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北师大版九年级上册2 平行线分线段成比例课时练习
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这是一份北师大版九年级上册2 平行线分线段成比例课时练习，共32页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.一段加固后的护栏如图所示，该护栏竖直部分是由等距(相邻的两根木条之间的距离相等)且平行的木条构成.已知AC=20cm，则BC的长度为( )
A. 12cmB. 10cmC. 8cmD. 6cm
2.如图，已知BD是平行四边形ABCD的对角线，点E是BC的延长线上一点.连接AE.分别交BD，CD于点F，G.下列结论正确的是( )
A. AG2=AD⋅BEB. DG2=FG⋅CGC. AF2=FG⋅EFD. DF2=AF⋅BF
3.如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，若DE//BC，EF//AB，则下面所列比例式中正确的是( )
A. ADBD=DEBCB. BFBC=EFADC. AEEC=BFCFD. EFAB=DEBC
4.如图，直线a//b//c，直线a，b，c分别交直线m，n于点A，C，E，B，D，F，若AC=2，CE=4，BD=1，则DF=( )
A. 2
B. 3
C. 32
D. 72
5.如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，F是AD的中点，连接BF交AC于点E，则AEEC的值为( )
A. 13B. 12C. 23D. 34
6.在△ABC中，已知DE//BC，AE=7，ADAB=38，则EC的长为( )
A. 215B. 353C. 218D. 358
7.如图，AB与CD相交于点E，点F在线段BC上，且AC//EF//DB.若BE=5，BF=3，AE=BC，则EBAE的值为( )
A. 23B. 12C. 35D. 25
8.小明按照以下步骤画线段AB的三等分点：
这一画图过程体现的数学依据是( )
A. 两直线平行，同位角相等
B. 两条平行线之间的距离处处相等
C. 垂直于同一条直线的两条直线平行
D. 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
9.如图，已知l1// l2// l3，DE=4，DF=6，那么下列结论正确的是( )
A. BC：EF=1：1B. BC：AB=1：2
C. AD：CF=2：3D. BE：CF=2：3
10.如图，正△ABC的边长为1，点P从点B出发，沿B→C→A方向运动，PH⊥AB于点H，下面是△PHB的面积随着点P的运动形成的函数图象(拐点左右两段都是抛物线的一部分)，以下判断正确的是( )
A. 函数图象的横轴表示PB的长
B. 当点P为BC中点时，点H为线段AB的三等分点
C. 两段抛物线的形状不同
D. 图象上点的横坐标为34时，纵坐标为3 332
11.如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D在AB的延长线上，且BD=AB，连接DC并延长，作AE⊥CD于E，若AE=4，则△BCD的面积为( )
A. 8B. 10C. 8 2D. 16
12.如图，AD//BE//CF，直线l1、l2与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F，若AB=3，BC=6，DF=12，则DE的长等于( )
A. 2
B. 3
C. 4
D. 6
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.如图，BE是△ABC的中线，点F在BE上，延长AF交BC于点D.若BF=3FE，BD=3，则DC= ．
14.如图，两个直角三角形重叠在一起，将其中一个沿点B到点C的方向平移到△DEF的位置，AB=10，DH=4，平移距离为6，则阴影部分的面积为 ．
15.如图，在△ABC中，D是AC的中点，∠BAC的角平分线AE交BD于点F，若BF:FD=3:1，AB+BE=3 3，则△ABC的周长为__________．
16.如图，△ABC是等边三角形，点E在BA的延长线上，点D在BC上，且ED=EC，若△ABC的边长为4，AE=2，则BD的长为
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
如图是由小正方形组成的6×5网格，每个小正方形的顶点叫做格点．四边形ABCD中，顶点A，B，D是格点，顶点C是网格线上一点，P是BC上一格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．
(1)在图1中，将AP绕点A逆时针旋转90°，画出旋转后的线段AM，再在CD上画一点E，使AE平分∠PAM；
(2)在图2中，先画矩形ABCG，再在AD上画一点Q，使PQ平分四边形ABCD的面积．
18.(本小题8分)
定义：若直角三角形的两直角边的比值为 k∶1(k为正整数)，这样的直角三角形称为“ k型三角形”.
(1)利用尺规在图1中作出以点B为直角顶点，以AB为直角边的“ 1型三角形”；(作出一种情况即可)
(2)如图2，已知Rt▵ABC是“ 2型三角形”，其中AC(3)如图3，已知Rt▵ABC是“ k型三角形”(k为正整数)，其中AC19.(本小题8分)
如图，在等边▵ABC中，点D，E分别在CB，AC的延长线上，且BD=CE，EB的延长线交AD于点F．
(1)求∠AFE的度数；
(2)延长EF至点G，使FG=AF，连接CG交AD于点H，依题意补全图形，猜想线段CH与GH的数量关系，并证明．
20.(本小题8分)
学习《相似三角形》后，曾老师开展了一节《探索黄金分割之旅》的活动课．
【背景资料】黄金分割是一种数学上的比例关系.如图1，点C把线段AB分成AC和BC两部分，如果ACAB=BCAC，那么称点C为线段AB的黄金分割点，ACAB= 5−12叫做黄金分割比.黄金分割具有严格的比例性、艺术性、和谐性，在人体、建筑、美学等很多方面都有广泛应用，蕴藏着丰富的美学价值.几何图形中的黄金分割，造就了图形不一样的美.如图2和图3，△ABC都是黄金三角形(腰与底的比或底与腰的比等于黄金比);如图4，矩形ABCD是黄金矩形(宽与长的比等于黄金比)．
【知识探究】直角三角形中的黄金分割
活动一：如图5，在△ABC中，∠ACB=90∘，CD是AB边上的高.以AD为边，作▱ADEF，使得点E，F分别落在边BC，AC上.(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹.)
活动二：在活动一的条件下，若DE=EF，求证：点F是线段AC的黄金分割点．
21.(本小题8分)
如图，在菱形ABCD中，AB=10，BD为对角线，点E是边AB延长线上的任意一点，连结DE交BC于点F，BG平分∠CBE交DE于点G．
(1)求证∠DBG=90°；
(2)若BD=12，DG=2GE．
①求菱形ABCD的面积；
②求tan∠BDE的值．
22.(本小题8分)
如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=8，BC=6，D是AC中点，动点P以每秒1个单位长度的速度从点D出发，沿折线D→B→C方向运动．设运动时间为x秒，点P到直线AB的距离与点P到点B的距离之和记为y1．
(1)请直接写出y1关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围；
(2)在给定的平面直角坐标系中画出函数y1的图象，并写出该函数的一条性质；
(3)结合函数图象，直接写出y1的图象与函数y2=x+m的图象有两个公共点时m的取值范围．
23.(本小题8分)
已知AD是△ABC的中线，E是线段AD上一点，过点E作AC的平行线，过点B作AD的平行线，两平行线交于点F，连接AF．
(1)如图1，当点E与点D重合时，求证：△AEC≌△FBE．
(2)如图2，当点E与点D不重合时，求证：四边形ACEF是平行四边形．
(3)如图3，记AB与EF的交点为G，CE的延长线与AB的交点为N，且N为AB的中点．
①求NEAF的值；
②若CA⊥AB，BC=10，求BF的长．
24.(本小题8分)
如圖，已知BC//DE，BD=16，AC=10，CE=12，求AB的長度．
25.(本小题8分)
如图，在△ABC中，D是BC的中点，点F在AC上，FC=2AF，BF交AD于点E．
(1)求证：AE=ED；
(2)若AB=AD，求BFAC的值．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】【分析】
本题主要考查的是平行线分线段成比例，属于基础题；过点C作CD⊥AM交AM于点D，交BN于点E，根据BE // AD，可得对应比例，求解即可；
【解答】
解：过点C作CD⊥AM交AM于点D，交BN于点E，
∵BE // AD，
∴BCAC=CECD=35，
∵AC=20cm，
∴BC=12cm．
2.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查平行四边形的性质以及平行线分线段成比例．
先根据平行四边形的性质得到AD//BC，AB//CD，再利用平行线分线段成比例解答即可．
【解答】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AB//CD，
∴AFEF=FDBF，FDBF=FGAF，
∴AFEF=FGAF，
即AF2=FG⋅EF，
故选C．
3.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了平行线分线段成比例定理有关知识，根据平行线分线段成比例定理找准线段的对应关系，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】
解：∵DE//BC，
∴DEBC=ADAB，BD≠AB，
∴ADBD≠DEBC，选项A不正确；
∵DE//BC，EF//AB，
∴BFBC=AEAC，EF=BD，EFAD=BDAD，
∵AEAC≠BDAD，
∴BFBC≠EFAD，选项B不正确；
∵EF//AB，
∴AEEC=BFCF，选项C正确；
∵DE//BC，EF//AB，
∴EFAB=CEAC，DEBC=AEAC，CE≠AE，
∴EFAB≠DEBC，选项D不正确；
故选C．
4.【答案】A
【解析】解：∵a//b//c，
∴ACCE=BDDF，
∵AC=2，CE=4，BD=1，
∴24=1DF，
解得：DF=2，
故选：A．
根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可．
本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
5.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查的是平行线分线段对应成比例有关知识，过点D作DM//BE交AC于点M，由AD是BC边上的中线，可得出BD=CD，由DM//BE，利用平行线分线段成比例，可求出EMCM=BDCD=1，由F是AD的中点，可得AEEM=AFFD=1，进而可得出AE：CE的值．
【解答】
解：过点D作DM//BE交AC于点M，如图所示，
∵AD是BC边上的中线，
∴BD=CD．
∵DM//BE，
∴EMCM=BDCD=1，
∵F是AD的中点，
∴AF=DF，
∴AEEM=AFFD=1，
∴AE=EM=CM，
∴CE=EM+CM=2AE，
∴AECE=12．
6.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查的是平行线分线段成比例的有关知识，先根据平行线分线段成比例得到AEAC=ADAB=38，求出AC，进而求出EC．
【解答】
解：∵ADAB=38，DE//BC，
∴AEAC=ADAB=38，
∵AE=7，
∴7AC=38，
∴AC=563，
∴EC=AC−AE=563−7=353
7.【答案】A
【解析】解：设CF=x，
∵BF=3，AE=BC，
∴AE=BC=x+3，
∵EF//AC，
∴BFCF=BEAE，
∴3x=5x+3，
解得x=92，
∴AE=92+3=152，
∴EBAE=5152=23．
故选：A．
设CF=x，则BFCF=BEAE，求出CF，由EF//DBAC即可求出EBAE的值．
本题考查的是平行线分线段成比例定理的应用，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
8.【答案】D
【解析】解：∵CM//DN//BE，
∴AC：CD：DE=AM：MN：NB，
∵AC=CD=DE，
∴AM=MN=NB，
∴这一画图过程体现的数学依据是两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例，
故选：D．
根据平行线分线段成比例定理解答即可．
本题考查的是平行线分线段成比例定理，尺规作图，掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键．
9.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了平行线分线段成比例定理、比例的性质；由平行线分线段成比例定理得出ABAC=23是解决问题的关键．
由平行线分线段成比例定理得出ABAC=DEDF=23，由比例的性质得出ABBC=21，即可得出结论．
【解答】
解：∵l1//l2//l3，
∴ABAC=DEDF=46=23，
∴ABBC=21，
∴BC：AB=1：2；
故选B．
10.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查的是动点函数的图象，三角形的面积，平行线分线段成比例等有关知识，的有关知识，第二个图形中点(12, 38)在两段函数中，是关键点.结合第一个图形，可得此时点P移动到点C，H在AB的中点，那么BH=12，△PHB的面积为 38.所以横轴表示BH的长，故A错误;当P为BC的中点时，作CD⊥AB于点D，可得BD=12AB，根据平行线分线段成比例定理可得BH=12DB，那么BH=14AB，H为AB的四等分点，那么B错误;根据P在BC和AC上，分别计算出△PHB的面积，得到相应函数解析式，看二次项的比例系数的绝对值是否相等，若相等，则形状相同;把x=34代入点P在AC上的函数解析式中可求得面积的值，判断出D是否正确．
【解答】
解：∵点(12, 38)在两段函数中，
∴点P点C重合．
∵正△ABC的边长为1，PH⊥AB，
∴BC=1，BH=12⋅
∴CH= 32．
∴S△PHB=12×12× 32= 38．
∵符合所给点(12, 38).
∴横轴表示BH的长，故A错误；
作CD⊥AB于点D．
又∵△ABC是等边三角形，
∴BD=12AB⋅
∵PH⊥AB，
∴PH//CD．
∵P为BC中点，
∴BP=12BC⋅
∴BH=12BD．
∴BH=14AB⋅
∴点H为AB的四等分点，故B错误;
当P在BC上时，BH为x，则PH= 3x，
∴y=S△PHB=12⋅x⋅ 3x= 32x2．
当P在BC上时，BH为x，则AH=1−x，
∴PH= 3(1−x)，
∴y=S△PHB=12⋅x⋅ 3(1−x)=− 32x2+ 3x2．
∵两个二次函数的比例系数的绝对值相等，
∴形状相同，故C错误;
当x=34时，点P在AC上，∴y=S△PHB=3 332，故D正确．
11.【答案】B
【解析】【分析】过点B作BF⊥CD于F，由“AAS”可证△BFC≌△CEA，可得CF=AE=4，BF=CE，由平行线分线段成比例可求EF=DF，由三角形中位线定理可求BF=CE=2，由三角形面积公式可求解．
【解答】解：如图，过点B作BF⊥CD于F，
∴∠BFC=∠AEC=90°，
∴∠BCF+∠FBC=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠BCF+∠ACE=90°，
∴∠ACE=∠FBC，
又∵BC=AC，
∴△BFC≌△CEA(AAS)，
∴CF=AE=4，BF=CE，
∵BF⊥CD，AE⊥CD，
∴BF // AE，
∴ABBD=EFDF=1，
∴EF=DF，
又∵AB=BD，
∴BF=12AE=2，
∴CE=BF=2，
∴EF=4+2=6=DF，
∴△BCD的面积=12×CD×BF=12×(6+4)×2=10，
故选：B．
12.【答案】C
【解析】解：∵AD//BE//CF，
∴ABBC=DEEF，
∵AB=3，BC=6，DF=12，
∴36=DE12−DE，
解得DE=4，
故选：C．
根据平行线分线段成比例定理列出比例式ABBC=DEEF，把AB=3，BC=6，DF=12，代入ABBC=DEEF计算即可．
本题考查的是平行线分线段成比例定理的应用，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
13.【答案】2
【解析】解：如图，过点E作EG//DC交AD于G，
∵BE是△ABC的中线，
∴点E是AC的中点，
∴EG是△ACD的中位线，
∴DC=2EG，
∵GE//BD，
∴EGBD=EFBF，
∵BF=3FE，
∴EFBF=13，
∴EGBD=13，
∵BD=3，
∴EF=1，
∴CD=2，
故答案为：2．
过点E作EG//DC交AD于G，可得EG是△ACD的中位线，所以CD=2EG，由EG//DC根据平行线分线段成比例定理可得EF=1，即可求解．
本题考查了平行线分线段成比例，三角形的中位线，过点E作EG//DC，构造三角形的中位线是解题的关键．
14.【答案】48
【解析】解：根据题意得，DE=AB=10，BE=6，S△ABC=S△DEF．
∴EH=10−4=6，S△ABC−S△HEC=S△DEF−S△HEC,
即S阴影=S梯形ABEH=126+10×6=48，
故答案为48．
根据平移的性质可知：DE=AB=10，BE=6，S△ABC=S△DEF，结合S阴影=S梯形ABEH即可求解．
此题考查平移的性质，梯形的面积计算．
15.【答案】5 3
【解析】【分析】
本题考查平行线分线段成比例定理，角平分线的性质定理等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
如图，过点F作FM⊥AB于点M，FN⊥AC于点N，过点D作DT//AE交BC于点T.证明AB=3AD，设AD=CD=a，证明ET=CT，设ET=CT=b，则BE=3b，求出a+b，可得结论．
【解答】
解：如图，过点F作FM⊥AB于点M，FN⊥AC于点N，过点D作DT//AE交BC于点T．
∵AE平分∠BAC，FM⊥AB，FN⊥AC，
∴FM=FN，
∴S△ABFS△ADF=BFDF=12⋅AB⋅FM12⋅AD⋅FN=3，
∴AB=3AD，
设AD=DC=a，则AB=3a，
∵AD=DC，DT//AE，
∴ET=CT，
∴BEET=BFDF=3，
设ET=CT=b，则BE=3b，
∵AB+BE=3 3，
∴3a+3b=3 3，
∴a+b= 3，
∴△ABC的周长=AB+AC+BC=5a+5b=5 3，
故答案为：5 3．
16.【答案】2
【解析】【分析】
本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理，平行线的判定，等腰三角形的性质以及邻补角性质，熟练掌握等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理，平行线的判定，等腰三角形的性质，正确作出辅助线，构造全等三角形是解题的关键．
延长BC至F点，使得CF=BD，由ED=EC，利用等腰三角形的性质得出∠EDC=∠ECD，结合邻补角性质进而得出∠EDB=∠ECF，利用“SAS”可证得△EBD≌△EFC，根据全等三角形的性质得出∠B=∠F，由平行线的判定定理得AC//EF，利用平行线分线段成比例定理证得CF=EA后即可求得BD的长．
【解答】
解：延长BC至F点，使得CF=BD，
∵ED=EC，
∴∠EDC=∠ECD，
∵∠EDC+∠EDB=∠ECD+∠ECF=180°，
∴∠EDB=∠ECF，
在△EBD和△EFC中，
DB=CF∠BDE=∠FCEDE=CE，
∴△EBD≌△EFC(SAS)，
∴∠B=∠F．
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠ACB，
∴∠ACB=∠F，
∴AC//EF，
∴ABAE=BCCF，
∵BA=BC=4，
∴AE=CF=2，
∴BD=AE=CF=2，
故答案为：2．
17.【答案】解：(1)如图：AM，AE即为所求作;
(2)如图：PQ即为所求作．
【解析】本题考查作图−旋转变换、轴对称变换、平行线的性质、格点作图，熟练掌握相关知识点是解答本题的关键．
(1)根据格点特征取格点，作出AM，根据正方形的性质连接AO交CD于点E，则AE即为所求;
(2)根据全等三角形的判定和性质作出G，根据三角形中位线的性质和矩形的性质作出PQ．
18.【答案】解：(1)△ABC即为所求作的三角形，如图：
(2)证明：∵Rt△ABC是“ 2型三角形”，AC∴BCAC= 2，
设AC=m，则BC= 2m，BD=BC= 2m，
∵∠C=90∘，DE⊥AC，
∴∠C=∠DEA=90∘，AB= AC2+BC2= m2+ 2m2= 3m，
∴DE//BC，
∴DBAB=ECAC，即 2m 3m=ECm，
∴EC= 63m，
∴BCEC= 2m 63m= 3，
∴Rt△BEC是“ 3型三角形”；
(3)△BCE即为所求作的三角形，如图．
【解析】本题主要考查了尺规作图，新定义，平行线分线段成比例，过一点作已知直线的垂线，作一条线段作已知线段；解答本题的关键是理解新定义的概念．
(1)利用尺规作图，以点B为直角顶点，以AB为直角边，画等腰Rt△ABC，△ABC为“ 1型三角形”，则△ABC即为所求作的三角形；
(2)证明：根据Rt△ABC是“ 2型三角形”，AC(3)利用尺规作图，在BA上截取BD=BC，过点D作AC的垂线交AC于E，连接BE，则△BCE即为所求作的三角形．
19.【答案】(1)∵ △ABC 是等边三角形，
∴ AB=BC ， ∠ACB=∠ABC=60∘ ．
∴ ∠ABD=∠BCE=120∘ ．
∵ CE=BD ，
∴ △ABD≌△BCE(SAS) ．
∴ ∠D=∠E ．
∵ ∠DBF=∠CBE ，
∴ ∠D+∠DBF=∠E+∠CBE ．
即 ∠AFE=∠ACB=60∘ ．
(2)补全图形，如下图：
猜想 CH=GH ，理由如下：
在 EF 上截取 FM=FA ，连接 AM ， CM ，
∵ ∠AFE=60∘ ，
∴ △AFM 是等边三角形，
∴ ∠FAM=∠AFM=60∘ ， AM=AF=MF ，
∵ △ABC 是等边三角形，
∴ ∠BAC=60∘ ， AB=AC ，
∴ ∠BAC−∠MAB=∠FAM−∠MAB ．
即 ∠CAM=∠BAF ．
∴ △ACM≌△ABF(SAS) ．
∴ ∠AMC=∠AFE=60∘ ．
∴ ∠CMF=∠AMC+∠AMB=120∘ ．
∴ ∠CMF+∠AFE=180∘ ．
∴ CM//HF ．
∴ GHCH=GFFM ．
∵ FM=AF ， AF=GF ，
∴ FM=GF ．
∴ CH=GH ．
【解析】【分析】(1)证明 △ABD≌△BCE 得出 ∠D=∠E ，再利用三角形外角的性质得出 ∠AFE=∠ACB=60∘ ；
(2)先根据题意补全图形，在EF 上截取FM=FA ，连接AM ，CM ，证明 △ACM≌△ABF(SAS) ，得出∠AMC=∠AFE=60∘ ，再证明 CM//HF ，最后利用平行线分线段成比例定理得出 CH=GH ．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质以及平行线分线段成比例定理，熟练掌握相关定理，正确作出辅助线是解题的关键．
20.【答案】解：(1)如图所示，四边形ADEF是所求作的平行四边形．
(2)∵在▱ADEF中，DE=EF，
∴▱ADEF是菱形，
∴AD=AF=DE，EF//AB，DE//AC，
∴∠BDE=∠A，∠DEB=∠ACB=90∘，
CFAF=CEBE，CEBE=ADBD，
∴CFAF=ADBD．
∵CD是AB边上的高，
∴∠ADC=∠DEB=90∘，
∴△ACD≌△DBE，
∴AC=BD．
∴CFAF=AFAC，
∴点F是线段AC的黄金分割点．
【解析】此题考查了平行四边形的性质、黄金分割等知识；关键是根据题意画出图形，注意黄金分割线的灵活运用．
(1)首先作∠DBE=∠A可得AC//DE，再在AC上截取AF=DE即可得到四边形ADEF是平行四边形；
(2)首先证明▱ADEF是菱形，并根据平行线分线段比例定理证明CFAF=ADBD，再证明△ACD≌△DBE，可得AC=BD，从而得到CFAF=AFAC，即可证明点F是线段AC的黄金分割点．
21.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴CB=AB，CD=AD，
∵BD=BD，
∴△ABD≌△CBD，
∴∠CBD=∠ABD=12∠ABC，
∵∠CBG=∠EBG=12∠EBC，
∴∠DBG=∠CBD+∠CBG=12(∠ABC+∠EBC)=12×180°=90°．
(2)解：①如图2，连结AC交BD于点K，交DE于点L，
∵AC⊥BD，
∴∠AKB=90°，
∵AB=10，BD=12，
∴BK=DK=12BD=6，
∴AK= AB2−BK2= 102−62=8，
∴CK=AK=8，
∴AC=16，
∴S菱形ABCD=12AC⋅BD=12×12×16=96．
②∵∠DKL=∠DBG=90°，
∴AC//BG，
∴DLGL=DKBK=1，
∴DL=GL=12DG，
∵DG=2GE，
∴GE=12DG，
∴DL=GL=GE，
∵CD//AB，
∴CLAL=DLEL=12，
∴CL=13AC=13×16=163，
∴KL=8−163=83，
∴tan∠BDE=KLDK=836=49．
【解析】本题考查了菱形的性质、平行线的判定、平行线分线段成比例定理、勾股定理，锐角三角函数定义有关知识
(1)由菱形的性质得CB=AB，CD=AD，可证明△ABD≌△CBD，得∠CBD=12∠ABC，而∠CBG=12∠EBC，所以∠DBG=12(∠ABC+∠EBC)=90°；
(2)①连结AC交BD于点K，交DE于点L，由∠AKB=90°，AB=10，DK=BK=12BD=6，根据勾股定理可求得AK=48，则AC=16，即可由S菱形ABCD=12AC⋅BD求出菱形ABCD的面积；
②先由∠DKL=∠DBG=90°证明AC//BG，则DLGL=DKBK=1，所以DL=GL=12DG，再由DG=2GE得GE=12DG，则DL=GL=GE，即可由CD//AB，得CLAL=DLEL=12，可求得CL=13AC=163，所以KL=8−163=83，再求出tan∠BDE的值即可．
22.【答案】解：(1)如图
∵∠ABC=90°，AB=8，BC=6，
∴AC= 82+62=10，
∵D是AC中点，
∴BD=12AC=5，
过D作DG⊥BC于G，过点P分别作PE⊥AB于E，PF⊥BC于F，
∴四边形PEBF是矩形，
∴PE=BF，
∴DG//PF//AB，
∴DGAB=CGBC=CDAC=12，BPBD=BFBG，
∴DG=4，CG=BG=3，
当0≤x≤5时，点P在BD上，
∵PD=x，
∴BP=5−x，
∴5−x5=BF3，
∴BF=3−35x，
∴PE=3−35x，
∴y1=PE+BP=3−35x+5−x=8−85x；
当5如图
BD+BP=x，
∴BP=x−5，
∴y1=2BP=2(x−5)=2x−10;
∴y1关于x的函数表达式为y1=8−85x(0≤x≤5)2x−10(5(2)由y1=8−85x令x=0得y1=8，y1=0得x=5，
由y1=2x−10令y1=0得x=5，x=11得y1=12，
函数图像如下：
当0≤x≤5时，y1随x的增大而减小，当5(3)当y2的图象过点(5,0)时，5+m=0，
∴m=−5，
当y2的图象过点(0,8)时，
m=8，
当y2的图象过点(11,12)时，11+m=12，
∴m=1，
∴−5【解析】本题考查分段函数，平行线分线段成比例定理，勾股定理．
(1)分当0≤x≤5时，点P在BD上，当5(2)通过描点，连线可画出图形，写出一条性质即可；
(3)根据图象可直接求解．
23.【答案】(1)证明：由已知得：BF//AD，DF//AC，
∴∠FBD=∠AEC，∠FDB=∠ACD，
∵AD是△ABC的中线，
∴BD=DC，
∴△AEC≌△FBE(ASA)；
(2)证明：延长CE交BF于点H，
∵BF//AD，AD是△ABC的中线，
∴CDBD=CEEH，
∴CE=EH，
∵BF//AD，EF//AC，
∴∠FHE=∠AEC，∠FEH=∠ACE，
∴△FHE≌△AEC(ASA)，
∴EF=AC，
∵EF//AC，
∴四边形ACEF是平行四边形；
(3)解：①连接DN，
∵BD=DC，BN=AN，
∴ND//AC，ND=12AC，
∴NEEC=NDAC=12，
∵四边形ACEF是平行四边形，
∴AF=EC，
∴NEAF=NEEC=12;
②∵CA⊥AB，BC=10，
∴AD=5，
∵NDAC=DEAE=12，
∴AE=103，
∵四边形ACEF是平行四边形，
∴AF//EH，AF=EC，
∵HE=EC=AF，
∴四边形FHEA是平行四边形，
∴HF=AE=103，
∵N为AB的中点，
∴△BHN≌△AEN，
∴BH=AE=103
∵BNAB=BHBF=12，
∴BF=203．
【解析】本题考查全等三角形的判定和性质，平行四边形，平行线分线段成比例定理的知识，解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，三角形中位线定理．
(1)根据题意，得BF//AD，DF//AC，根据平行线的性质，得∠FBD=∠AEC，∠FDB=∠ACD，再根据AD是△ABC的中线，全等三角形的判定，即可；
(2)延长CE交BF于点H，根据AD是△ABC的中线，BF//AD，得CDBD=CEEH，根据BF//AD，EF//AC，得∠FHE=∠AEC，∠FEH=∠ACE，根据全等三角形的判定，EF=AC，再根据平行四边形的判定，即可；
(3)①连接DN，根据BD=DC，BN=AN，得ND//AC，ND=12AC；根据四边形ACEF是平行四边形，得AF=EC，根据等量代换得，NGGA=NEAF=NEEG，即可；
②根据CA⊥AB，BC=10，得AD=5，根据NDAC=DEAE=12，求出AE=103，根据四边形ACEF是平行四边形，得AF//EH，根据平行四边形的判定，得四边形FHEA是平行四边形，得AE=HF，根据BNAB=BHBF=12，即可．
24.【答案】解：∵AC=10，CE=12，
∴AE=AC+CE=10+12=22，
∵BC//DE，
∴ABAD=ACAE，
∴ABAB+16=1022，
解得AB=403
【解析】本题主要考查的是平行线分线段成比例的有关知识，先求出AE，然后利用平行线分线段成比例求解即可．
25.【答案】【小题1】
解：过点A作AM // BC交BF的延长线于点M，则AMBC=MFBF=AFFC=12，∴BC=2AM，BF=2MF.∵D是BC的中点，∴AM=BD=DC.∵AM // BD，∴AEED=AMBD=1，故 AE=ED；
【小题2】
∵AB=AD，∴∠ABD=∠ADB.∵AM // BD，
∴∠ABD+∠BAM=180°，
又∠ADB+∠ADC=180°，
∴∠BAM=∠ADC，
又AB=AD，AM=DC，∴△BAM≌△ADC(SAS)，
∴AC=BM，∵MFBF=12，∴BFBM=23，∴BFAC=23．
【解析】1. 见答案
2. 见答案画法
图形
1.以A为端点画一条射线；
2.用圆规在射线上依次截取3条等长线段AC、CD、DE，连接BE；
3.过点C、D分别画BE的平行线，交线段AB于点M、N，M、N就是线段AB的三等分点．
1.一段加固后的护栏如图所示，该护栏竖直部分是由等距(相邻的两根木条之间的距离相等)且平行的木条构成.已知AC=20cm，则BC的长度为( )
A. 12cmB. 10cmC. 8cmD. 6cm
2.如图，已知BD是平行四边形ABCD的对角线，点E是BC的延长线上一点.连接AE.分别交BD，CD于点F，G.下列结论正确的是( )
A. AG2=AD⋅BEB. DG2=FG⋅CGC. AF2=FG⋅EFD. DF2=AF⋅BF
3.如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，若DE//BC，EF//AB，则下面所列比例式中正确的是( )
A. ADBD=DEBCB. BFBC=EFADC. AEEC=BFCFD. EFAB=DEBC
4.如图，直线a//b//c，直线a，b，c分别交直线m，n于点A，C，E，B，D，F，若AC=2，CE=4，BD=1，则DF=( )
A. 2
B. 3
C. 32
D. 72
5.如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，F是AD的中点，连接BF交AC于点E，则AEEC的值为( )
A. 13B. 12C. 23D. 34
6.在△ABC中，已知DE//BC，AE=7，ADAB=38，则EC的长为( )
A. 215B. 353C. 218D. 358
7.如图，AB与CD相交于点E，点F在线段BC上，且AC//EF//DB.若BE=5，BF=3，AE=BC，则EBAE的值为( )
A. 23B. 12C. 35D. 25
8.小明按照以下步骤画线段AB的三等分点：
这一画图过程体现的数学依据是( )
A. 两直线平行，同位角相等
B. 两条平行线之间的距离处处相等
C. 垂直于同一条直线的两条直线平行
D. 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
9.如图，已知l1// l2// l3，DE=4，DF=6，那么下列结论正确的是( )
A. BC：EF=1：1B. BC：AB=1：2
C. AD：CF=2：3D. BE：CF=2：3
10.如图，正△ABC的边长为1，点P从点B出发，沿B→C→A方向运动，PH⊥AB于点H，下面是△PHB的面积随着点P的运动形成的函数图象(拐点左右两段都是抛物线的一部分)，以下判断正确的是( )
A. 函数图象的横轴表示PB的长
B. 当点P为BC中点时，点H为线段AB的三等分点
C. 两段抛物线的形状不同
D. 图象上点的横坐标为34时，纵坐标为3 332
11.如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D在AB的延长线上，且BD=AB，连接DC并延长，作AE⊥CD于E，若AE=4，则△BCD的面积为( )
A. 8B. 10C. 8 2D. 16
12.如图，AD//BE//CF，直线l1、l2与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F，若AB=3，BC=6，DF=12，则DE的长等于( )
A. 2
B. 3
C. 4
D. 6
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.如图，BE是△ABC的中线，点F在BE上，延长AF交BC于点D.若BF=3FE，BD=3，则DC= ．
14.如图，两个直角三角形重叠在一起，将其中一个沿点B到点C的方向平移到△DEF的位置，AB=10，DH=4，平移距离为6，则阴影部分的面积为 ．
15.如图，在△ABC中，D是AC的中点，∠BAC的角平分线AE交BD于点F，若BF:FD=3:1，AB+BE=3 3，则△ABC的周长为__________．
16.如图，△ABC是等边三角形，点E在BA的延长线上，点D在BC上，且ED=EC，若△ABC的边长为4，AE=2，则BD的长为
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
如图是由小正方形组成的6×5网格，每个小正方形的顶点叫做格点．四边形ABCD中，顶点A，B，D是格点，顶点C是网格线上一点，P是BC上一格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．
(1)在图1中，将AP绕点A逆时针旋转90°，画出旋转后的线段AM，再在CD上画一点E，使AE平分∠PAM；
(2)在图2中，先画矩形ABCG，再在AD上画一点Q，使PQ平分四边形ABCD的面积．
18.(本小题8分)
定义：若直角三角形的两直角边的比值为 k∶1(k为正整数)，这样的直角三角形称为“ k型三角形”.
(1)利用尺规在图1中作出以点B为直角顶点，以AB为直角边的“ 1型三角形”；(作出一种情况即可)
(2)如图2，已知Rt▵ABC是“ 2型三角形”，其中AC
如图，在等边▵ABC中，点D，E分别在CB，AC的延长线上，且BD=CE，EB的延长线交AD于点F．
(1)求∠AFE的度数；
(2)延长EF至点G，使FG=AF，连接CG交AD于点H，依题意补全图形，猜想线段CH与GH的数量关系，并证明．
20.(本小题8分)
学习《相似三角形》后，曾老师开展了一节《探索黄金分割之旅》的活动课．
【背景资料】黄金分割是一种数学上的比例关系.如图1，点C把线段AB分成AC和BC两部分，如果ACAB=BCAC，那么称点C为线段AB的黄金分割点，ACAB= 5−12叫做黄金分割比.黄金分割具有严格的比例性、艺术性、和谐性，在人体、建筑、美学等很多方面都有广泛应用，蕴藏着丰富的美学价值.几何图形中的黄金分割，造就了图形不一样的美.如图2和图3，△ABC都是黄金三角形(腰与底的比或底与腰的比等于黄金比);如图4，矩形ABCD是黄金矩形(宽与长的比等于黄金比)．
【知识探究】直角三角形中的黄金分割
活动一：如图5，在△ABC中，∠ACB=90∘，CD是AB边上的高.以AD为边，作▱ADEF，使得点E，F分别落在边BC，AC上.(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹.)
活动二：在活动一的条件下，若DE=EF，求证：点F是线段AC的黄金分割点．
21.(本小题8分)
如图，在菱形ABCD中，AB=10，BD为对角线，点E是边AB延长线上的任意一点，连结DE交BC于点F，BG平分∠CBE交DE于点G．
(1)求证∠DBG=90°；
(2)若BD=12，DG=2GE．
①求菱形ABCD的面积；
②求tan∠BDE的值．
22.(本小题8分)
如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=8，BC=6，D是AC中点，动点P以每秒1个单位长度的速度从点D出发，沿折线D→B→C方向运动．设运动时间为x秒，点P到直线AB的距离与点P到点B的距离之和记为y1．
(1)请直接写出y1关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围；
(2)在给定的平面直角坐标系中画出函数y1的图象，并写出该函数的一条性质；
(3)结合函数图象，直接写出y1的图象与函数y2=x+m的图象有两个公共点时m的取值范围．
23.(本小题8分)
已知AD是△ABC的中线，E是线段AD上一点，过点E作AC的平行线，过点B作AD的平行线，两平行线交于点F，连接AF．
(1)如图1，当点E与点D重合时，求证：△AEC≌△FBE．
(2)如图2，当点E与点D不重合时，求证：四边形ACEF是平行四边形．
(3)如图3，记AB与EF的交点为G，CE的延长线与AB的交点为N，且N为AB的中点．
①求NEAF的值；
②若CA⊥AB，BC=10，求BF的长．
24.(本小题8分)
如圖，已知BC//DE，BD=16，AC=10，CE=12，求AB的長度．
25.(本小题8分)
如图，在△ABC中，D是BC的中点，点F在AC上，FC=2AF，BF交AD于点E．
(1)求证：AE=ED；
(2)若AB=AD，求BFAC的值．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】【分析】
本题主要考查的是平行线分线段成比例，属于基础题；过点C作CD⊥AM交AM于点D，交BN于点E，根据BE // AD，可得对应比例，求解即可；
【解答】
解：过点C作CD⊥AM交AM于点D，交BN于点E，
∵BE // AD，
∴BCAC=CECD=35，
∵AC=20cm，
∴BC=12cm．
2.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查平行四边形的性质以及平行线分线段成比例．
先根据平行四边形的性质得到AD//BC，AB//CD，再利用平行线分线段成比例解答即可．
【解答】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AB//CD，
∴AFEF=FDBF，FDBF=FGAF，
∴AFEF=FGAF，
即AF2=FG⋅EF，
故选C．
3.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了平行线分线段成比例定理有关知识，根据平行线分线段成比例定理找准线段的对应关系，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】
解：∵DE//BC，
∴DEBC=ADAB，BD≠AB，
∴ADBD≠DEBC，选项A不正确；
∵DE//BC，EF//AB，
∴BFBC=AEAC，EF=BD，EFAD=BDAD，
∵AEAC≠BDAD，
∴BFBC≠EFAD，选项B不正确；
∵EF//AB，
∴AEEC=BFCF，选项C正确；
∵DE//BC，EF//AB，
∴EFAB=CEAC，DEBC=AEAC，CE≠AE，
∴EFAB≠DEBC，选项D不正确；
故选C．
4.【答案】A
【解析】解：∵a//b//c，
∴ACCE=BDDF，
∵AC=2，CE=4，BD=1，
∴24=1DF，
解得：DF=2，
故选：A．
根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可．
本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
5.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查的是平行线分线段对应成比例有关知识，过点D作DM//BE交AC于点M，由AD是BC边上的中线，可得出BD=CD，由DM//BE，利用平行线分线段成比例，可求出EMCM=BDCD=1，由F是AD的中点，可得AEEM=AFFD=1，进而可得出AE：CE的值．
【解答】
解：过点D作DM//BE交AC于点M，如图所示，
∵AD是BC边上的中线，
∴BD=CD．
∵DM//BE，
∴EMCM=BDCD=1，
∵F是AD的中点，
∴AF=DF，
∴AEEM=AFFD=1，
∴AE=EM=CM，
∴CE=EM+CM=2AE，
∴AECE=12．
6.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查的是平行线分线段成比例的有关知识，先根据平行线分线段成比例得到AEAC=ADAB=38，求出AC，进而求出EC．
【解答】
解：∵ADAB=38，DE//BC，
∴AEAC=ADAB=38，
∵AE=7，
∴7AC=38，
∴AC=563，
∴EC=AC−AE=563−7=353
7.【答案】A
【解析】解：设CF=x，
∵BF=3，AE=BC，
∴AE=BC=x+3，
∵EF//AC，
∴BFCF=BEAE，
∴3x=5x+3，
解得x=92，
∴AE=92+3=152，
∴EBAE=5152=23．
故选：A．
设CF=x，则BFCF=BEAE，求出CF，由EF//DBAC即可求出EBAE的值．
本题考查的是平行线分线段成比例定理的应用，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
8.【答案】D
【解析】解：∵CM//DN//BE，
∴AC：CD：DE=AM：MN：NB，
∵AC=CD=DE，
∴AM=MN=NB，
∴这一画图过程体现的数学依据是两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例，
故选：D．
根据平行线分线段成比例定理解答即可．
本题考查的是平行线分线段成比例定理，尺规作图，掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键．
9.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了平行线分线段成比例定理、比例的性质；由平行线分线段成比例定理得出ABAC=23是解决问题的关键．
由平行线分线段成比例定理得出ABAC=DEDF=23，由比例的性质得出ABBC=21，即可得出结论．
【解答】
解：∵l1//l2//l3，
∴ABAC=DEDF=46=23，
∴ABBC=21，
∴BC：AB=1：2；
故选B．
10.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查的是动点函数的图象，三角形的面积，平行线分线段成比例等有关知识，的有关知识，第二个图形中点(12, 38)在两段函数中，是关键点.结合第一个图形，可得此时点P移动到点C，H在AB的中点，那么BH=12，△PHB的面积为 38.所以横轴表示BH的长，故A错误;当P为BC的中点时，作CD⊥AB于点D，可得BD=12AB，根据平行线分线段成比例定理可得BH=12DB，那么BH=14AB，H为AB的四等分点，那么B错误;根据P在BC和AC上，分别计算出△PHB的面积，得到相应函数解析式，看二次项的比例系数的绝对值是否相等，若相等，则形状相同;把x=34代入点P在AC上的函数解析式中可求得面积的值，判断出D是否正确．
【解答】
解：∵点(12, 38)在两段函数中，
∴点P点C重合．
∵正△ABC的边长为1，PH⊥AB，
∴BC=1，BH=12⋅
∴CH= 32．
∴S△PHB=12×12× 32= 38．
∵符合所给点(12, 38).
∴横轴表示BH的长，故A错误；
作CD⊥AB于点D．
又∵△ABC是等边三角形，
∴BD=12AB⋅
∵PH⊥AB，
∴PH//CD．
∵P为BC中点，
∴BP=12BC⋅
∴BH=12BD．
∴BH=14AB⋅
∴点H为AB的四等分点，故B错误;
当P在BC上时，BH为x，则PH= 3x，
∴y=S△PHB=12⋅x⋅ 3x= 32x2．
当P在BC上时，BH为x，则AH=1−x，
∴PH= 3(1−x)，
∴y=S△PHB=12⋅x⋅ 3(1−x)=− 32x2+ 3x2．
∵两个二次函数的比例系数的绝对值相等，
∴形状相同，故C错误;
当x=34时，点P在AC上，∴y=S△PHB=3 332，故D正确．
11.【答案】B
【解析】【分析】过点B作BF⊥CD于F，由“AAS”可证△BFC≌△CEA，可得CF=AE=4，BF=CE，由平行线分线段成比例可求EF=DF，由三角形中位线定理可求BF=CE=2，由三角形面积公式可求解．
【解答】解：如图，过点B作BF⊥CD于F，
∴∠BFC=∠AEC=90°，
∴∠BCF+∠FBC=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠BCF+∠ACE=90°，
∴∠ACE=∠FBC，
又∵BC=AC，
∴△BFC≌△CEA(AAS)，
∴CF=AE=4，BF=CE，
∵BF⊥CD，AE⊥CD，
∴BF // AE，
∴ABBD=EFDF=1，
∴EF=DF，
又∵AB=BD，
∴BF=12AE=2，
∴CE=BF=2，
∴EF=4+2=6=DF，
∴△BCD的面积=12×CD×BF=12×(6+4)×2=10，
故选：B．
12.【答案】C
【解析】解：∵AD//BE//CF，
∴ABBC=DEEF，
∵AB=3，BC=6，DF=12，
∴36=DE12−DE，
解得DE=4，
故选：C．
根据平行线分线段成比例定理列出比例式ABBC=DEEF，把AB=3，BC=6，DF=12，代入ABBC=DEEF计算即可．
本题考查的是平行线分线段成比例定理的应用，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
13.【答案】2
【解析】解：如图，过点E作EG//DC交AD于G，
∵BE是△ABC的中线，
∴点E是AC的中点，
∴EG是△ACD的中位线，
∴DC=2EG，
∵GE//BD，
∴EGBD=EFBF，
∵BF=3FE，
∴EFBF=13，
∴EGBD=13，
∵BD=3，
∴EF=1，
∴CD=2，
故答案为：2．
过点E作EG//DC交AD于G，可得EG是△ACD的中位线，所以CD=2EG，由EG//DC根据平行线分线段成比例定理可得EF=1，即可求解．
本题考查了平行线分线段成比例，三角形的中位线，过点E作EG//DC，构造三角形的中位线是解题的关键．
14.【答案】48
【解析】解：根据题意得，DE=AB=10，BE=6，S△ABC=S△DEF．
∴EH=10−4=6，S△ABC−S△HEC=S△DEF−S△HEC,
即S阴影=S梯形ABEH=126+10×6=48，
故答案为48．
根据平移的性质可知：DE=AB=10，BE=6，S△ABC=S△DEF，结合S阴影=S梯形ABEH即可求解．
此题考查平移的性质，梯形的面积计算．
15.【答案】5 3
【解析】【分析】
本题考查平行线分线段成比例定理，角平分线的性质定理等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
如图，过点F作FM⊥AB于点M，FN⊥AC于点N，过点D作DT//AE交BC于点T.证明AB=3AD，设AD=CD=a，证明ET=CT，设ET=CT=b，则BE=3b，求出a+b，可得结论．
【解答】
解：如图，过点F作FM⊥AB于点M，FN⊥AC于点N，过点D作DT//AE交BC于点T．
∵AE平分∠BAC，FM⊥AB，FN⊥AC，
∴FM=FN，
∴S△ABFS△ADF=BFDF=12⋅AB⋅FM12⋅AD⋅FN=3，
∴AB=3AD，
设AD=DC=a，则AB=3a，
∵AD=DC，DT//AE，
∴ET=CT，
∴BEET=BFDF=3，
设ET=CT=b，则BE=3b，
∵AB+BE=3 3，
∴3a+3b=3 3，
∴a+b= 3，
∴△ABC的周长=AB+AC+BC=5a+5b=5 3，
故答案为：5 3．
16.【答案】2
【解析】【分析】
本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理，平行线的判定，等腰三角形的性质以及邻补角性质，熟练掌握等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理，平行线的判定，等腰三角形的性质，正确作出辅助线，构造全等三角形是解题的关键．
延长BC至F点，使得CF=BD，由ED=EC，利用等腰三角形的性质得出∠EDC=∠ECD，结合邻补角性质进而得出∠EDB=∠ECF，利用“SAS”可证得△EBD≌△EFC，根据全等三角形的性质得出∠B=∠F，由平行线的判定定理得AC//EF，利用平行线分线段成比例定理证得CF=EA后即可求得BD的长．
【解答】
解：延长BC至F点，使得CF=BD，
∵ED=EC，
∴∠EDC=∠ECD，
∵∠EDC+∠EDB=∠ECD+∠ECF=180°，
∴∠EDB=∠ECF，
在△EBD和△EFC中，
DB=CF∠BDE=∠FCEDE=CE，
∴△EBD≌△EFC(SAS)，
∴∠B=∠F．
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠ACB，
∴∠ACB=∠F，
∴AC//EF，
∴ABAE=BCCF，
∵BA=BC=4，
∴AE=CF=2，
∴BD=AE=CF=2，
故答案为：2．
17.【答案】解：(1)如图：AM，AE即为所求作;
(2)如图：PQ即为所求作．
【解析】本题考查作图−旋转变换、轴对称变换、平行线的性质、格点作图，熟练掌握相关知识点是解答本题的关键．
(1)根据格点特征取格点，作出AM，根据正方形的性质连接AO交CD于点E，则AE即为所求;
(2)根据全等三角形的判定和性质作出G，根据三角形中位线的性质和矩形的性质作出PQ．
18.【答案】解：(1)△ABC即为所求作的三角形，如图：
(2)证明：∵Rt△ABC是“ 2型三角形”，AC
设AC=m，则BC= 2m，BD=BC= 2m，
∵∠C=90∘，DE⊥AC，
∴∠C=∠DEA=90∘，AB= AC2+BC2= m2+ 2m2= 3m，
∴DE//BC，
∴DBAB=ECAC，即 2m 3m=ECm，
∴EC= 63m，
∴BCEC= 2m 63m= 3，
∴Rt△BEC是“ 3型三角形”；
(3)△BCE即为所求作的三角形，如图．
【解析】本题主要考查了尺规作图，新定义，平行线分线段成比例，过一点作已知直线的垂线，作一条线段作已知线段；解答本题的关键是理解新定义的概念．
(1)利用尺规作图，以点B为直角顶点，以AB为直角边，画等腰Rt△ABC，△ABC为“ 1型三角形”，则△ABC即为所求作的三角形；
(2)证明：根据Rt△ABC是“ 2型三角形”，AC
19.【答案】(1)∵ △ABC 是等边三角形，
∴ AB=BC ， ∠ACB=∠ABC=60∘ ．
∴ ∠ABD=∠BCE=120∘ ．
∵ CE=BD ，
∴ △ABD≌△BCE(SAS) ．
∴ ∠D=∠E ．
∵ ∠DBF=∠CBE ，
∴ ∠D+∠DBF=∠E+∠CBE ．
即 ∠AFE=∠ACB=60∘ ．
(2)补全图形，如下图：
猜想 CH=GH ，理由如下：
在 EF 上截取 FM=FA ，连接 AM ， CM ，
∵ ∠AFE=60∘ ，
∴ △AFM 是等边三角形，
∴ ∠FAM=∠AFM=60∘ ， AM=AF=MF ，
∵ △ABC 是等边三角形，
∴ ∠BAC=60∘ ， AB=AC ，
∴ ∠BAC−∠MAB=∠FAM−∠MAB ．
即 ∠CAM=∠BAF ．
∴ △ACM≌△ABF(SAS) ．
∴ ∠AMC=∠AFE=60∘ ．
∴ ∠CMF=∠AMC+∠AMB=120∘ ．
∴ ∠CMF+∠AFE=180∘ ．
∴ CM//HF ．
∴ GHCH=GFFM ．
∵ FM=AF ， AF=GF ，
∴ FM=GF ．
∴ CH=GH ．
【解析】【分析】(1)证明 △ABD≌△BCE 得出 ∠D=∠E ，再利用三角形外角的性质得出 ∠AFE=∠ACB=60∘ ；
(2)先根据题意补全图形，在EF 上截取FM=FA ，连接AM ，CM ，证明 △ACM≌△ABF(SAS) ，得出∠AMC=∠AFE=60∘ ，再证明 CM//HF ，最后利用平行线分线段成比例定理得出 CH=GH ．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质以及平行线分线段成比例定理，熟练掌握相关定理，正确作出辅助线是解题的关键．
20.【答案】解：(1)如图所示，四边形ADEF是所求作的平行四边形．
(2)∵在▱ADEF中，DE=EF，
∴▱ADEF是菱形，
∴AD=AF=DE，EF//AB，DE//AC，
∴∠BDE=∠A，∠DEB=∠ACB=90∘，
CFAF=CEBE，CEBE=ADBD，
∴CFAF=ADBD．
∵CD是AB边上的高，
∴∠ADC=∠DEB=90∘，
∴△ACD≌△DBE，
∴AC=BD．
∴CFAF=AFAC，
∴点F是线段AC的黄金分割点．
【解析】此题考查了平行四边形的性质、黄金分割等知识；关键是根据题意画出图形，注意黄金分割线的灵活运用．
(1)首先作∠DBE=∠A可得AC//DE，再在AC上截取AF=DE即可得到四边形ADEF是平行四边形；
(2)首先证明▱ADEF是菱形，并根据平行线分线段比例定理证明CFAF=ADBD，再证明△ACD≌△DBE，可得AC=BD，从而得到CFAF=AFAC，即可证明点F是线段AC的黄金分割点．
21.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴CB=AB，CD=AD，
∵BD=BD，
∴△ABD≌△CBD，
∴∠CBD=∠ABD=12∠ABC，
∵∠CBG=∠EBG=12∠EBC，
∴∠DBG=∠CBD+∠CBG=12(∠ABC+∠EBC)=12×180°=90°．
(2)解：①如图2，连结AC交BD于点K，交DE于点L，
∵AC⊥BD，
∴∠AKB=90°，
∵AB=10，BD=12，
∴BK=DK=12BD=6，
∴AK= AB2−BK2= 102−62=8，
∴CK=AK=8，
∴AC=16，
∴S菱形ABCD=12AC⋅BD=12×12×16=96．
②∵∠DKL=∠DBG=90°，
∴AC//BG，
∴DLGL=DKBK=1，
∴DL=GL=12DG，
∵DG=2GE，
∴GE=12DG，
∴DL=GL=GE，
∵CD//AB，
∴CLAL=DLEL=12，
∴CL=13AC=13×16=163，
∴KL=8−163=83，
∴tan∠BDE=KLDK=836=49．
【解析】本题考查了菱形的性质、平行线的判定、平行线分线段成比例定理、勾股定理，锐角三角函数定义有关知识
(1)由菱形的性质得CB=AB，CD=AD，可证明△ABD≌△CBD，得∠CBD=12∠ABC，而∠CBG=12∠EBC，所以∠DBG=12(∠ABC+∠EBC)=90°；
(2)①连结AC交BD于点K，交DE于点L，由∠AKB=90°，AB=10，DK=BK=12BD=6，根据勾股定理可求得AK=48，则AC=16，即可由S菱形ABCD=12AC⋅BD求出菱形ABCD的面积；
②先由∠DKL=∠DBG=90°证明AC//BG，则DLGL=DKBK=1，所以DL=GL=12DG，再由DG=2GE得GE=12DG，则DL=GL=GE，即可由CD//AB，得CLAL=DLEL=12，可求得CL=13AC=163，所以KL=8−163=83，再求出tan∠BDE的值即可．
22.【答案】解：(1)如图
∵∠ABC=90°，AB=8，BC=6，
∴AC= 82+62=10，
∵D是AC中点，
∴BD=12AC=5，
过D作DG⊥BC于G，过点P分别作PE⊥AB于E，PF⊥BC于F，
∴四边形PEBF是矩形，
∴PE=BF，
∴DG//PF//AB，
∴DGAB=CGBC=CDAC=12，BPBD=BFBG，
∴DG=4，CG=BG=3，
当0≤x≤5时，点P在BD上，
∵PD=x，
∴BP=5−x，
∴5−x5=BF3，
∴BF=3−35x，
∴PE=3−35x，
∴y1=PE+BP=3−35x+5−x=8−85x；
当5
BD+BP=x，
∴BP=x−5，
∴y1=2BP=2(x−5)=2x−10;
∴y1关于x的函数表达式为y1=8−85x(0≤x≤5)2x−10(5
由y1=2x−10令y1=0得x=5，x=11得y1=12，
函数图像如下：
当0≤x≤5时，y1随x的增大而减小，当5
∴m=−5，
当y2的图象过点(0,8)时，
m=8，
当y2的图象过点(11,12)时，11+m=12，
∴m=1，
∴−5
(1)分当0≤x≤5时，点P在BD上，当5
(3)根据图象可直接求解．
23.【答案】(1)证明：由已知得：BF//AD，DF//AC，
∴∠FBD=∠AEC，∠FDB=∠ACD，
∵AD是△ABC的中线，
∴BD=DC，
∴△AEC≌△FBE(ASA)；
(2)证明：延长CE交BF于点H，
∵BF//AD，AD是△ABC的中线，
∴CDBD=CEEH，
∴CE=EH，
∵BF//AD，EF//AC，
∴∠FHE=∠AEC，∠FEH=∠ACE，
∴△FHE≌△AEC(ASA)，
∴EF=AC，
∵EF//AC，
∴四边形ACEF是平行四边形；
(3)解：①连接DN，
∵BD=DC，BN=AN，
∴ND//AC，ND=12AC，
∴NEEC=NDAC=12，
∵四边形ACEF是平行四边形，
∴AF=EC，
∴NEAF=NEEC=12;
②∵CA⊥AB，BC=10，
∴AD=5，
∵NDAC=DEAE=12，
∴AE=103，
∵四边形ACEF是平行四边形，
∴AF//EH，AF=EC，
∵HE=EC=AF，
∴四边形FHEA是平行四边形，
∴HF=AE=103，
∵N为AB的中点，
∴△BHN≌△AEN，
∴BH=AE=103
∵BNAB=BHBF=12，
∴BF=203．
【解析】本题考查全等三角形的判定和性质，平行四边形，平行线分线段成比例定理的知识，解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，三角形中位线定理．
(1)根据题意，得BF//AD，DF//AC，根据平行线的性质，得∠FBD=∠AEC，∠FDB=∠ACD，再根据AD是△ABC的中线，全等三角形的判定，即可；
(2)延长CE交BF于点H，根据AD是△ABC的中线，BF//AD，得CDBD=CEEH，根据BF//AD，EF//AC，得∠FHE=∠AEC，∠FEH=∠ACE，根据全等三角形的判定，EF=AC，再根据平行四边形的判定，即可；
(3)①连接DN，根据BD=DC，BN=AN，得ND//AC，ND=12AC；根据四边形ACEF是平行四边形，得AF=EC，根据等量代换得，NGGA=NEAF=NEEG，即可；
②根据CA⊥AB，BC=10，得AD=5，根据NDAC=DEAE=12，求出AE=103，根据四边形ACEF是平行四边形，得AF//EH，根据平行四边形的判定，得四边形FHEA是平行四边形，得AE=HF，根据BNAB=BHBF=12，即可．
24.【答案】解：∵AC=10，CE=12，
∴AE=AC+CE=10+12=22，
∵BC//DE，
∴ABAD=ACAE，
∴ABAB+16=1022，
解得AB=403
【解析】本题主要考查的是平行线分线段成比例的有关知识，先求出AE，然后利用平行线分线段成比例求解即可．
25.【答案】【小题1】
解：过点A作AM // BC交BF的延长线于点M，则AMBC=MFBF=AFFC=12，∴BC=2AM，BF=2MF.∵D是BC的中点，∴AM=BD=DC.∵AM // BD，∴AEED=AMBD=1，故 AE=ED；
【小题2】
∵AB=AD，∴∠ABD=∠ADB.∵AM // BD，
∴∠ABD+∠BAM=180°，
又∠ADB+∠ADC=180°，
∴∠BAM=∠ADC，
又AB=AD，AM=DC，∴△BAM≌△ADC(SAS)，
∴AC=BM，∵MFBF=12，∴BFBM=23，∴BFAC=23．
【解析】1. 见答案
2. 见答案画法
图形
1.以A为端点画一条射线；
2.用圆规在射线上依次截取3条等长线段AC、CD、DE，连接BE；
3.过点C、D分别画BE的平行线，交线段AB于点M、N，M、N就是线段AB的三等分点．
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