2024凉山州安宁河联盟高一下学期期末联考试题数学含答案

这是一份2024凉山州安宁河联盟高一下学期期末联考试题数学含答案，共11页。试卷主要包含了已知则，已知点是的外心，，，，若，则等内容，欢迎下载使用。
考试时间共120分钟，满分150分
注意事项：
1.答题前，考生务必在答题卡上将自己的学校、姓名、班级、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“条码粘贴处”。
2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效。
3.考试结束后由监考老师将答题卡收回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.复数的共轭复数是
A．B．C．D．
2. 在中，，，，则边
A． B．C．D．
3.已知则
A．B．C．D．
4. 已知向量则在方向上的投影向量的坐标为
A．B．C．D．
5.若圆锥的表面积为，且其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则圆锥的体积为
A．B．C．D．
6.已知则
A．B．C．D．
7. 已知正三棱柱的侧面积为，若该三棱柱的顶点都在同一个球的表面上，则球的表面积的最小值为
A．B．C．D．
8.已知点是的外心，，，，若，则
A．B．C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求；全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．
9.若是三个不同的平面，是三条不同的直线，下列说法正确的是
A.若，则
B.若，则
C. 若,且，则
D. 若,,且，则
10.已知函数的一个零点到一条对称轴的最小距离为，则下列说法中正确的是
是函数的一条对称轴
的对称中心为
在的值域为
11.在棱长为的正方体 中， 均为所在棱的中点，则下列论述正确的有
经过直线与点的平面与正方体的截面是一个正六边形
B.与直线、、都相交的直线有三条
C.在侧面内（包含边界），若//面，则点轨迹的长度为
D.过的平面截正方体内切球的最大截面面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12.已知是虚数单位，则 .
13. 在中，角的对边分别为，其中,,,若点在边上，且为的角平分线 ,则 .
14. 已知,,其中,则 .
四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
15.（13分）如图1，正六边形边长为2，为边的中点，将四边形沿 折成如图2所示的五面体，使为正三角形。


图1 图2
（1）求证：面；
（2）求异面直线与 所成角的余弦值
16. （15分）已知,.
(1)若,同向共线,求的坐标.
(2)若,且,求与的夹角.
17. （15分）如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧面是正三角形，侧面底面，是的中点.
（1）求证：；
（2）求侧面与底面所成二面角的正弦值.
18.（17分）已知中，角的对边分别为,.
(1)是边上的中线，，且，求的长度.
(2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围.
19. （17分）(1)①借助两角和差公式证明： .
②在中，求证:.
(2)若,,求的值.安宁河联盟 2023～2024 学年度下期高中2023 级末联考
高一数学数学参考答案及评分标准
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。
二、选择题：本题共 3 小题， 每小题 6 分共 18 分（第 9 、 1 1 题选对一个得 3 分，第 10 每选对一个得 2 分，有选错的不得分）.
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12． 13． 14． EQ \* jc3 \* hps25 \\al(\s\up 8(兀),3)
四、解答题：本题共 6 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15. （1）证明：在正六边形 ABCDEF 中,BC / / AD ,
: 在五面体中,BC / / AD , ………………1 分
:BC 丈 面ADEF, AD 面ADEF ………………3 分
:BC / /面ADEF ………………5 分
（2）解：取 AF 中点H ，连接DG, HG, DH
:EF / /AD / /BC, EF =AD = BC, :CE / /BF ………………6 分
又 G, H 为中点， : GH / / BF / /CE
:上DGH 或其补角为直线 CE 与 DG 所成的角. ………………7 分
在 ΔADH 中， 上HAD = 600 , AD = 4, AH = 1
由余弦定理得 HD = ·AD2 + AH 2 一 2AD . AH cs 上HAD = ·13 …8 分
1
2
3
4
5
6
7
8
B
C
B
D
B
D
A
C
9
10
11
BD
ACD
AC
同理DG = ·AD2 + AG2 一 2AD . AG cs 上GAD = ………9 分
BF = 1 ………………10 分
在 ΔDGH 中， cs 上DGH = DH2 = ………………12 分
∴异面直线 DG 与 CE 所成角的余弦值为 ………………13 分
16.解：法一：(1)∵ a- , 同向共线，令 a- = (x, y)
∴ 3y 一 4x = 0 , ……………………………………………………………………1 分
∵ a- = ， ∴ x2+y2 = ……………………………………………………2 分
, y = 2 ,或x = 一 ，y = 一2 ， …………………………………………4 分
同向， ∴ x = 一 y = 一2 舍去. 即 ………………………6 分
（法二：
∵ a- , 共线，且 = (3, 4) ≠ 0- ，所以存在唯一λ≠ 0 ，使得 a- = λ , ⅆⅆⅆ1 分
即 a- = λ , 且 x2+y2 = 5 , …………………………………………………………………2 分
∴ λ= ± ,即 或， …………………………………………4 分
同向， ∴ . ………………………………………………………………………6 分
(2)∵ = (3, 4) ， ∴ = 5 ………………………………………………………7 分
∵ (4 + 3EQ \* jc3 \* hps24 \\al(\s\up 10(-),c)) . ( 一 2EQ \* jc3 \* hps24 \\al(\s\up 10(-),c)) = 一41 ，
∴ 42 一 8 . EQ \* jc3 \* hps23 \\al(\s\up 10(-),c) + 3 . EQ \* jc3 \* hps23 \\al(\s\up 10(-),c) 一 6EQ \* jc3 \* hps23 \\al(\s\up 10(-),c)2 = 一41 ，即
. EQ \* jc3 \* hps24 \\al(\s\up 10(-),c) = 一15 ， ……………………………………………10 分
令 与 EQ \* jc3 \* hps24 \\al(\s\up 10(-),c) 的夹角为
csθ= = 一 .……………………………………………13 分
,即 与 的夹角为 ………………………………………15 分
17. (1)证明：因为 ΔPAB 是正三角形,且E 为 PB 的中点，所以 AE 丄 PB ,……2 分 又底面 ABCD 是正方形，所以 AB 丄 BC ，又因为面PAB 丄 面 ABCD ，
且面PAB ∩面 ABCD = AB ， BC 面ABCD
所以 BC 丄 面PAB ， ………………4 分
又因为 AE 面PAB ，所以BC 丄 AE , ………………5 分
[ AE 丄 PB
因为 { AE 丄 BC , ………………6 分
所以 AE 丄 平面PBC . ………………7 分
（2）如图，取 AB 的中点 M，CD 的中点 N,连接PM ,PN ,MN
因为 ΔPAB 是正三角形,所以 PM 丄 AB, 又因为面PAB 丄 面 ABCD ，
面PAB ∩面 ABCD = AB ,所以 PM 丄 平面ABCD , ………………9 分
由题意可知， MN 丄 CD ,
易得： CD 丄 面PMN，:CD 丄 PN ,
故 上PNM为面 PCD 与面 ABCD 所成二面角的平面角 ………………11 分
设 AB = a , :PM = 3a , PN = M2+MN2 = ………………13 分
所以 sin 上PNM = ………………14 分
综上所述：侧面 PCD 与底面 ABCD 所成二面角的正弦值为 ………………15 分
18. 解： (1) ·bsin C - c csB = c 由正弦定理得：
3 sin Bsin C - sin Ccs B =sin C
“ sin C > 0, : ·i3 sin B - cs B = 1 ， :2sin
解得 B = EQ \* jc3 \* hps25 \\al(\s\up 8(兀),3) 4 分
–––→ 1 –– –––→ –––→ 2 1 –– –––→ \l "bkmark1" 2
因为D 为 BC 的中点， :BD = 2 (BA + BC), :BD = 4 (BA + BC) , 5 分
, :16 = a 2 + c 2 + 2accs B ， :16 = a2 + c2 + ac
又因为 a2 + c2 = 10 ， :ac = 6 ， ………………7 分
在 △ABC 中， 由余弦定理,可得： b2 = a2 + c2 一 2ac csB = a2 + c2 一 ac = 10 一 6 = 4,
所以b = 2 ，即 AC = 2
………………9 分
……………11分
……………12 分
“ ΔABC 为锐角三角形
从而EQ \* jc3 \* hps25 \\al(\s\up 9(兀),6) < A < EQ \* jc3 \* hps25 \\al(\s\up 9(兀),2)
……………14 分
:面积的取值范围是( , 2、i3)
……………17 分
19. 解： ①∵α = ， β= 一 α EQ \* jc3 \* hps24 \\al(\s\up 5(一),2)β .………………………2 分
∴
+ cscs α EQ \* jc3 \* hps24 \\al(\s\up 5(一),2)β + sinsin α EQ \* jc3 \* hps24 \\al(\s\up 5(一),2)β , 故证. …………5 分
②在 ΔABC 中，有 A + B + C = 兀 ,则有 C = 兀 一 (A + B) ，
∴ csA + cs B + cs C = csA + cs B + cs [π 一 (A + B)] 6 分
= csA + cs B 一 cs(A + B)
………………8 分
又∵ cs 一 cs = 2sin ……………………………………………9 分
cs A + cs B + cs C = 1 + 4 cs (sin sin )
∴ = 1+ 4 cs( 一 )(sin sin ) 故得证. 11 分
（2）同理①有
∴ 2 cs …①, 2 cs …② , ⅆⅆⅆⅆ14 分
由② ÷ ①得 tan . … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 15 分
所以 . … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 17 分