形IJKL的面积，……为的前n项和.给出下列四个结论：
①存在常数，使得恒成立；
②存在正整数，当时，；
③存在常数，使得恒成立；
④存在正整数，当时，其中所有正确结论的序号是______.
四、解答题
15．在等比数列中.
（1）已知，，求；
（2）已知，，求；
（3）已知，，，求n.
16．如图，直四棱柱的底面为菱形，，.
（1）证明：平面平面；
（2）求底面与平面所成锐二面角的余弦值.
17．请阅读下列材料，并解决问题：
圆锥曲线的第二定义二次曲线，即圆锥曲线，是由一平面截二次锥面得到的曲线，包括椭圆，抛物线，双曲线等2000多年前，古希腊数学家最先开始研究二次曲线，并获得了大量的成果.古希腊数学家阿波罗尼斯采用平面切割圆锥的方法来研究二次曲线曲线.阿波罗尼曾把椭圆叫“亏曲线”把双曲线叫做“超曲线”，把抛物线叫做“齐曲线”，事实上，二次曲线由很多统一的定义、统一的二级结论等等，比如：平面内的动点到一个定点F的距离和到定直线I的距离的比是常数e，则动点的轨迹就是圆锥曲线（这个圆锥曲线的第二定义）.其中定点F称为其焦点，定直线I称为其准线（其中椭圆与双曲线的准线方程为，抛物线准线方程为），正常数e称为其离心率当时，轨迹为椭圆；当时，轨迹为抛物线；当时，轨迹为双曲线.
（1）已知平面内的动点到一个定点的距离和M到定直线的距离的比是常数，则动点M的轨迹方程为______（直接写出结果，无需过程）.
（2）在（1）所求的曲线中是否存在一点，使得该点到直线的距离最小？最小距离是多少？
18．已知点N在曲线上，O为坐标原点，若点M满足，记动点M的轨迹为.
（1）求的方程；
（2）设C，D是上的两个动点，且以为直径的圆经过点O，证明：为定值.
19．同余定理是数论中的重要内容.同余的定义为：设，且.若则称a与b关于模m同余，记作（“|”体整除符号）.
（1）解同余方程；
（2）设（1）中方程的所有正根构成数列，其中.
①若，数列的前n项和为，求；
②若，求数列的前n项和.
参考答案
1．答案：A
解析：由题意，解得.
故选：A.
2．答案：C
解析：由直线可得其斜率为：，则与其垂直的直线斜率为2，故过点且与直线垂直的直线方程为，即：.故选：C.
3．答案：D
解析：由已知可得，，，，，
所以，，.
当时，罢加法求和如下
，
，
，
，
两边同时相加可得，，整理可得，.
对于A项，令可得，，解得或（舍去）.
所以，，故A项错误；
对于B项，令可得，，解得或（舍去）.
所以，，故B项错误；
对于C项，令可得，，解得或（舍去）.
所以，，故C项错误；
对于D项，令可得，，解得（舍去）或（舍去）.
所以，170不是数列的项，故D项正确.
故选：D.
4．答案：A
解析：因为函数在点处的切线方程为，
所以，且，所以，
所以.
故选：A.
5．答案：C
解析：因为是等差数列，所以，所以，
所以.
故选：C.
6．答案：D
解析：圆的圆心，半径，点到x轴距离，则，当且仅当点P与原点重合时取等号，显然，
则，当时，，
于是，圆心角，所以劣弧长.故选：D
7．答案：D
解析：对于①：由，解得，，，
则椭圆C的标准方程为，故①正确；
对于②：由定义可知，
由余弦定理可得：，整理得，
则，故②错误；
对于③：设，，，
，，，
，由于，
，，，
则不存在点A，使得，故③错误；
对于④：
，当且仅当，
即时，等号成立，故④正确；
故选：D
8．答案：C
解析：因为的前10项依次为：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，即，A正确；
当时，，，B正确；
由给定的递推公式得：，，，，
累加得，
于是有，即，C错误；
，，，
，累加得，D正确.
故选：C.
9．答案：BC
解析：对于A，不妨记，则，在处导数不存在.但在处的切线方程为，故A错误；
对于B，若曲线在处的切线方程为，
则，即当时，，
所以，当时，，故B正确；
对于C，，故C正确；
对应D，若，则，
则，解得，
所以，则，故D错误.
故选：BC
10．答案：AC
解析：因为，所以，即，，又因为，所以，所以为首项为27，公比为的等比数列，A正确；，所以，B错误；
因为函数是减函数.所以为递减数列.C正确；
令，即，解得，所以时，，时，，所以当或时，取得最大值，D错误.
故选：AC
11．答案：ABD
解析：对于A项，由已知可得，，所以双曲线的渐近线方程为，故A项正确；
对于B项，如图，，且满足，所以直线的方程为，联立化简得，由于，
即为双曲线的切线.由双曲线的光学性质可知，平分，
延长与的延长线交于点E.
则垂直平分，即点H为的中点.
又O是的中点，所以，故B项正确；
对于C项，设，则，整理可得.
又，所以有，所以有，
解得，所以N点的坐标为，故C项错误；
，
当且仅当，即时，等号成立.
所以，四边形面积的最小值为，故项正确.
故选：ABD
12．答案：
解析：线段的中点坐标为，，
所以，所求圆的半径为，故所求圆的标准方程为.
故答案为：.
13．答案：（答案不唯一）
解析：设满足条件的第四个用户的信号向量是，
则，则，则，，
故一个满足条件的信号向量是.故答案为：（答案不唯一）
14．答案：①②③
解析：记第n个正方形的边长为，面积为，
由每个正方形都是由上一个正方形各边中点连接得到，可知第个正方形的边长为，面积为，所以，又因为，
所以正方形面积构成的数列是首项为1，公比为的等比数列，其通项公式为，
对①：，因为，所以恒成立，故①正确；
对②：当时，即且n为正整数，所以存在，故②正确；
对③、④：，又因为，
所以，因此当时，恒成立，故③正确；
因此当时，恒成立，故④错误.
故答案为：①②③.
15．答案：（1）－96；
（2）；
（3）9
解析：（1）
（2）因为.所以.
（3）因为：，，所以
.
由
16．答案：（1）证明见解析；
（2）
解析：（1）因为平面为菱形，所以.
又平面，平面，所以.
又，平面.所以平面.
又平面，所以平面平面.
（2）连接，设菱形对角线交点分别为O，，连接，依题意可知平面，
又，以O为原点，分别以，，所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图，由，，得，，
则，，，，，，
，.
设平面的法向量为，则，
令，得，易知平面的一个法向量为，
因此，
所以底面与平面所成锐二面角的余弦值为.
17．答案：（1）；
（2）存在，最小距离为.
解析：（1）依题意，，化简并整理得，所以点M的轨迹方程为.
（2）假设存在这样的P点到直线的距离最小，
设，其中，则点P到直线m的距离，其中，
则当时，.
所以存在这样的点，使得该点到直线的距离最小，距离最小为.
18．答案：（1）；
（2）证明见解析
解析：（1）（1）设，，因为点N在曲线上，所以，
因为，所以.
代入可得，
即，即的方程为；
（2）因为以为直径的圆经过点O，所以，当C，D为椭圆顶点时，
当C、D不是椭圆顶点时，可得直线的斜率存在且不等于零，
可设直线的方程为，则直线的方程为，
由，得，，
所以.
同理可得，，，
所以.
综上，为定值.
19．答案：（1）或.
（2）①3036；
②
解析：（1）由题意，所以或，即或.
（2）由（1）可得为，所以.
①因为，所以.
.
②.
因为，
所以