2022-2023学年湖南省长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校八年级（下）期末数学试卷及参考答案

这是一份2022-2023学年湖南省长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校八年级（下）期末数学试卷及参考答案，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）2023的相反数是（ ）
A．B．C．2023D．﹣2023
2．（3分）下列各式计算正确的是（ ）
A．（a2）3＝a5B．3a﹣2a＝1
C．a6+a3＝a2D．（2a）2•a4＝4a6
3．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．了解市民知晓“礼让行人”交通新规的情况，适合全面调查
B．一组数据5，5，3，4，1的中位数是3
C．一组数据中出现次数最多的数是这组数据的众数
D．甲、乙两人9次跳高成绩的方差分别为，，说明乙的成绩比甲稳定
4．（3分）国家统计局统计数据显示，我国快递业务逐年增加，2020年至2022年我国快递业务收入由7500亿元增加到9000亿元．设我国2020年至2022年快递业务收入的年平均增长率为x，则可列方程为（ ）
A．7500（1+2x）＝9000 B．7500（1+x）＝9000
C．7500（1+x）2＝9000 D．7500+7500（1+x）+7500（1+x）2＝9000
5．（3分）对于函数y＝﹣2x+4，说法正确的是（ ）
A．点A（1，3）在这个函数图象上 B．y随着x的增大而增大
C．它的图象必过一、三象限 D．当x＞2时，y＜0
6．（3分）如图，在▱ABCD中，AD＝5，对角线AC与BD相交于点O，AC+BD＝12，则△BOC的周长为（ ）
A．10B．11C．12D．14
7．（3分）将抛物线y＝﹣3x2+1向左平移1个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到抛物线为（ ）
A．y＝﹣3（x+1）2﹣3B．y＝﹣3（x﹣1）2﹣3
C．y＝﹣3（x+1）2+5D．y＝﹣3（x﹣1）2+5
8．（3分）已知实心球运动的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系是y＝﹣（x﹣1）2+4，则该同学此次投掷实心球的成绩是（ ）
A．2mB．3mC．3.5mD．4m
9．（3分）已知a，b是一元二次方程x2+x﹣8＝0的两个实数根，则代数式a2+2a+b的值等于（ ）
A．7B．8C．9D．10
10．（3分）在同一平面直角坐标系中，函数y＝mx+m和函数y＝mx2+2x+2（m是常数，且m≠0）的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（3分）分解因式：ab2﹣9a＝ ．
12．（3分）将直线y＝3x+1向下平移2个单位，所得直线的表达式是 ．
13．（3分）一个正多边形的内角和是其外角和的2倍，则这个正多边形的边数是 ．
14．（3分）抛物线y＝﹣（x+2）2+3的顶点坐标为 ．
15．（3分）关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是 ．
16．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，P为AB上任意一点，PF⊥AC于F，PE⊥BC于E，则EF的最小值是 ．
三、解答题（第17-19题每小题6分，第20-21题每小题6分，第22-23题每小题6分，第24-25题每小题6分，共72分）
17．（6分）计算：．
18．（6分）先化简，再求代数式的值，其中．
19．（6分）如图，已知一次函数y1＝（m﹣1）x+2与正比例函数y2＝2x图象相交于点A（2，n），y1与x轴交于点B．
（1）求出m、n的值；
（2）求出△ABO的面积．
20．（8分）为了解本校九年级学生的体质健康情况，朱老师随机抽取32名学生进行了一次体质健康测试，规定分数在75分（包含75分）以上为良好；根据测试成绩制成统计图表．
请根据上述信息解答下列问题：
（1）本次调查中的样本容量是 ，a＝ ；
（2）补全条形统计图；样本数据的中位数位于 组；
（3）该校九年级学生有960人，估计该校九年级学生体质健康测试成绩为良好的有多少人？
21．（8分）如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为D，E．
（1）求证：△ACD≌△CBE；
（2）若AD＝12，DE＝7，求BE的长．
22．（9分）近几年，越来越多的商家向线上转型发展，“直播带货”已经成为商家的一种促销的重要手段．某商家在直播间销售一种进价为每件10元的日用商品，经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）满足关系式y＝﹣10x+400，设销售这种商品每天的利润为W（元）．
（1）求W与x之间的函数关系式；
（2）当销售单价不低于28元，且每天至少销售50件时，求W的最大值．
23．（9分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＜BC，D是AC的中点，过点D作DE⊥AC交BC于点E，延长ED至F，使DF＝DE，连接AE，AF，CF．
（1）求证：四边形AECF是菱形；
（2）若BE＝1，EC＝4，求EF的长．
24．（10分）定义：我们不妨把纵坐标是横坐标2倍的点称为“青竹点”．例如：点（1，2）、（﹣2.5，﹣5）……都是“青竹点”．显然，函数y＝x2的图象上有两个“青竹点”：（0，0）和（2，4）．
（1）下列函数中，函数图象上存在“青竹点”的，请在横线上打“√”，不存在“青竹点”的，请打“×”．
①y＝2x﹣1 ；②y＝﹣x2+1 ；③y＝x2+2 ．
（2）若抛物线（m为常数）上存在两个不同的“青竹点”，求m的取值范围；
（3）若函数的图象上存在唯一的一个“青竹点”，且当﹣1≤b≤2时，a的最小值为c，求c的值．
25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a与x轴交于点A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且OC＝OB．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图①，若点P为第一象限的抛物线上一点，直线CP交x轴于点D，且CP平分∠OCB，求点P的坐标；
（3）如图②，点Q为第四象限的抛物线上一点，直线BQ交y轴于点M，过点B作直线NB∥AQ，交y轴于点N，当Q点运动时，线段MN的长度是否会变化？若不变，请求出其长度；若变化，请求出其长度的变化范围．
2022-2023学年湖南省长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）2023的相反数是（ ）
A．B．C．2023D．﹣2023
【分析】只有符号不同的两个数叫做互为相反数，由此即可得到答案．
【解答】解：2023的相反数是﹣2023．
故选：D．
【点评】本题考查相反数，关键是掌握相反数的定义．
2．（3分）下列各式计算正确的是（ ）
A．（a2）3＝a5B．3a﹣2a＝1
C．a6+a3＝a2D．（2a）2•a4＝4a6
【分析】根据同底数幂的乘法，底数不变，指数相加，幂的乘方，底数不变指数相乘；同底数幂相除，底数不变指数相减，对各选项进行判断即可得出答案．
【解答】解：A、（a2）3＝a6，故本选项错误，不符合题意；
B、3a﹣2a＝a故本选项错误，不符合题意；
C、不是同类项不能合并，故本选项错误，不符合题意；
D、（2a）2•a4＝4a6，故本选项正确，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查同底数幂的乘法、幂的乘方以及同底数幂的除法，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．
3．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．了解市民知晓“礼让行人”交通新规的情况，适合全面调查
B．一组数据5，5，3，4，1的中位数是3
C．一组数据中出现次数最多的数是这组数据的众数
D．甲、乙两人9次跳高成绩的方差分别为，，说明乙的成绩比甲稳定
【分析】根据普查与抽样调查的区别、中位数的定义、众数的定义及方差的意义逐一判断即可．
【解答】解：A．了解市民知晓“礼让行人”交通新规的情况，由于调查的工作量较大，适合抽样调查，此选项错误，不符合题意；
B．一组数据5，5，3，4，1，重新排列为1、3、4、5、5，其中位数是4，此选项错误，不符合题意；
C．一组数据中出现次数最多的数是这组数据的众数，此选项正确，符合题意；
D．甲、乙两人9次跳高成绩的方差分别为，，由，说明甲的成绩比乙稳定，此选项错误，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题主要抽样调查与全面调查、中位数、众数、方差，解题的关键是掌握普查与抽样调查的区别、中位数的定义、众数的定义及方差的意义．
4．（3分）国家统计局统计数据显示，我国快递业务逐年增加，2020年至2022年我国快递业务收入由7500亿元增加到9000亿元．设我国2020年至2022年快递业务收入的年平均增长率为x，则可列方程为（ ）
A．7500（1+2x）＝9000
B．7500（1+x）＝9000
C．7500（1+x）2＝9000
D．7500+7500（1+x）+7500（1+x）2＝9000
【分析】设平均增长率为x，根据2020年至2022年我国快递业务收入由7500亿元增加到9000亿元，即可列出一元二次方程．
【解答】解：设平均增长率为x，
根据题意得：7500（1+x）2＝9000，
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意，列出方程是解决本题的关键．
5．（3分）对于函数y＝﹣2x+4，说法正确的是（ ）
A．点A（1，3）在这个函数图象上
B．y随着x的增大而增大
C．它的图象必过一、三象限
D．当x＞2时，y＜0
【分析】A．利用一次函数图象上点的坐标特征，可得出点（1，3）不在这个函数图象上；
B．利用一次函数的性质，可得出y随x的增大而减小；
C．利用一次函数图象与系数的关系，可得出一次函数y＝﹣2x+4的图象经过第一、二、四象限；
D．利用不等式的性质，可得出当x＞2时，y＜0．
【解答】解：A．当x＝1时，y＝﹣2×1+4＝2，2≠3，
∴点（1，3）不在这个函数图象上，选项A不符合题意；
B．∵k＝﹣2＜0，
∴y随x的增大而减小，选项B不符合题意；
C．∵k＝﹣2＜0，b＝4＞0，
∴一次函数y＝﹣2x+4的图象经过第一、二、四象限，选项C不符合题意；
D．当x＞2时，y＜﹣2×2+4＝0，选项D符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的性质以及一次函数图象与系数的关系，逐一分析各选项的正误是解题的关键．
6．（3分）如图，在▱ABCD中，AD＝5，对角线AC与BD相交于点O，AC+BD＝12，则△BOC的周长为（ ）
A．10B．11C．12D．14
【分析】根据平行四边形对角线平分可得OC+BO＝6，即可求出结果．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，，AD＝BC＝5，
∵AC+BD＝12，
∴OC+BO＝6，
∴C△BOC＝OC+OB+BC＝6+5＝11，
故选：B．
【点评】本题考查平行四边形的性质及三角形周长，熟练掌握平行四边形的对角线互相平分是解题的关键．
7．（3分）将抛物线y＝﹣3x2+1向左平移1个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到抛物线为（ ）
A．y＝﹣3（x+1）2﹣3B．y＝﹣3（x﹣1）2﹣3
C．y＝﹣3（x+1）2+5D．y＝﹣3（x﹣1）2+5
【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．
【解答】解：将抛物线y＝﹣3x2+1向左平移1个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到的抛物线为：y＝﹣3（x+1）2+1﹣4，即y＝﹣3（x+1）2﹣3．
故选：A．
【点评】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．
8．（3分）已知实心球运动的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系是y＝﹣（x﹣1）2+4，则该同学此次投掷实心球的成绩是（ ）
A．2mB．3mC．3.5mD．4m
【分析】根据该同学此次投掷实心球的成绩就是实心球落地时的水平距离，令y＝0，解方程即可．
【解答】解：在y＝﹣（x﹣1）2+4中，令y＝0得：
0＝﹣（x﹣1）2+4，
解得x＝3或x＝﹣1（舍去），
∴该同学此次投掷实心球的成绩是3m，
故选：B．
【点评】本题考查二次函数的应用和一元二次方程的解法，理解题意，能把二次函数问题转化为一元二次方程问题是解决问题的关键．
9．（3分）已知a，b是一元二次方程x2+x﹣8＝0的两个实数根，则代数式a2+2a+b的值等于（ ）
A．7B．8C．9D．10
【分析】根据根与系数的关系可得a+b＝＝﹣1，ab＝＝﹣8，将a2+2a+b变形为a（a+1）+（a+b），再前面括号中的a用﹣1﹣b替换得﹣ab+a+b，最后将ab，a+b的值代入计算即可求解．
【解答】解：∵a，b是一元二次方程x2+x﹣8＝0的两个实数根，
∴a+b＝＝﹣1，ab＝＝﹣8，
∴a＝﹣1﹣b，
∴a2+2a+b
＝a2+a+（a+b）
＝a（a+1）+（a+b）
＝a（﹣1﹣b+1）+（a+b）
＝﹣ab+a+b
＝8﹣1
＝7．
故选：A．
【点评】本题主要考查根与系数的关系的关系、代数式求值，将根与系数的关系与代数式变形相结合是解题关键．
10．（3分）在同一平面直角坐标系中，函数y＝mx+m和函数y＝mx2+2x+2（m是常数，且m≠0）的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】关键是m的正负的确定，对于二次函数y＝ax2+bx+c，当a＞0时，开口向上；当a＜0时，开口向下．对称轴为x＝，与y轴的交点坐标为（0，c）．
【解答】解：A．由函数y＝mx+m的图象可知m＜0，即函数y＝mx2+2x+2开口方向朝下，对称轴为x＝＝＞0，则对称轴应在y轴右侧，与图象不符，故A选项错误；
B．由函数y＝mx+m的图象可知m＜0，即函数y＝mx2+2x+2开口方向朝下，开口方向朝下，与图象不符，故B选项错误；
C．由函数y＝mx+m的图象可知m＞0，即函数y＝mx2+2x+2开口方向朝上，对称轴为x＝＝＜0，则对称轴应在y轴左侧，与图象不符，故C选项错误；
D．由函数y＝mx+m的图象可知m＜0，即函数y＝mx2+2x+2开口方向朝下，对称轴为x＝＝＞0，则对称轴应在y轴右侧，与图象相符，故D选项正确．
故选：D．
【点评】主要考查了一次函数和二次函数的图象性质以及分析能力和读图能力，要掌握它们的性质才能灵活解题．
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（3分）分解因式：ab2﹣9a＝ a（b+3）（b﹣3） ．
【分析】根据提公因式，平方差公式，可得答案．
【解答】解：原式＝a（b2﹣9）
＝a（b+3）（b﹣3），
故答案为：a（b+3）（b﹣3）．
【点评】本题考查了因式分解，一提，二套，三检查，分解要彻底．
12．（3分）将直线y＝3x+1向下平移2个单位，所得直线的表达式是 y＝3x﹣1 ．
【分析】根据一次函数图象的平移规律“上加下减，左加右减”即可得出平移后的直线的表达式．
【解答】解：将直线y＝3x+1向下平移2个单位，所得直线的表达式是y＝3x+1﹣2，
即为y＝3x﹣1．
故答案为：y＝3x﹣1．
【点评】本题考查一次函数图象与几何变换，熟练掌握一次函数图象的平移规律是解题关键．
13．（3分）一个正多边形的内角和是其外角和的2倍，则这个正多边形的边数是 六 ．
【分析】根据多边形的内角和定理，多边形的内角和等于（n﹣2）•180°，外角和等于360°，然后列方程求解即可．
【解答】解：设多边形的边数是n，根据题意得，
（n﹣2）•180°＝2×360°，
解得n＝6，
∴这个多边形为六边形．
故答案为：六．
【点评】本题主要考查了多边形的内角和公式与外角和定理，根据题意列出方程是解题的关键．
14．（3分）抛物线y＝﹣（x+2）2+3的顶点坐标为 （﹣2，3） ．
【分析】已知抛物线解析式为顶点式，可直接写出顶点坐标．
【解答】解：∵y＝﹣（x+2）2+3为抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点可知，
∴抛物线的顶点坐标为（﹣2，3）．
故答案为：（﹣2，3）．
【点评】本题考查将解析式化为顶点式y＝a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k），对称轴是直线x＝h．
15．（3分）关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是 k＜2且k≠1 ．
【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到k﹣1≠0且Δ＝（﹣2）2﹣4（k﹣1）＞0，然后求出两个不等式的公共部分即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，
∴k﹣1≠0且Δ＝（﹣2）2﹣4（k﹣1）＞0，
解得：k＜2且k≠1．
故答案为：k＜2且k≠1．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．
16．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，P为AB上任意一点，PF⊥AC于F，PE⊥BC于E，则EF的最小值是 4.8 ．
【分析】根据已知得出四边形CEPF是矩形，得出EF＝CP，要使EF最小，只要CP最小即可，根据垂线段最短得出即可．
【解答】解：连接CP，如图所示，
∵∠C＝90°，PF⊥AC于F，PE⊥BC于E，
∴∠C＝∠PFC＝∠PEC＝90°，
∴四边形CEPF是矩形，
∴EF＝CP，
要使EF最小，只要CP最小即可，
当CP⊥AB时，CP最小，
在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，
由勾股定理得：AB＝10，
由三角形面积公式得：×8×6＝×10×CP，
∴CP＝4.8，
即EF＝4.8，
故答案为：4.8．
【点评】本题利用了矩形的性质和判定、勾股定理、垂线段最短的应用，解此题的关键是确定出何时，EF最短，题目比较好，难度适中．
三、解答题（第17-19题每小题6分，第20-21题每小题6分，第22-23题每小题6分，第24-25题每小题6分，共72分）
17．（6分）计算：．
【分析】根据二次根式的性质，非零数的零次幂的运算，负整数指数幂的运算法则即可求解．
【解答】解：
＝3+1﹣3﹣4
＝﹣3．
【点评】本题主要考查实数的运算，掌握二次根式的性质，非零数的零次幂的运算，负整数指数幂的运算法则是解题的关键．
18．（6分）先化简，再求代数式的值，其中．
【分析】先根据分式的混合计算法则化简，然后代值计算即可．
【解答】解：
＝[﹣]•
＝•﹣•
＝
＝
＝
＝，
当时，原式．
【点评】本题主要考查了分式的化简求值，正确计算是解题的关键．
19．（6分）如图，已知一次函数y1＝（m﹣1）x+2与正比例函数y2＝2x图象相交于点A（2，n），y1与x轴交于点B．
（1）求出m、n的值；
（2）求出△ABO的面积．
【分析】（1）先把A点坐标代入正比例函数解析式求出n，从而确定A点坐标，然后利用待定系数法确定m的值；
（2）由一次函数y1＝x+2求得B的坐标，然后根据三角形面积公式求得即可．
【解答】解：（1）把点A（2，n）代入y2＝2x得：
n＝2×2＝4，
则A点坐标为（2，4），
把A（2，4）代入y1＝（m﹣1）x+2得：
4＝（m﹣1）×2+4，
解得：m＝2；
（2）∵m＝2，
∴y1＝x+2，
令y＝0，则x＝﹣2，
∴B（﹣2，0），
∵A（2，4），
∴△ABO的面积＝×2×4＝4．
【点评】本题考查了两直线平行或相交的问题、待定系数法求函数的解析式、三角形面积的计算；根据题意求出有关点的坐标是解决问题的关键．
20．（8分）为了解本校九年级学生的体质健康情况，朱老师随机抽取32名学生进行了一次体质健康测试，规定分数在75分（包含75分）以上为良好；根据测试成绩制成统计图表．
请根据上述信息解答下列问题：
（1）本次调查中的样本容量是 32 ，a＝ 13 ；
（2）补全条形统计图；样本数据的中位数位于 C 组；
（3）该校九年级学生有960人，估计该校九年级学生体质健康测试成绩为良好的有多少人？
【分析】（1）根据样本容量的定义以及各组频数之和等于数据总数解答即可；
（2）根据a的值补全条形统计图，根据中位数的定义确定样本数据的中位数位于C组；
（3）用总人数乘以样本中成绩为良好的学生的百分比即可．
【解答】解：（1）由题意可得，本次调查中的样本容量是32，
a＝32﹣2﹣5﹣12＝13，
故答案为：32，13；
（2）由（1）得，C组的人数为13，
补全条形统计图如下：
根据中位数的定义得，样本数据的中位数位于C组，
故答案为：C；
（3）960×＝750（人）．
答：该校九年级学生体质健康测试成绩为良好的约有750人．
【点评】本题考查的是条形统计图，频数分布表，读懂统计图表，从统计图表中得到必要的信息是解决问题的关键，条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．
21．（8分）如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为D，E．
（1）求证：△ACD≌△CBE；
（2）若AD＝12，DE＝7，求BE的长．
【分析】（1）根据垂直定义求出∠BEC＝∠ACB＝∠ADC，根据等式性质求出∠ACD＝∠CBE，根据AAS证明△BCE≌△CAD；
（2）根据全等三角形的对应边相等得到AD＝CE，CD＝BE，再根据AD＝12，DE＝7，即可解答．
【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，BE⊥CE，
∴∠ECB+∠ACD＝90°，∠ECB+∠CBE＝90°，
∴∠ACD＝∠CBE，
∵AD⊥CE，BE⊥CE，
∴∠ADC＝∠CEB＝90°，
∵AC＝BC，
∴△ACD≌△CBE；
（2）∵△ACD≌△CBE，
∴AD＝CE，CD＝BE，
∵AD＝12，DE＝7，
∴BE＝CD＝CE﹣DE＝12﹣7＝5．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，垂线的定义等知识点的应用，解此题的关键是推出证明△ADC和△CEB全等的三个条件．
22．（9分）近几年，越来越多的商家向线上转型发展，“直播带货”已经成为商家的一种促销的重要手段．某商家在直播间销售一种进价为每件10元的日用商品，经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）满足关系式y＝﹣10x+400，设销售这种商品每天的利润为W（元）．
（1）求W与x之间的函数关系式；
（2）当销售单价不低于28元，且每天至少销售50件时，求W的最大值．
【分析】（1）根据销售1件的利润乘以每天销售量等于每天的总利润，直接列式即可作答；
（2）根据题意有：，解得：28≤x≤35，将W＝﹣10x2+500x﹣4000化为顶点式为：W＝﹣10（x﹣25）2+2250，即可知当x＞25时，函数值随着x的增大而减小，问题随之得解．
【解答】解：（1）根据题意，得W＝y（x﹣10）
＝（﹣10x+400）（x﹣10）
＝﹣10x2+500x﹣4000，
即W＝﹣10x2+500x﹣4000，
又，
解得0＜x≤40，
∴W＝﹣10x2+500x﹣4000（0＜x≤40）
（2）解：根据题意有：，
解得：28≤x≤35，
W＝﹣10x2+500x﹣4000
＝﹣10（x﹣25）2+2250，
∵﹣10＜0，
∴当x＞25时，W随着x的增大而减小，
又28≤x≤35，
当x＝28时，函数值最大，最大为：W＝﹣10（28﹣25）2+2250＝2160．
答：此时W的最大值为2160元．
【点评】本题主要考查了二次函数的应用，根据已知的等量关系列出相应的函数关系式是是解答本题的关键．
23．（9分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＜BC，D是AC的中点，过点D作DE⊥AC交BC于点E，延长ED至F，使DF＝DE，连接AE，AF，CF．
（1）求证：四边形AECF是菱形；
（2）若BE＝1，EC＝4，求EF的长．
【分析】（1）根据菱形的判定解答即可；
（2）根据菱形的性质和勾股定理解答即可．
【解答】（1）证明：∵D是AC的中点，
∴AD＝CD，
∵DF＝DE，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵DE⊥AC，
∴平行四边形AECF是菱形；
（2）解：由（1）知四边形AECF是菱形，
∴AE＝CE＝4，
∵BE＝1，EC＝4，
在Rt△ABE中，AB＝，
在Rt△ABC中，AC＝，
∵，
即，
∴．
【点评】此题考查菱形的判定和性质，关键是根据菱形的判定和性质解答．
24．（10分）定义：我们不妨把纵坐标是横坐标2倍的点称为“青竹点”．例如：点（1，2）、（﹣2.5，﹣5）……都是“青竹点”．显然，函数y＝x2的图象上有两个“青竹点”：（0，0）和（2，4）．
（1）下列函数中，函数图象上存在“青竹点”的，请在横线上打“√”，不存在“青竹点”的，请打“×”．
①y＝2x﹣1 × ；②y＝﹣x2+1 √ ；③y＝x2+2 × ．
（2）若抛物线（m为常数）上存在两个不同的“青竹点”，求m的取值范围；
（3）若函数的图象上存在唯一的一个“青竹点”，且当﹣1≤b≤2时，a的最小值为c，求c的值．
【分析】（1）根据“青一函数”的定义直接判断即可；
（2）根据题意得出关于x的一元二次方程，再根据根的判别式得出关于m的不等式，即可求解；
（3）根据题意得出关于x的一元二次方程，再根据根的判别式得出关于a的二次函数，利用二次函数最值求解即可．
【解答】解：（1）①令2x﹣1＝2x，方程无解，
∴函数y＝2x﹣1图象上不存在“青竹点”，
故答案为：×；
②令﹣x2+1＝2x，
解得：，，
∴函数y＝﹣x2+1图象上存在“青竹点”和，
故答案为：√；
③令x2+2＝2x，方程无解，
∴函数y＝x2+2图象上不存在“青竹点”，
故答案为：×；
（2）由题意得，
整理，得x2+4x+2m﹣2＝0，
∵抛物线（m为常数）上存在两个不同的“青竹点”，
∴Δ＝42﹣4（2m﹣2）＞0，
解得m＜3；
（3）由题意得
整理，得x2+4（b﹣c）x+4（a+c﹣3）＝0
∵函数的图象上存在唯一的一个“青竹点”，
∴Δ＝[4（b﹣c）]2﹣4×1×4（a+c﹣3）＝0
整理，得a＝（b﹣c）2﹣c+3
∴当b＝c时，a的最小值为3﹣c，
∵当﹣1≤c≤2时，a的最小值为c，
∴3﹣c＝c，
∴，
当c≥2时，（2﹣c）2﹣c+3＝c，
解得c＝3+或c＝3﹣（舍去）；
当c≤﹣1时，（﹣1﹣c）2﹣c+3＝c，
整理得c2＝﹣4，
∴方程无解；
综上所述：c的值为或3+．
【点评】本题属于函数背景下新定义问题，主要考查二次函数的性质，二次函数与一元二次方程的关系，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程的关系，一元二次方程根的判别式．
25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a与x轴交于点A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且OC＝OB．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图①，若点P为第一象限的抛物线上一点，直线CP交x轴于点D，且CP平分∠OCB，求点P的坐标；
（3）如图②，点Q为第四象限的抛物线上一点，直线BQ交y轴于点M，过点B作直线NB∥AQ，交y轴于点N，当Q点运动时，线段MN的长度是否会变化？若不变，请求出其长度；若变化，请求出其长度的变化范围．
【分析】（1）将x＝0代入y＝ax2﹣2ax﹣3a中，得y＝﹣3a，令y＝0，即ax2﹣2ax﹣3a＝0，求出点B的坐标，进而求出a的值；
（2）设CP交x轴于点D，过点D作DE⊥BC于点E，利用角平分线的性质可得OD＝DE，证明△BDE是等腰直角三角形，可得，然后求出点D的坐标，利用待定系数法求出直线CD解析式，然后把直线CD解析式和抛物线解析式联立方程组即可求出点P的坐标；
（3）设Q（m，m2﹣2m﹣3），分别求出直线BQ、直线AQ的解析式，根据NB∥AQ可得BN的解析式，可得出M、N的坐标，即可得线段MN的长度．
【解答】解：（1）由图象，可知a＞0，
将x＝0代入y＝ax2﹣2ax﹣3a中，得y＝﹣3a，
∴点C（0，﹣3a），
∴OC＝3a，
令y＝0，即ax2﹣2ax﹣3a＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝3，
∵点A在点B的左侧，
∴点A（﹣1，0），B（3，0），
∴OB＝3，
又OC＝OB，
∴3a＝3，
解得a＝1，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）设CP交x轴于点D，过点D作DE⊥BC于点E，
∵CP平分∠OCB，∠BOC＝90°，
∴OD＝DE，
又OC＝OB，
∴∠CBO＝∠BCO＝45°，
∴∠BDE＝45°＝∠DBE，
∴DE＝BE，
∴，
又OB＝3，
∴，
解得，
∴，
设直线CD解析式为y＝mx+n，
则，
解得，
∴，
联立方程组，
解得（舍去），，
∴点P的坐标为；
（3）设Q（q，q2﹣2q﹣3），
∵B（3，0），
设直线BQ的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得，
∴直线BQ的解析式为y＝（q+1）x﹣3（q+1），
当x＝0时，y＝﹣3（q+1）＝﹣3q﹣3
∴M（0，﹣3q﹣3），
同理得：直线AQ的解析式为y＝（q﹣3）x+（q﹣3），
∵NB∥AQ，
设BN的解析式为y＝（q﹣3）x+b′，
∵B（3，0），
∴0＝3（q﹣3）+b′，解得b′＝﹣3q+9，
∴BN的解析式为y＝（q﹣3）x﹣3q+9，
当x＝0是，y＝﹣3q+9，
∴N（0，﹣3q+9），
∴线段MN的长度为﹣3q+9﹣（﹣3q﹣3）＝12，
∴线段MN的长度不会改变，线段MN的长度为12．
【点评】本题是二次函数综合题．考查了运用待定系数法求直线及抛物线的解析式、角平分线的性质、勾股定理、求直线与抛物线的交点坐标等知识，掌握数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度是解题的关键．
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分数段
人数
A
x＜60
2
B
60≤x＜75
5
C
75≤x＜90
a
D
x≥90
12
组别
分数段
人数
A
x＜60
2
B
60≤x＜75
5
C
75≤x＜90
a
D
x≥90
12