浙江省杭州市浙里特色联盟2023-2024学年高一下学期4月期中联考数学试题（Word版附解析）

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高一年级数学学科 试题
考生须知：
1．本卷共4页满分150分，考试时间120分钟.
2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字.
3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效.
4．考试结束后，只需上交答题纸.
选择题部分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 集合，集合，则集合（ ）
A. B. C. D.
2. 已知是虚数单位，则复数所对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
3. 设是三个不同平面，且，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
4. 若命题p：，且，则命题为（ ）
A. 且B. 或
C. 且D. 或
5. 已知向量 ，满足， ，，则（ ）
A. B. C. D.
6. 已知函数，则下列说法正确是（ ）
A. 的图象关于直线对称B. 的周期为
C. 是的一个对称中心D. 在区间上单调递增
7. 如图，透明塑料制成的长方体容器内灌进一些水，固定容器底面一边于地面上，再将容器绕边倾斜.随着倾斜度的不同，在下面四个命题中错误的是（ ）

A. 没有水的部分始终呈棱柱形
B. 棱始终与水面所在平面平行
C. 水面所在四边形的面积为定值
D. 当容器倾斜如图所示时，是定值
8. 已知的内角的对边分别为，且，，则面积的最大值为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知复数是的共轭复数，则（ ）
A.
B. 的虚部是
C. 在复平面内对应的点位于第二象限
D. 复数是方程一个根
10. 已知非零向量，以下命题正确的有（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则与夹角为锐角
D. 已知，，，则
11. 如图，棱长为2的正方体中，为棱的中点，为正方形内一个动点（包括边界），且∥平面，则下列说法正确的有（ ）
A. 记的中点为，上存在一点，使得面∥面
B. 动点轨迹的长度为
C. 三棱锥体积的最小值为
D. 当三棱锥的体积最大时，其外接球的表面积为
非选择题部分
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知，则_________．
13. 已知圆锥的底面圆周在球的球面上，顶点为球心，圆锥的高为3，且圆锥的侧面展开图是一个半圆，则球的表面积为______.
14. 如图所示，为了测量某座山的山顶A到山脚某处的距离（垂直于水平面），研究人员在距研究所处的观测点处测得山顶A的仰角为，山脚的俯角为.若该研究员还测得到处的距离比到处的距离多，且，则__________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知复数，为虚数单位．
（1）求；
（2）若复数是关于的方程的一个根，求实数的值；
（3）若复数满足，求的最值．
16. 在中，点在边上，，，，．
（1）求的模；
（2）求向量与夹角的余弦值；
（3）若点在边上，求的范围．
17. 三棱柱的棱长都为2，D和E分别是和的中点．
（1）求证：直线平面；
（2）若，点B到平面的距离为，求三棱锥的体积．
18. 在锐角三角形中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，．
（1）求角B值；
（2）若，求的取值范围．
19. 已知函数，，
（1）求的解析式；
（2）关于不等式的解集为一切实数，求实数的取值范围；
（3）关于的不等式的解集中的正整数解恰有个，求实数的取值范围.