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河南省郑州市2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题
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这是一份河南省郑州市2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题，文件包含郑州市2024年高二6月期末考试数学试题docx、高二数学答案pdf等2份试卷配套教学资源，其中试卷共9页， 欢迎下载使用。
注意事项:
本试卷分第 I 卷 (选择题) 和第 II 卷 (非选择题) 两部分. 考试时间 120 分 钟, 满分 150 分. 考生应首先阅读答题卡上的文字信息, 然后在答题卡上作答, 在试题卷上作答无效. 交卷时只交答题卡.
第 I 卷 (选择题, 共 58 分)
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 每小题给出的四个选项 中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1. 若 fx=sinx-csα ，则 f'x 等于
A. csx-sinα B. csx+sinα C. csx D. sinx
2. 已知随机变量 X 满足 D2-2X=4 ，下列说法正确的是
A. DX=-1 B. DX=1 C. DX=4 D. DX=2
3. 五行是中国古代的一种物质观，多用于哲学、中医学和占卜方面，五行指 金、木、水、火、土. 现将“金、木、水、火、土”排成一排， 则“土、水”相邻的排法种数 为
A. 12 B. 24 C. 48 D. 72
4. 已知由样本数据 xi,yii=1,2,3,⋯,10 组成一个样本，可得到回归直 线方程为 y=2x+a ，且 x=3,y=4.7 ，则样本点 4,7 的残差为
A. 0.3 B. -0.3 C. 1.3 D. -1.3
5. 某校乒乓球社团为了解喜欢乒乓球运动是否与性别有关，随机抽取了若 干人进行调查. 已知抽查的男生、女生人数均为 6mm∈N* ，其中男生喜爱乒乓球运动的人数占男生人数的 23 ，女生喜爱乒乓球运动的人数占女生人数的 12 . 若本次调查得出 “有 99.5% 的把握认为喜爱乒乓球运动与性别有关”的结论，则 m 的最小值为
A. 20 B. 21 C. 22 D. 23
附: 参考公式及数据: χ2=nad-bc2a+bc+da+cb+d .
6. 函数 fx=x3-3x 在区间 m,2 上有最小值，则 m 的取值范围是
A. -3,1 B. -3,1 C. -2,1 D. [-2,1)
7. 不等式 3Ax3≤2Ax+12+6Ax2 的解集为
A. {3,4,5} B. 3,4,5,6 C. {x∣3≤x≤5} D. {x∣3≤x≤6}
8. 设 a=e20232024,b=12024,c=ln20252024 ，则
A. a二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 下列说法中，正确的是
A. 两个随机变量的线性相关性越强, 则相关系数的绝对值越接近于 1
B. 在样本数据 xi,yii=1,2,3,⋯,10 中,根据最小二乘法求得线性回 归方程为
y=3x-1 ,去除一个样本点 x1,y1 后,得到的新线性回归方程一定会 发生改变
C. 在残差图中, 残差点分布的水平带状区域越窄, 说明模型的拟合精度 越低
D. 已知随机变量 ζ∼N0,σ2 ,若 Pζ>2=0.2 ,则 P-2≤ζ≤2=0.6
10. 已知函数 fx=ax-lnx ，则 “ fx 有两个零点” 的一个充分不必要条 件是
A. 011. 杨辉是我国古代数学史上一位著述丰富的数学家, 著有《详解九章算 法》、《日用算法》和《杨辉算法》，杨辉在 1261 年所著的《详解九章算法》给出了 如下图 1 所示的表, 我们称这个表为杨辉三角, 图 2 是杨辉三角的数字表示, 杨 辉三角的发现要比欧洲早 500 年左右, 由此可见我国古代数学的成就是非常值 得中华民族自豪的. 根据以上材料, 以下说法正确的是.
图 1 图 2
A. 第 2024 行中, 第 1012 个数最大
B. 杨辉三角中第 8 行的各数之和为 256
C. 记第 n 行的第 i 个数为 ai ,则 i=1n+12i-1ai=3n
D. 在 “杨辉三角”中,记每一行第 kk∈N* 个数组成的数列称为第 k 斜 列,该三角形数阵前 2024 行中第 k 斜列各项之和为 C2025k
第 II 卷 (非选择题, 共 92 分)
三、填空题: 本大题共 3 小题, 每小题 5 分, 共计 15 分.
12. 曲线 y=xex 在点 1,e 处切线的斜率为 .
13. 某班教室一排有 6 个座位，如果每个座位只能坐 1 人，现安排三人就座，恰有两个空位相邻的不同坐法有 种. (用数字作答)
14. 在 A,B,C 三个地区暴发了流感,这三个地区分别有 6%,5%,4% 人患 了流感. 假设这三个地区的人口数的比为 5:7:8 ，现从这三个地区中任取一人，则这个人患流感的概率是 ；如果此人患流感，此人选自 A 地区的概率是 .
四、解答题: 本题共 5 小题, 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (13 分)
已知二项式 2x+1xnn∈N* 的二项展开式中二项式系数之和为 256 .
(I) 求展开式中 x4 的系数；
(II) 求展开式中所有的有理项.
16. (15 分)
在能源和环保的压力下，新能源汽车无疑将成为未来汽车发展的方向. 为 促进新能源汽车发展，实施差异化交通管理政策，公安部将在 2018 年上半年，将在全国所有城市全面启用新能源汽车专用号牌. 2020 年 11 月，国务院办公厅 印发《新能源汽车产业发展规划》(2021-2035 年)要求深入实施发展新能源汽车国家战略，推动中国新能源汽车产业高质量可持续发展. 随着国家对新能源 汽车产业的支持，很多国产新能源汽车迅速崛起，又因其颜值高、空间大、提速快、用车成本低等特点深得民众的追捧，目前充电难问题已成为影响新能源汽车销量的关键因素，国家为了加快新能源汽车的普及, 在全国范围内逐步增建充电桩. 某地区 2019-2023 年的充电桩数量及新能源汽车的年销量如表所示:
(I) 由上表中新能源汽车年销售量 y 和充电桩数量 x 的样本数据所画出的散点图知，它们的关系可用线性回归模型拟合，请用所学统计知识进行定 量分析；(结果精确到 0.001);
(II) 求 y 关于 x 的线性回归方程，且预测当该地区充电桩数量为 24 万台时，新能源汽车的年销量是多少万辆?
参考公式：相关系数 r=i=1nxi-xyi-yi=1nxi-x2i=1nyi-y2=i=1nxiyi-nyi=1nxi-x2i=1nyi-y2 ,
回归方程 y=a+bx 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 b= i=1nxi-xyi-yi=1nxi-x2,a=y-bx
参考数据：i=15xi-x2=40,i=15yi-y2=1326,i=15xiyi=1430,53040 ≈230.3041 .
17. (15 分)
已知函数 fx=ax2-a+4x+2lnx ，其中 a>0 .
(I) 当 a=1 时，求函数 fx 在 (0,4] 上的最大值；
(II) 讨论 fx 的单调性.
18. (17 分)
从 2020 年开始，新高考数学试卷中出现了一种新的题型多选题. 教育部考 试中心通过科学测量分析，指出该题型扩大了试卷考点的覆盖面，有利于提高 试卷的得分率，也有利于提高试卷的区分度. 新高考数学试卷中的多项选择题，给出的 4 个选项中有 2 个以上选项是正确的，每一道题考生全部选对得 6 分. 对而不全得 3 分，选项中有错误得 0 分. 设一套数学试卷的多选题中有 2 个选 项正确的概率为 p0在一次模拟考试中：
(I) 小明可以确认一道多选题的选项 A 是错误的，从其余的三个选项中随 机选择 2 个作为答案，若小明该题得 6 分的概率为 112 ，求 p ；
(II) 小明可以确认另一道多选题的选项 A 是正确的，其余的选项只能随机 选择. 小明有三种方案：① 只选 A 不再选择其他答案；② 从另外三个选项中再 随机选择 1 个，共选 2 个；③ 从另外三个选项中再随机选择 2 个，共选 3 个. 若 p =512 ，以最后得分的数学期望为决策依据，小明应该选择哪个方案?
19. (17 分)
从函数的观点看，方程的根就是函数的零点，设函数的零点为 r . 牛顿在《流 数法》一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法一牛顿法. 具体做法如 下：先在 x 轴找初始点 P0x0,0 ，然后作 y=fx 在点 Q0x0,fx0 处切线，切线与 x 轴交于点 P1x1,0 ，再作 y=fx 在点Q1x1,fx1 处切线 Q1P1⊥x 轴,以下同)，切 线与 x 轴交于点 P2x2,0 ，再作 y=fx 在点 Q2x2,fx2 处切线，一直重复，可得到一列数: x0,x1,x2,⋯,xn . 显然，它们会越来越逼近 r . 于 是，求 r 近似解的过程转化为求 xn ,若设精度为 ε ，则把首次满足 xn-xn-1<ε 的 xn 称为 r 的近 似解.
(I) 设 fx=x3+x2+1 ，试用牛顿法求方程 fx=0 满足精度 ε=0.5 的 近似解 (取 x0=-1 ,且结果保留小数点后第二位)；
(II) 如图，设函数 gx=2x ；
(i) 由以前所学知识，我们知道函数 gx=2x 没有零点，你能否用上述材 料中的牛顿法加以解释?
(ii) 若设初始点为 P00,0 ，类比上述算法，求所得前 n 个三角形△P0Q0P1，△P1Q1P2， ⋯⋯，△Pn-1Qn-1Pn 的面积和.
a
0.10
0.05
0.01
0.005
0.001
xa
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
年份
2019
2020
2021
2022
2023
充电桩数量 x/ 万台
1
3
5
7
9
新能源汽车年销量 y/ 万辆
25
37
48
58
72
注意事项:
本试卷分第 I 卷 (选择题) 和第 II 卷 (非选择题) 两部分. 考试时间 120 分 钟, 满分 150 分. 考生应首先阅读答题卡上的文字信息, 然后在答题卡上作答, 在试题卷上作答无效. 交卷时只交答题卡.
第 I 卷 (选择题, 共 58 分)
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 每小题给出的四个选项 中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1. 若 fx=sinx-csα ，则 f'x 等于
A. csx-sinα B. csx+sinα C. csx D. sinx
2. 已知随机变量 X 满足 D2-2X=4 ，下列说法正确的是
A. DX=-1 B. DX=1 C. DX=4 D. DX=2
3. 五行是中国古代的一种物质观，多用于哲学、中医学和占卜方面，五行指 金、木、水、火、土. 现将“金、木、水、火、土”排成一排， 则“土、水”相邻的排法种数 为
A. 12 B. 24 C. 48 D. 72
4. 已知由样本数据 xi,yii=1,2,3,⋯,10 组成一个样本，可得到回归直 线方程为 y=2x+a ，且 x=3,y=4.7 ，则样本点 4,7 的残差为
A. 0.3 B. -0.3 C. 1.3 D. -1.3
5. 某校乒乓球社团为了解喜欢乒乓球运动是否与性别有关，随机抽取了若 干人进行调查. 已知抽查的男生、女生人数均为 6mm∈N* ，其中男生喜爱乒乓球运动的人数占男生人数的 23 ，女生喜爱乒乓球运动的人数占女生人数的 12 . 若本次调查得出 “有 99.5% 的把握认为喜爱乒乓球运动与性别有关”的结论，则 m 的最小值为
A. 20 B. 21 C. 22 D. 23
附: 参考公式及数据: χ2=nad-bc2a+bc+da+cb+d .
6. 函数 fx=x3-3x 在区间 m,2 上有最小值，则 m 的取值范围是
A. -3,1 B. -3,1 C. -2,1 D. [-2,1)
7. 不等式 3Ax3≤2Ax+12+6Ax2 的解集为
A. {3,4,5} B. 3,4,5,6 C. {x∣3≤x≤5} D. {x∣3≤x≤6}
8. 设 a=e20232024,b=12024,c=ln20252024 ，则
A. a
9. 下列说法中，正确的是
A. 两个随机变量的线性相关性越强, 则相关系数的绝对值越接近于 1
B. 在样本数据 xi,yii=1,2,3,⋯,10 中,根据最小二乘法求得线性回 归方程为
y=3x-1 ,去除一个样本点 x1,y1 后,得到的新线性回归方程一定会 发生改变
C. 在残差图中, 残差点分布的水平带状区域越窄, 说明模型的拟合精度 越低
D. 已知随机变量 ζ∼N0,σ2 ,若 Pζ>2=0.2 ,则 P-2≤ζ≤2=0.6
10. 已知函数 fx=ax-lnx ，则 “ fx 有两个零点” 的一个充分不必要条 件是
A. 0
图 1 图 2
A. 第 2024 行中, 第 1012 个数最大
B. 杨辉三角中第 8 行的各数之和为 256
C. 记第 n 行的第 i 个数为 ai ,则 i=1n+12i-1ai=3n
D. 在 “杨辉三角”中,记每一行第 kk∈N* 个数组成的数列称为第 k 斜 列,该三角形数阵前 2024 行中第 k 斜列各项之和为 C2025k
第 II 卷 (非选择题, 共 92 分)
三、填空题: 本大题共 3 小题, 每小题 5 分, 共计 15 分.
12. 曲线 y=xex 在点 1,e 处切线的斜率为 .
13. 某班教室一排有 6 个座位，如果每个座位只能坐 1 人，现安排三人就座，恰有两个空位相邻的不同坐法有 种. (用数字作答)
14. 在 A,B,C 三个地区暴发了流感,这三个地区分别有 6%,5%,4% 人患 了流感. 假设这三个地区的人口数的比为 5:7:8 ，现从这三个地区中任取一人，则这个人患流感的概率是 ；如果此人患流感，此人选自 A 地区的概率是 .
四、解答题: 本题共 5 小题, 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (13 分)
已知二项式 2x+1xnn∈N* 的二项展开式中二项式系数之和为 256 .
(I) 求展开式中 x4 的系数；
(II) 求展开式中所有的有理项.
16. (15 分)
在能源和环保的压力下，新能源汽车无疑将成为未来汽车发展的方向. 为 促进新能源汽车发展，实施差异化交通管理政策，公安部将在 2018 年上半年，将在全国所有城市全面启用新能源汽车专用号牌. 2020 年 11 月，国务院办公厅 印发《新能源汽车产业发展规划》(2021-2035 年)要求深入实施发展新能源汽车国家战略，推动中国新能源汽车产业高质量可持续发展. 随着国家对新能源 汽车产业的支持，很多国产新能源汽车迅速崛起，又因其颜值高、空间大、提速快、用车成本低等特点深得民众的追捧，目前充电难问题已成为影响新能源汽车销量的关键因素，国家为了加快新能源汽车的普及, 在全国范围内逐步增建充电桩. 某地区 2019-2023 年的充电桩数量及新能源汽车的年销量如表所示:
(I) 由上表中新能源汽车年销售量 y 和充电桩数量 x 的样本数据所画出的散点图知，它们的关系可用线性回归模型拟合，请用所学统计知识进行定 量分析；(结果精确到 0.001);
(II) 求 y 关于 x 的线性回归方程，且预测当该地区充电桩数量为 24 万台时，新能源汽车的年销量是多少万辆?
参考公式：相关系数 r=i=1nxi-xyi-yi=1nxi-x2i=1nyi-y2=i=1nxiyi-nyi=1nxi-x2i=1nyi-y2 ,
回归方程 y=a+bx 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 b= i=1nxi-xyi-yi=1nxi-x2,a=y-bx
参考数据：i=15xi-x2=40,i=15yi-y2=1326,i=15xiyi=1430,53040 ≈230.3041 .
17. (15 分)
已知函数 fx=ax2-a+4x+2lnx ，其中 a>0 .
(I) 当 a=1 时，求函数 fx 在 (0,4] 上的最大值；
(II) 讨论 fx 的单调性.
18. (17 分)
从 2020 年开始，新高考数学试卷中出现了一种新的题型多选题. 教育部考 试中心通过科学测量分析，指出该题型扩大了试卷考点的覆盖面，有利于提高 试卷的得分率，也有利于提高试卷的区分度. 新高考数学试卷中的多项选择题，给出的 4 个选项中有 2 个以上选项是正确的，每一道题考生全部选对得 6 分. 对而不全得 3 分，选项中有错误得 0 分. 设一套数学试卷的多选题中有 2 个选 项正确的概率为 p0
(I) 小明可以确认一道多选题的选项 A 是错误的，从其余的三个选项中随 机选择 2 个作为答案，若小明该题得 6 分的概率为 112 ，求 p ；
(II) 小明可以确认另一道多选题的选项 A 是正确的，其余的选项只能随机 选择. 小明有三种方案：① 只选 A 不再选择其他答案；② 从另外三个选项中再 随机选择 1 个，共选 2 个；③ 从另外三个选项中再随机选择 2 个，共选 3 个. 若 p =512 ，以最后得分的数学期望为决策依据，小明应该选择哪个方案?
19. (17 分)
从函数的观点看，方程的根就是函数的零点，设函数的零点为 r . 牛顿在《流 数法》一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法一牛顿法. 具体做法如 下：先在 x 轴找初始点 P0x0,0 ，然后作 y=fx 在点 Q0x0,fx0 处切线，切线与 x 轴交于点 P1x1,0 ，再作 y=fx 在点Q1x1,fx1 处切线 Q1P1⊥x 轴,以下同)，切 线与 x 轴交于点 P2x2,0 ，再作 y=fx 在点 Q2x2,fx2 处切线，一直重复，可得到一列数: x0,x1,x2,⋯,xn . 显然，它们会越来越逼近 r . 于 是，求 r 近似解的过程转化为求 xn ,若设精度为 ε ，则把首次满足 xn-xn-1<ε 的 xn 称为 r 的近 似解.
(I) 设 fx=x3+x2+1 ，试用牛顿法求方程 fx=0 满足精度 ε=0.5 的 近似解 (取 x0=-1 ,且结果保留小数点后第二位)；
(II) 如图，设函数 gx=2x ；
(i) 由以前所学知识，我们知道函数 gx=2x 没有零点，你能否用上述材 料中的牛顿法加以解释?
(ii) 若设初始点为 P00,0 ，类比上述算法，求所得前 n 个三角形△P0Q0P1，△P1Q1P2， ⋯⋯，△Pn-1Qn-1Pn 的面积和.
a
0.10
0.05
0.01
0.005
0.001
xa
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
年份
2019
2020
2021
2022
2023
充电桩数量 x/ 万台
1
3
5
7
9
新能源汽车年销量 y/ 万辆
25
37
48
58
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