重庆市荣昌中学2023-2024学年高一下学期第二次教学检测（5月）数学试题（Word版附解析）

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（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第I卷（选择题共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．
1. 已知复数满足，则复数在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】利用复数除法求出复数，再求出即可得解.
【详解】依题意，，
所以在复平面内对应的点位于第四象限.
故选：D
2. 某大学共有教师1000人，其中教授、副教授、讲师、助教的人数比为，现用分层抽样的方法从全校所有教师中抽取一个容量为40的样本，如果样本按比例分配，那么讲师应抽取的人数为（ ）
A. 16B. 12C. 8D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】根据分层抽样的比例关系计算得到答案.
【详解】根据分层抽样的方法，样本按比例分配，讲师应抽取的人数为，
故选：B．
3. 已知一个圆锥的表面积为，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据圆锥表面积公式和扇形的弧长公式求得母线和半径长，进而求得圆锥的高，根据圆锥体积公式即可求得答案．
【详解】设该圆锥的底面半径为，母线为，则，，
解得，
则圆锥的高为，
因此该圆锥的体积，
故选：D
4. 在锐角中，，为的垂心，，则的外接圆周长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由外心及垂心性质可证得、，从而证得，同理证得，进而可得四边形为平行四边形，从而在中可求得外接圆半径，结合圆的周长公式计算即可.
【详解】设为外接圆的外心，连接并延长交于点，连接、、，如图所示，
由为外接圆的外心可知，，
又因为为垂心，所以，
所以，同理：，
所以四边形为平行四边形，
所以，
又因为，
所以在中，，即，
所以，所以外接圆周长为.
故选：D.
5. 一支田径队有男运动员40人，女运动员30人，用分层抽样的方法从全体运动员中抽取一个容量为7的样本，抽出的男运动员平均身高为，抽出的女运动员平均身高为，估计该田径队运动员的平均身高是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由分层抽样抽样比求得样本中男生、女生的人数及平均数公式计算即可.
【详解】由题意知，抽取的样本中男队员有人，女队员有人，
所以估计该田径队运动员的平均身高为.
故选：B
6. 如图所示，等腰梯形中，，点为线段上靠近的三等分点，点为线段的中点，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用平面向量的加法和减法以及平面向量的基本定理求解.
【详解】，
，
，
，
故选：A.
7. 在中，，边的高等于，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由三角形面积公式可得，由余弦定理可得，结合等边对等角即可求得结果.
【详解】如图所示，
由题意知，，解得，
由余弦定理得：，解得，
所以，
所以.
故选：A.
8. 已知点为外接圆的圆心，角，，所对的边分别为，，，且，若，则当角取到最大值时的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由意在可知，代入数量积的运算公式求，再根据正弦定理说明时，也取得最大值，最后求面积.
【详解】

，
，，
，且，
当时，时，也取得最大值,
此时， ，
.
故选：A
【点睛】本题考查向量数量积和面积公式，意在考查转化与变形和分析问题，解决问题的能力，本题的关键是根据正弦定理，且，说明时，也取得最大值，后面的问题迎刃而解.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选顶，每选对一个得3分;若有3个正确选项，每选对一个得2分．
9. 设是三条不同的直线，是三个不同的平面，则下列命题为真命题的是（ ）
A. 若，，则∥
B. 若∥，∥，，则∥
C. 若，，，则
D. 若，，，则
【答案】BCD
【解析】
【分析】运用线线位置关系、线面位置关系可判断A项、B项，由线面平行的性质、线面垂直性质及面面垂直的判定定理可判断C项，由面面垂直性质及线面垂直的判定定理可判断D项.
【详解】对于A项，若，，则与可能平行、相交、异面，故A项不成立；
对于B项，因为，，所以或，又，所以，故B项正确；
对于C项，因为，，所以或，
当时，又因为，所以，
当时，过直线作平面使得，如图所示，
因为，，，所以，
又因为，所以，
又因为，所以，故C项正确；
对于D项，设，，过平面内一点，分别作，，如图所示，
因为，，，，所以，
又因为，所以，同理：，
又因为，、，
所以，故D项正确.
故选：BCD.
10. 已知复数，下列命题中正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】BC
【解析】
【分析】举例说明判断AD；利用复数运算及共轭复数、复数模的意义计算判断BC.
【详解】对于A，取，，而，A错误；
对于B，设，
，由，
得，，B正确；
对于C，由及已知得，设，
，解得，
则，C正确；
对于D，取，，而，D错误.
故选：BC
11. 在正三棱台中，，直线与平面所成角为，该三棱台的体积、内切球半径分别为，则（ ）
A B. C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】运用等腰三角形三线合一及线面垂直判定定理可证得面，再运用线面垂直性质可判断A项，由A项同理可得面，则即为所求角，进而可判断B项，运用求解即可判断C项，运用等体积法求内切球半径可判断D项.
【详解】对于A项，取中点，连接、，、，如图所示，
由题意知，在等腰梯形中，过作，如图所示，
则，，又因，所以，
所以，则，所以，
同理：，所以，
由题意知，为等边三角形，所以，
又，、面，所以面，
又面，所以，故A项正确；
对于B项，如图所示，
由A项知，，，同理：，，
又，、面，所以面，
所以为直线与平面所成角（），
又因为，，所以，则，故B项正确；
对于C项，延长、、、交于点，如图所示，
则由题意知，、、、分别为、、、的中点，所以，
又，所以，
又因为，，，即，
所以，
所以，故C项不成立；
对于D项，设正三棱台的内切球球心为，则由等体积法可知，
由A项知，，则，
所以，解得，故D项正确.
故选：ABD.
第II卷（非选择题92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知，，，且是与方向相同的单位向量，则在上的投影向量为______.
【答案】
【解析】
【分析】利用向量夹角公式以及向量投影公式直接求解.
【详解】设与的夹角，则，
所以在上的投影向量为，
故答案为：.
13. 在四面体中，，，.则四面体外接球的表面积为____________．
【答案】
【解析】
【分析】将四面体补形成长方体，使得对棱的长度分别为长方体面对角线的长，则长方体的体对角线即为四面体的外接球的直径，再结合球表面积公式计算即可.
【详解】由题意知，将四面体补形成长方体，使得对棱的长度分别为长方体面对角线的长，如图所示，
设长方体的长、宽、高分别为，，，
则，解得，
所以长方体的体对角线长为，
所以外接球的直径为，即，
所以四面体的外接球的表面积为.
故答案为：.
14. 窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，每年新春佳节，我国许多地区的人们都有贴窗花的习俗，以此达到装点环境、渲染气氛的目的，并寄托着辞旧迎新、接福纳祥的愿望.图1是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花，已知图2中正六边形的边长为，圆的圆心为正六边形的中心，半径为2，若点在正六边形的边上运动，为圆的直径，则的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】结合图形将所求数量积中的向量转化，化简为，从而只需求的取值范围，由图易得的最大最小值，代入即得.
【详解】
如图，取的中点,连接.
则,
因为圆的直径，长度为4，故得,要求的取值范围，即要求的取值范围.
根据正六边形的性质，结合图形可知，当点与正六边形的顶点重合时，
当点为正六边形的边的中点时(如图点)，故.
故答案为：
【点睛】思路点睛：本题解题思路在于结合图形的特点，分别将其中的向量进行分解、计算、化简，将问题转化为求距离的最大最小值问题.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知的内角所对的边分别为，向量与平行.
（1）求；
（2）若，求的面积．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由，得到，根据正弦定理求得，即可求解；
（2）根据题意，利用余弦定理，列出方程，求得，结合三角形的面积公式，即可求解.
【小问1详解】
解：由向量，，
因，可得，
又由正弦定理，可得，
因为，可得，所以，即，
又因为，所以.
【小问2详解】
解：因为且，
由余弦定理得，即，
可得，解得或（舍去），
所以的面积为.
16. 如图，在三棱锥中，分别是棱的中点，，.

（1）求证：平面；
（2）求证：平面；
（3）求异面直线与所成角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）由已知得，根据线面平行的判定定理可证；
（2）由，，根据线面垂直的判定定理可证；
（3）连结，直线与所成的锐角就是异面直线与所成的角，利用余弦定理求解.
【小问1详解】
由已知得，
又平面，平面，
因此∥平面；
【小问2详解】
连结.

，
，
在中，由已知可得，而
即，
平面，平面，
平面；
【小问3详解】
连结，由为的中点知，
直线与所成的锐角就是异面直线与所成的角.
在中，
是直角斜边AC上的中线，
异面直线与所成角的所成角的余弦值是.
17. 如图，在直角梯形ABCD中，，，，，，边AD上一点E满足，现将沿BE折起到的位置，使平面平面BCDE，如图所示.
（1）在棱上是否存在点F，使直线平面，若存在，求出，若不存在，请说明理由；
（2）求二面角的平面角的正切值.
【答案】（1）存在，
（2）2
【解析】
【分析】（1）设的中点为N，证得四边形DENF是平行四边形，得到，得出平面，进而得到结论；
（2）连接CE，取BE中点O，作于M，证得，得到为二面角的平面角，在直角中，即可求解．
【小问1详解】
解：当F是AC的中点时，直线平面.
证明如下：
设的中点为N，连接EN，FN，
因为，，且，，
所以且，所以四边形DENF是平行四边形，所以，
又因为平面，平面，所以平面，
所以存在点F，使平面，且.
【小问2详解】
解：在平面图形中，连接CE，则，，
所以，
如图所示，取BE中点O，连接，则，
因为平面，平面平面，且平面平面，
所以平面，又因为平面，所以
作于M，连接，
因为，且平面，所以平面，
又因为平面，所以，
所以为二面角的平面角，
在直角中，，，可得，
故二面角的平面角的正切值为．
18. 在，为边上的中线，点在边上，设．
（1）当时，求的值；
（2）若为的角平分线，且点在边上，求的值；
（3）在(2)的条件下，若，求最小值？
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由，平方后整理即可.
（2）由角平分线性质可得，结合为的中点求解即可.
（3）由余弦定理及三角形面积公式可得，结合三角恒等变换及基本不等式求解即可.
【小问1详解】
由题意可得：，
所以，即，
所以.
【小问2详解】
由角平分线性质定理可得，，
又因为为的中点，
故，所以.
【小问3详解】
由题（2）可知，由可得，设，
，则（※），
由余弦定理可得：，
代入（※）式，得：，
令，
则，
当且仅当时，即时，长度最小，此时.
19. 设，我们常用来表示不超过最大整数.如：.
（1）求证：；
（2）在锐角中，角所对的边分别为，且，则的最小值为，求的值.
（3）已知，若对，使不等式成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）设，分别研究与时等式两边的值即可.
（2）由正弦定理边化角及三角恒等变换化简可得与用的代数式表示，代入所求式子中结合基本不等式求解即可.
（3）将转化为关于的二次函数在上求其最大值，进而将问题转化为在上恒成立，运用分离参数可得在上恒成立，进而由函数单调性性质判断单调性求其最大值，结合函数单调性定义判断的单调性求其最小值即可.
【小问1详解】
设，
若，则，，
故，又，，所以.
若，则，，
故，而，，故.
综上，.
【小问2详解】
由已知得，，
又因为
，
所以，
所以，即，
所以，即，
所以，
所以，
又因为为锐角三角形，所以，
所以，
当且仅当，即时等号成立
因此的最小值.
又，因此.
【小问3详解】
，
当时，，故，故
因为对，使不等式成立，
故在上恒成立，
故在上恒成立，而在上恒成立，
故在上恒成立，
设，，
因为在上均为增函数，故，为增函数，
故，
设，
设，
则，
而，故，故，
即，故为减函数，
故，故.
【点睛】方法点睛：方法1：分离参数法求最值
(1)分离变量．构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
(2)恒成立⇔；
恒成立⇔；
能成立⇔；
能成立⇔.
方法2：根据不等式恒成立构造函数转化成求函数的最值问题，一般需讨论参数范围，借助函数单调性求解．