北师大版九年级上册1 菱形的性质与判定巩固练习

这是一份北师大版九年级上册1 菱形的性质与判定巩固练习，共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.一个菱形的周长是20 cm，两条对角线长的比是4︰3，则这个菱形的面积是( )
A. 12 cm2B. 96 cm2C. 48 cm2D. 24 cm2
2.如图，四边形ABCD是菱形，AC=12，BD=16，AH⊥BC于H，则AH等于( )
A. 4B. 5C. 245D. 485
3.如图，O是菱形ABCD的对角线的交点，E，F分别是OA，OC的中点，下列结论：
①四边形BFDE是菱形;
②S四边形ABCD=EF×BD;
③∠ADE=∠EDO;
④△DEF是轴对称图形．
其中正确的结论有( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
4.如图，在菱形纸片ABCD中，∠A=60°，点E在BC边上，将菱形纸片ABCD沿DE折叠，点C落在AB边的垂直平分线上的点C′处，则∠DEC的大小为( )
A. 30°
B. 45°
C. 60°
D. 75°
5.如图，菱形ABCD的的边长为6，∠ABC=60°，对角线BD上有两个动点E、F(点E在点F的左侧)，若EF=2，则AE+CF的最小值为( )
A. 2 10B. 4 2C. 6D. 8
6.如图，在菱形ABCD中，∠BAD=100°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，E为垂足，连接DF，则∠CDF等于( )
A. 60°B. 50°C. 30°D. 20°
7.如图，在菱形纸片ABCD中，∠A=60∘，将菱形纸片翻折，使点A落在CD的中点P处，折痕为MN，点M，N分别在边AB，AD上，则BM:AM的值为( )
A. 18B. 17C. 16D. 15
8.如图，菱形ABCD中，AC交BD于O，DE⊥BC于E，连接OE，若∠ABC=120°，则∠OED=( )
A. 20°B. 25°C. 30°D. 35°
9.如下图，菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=4，E是边AD上一动点，将△CDE沿CE折叠，得到△CFE，则△BCF面积的最大值是( )
A. 8B. 8 3C. 16D. 16 3
10.已知在四边形ABCD中，对角线AC与BD相等，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，则四边形EFGH是( )
A. 平行四边形B. 矩形C. 菱形D. 正方形
11.已知四边形ABCD，AB=BC=CD，AC、BD是它的两条对角线.下列条件中，不能判定四边形ABCD是菱形的是( )
A. AC=BDB. AD=BCC. AB//DCD. AC⊥BD．
12.如图，平面直角坐标系中，菱形OA1B1C1的顶点O(0,0)，A1(0,2)，∠A1OC1=45°，将菱形OA1B1C1绕点O顺时针方向旋转45°得到菱形OA2B2C2，再将菱形OA2B2C2绕点O顺时针方向旋转45°得到菱形OA3B3C3，依次旋转下去，点B2024的坐标为( )
A. (−2− 2,− 2)B. (−2− 2, 2)C. ( 2,2+ 2)D. (− 2,2+ 2)
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AC=16，BD=12，过点O作OH⊥AB，垂足为H，则点O到边AB的距离OH=______．
14.如图，在菱形ABCD中，∠A=30°，取大于12AB的长为半径，分别以点A，B为圆心作弧相交于两点，过此两点的直线交AD边于点E(作图痕迹如图所示)，连接BE，BD.则∠EBD的度数为 ．
15.如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，AB=2，E，F两点分别从A，B两点同时出发，以相同的速度分别向终点B，C移动，连结EF，在移动的过程中，EF的最小值为 ．
16.如图，在菱形ABCD中，∠ABC=120°，将菱形折叠，使点A恰好落在对角线BD上的点G处(不与B、D重合)，折痕为EF，若DG=2，BG=6，则BE的长为 ．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
如图，在四边形ABCD中，AB//DC，AB=AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．
(1)求证：四边形ABCD是菱形；
(2)若AB=2 5，BD=4，求OE的长．
18.(本小题8分)
如图，在△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC交AC于点D，过D作DE // BC交AB于点E，DF // AB交BC于点F，连接EF．
(1)求证：四边形BFDE是菱形；
(2)若AB=8，AD=4，求BF的长．
19.(本小题8分)
如图，BD是菱形ABCD的对角线，P为边AB上的点，过点P作PQ/​/AD，交BD于点M，交CD边于点Q.求证：CQ=PM．
20.(本小题8分)
如图，BD是矩形ABCD的一条对角线.作BD的垂直平分线EF，分别交AD，BC于点E，F，垂足为点0(要求用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法)，再连接BE和DF，请你补图并证明四边形DEBF是菱形．
21.(本小题8分)
如图，在△ABC中，点D是AB上一点，点E是AC的中点，过点C作CF/​/AB，交DE的延长线于点F．
(1)求证：AD=CF；
(2)连接AF，CD.如果点D是AB的中点，那么当△ABC满足______时，四边形ADCF是菱形，请说明理由．
22.(本小题8分)
在Rt△ABC中，∠BAC=90∘，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF/​/BC交CE的延长线于点F．
(1)求证：四边形ADBF是菱形;
(2)若AB=4，菱形ADBF的面积为20，直接写出AC的长．
23.(本小题8分)
如图，在四边形ABCD中，AD//BC，AB=AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．
(1)求证：四边形ABCD是菱形；
(2)若AD= 6，BD=2，求OE的长．
24.(本小题8分)
菱形ABCD中，∠ABC=60°，点E在BC边上，点F在CD边上，BE=CF．
(1)如图1，E为BC的中点，求∠AEF的度数；
(2)如图2，求∠AEF的度数．
25.(本小题8分)
如图1，在菱形ABCD中，P是对角线AC上的一个动点，AD=5cm，AC=8cm.设AP=xcm(0≤x≤8)，PC=y1cm，PB=y2cm．
(1)请直接写出y1与x的函数关系式
(2)小明根据学习函数的经验，对线段BP长度随点P的变化而变化的情况进行探究，得到如下几组对应值：
①请在图2中，画出y2的图象．
②请你通过表格数据和画出的图象猜想n值并验证你的猜想．
(3)根据画出的y2的图象，解决问题：若AP=PB，则AP的长约为 cm.(结果保留1位小数)
答案和解析
1.【答案】D
【解析】【分析】
此题主要考查菱形的性质，根据菱形的对角线互相垂直平分，利用勾股定理求解．
【解答】
解：设菱形的对角线长分别为8x cm和6x cm，
已知菱形的周长为20 cm，故菱形的边长为5 cm，
根据菱形的性质可知，菱形的对角线互相垂直平分，
即可知(4x)2+(3x)2=25，解得x=1，
故菱形的对角线长分别为8 cm和6 cm，
所以菱形的面积为12×8×6=24(cm2).
故选D．
2.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了菱形的性质，也涉及了勾股定理，要求我们掌握菱形的面积的两种表示方法，及菱形的对角线互相垂直且平分．
根据菱形的性质得出BO、CO的长，在Rt△BOC中求出BC，利用菱形面积等于对角线乘积的一半，也等于BC×AH，即可得出AH的长度．
【解答】
解：∵四边形ABCD是菱形，AC=12，BD=16，
∴CO=12AC=6，BO=12BD=8，CO⊥BO，
∴BC= BO2+CO2= 62+82=10，
∴S菱形ABCD=12AC⋅BD=12×16×12=96，
∵S菱形ABCD=BC×AH，
∴BC×AH=96，
∴AH=9610=485．
故选D．
3.【答案】C
【解析】略
4.【答案】D
【解析】【分析】
此题考查了翻折变换(折叠问题)，菱形的性质，等边三角形的性质，以及内角和定理，熟练掌握折叠的性质是解本题的关键．
连接BD，由菱形的性质及∠A=60°，得到三角形ABD为等边三角形，P为AB的中点，利用三线合一得到DP为角平分线，得到∠ADP=30°，∠ADC=120°，∠C=60°，进而求出∠PDC=90°，由折叠的性质得到∠CDE=∠PDE=45°，利用三角形的内角和定理即可求出所求角的度数．
【解答】解：连接BD，如图所示：
∵四边形ABCD为菱形，
∴AB=AD，
∵∠A=60°，
∴△ABD为等边三角形，∠ADC=120°，∠C=60°，
∵P为AB的中点，
∴DP为∠ADB的平分线，即∠ADP=∠BDP=30°，
∴∠PDC=90°，
∴由折叠的性质得到∠CDE=∠PDE=45°，
在△DEC中，∠DEC=180°−(∠CDE+∠C)=75°．
故选：D．
5.【答案】A
【解析】解：如图，作AM⊥AC，使得AM=EF=2，连接CM交BD于F，
∵AM=EF，AM/​/EF，
∴四边形AEFM是平行四边形，
∴AE=FM，
∴AE+CF=FM+FC=CM，
根据两点之间线段最短可知，此时AE+FC最短，
∵四边形ABCD是菱形，AB=6，∠ABC=60°
∴BC=AB，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC=AB=6，
在Rt△CAM中，CM= 22+62=2 10，
∴AE+CF的最小值为2 10．
故选：A．
作AM//AC，连接CM交BD于F，根据菱形的性质和等边三角形的判定和性质以及勾股定理解答即可．
本题考查菱形的性质、平行四边形的判定和性质、两点之间线段最短、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，把问题转化为两点之间线段最短解决，属于中考填空题中的压轴题．
6.【答案】C
【解析】【分析】本题考查了三角形外角的性质，全等三角形性质和判定，线段垂直平分线性质，菱形的性质的应用，注意：菱形的四条边相等，菱形的对角线互相平分、垂直，且每一条对角线平分一组对角．连接BF，根据菱形性质得出AD=AB，∠DCB=100°，∠DCA=50°，∠DAC=∠BAC=50°，根据线段垂直平分线得出AF=BF，求出∠FAB=∠FBA=50°，求出∠AFB=80°，证△DAF≌△BAF，求出∠DFA=∠BFA=80°，根据三角形外角性质求出即可．
【解答】
解：如图，连接BF．
∵在菱形ABCD中，∠BAD=100°，
∴∠DAC=∠BAC=50°，∠ADC=∠ABC=180°−100°=80°．
∵EF是线段AB的垂直平分线，
∴AF=BF．
∴∠ABF=∠CAB=50°．
在△ADF与△ABF中，∵ AD=AB, ∠DAF=∠BAF, AF=AF,
∴△ADF≌△ABF(SAS)，
∴∠ADF=∠ABF=50°，
∴∠CDF=∠ADC−∠ADF=80°−50°=30°．
7.【答案】B
【解析】解：如图，连接BD，BP，
设AB=2a，
∵四边形ABCD是菱形，∠A=60°，
∴AB=BC=2a=CD，∠A=∠C=60°，
∴△BCD是等边三角形，△ABD是等边三角形，
∵点P在CD的中点，
∴BP⊥CD，DP=a，∠DBP=30°，
∴BD=2DP=2a，由勾股定理可得BP= 3a，∠ABP=∠ABD+∠DBP=90°，
∵将菱形纸片翻折，
∴AM=MP，
∵MP2=MB2+BP2，
∴(2a−BM)2=MB2+3a2，
∴BM=14a，
∴AM=74a，
∴BM：AM=17，
故选B．
由菱形的性质和等边三角形的性质，可得BP⊥CD，DP=a，∠DBP=30°，由勾股定理可得BP= 3a，再根据翻折的性质和MP2=MB2+BP2，可求解．
本题考查了翻折变换，等边三角形的判定与性质，菱形的性质，勾股定理的有关知识点，
8.【答案】C
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，AC交BD于O，∠ABC=120°，
∴点O为BD的中点，∠CBD=12∠ABC=60°，
∵DE⊥BC，
∴∠DEB=90°，
∴OE=OD=12BD,∠ODE=180°−∠DBE−∠BED=30°，
∴∠OED=∠ODE=30°，
故选：C．
根据菱形的性质得到点O为BD的中点，∠CBD=60°，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到OE=OD，再由三角形内角和定理得到∠ODE=30°，则∠OED=∠ODE=30°．
本题主要考查了菱形的性质，三角形内角和定理，等边对等角，直角三角形斜边上的中线的性质，熟知菱形的性质以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
9.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查菱形的性质和折叠的性质，掌握三角形面积的计算方法和菱形的性质正确推理计算是解题关键．
由三角形底边BC是定长，所以当△BCF的高最大时，△BCF的面积最大，即当FC⊥BC时，三角形有最大面积．
【解答】
解：在菱形ABCD中，BC=CD=AB=4
又∵将△CDE沿CE折叠，得到△CFE，
∴FC=CD=4
由此，△BCF的底边BC是定长，所以当△BCF的高最大时，△BCF的面积最大，即当FC⊥BC时，三角形有最大面积
∴△BCF面积的最大值是12BC⋅FC=12×4×4=8
故选：A．
10.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查的是中点四边形，掌握三角形中位线定理、菱形的判定定理是解题的关键．
根据三角形中位线定理得到EF=12AC，GH=12AC，EH=12BD，GF=12BD，进而证明EF=FG=GH=HF，根据菱形的判定定理得出结论．
【解答】
解：∵点E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，
∴EF=12AC，GH=12AC，EH=12BD，GF=12BD，
∵AC=BD，
∴EF=FG=GH=HF，
∴四边形EFGH为菱形，
故选：C．
11.【答案】A
【解析】解：∵AB=BC=CD，AC、BD是它的两条对角线，
添加AD=BC，
∴四边形ABCD是菱形，故B正确；
添加AC=BD，
不能得出四边形ABCD是菱形，故A错误；
添加AB//DC，
∴四边形ABCD是菱形，故C正确；
添加AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形，故D正确；
故选：A．
根据菱形的判定方法判断即可．
此题考查菱形的判定，关键是根据对角线垂直的平行四边形是菱形以及邻边相等的平行四边形是菱形解答．
12.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了菱形的性质、坐标规律型、等腰直角三角形的判定与性质、坐标与图形性质、勾股定理、旋转的性质等知识；熟练掌握菱形的性质和旋转的性质是解题的关键．
以O为圆心，OB1为半径作⊙O，过B作B1D⊥OA1，求出B1的坐标，将菱形OA1B1C1绕点O顺时针旋转，每次旋转45°，360°÷45°=8，点B的坐标每8个为一组依次循环着，得出点B2024和点B8重合，得出B8的坐标为(− 2,2+ 2)，即可．
【解答】
解：如图所示：以O为圆心，OB1为半径作⊙O，过B作B1D⊥OA1，
∵A1(0,2)，
∴OA1=2，
∵四边形OA1B1C1是菱形，
∴OA1=A1B1=2，A1B1//OC1
∴∠B1A1D=∠A1OC1=45°，
∴A1D=DB1= 2
∴OD=2+ 2
∴B1( 2,2+ 2)
∵将菱形OA1B1C1绕点O顺时针旋转，每次旋转45°，360°÷45°=8
∴点B的坐标每8个为一组依次循环着，
∴2024÷8=253，
∴点B2024和点B8重合 ​,
∵点B8是点B1关于y轴对称，
∴点B8的坐标为(− 2,2+ 2)
∴点B2024的坐标为(− 2,2+ 2)
13.【答案】245
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，AC=16，BD=12，
∴BO=12BD=6，AO=12AC=8，AC⊥BD，
∴∠AOB=90°，
∴AB= AO2+BO2= 82+62=10，
∵OH⊥AB，
∴S△AOB=12AO⋅BO=12AB⋅OH，
∴OH=8×610=245，
故答案为：245．
由菱形的性质得BO=12BD=6，AO=12AC=8，AC⊥BD，再由勾股定理得AB=10，然后由三角形面积求解即可．
本题考查了菱形的性质、勾股定理以及三角形面积等知识，熟练掌握菱形的性质，由勾股定理求出AB的长是解题的关键．
14.【答案】45°
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=AB，
∴∠ABD=∠ADB=12(180°−∠A)=75°，
由作图可知，EA=EB，
∴∠ABE=∠A=30°，
∴∠EBD=∠ABD−∠ABE=75°−30°=45°，
故答案为45°．
根据∠EBD=∠ABD−∠ABE，求出∠ABD，∠ABE即可解决问题．
本题考查作图−基本作图，菱形的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
15.【答案】 3
【解析】解：连接DB，作DH⊥AB于H，如图，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AD=AB=BC=CD，
而∠A=60°，
∴△ABD和△BCD都是等边三角形，
∴∠ADB=∠DBC=60°，AD=BD，
在Rt△ADH中，AH=1，AD=2，
∴DH= 3，
在△ADE和△BDF中
AD=BD∠A=∠FBDAE=BF，
∴△ADE≌△BDF，
∴∠2=∠1，DE=DF
∴∠1+∠BDE=∠2+∠BDE=∠EDF=60°，
∴△DEF为等边三角形，
∴EF=DE，
而当E点运动到H点时，DE的值最小，其最小值为 3，
∴EF的最小值为 3，
故答案为： 3．
连接DB，作DH⊥AB于H，如图，利用菱形的性质得AD=AB=BC=CD，则可判断△ABD和△BCD都是等边三角形，再证明△ADE≌△BDF得到∠2=∠1，DE=DF，接着判定△DEF为等边三角形，所以EF=DE，然后根据垂线段最短判断DE的最小值即可．
本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
16.【答案】2.8
【解析】【分析】
本题考查的是翻转变换的性质、菱形的性质、勾股定理、等边三角形的判定与性质、解直角三角形，掌握翻转变换是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键．
作EH⊥BD于H，根据折叠的性质得到EG=EA，根据菱形的性质、等边三角形的判定定理得到△ABD为等边三角形，得到AB=BD=8，根据勾股定理列出方程，解方程即可．
【解答】
解：作EH⊥BD于H，
由折叠的性质可知，EG=EA，
由题意得，BD=DG+BG=8，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=AB，∠ABD=∠CBD=12∠ABC=60°，
∴△ABD为等边三角形，
∴AB=BD=8，
设BE=x，则EG=AE=8−x，
在Rt△EHB中，BH=12x，EH= 32x，
在Rt△EHG中，EG2=EH2+GH2，即(8−x)2=( 32x)2+(6−12x)2，
解得，x=2.8，即BE=2.8，
故答案为2.8．
17.【答案】解：(1)证明：∵AB/​/CD，
∴∠OAB=∠DCA，
∵AC为∠DAB的平分线，
∴∠OAB=∠DAC，
∴∠DCA=∠DAC，
∴CD=AD=AB，
∵AB/​/CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AD=AB，
∴▱ABCD是菱形；
(2)∵四边形ABCD是菱形，
∴OA=OC，BD⊥AC，
∵CE⊥AB，
∴OE=OA=OC，
∵BD=4，
∴OB=12BD=2，
在Rt△AOB中，AB=2 5，OB=2，
∴OA= AB2−OB2=4，
∴OE=OA=4．
【解析】(1)先判断出∠OAB=∠DCA，进而判断出∠DAC=∠DCA，得出CD=AD=AB，即可得出结论；
(2)先判断出OE=OA=OC，再求出OB=2，利用勾股定理求出OA，即可得出结论．
此题主要考查了菱形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，角平分线的定义，勾股定理，判断出OE=OA=OC是解本题的关键．
18.【答案】解：(1)证明：∵DE/​/BC，DF/​/AB，
∴四边形BFDE是平行四边形．
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD．
∵DE/​/BC，
∴∠CBD=∠EDB，
∴∠ABD=∠EDB，
∴EB=ED，
∴四边形BFDE是菱形；
(2)解：∵ED/​/BF，∠C=90°，
∴∠ADE=90°.
设BF=x，则DE=BE=x．
∴AE=8−x，
在Rt△ADE中，AE2=DE2+AD2，
∴(8−x)2=x2+42，
解得，x=3，
∴BF=3．
【解析】此题主要考查菱形的判定及勾股定理
(1)先判断四边形BFDE为平行四边，然后再证明BE=DE可得结论．
(2)由(1)可得四边形BFDE为菱形，可得BE=DE，设BE=DE=BF=x，然后再△ADE中利用勾股定理求解即可．
19.【答案】证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB/​/DC，AD//BC，
∵PQ/​/AD，
∴PQ/​/BC，
∴四边形BPQC是平行四边形，
∴BP=CQ，∠CBM=∠BMP，
∵∠ABC=∠CBD，
∴∠ABM=∠PMB，
∴PB=PM，
∴CQ=PM．
【解析】首先判定四边形BPCQ是平行四边形，得到BP=CQ，然后利用等角对等边得到PM=PB，从而证得结论．
本题考查了菱形的性质，解题的关键是了解菱形的对角线平分一组对角，难度不大．
20.【答案】证明：作图如下：

由已知条件可知四边形ABCD为矩形，
∴AD/​/BC，
∴∠ADB=∠CBD，∠DEO=∠EBD．
∵直线EF是BD的垂直平分线，
∴BO=DO，
∴△DEO≌△BFO(ASA)，
∴EO=FO，
∴四边形DEBF是平行四边形，
又∵EF⊥BD，
∴四边形DEBF是菱形．
【解析】作线段BD的垂直平分线，连接BE，FD即可．利用垂直平分线的性质和菱形的判定判断即可．
本题考查作图，菱形的判定，正确记忆修改知识点是解题关键．
21.【答案】(1)证明：∵CF/​/AB，
∴∠ADF=∠CFD，∠DAC=∠FCA，
∵点E是AC的中点，
∴AE=CE，
∴△ADE≌△CFE(AAS)，
∴AD=CF；
(2)当AC⊥BC时，四边形ADCF是菱形，理由如下：
由(1)知，AD=CF，
∵AD/​/CF，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵AC⊥BC，
∴△ABC是直角三角形，
∵点D是AB的中点，
∴CD=12AB=AD，
∴四边形ADCF是菱形．
【解析】本题考查全等三角形的判定与性质及菱形的判定，解题的关键是掌握全等三角形判定定理及菱形的判定定理．
(1)由CF/​/AB，得∠ADF=∠CFD，∠DAC=∠FCA，又AE=CE，可证△ADE≌△CFE(AAS)，即得AD=CF；
(2)由AD=CF，AD/​/CF，知四边形ADCF是平行四边形，若AC⊥BC，点D是AB的中点，可得CD=12AB=AD，即得四边形ADCF是菱形．
22.【答案】(1)证明：∵AF//BC，
∴∠AFC=∠FCD，∠FAE=∠CDE，
∵点E是AD的中点，
∴AE=DE，
∴▵FAE≌▵CDE(AAS)，
∴AF=CD，
∵点D是BC的中点，
∴BD=CD，
∴AF=BD，
∴四边形AFBD是平行四边形，
∵∠BAC=90∘，D是BC的中点，
∴AD=BD=12BC，
∴四边形ADBF是菱形；
(2)解：∵四边形ADBF是菱形，
∴菱形ADBF的面积=2▵ABD的面积，
∵点D是BC的中点，
∴▵ABC的面积=2▵ABD的面积，
∴菱形ADBF的面积=▵ABC的面积=20，
∴12AB⋅AC=20，
∴12×4×AC=20，
∴AC=10，
∴AC的长为10．

【解析】本题考查了菱形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，以及菱形的判定与性质是解题的关键．
(1)利用平行线的性质可得∠AFC=∠FCD，∠FAE=∠CDE，利用中点的定义可得AE=DE，从而证明▵FAE≌▵CDE，然后利用全等三角形的性质可得AF=CD，再根据D是BC的中点，可得AF=BD，从而可证四边形AFBD是平行四边形，最后利用直角三角形斜边上的中线可得BD=AD，从而利用菱形的判定定理即可解答；
(2)利用(1)的结论可得菱形ADBF的面积=2▵ABD的面积，再根据点D是BC的中点，可得▵ABC的面积=2▵ABD的面积，进而可得菱形ADBF的面积=▵ABC的面积，然后利用三角形的面积进行计算即可解答．
23.【答案】(1)证明：∵AD // BC，
∴∠OAD=∠OCB，
∵AC为∠DAB的平分线，
∴∠OAB=∠OAD，
∴∠OAB=∠OCB，
∴BC=AB，
又∵AB=AD，
∴BC=AD=AB，
∵AD // BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AD=AB，
∴▱ABCD是菱形；
(2)解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA=OC，BD⊥AC，AB=AD= 6，
∵CE⊥AB，
∴OE=OA=OC，
∵BD=2，
∴OB=12BD=1，
在Rt△AOB中，AB= 6，OB=1，
∴OA= AB2−OB2= 5，
∴OE=OA= 5．

【解析】本题考查了菱形的判定与性质，平行线的性质，角平分线的定义，勾股定理．
(1)根据平行线的性质得到∠OAD=∠OCB，根据角平分线的定义得到∠OAB=∠OAD，进而得到BC=AD=AB，根据AD//BC，即可证得四边形ABCD是平行四边形，根据AB=AD，即可得证；
(2)根据菱形的性质得到OA=OC，OB=OD=12BD=1，AC⊥BD，利用勾股定理求得OA的值，进而得到OE的值．
24.【答案】解：(1)如图示，连接AF，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=DA，∠B=∠D=60°，∠BAD=120°，
∵E为BC的中点，
∴BE=EC=12BC，
∵BE=CF，
∴CF=12DC，
∴DF=BE，
在△ABE与△ADF中，
AB=AD∠B=∠DBE=DF,
∴△ABE≌△ADF(SAS)，
∴AE=AF，∠BAE=∠DAF，
连接AC，
∵AB=BC，∠B=60°，
∴△ABC为等边三角形，
又∵E为BC的中点，
∴AE平分∠BAC，
∴∠BAE=∠DAF=30°，
∴∠EAF=60°，
∴△AEF是等边三角形，
∴∠AEF=60°；
(2)如图示，在AB上截取PB=BE，
又∵∠B=60°，
∴△BEP是等边三角形，
∴PB=BE=PE，∠BPE=60°，
∴∠APE=120°，
∵BE=CF，
∴PE=CF，
∵四边形ABCD是菱形，∠B=60°，
∴AB=BC，∠C=120°，
∴AP=EC，
在△APE与△ECF中，
AP=EC∠APE=∠ECFPE=CF,
∴△APE≌△ECF(SAS)，
∴∠PAE=∠CEF，
∵∠PAE+∠B=∠AEF+∠CEF，
∴∠AEF=∠B=60°．
【解析】本题主要考查菱形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，掌握菱形的性质是解题的关键．
(1)连接AF，根据“SAS”判定△ABE≌△ADF，再根据等边三角形的判定与性质可得结果；
(2)在AB上截取PB=BE，可得△BEP是等边三角形，再根据等边三角形的性质与菱形的性质可得△APE≌△ECF，由全等三角形的性质，得∠PAE=∠CEF，再根据三角形的外角性质可得结果．
25.【答案】解：(1)y1=8−x；
(2) ①
②n的值为4.24，理由如下：
如图，在AC上截取AN=1cm，则PN=4.24cm，
∴AN=PC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC，
∴∠BAC=∠ACB，
∴△ABN≌△CBP(SAS)，
∴PB=PN=4.24cm，
∴n=4.24；
(3)3.1．
【解析】【分析】
本题是四边形综合题，考查了菱形的性质，勾股定理，一次函数的性质，全等三角形的判定和性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
(1)由AC=AP+PC，可求解析式；
(2)①根据题意画出图象即可；
②根据表格数据和图形猜想n的值，再有全等三角形的性质可求n的值进行验证即可；
(3)由菱形的性质可求AO的长，由勾股定理可求BO的长，由勾股定理可求AP的长．
【解答】
解：(1)∵AC=AP+PC，
∴y1=8−x．
故答案为：y1=8−x；
(2)①见答案；
②见答案；
(3)如图3，连接BD，交AC于点O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO=CO=4cm，
∴BO= AB2−AO2= 25−16=3cm，
∵AP=PB，PB ​2=PO ​2+OB ​2，
∴x ​2=(4−x) ​2+9，
∴x=258，
∴AP=258≈3.1cm，
故答案为：3.1．x/cm
0
1
2
3
4
5
6
7
8
y2/cm
5
4.24
3.61
3.16
3
3.16
3.61
n
5