河南省郑州市2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题

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注意事项:
本试卷分第 I 卷 (选择题) 和第 II 卷 (非选择题) 两部分. 考试时间 120 分 钟, 满分 150 分. 考生应首先阅读答题卡上的文字信息, 然后在答题卡上作答, 在试题卷上作答无效. 交卷时只交答题卡.
第 I 卷(选择题, 共 58 分)
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 每小题给出的四个选项 中, 只有一个选项是正确的, 请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1. 已知复数 z=1+i1-i3 ，化简得 z=
A. 2i B. -2i C. 2+i D. 2-i
2. 用斜二测画法画水平放置的四边形 ABCD 的直观图为菱形 A1B1C1D1 ，已知 A1C1=5，B1D1=4 ，则四边形 ABCD 的面积为
A. 20 B. 52 C. 10 D. 202
3. 端午节吃粽子是我国的一个民俗，记事件 A= “甲端午节吃甜粽子”，记 事件 B= “乙端午节吃咸粽子”,，且 PA=23，PB=34 ，事件 A 与事件 B 相互 独立，则 PA∪B=
A. 56 B. 1112 C. 34 D. 14
4. 已知不同平面 α,β,γ ，不同直线 m 和 n ，则下列命题中正确的是
A. 若 m⊥α,m⊥β ，则 α//β B. 若 m//α,n//α，则 m//n
C. 若 m⊥n,m⊥α ，则 n//α D. 若 α⊥γ,β⊥γ ，则 α⊥β
5. 已知圆柱的底面直径和球的直径相等，圆柱的高是球的直径的 2 倍，则 圆柱的体积与球的体积的比值为
A. 2 B. 43 C. 32 D. 3
6. 已知点 A1,0,B0,2,C3,2 ，则 AB 在 AC 上的投影向量的坐标为
A. -12,12 B. 12,-12 C. 12,12 D. -12,-12
7. 已知圆锥的表面积为 9π ，它的侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的体积为
A. 3π B. 9π C. 3π D. 3
8. 现有 6 个相同的盒子，里面均装有 6 张除图案外其它无区别的卡片，第 k k=1,2,3⋯6 个盒子中有 k 张龙形图案的卡片，6-k 张兔形图案的卡片. 现将 这些盒子混合后，任选其中一个盒子， 并且从中连续取出两张卡片，每次取后不 放回，若第二次取出的卡片为兔形图案的概率为 23，则 k=
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
二、多选题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分, 在每小题给出的选项中, 有 多项符合题目要求, 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 已知复数 z=m-2+m-1im∈R，z 在复平面内对应的点记为 M，则 下列结论正确的是
A. 若 z∈R ，则 m=1
B. 若 z 为纯虚数，则 m=2
C. 若点 M 在第一象限，则 m>2
D. 若 z 为 z 的共轭复数，且 z=z ，则 m=2
10. 人均可支配收入和人均消费支出是两个非常重要的经济和民生指标，常被用于衡量一个地区经济发展水平和群众生活水平. 下图为 2018 102023 年 前三季度全国城镇居民人均可支配收入及人均消费支出统计图，据此进行分析， 则
A. 2018 2023 年前三季度全国城镇居民人均消费支出逐年递增
B. 2018 2023 年前三季度全国城镇居民人均可支配收入逐年递增
C. 2018 2023 年前三季度全国城镇居民人均可支配收入的极差比人均 消费支出的极差小
D. 2018∼2023 年前三季度全国城镇居民人均消费支出的中位数为 21180 元
11. 如图所示，在棱长为 2 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，E、F 分别为 AB、BC 的中点，则
A. EF⊥BD1
B. EF// 面 A1B1C1D1
C. 直线 BD1 与平面 ABCD 所成的角为 π4
D. 四面体 B1C1EF 的体积为 23
第 II 卷 (非选择题, 共 92 分)
三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共计 15 分.
12. 设 z=21-2i+i ，则 z= .
13. 在 △ABC 中，内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c ，若 B=5π6,b=6,a2+ c2=23ac ，则 △ABC 的面积为 .
14. 如图,在四边形 ABCD 中， AB//CD,AB=4,CD=3,AD=5,∠DAB=π2 ，若 P 为线段 AB 上 一动点 (包含端点)，则 PC⋅PD 的取值范围为 .
四、解答题: 本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤.
15. (本小题 13 分)
已知向量 a,b 满足 a=4,b=-1,2 .
(I) 若 a//b ,求向量 a 的坐标；
(II) 若 a-b⊥b ,求 a 与 b 夹角 θ 的余弦值.
16. (本小题 15 分)
如图，在三棱锥 A-BCD 中，平面 ABD⊥ 平面 BCD,AB=AD,O 为 BD 的 中点.
(I) 证明: OA⊥ 平面 BCD ；
(II) 若 △OCD 是边长为 1 的等边三角形，点 E 在棱 AD 上, DE=2EA，且 三棱锥 E-BCD 的体积为 39 ，求侧面 ACD 与底面 BCD 所成二面角的余弦值.
17. (本小题 15 分)
在 △ABC 中，内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ，且 bsinB-csinC+c-asinA=0 .
(I) 求角 B ；
(II) 若 b=2 ，求 △ABC 面积的最大值.
18. (本小题 17 分)
2024 年 4 月 25 日， 神舟十八号载人飞船顺利发射，本次乘组将首次在空间 站实施水生生态项目，即要实现 “太空养鱼”，意味着我们有能力在太空构造新 的生态环境和生态系统. 郑州航天电子技术有限公司为此次任务提供了科技产 品和技术服务，该公司为了提高单位职工的工作热情，开展了知识比赛，满分 120 分,100 分及以上为 “航天达人”，结果航天达人有 t 人,这 t 人按年龄分成了5 组，其中第一组: [20,25) ,第二组: [25,30) ,第三组: [30,35) ,第四组: [35,40) ，第五组: 40,45 ，得到的频率分布直方图如下图，已知第一组有 10 个 人.
(I) 根据频率分布直方图，估计这 t 人年龄的第 80 百分位数;
(II) 现从以上各组中用分层随机抽样的方法抽取 20 人，担任 “航天工程” 的宣传大使. 若第四组宣传大使的年龄的平均数与方差分别为 36 和 52 ，第五组 宣传大使的年龄的平均数与方差分别为 42 和 1，据此估计这 t 人中 35∼45 岁所 有人的年龄的平均数和方差.
(分层随机抽样中各层抽取的样本量、样本平均数 和样本方差分别为: m,x,s12;n,y,s22 . 记总体的样本平均数为 w ,样本方差为 s2 ,
则 w=mm+nx+nm+ny,s2=1m+nms12+x-w2+ns22+y-w2 )
19. (本小题 17 分)
在平面直角坐标系 xOy 中,，利用公式 x'=ax+by,y'=cx+dy, ① (其中 a,b,c,d 为实 数)，将点 Px,y 的坐标变换为点 P'x',y' ，我们称该变换为线性变换，也称 ①为坐标变换公式，该变换公式①可由 a,b,c,d 组成的正方形数表 abcd 唯一 确定，我们将 abcd 称为二阶矩阵，矩阵通常用大写英文字母 A,B,⋯ 表示.
(I) 在平面直角坐标系 xOy 中，已知 P3,1 ，按照二阶矩阵 T=11-11 变换得到点 P' ，求点 P' 的坐标;
(II) 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，将点 Px,y 绕原点 O 按逆时针旋 转 α 角得到点 P'x',y' (到原点距离不变)，求坐标变换公式及对应的二阶矩 阵；
(III) 向量 OP=x,y (称为行向量形式)，也可以写成 OP=xy ，这种形式的向量称为列向量，线性变换坐标公式①可以表示为: x'y'=abcdxy ，则称 x'y' 是二阶矩阵 abcd 与向量 xy 的乘积，设二阶矩阵 A=abcd,m=x1y1 , n=x2y2 是任意两个向量，求证：Am+n=Am+An .