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人教版八年级数学上册同步备课19.1函数(原卷版+解析)
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这是一份人教版八年级数学上册同步备课19.1函数(原卷版+解析)，共65页。试卷主要包含了1 函 数，5厘米，5kg草莓，应付多少钱？等内容，欢迎下载使用。
知识点一
常量与变量
◆常量：在一个变化过程中，数值始终不变的量叫做常量.
◆变量：在一个变化过程中，数值发生变化的量叫做常量.
【注意】判断一个量是常量还是变量，应先看它是否在一个变化的过程中，若在，则看它在这个变化过程中数值是否发生变化.“常量”是已知数，是指在整个变化过程中保持不变的量，但“常量”不等于“常数”，它也可以是数值不变的字母，如在匀速运动中的速度v就是一个常量.
知识点二
函数
◆函数的定义：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量 x 与y，并且对于 x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说 x 是自变量，y 是 x 的函数.
◆函数值的定义：如果当 x = a 时 y = b，那么 b 叫做当自变量的值为 a时的函数值.
【注意】理解函数定义时应把握以下几点：①有两个变量；②函数不是数，函数的本质是对应，函数关系就是变量之间的对应关系，且是一种特殊的对应关系，一个变量的数值随另个一变量的数值的变化而变化；③对于自变量的每一个确定的值，函数有且仅有一个值与之对应.
知识点三
函数解析式
◆函数解析式：用来表示函数关系的等式叫做函数解析式，也称为函数关系式．
【注意】
①函数解析式是等式．
②函数解析式中，通常等式的右边的式子中的变量是自变量，等式左边的那个字母表示自变量的函数．
③函数的解析式在书写时有顺序性，例如，y＝x+9时表示y是x的函数，若写成x＝﹣y+9就表示x是y的函数．
知识点四
自变量取值范围的确定
◆1、使函数有意义的自变量的取值叫做自变量的取值范围．
◆2、确定函数自变量取值范围的方法：
①当表达式的分母不含有自变量时，自变量取全体实数．
②当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零．
③当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零．
④对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义．
知识点五
函数的图象
◆函数图象的定义：一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象.
【注意】①函数图形上的任意点（x，y）都满足其函数的解析式；②满足解析式的任意一对x、y的值，所对应的点一定在函数图象上；③判断点P（x，y）是否在函数图象上的方法是：将点P（x，y）的x、y的值代入函数的解析式，若能满足函数的解析式，这个点就在函数的图象上；如果不满足函数的解析式，这个点就不在函数的图象上．
知识点六
函数的图象的画法
◆描点法画函数图象的一般步骤如下：
第一步：列表——表中给出一些自变量的值及其对应的函数值；
第二步：描点——在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点；
第三步：连线——按照横坐标由小到大的顺序，把所描出的各点用平滑曲线连接起来.
知识点七
函数的图象表示方法
◆三种表示函数的方法的优缺点以及它们之间的联系：
题型一 函数的识别
【例题1】(2023秋•聊城期末）如图，下列各曲线中能够表示y是x的函数的是（ ）
A．B．
C．D．
【变式1-1】(2023秋•广饶县校级期末）下列各图象中，y不是x的函数的是（ ）
A．B．
C．D．
【变式1-2】(2023秋•越城区校级期末）下列关系式中，y不是x的函数的是（ ）
A．y＝xB．y＝x2C．y＝x3D．|y|＝x
【变式1-3】(2023秋•莱阳市期末）下列图象中，表示y是x的函数的是（ ）
A．B．
C．D．
【变式1-4】(2023秋•镇海区校级期末）下列图形中，不能表示y是x函数的是（ ）
A．B．
C．D．
【变式1-5】(2023秋•平桂区 期末）下列表达式中，y不是x的函数的是（ ）
A．y＝±6xB．y＝6x2+x+1C．y＝6x+3D．y=6x
题型二 确定函数自变量的取值范围
根式有意义的条件
【例题2】(2023秋•任城区校级期末）在函数y=x+3x中，自变量x的取值范围是（ ）
A．x≥﹣3B．x＞﹣3C．x≥﹣3且x≠0D．x≠0且x≠﹣3
【变式2-1】(2023秋•香坊区期末）函数y=2x−3中，自变量x的取值范围是 ．
【变式2-2】(2023秋•贵池区期末）函数y=1−2xx+3中，自变量x的取值范围是（ ）
A．x≥12B．x≠﹣3
C．x≤12且x≠﹣3D．x≤−12且x≠﹣3
【变式2-3】(2023秋•栾城区校级期末）函数y=x−2x−3的自变量x的取值范围是（ ）
A．x≠3B．x＞0且x≠3C．x≥0且x≠3D．x＞2且x≠3
【变式2-4】(2023秋•淅川县期末）函数y=x+1x−3的自变量x的取值范围为 ．
【变式2-5】(2023秋•平桂区 期末）函数y=1x−1中自变量x的取值范围是（ ）
A．x≥0B．x＞1C．x≥1D．x≠0
【变式2-6】(2023秋•南开区校级期末）y=2x+6+1−2x中自变量x的取值范围是 ．
题型三 求函数的值
【例题3】(2023秋•梧州期末）当x＝2时，函数y=6−x的函数值是（ ）
A．y＝4B．y＝3C．y＝2D．y＝1
【变式3-1】(2023春•峄城区期中）已知变量y与x的关系式是y=4x−13x2，则当x＝3时，y＝ ．
【变式3-2】(2023春•平川区校级期中）已知变量s与t的关系式是s＝5t﹣1.5t2，则当t＝2时，s＝ ．
【变式3-3】(2023春•海沧区校级期末）下面四个函数中，符合当自变量x为1时，函数值为1的函数是（ ）
A．y＝2x﹣2B．y=2xC．y＝x2D．y＝x+1
【变式3-4】(2023秋•南岸区校级期中）根据如图所示的程序计算函数y的值，若输入的x的值为4时，输出的y的值为5．则输入x的值为3时，输出的y的值为（ ）
A．﹣6B．6C．﹣3D．3
【变式3-5】(2023秋•锦江区校级期中）已知函数y=1x−1．
（1）自变量x的取值范围为 ；
（2）当x＝4时，y的值为 ．
【变式3-6】(2023秋•莲都区期末）某公交车司机统计了月乘车人数x（人）与月利润y（元）的部分数据如表，假设每位乘客的公交票价固定不变，公交车月支出费用为6000元．（月利润＝月收入﹣月支出费用）
（1）根据函数的定义，y是关于x的函数吗？
（2）结合表格解答下列问题：
①公交车票的单价是多少元？
②当x＝2750时，y的值是多少？它的实际意义是什么？
题型四 列函数解析式
【例题4】(2023春•清远期中）已知小明从A地到B地，速度为4千米/小时，A、B两地相距30千米，若用x（小时）表示行走的时间，y（千米）表示余下的路程，则y与x之间的表达式是（ ）
A．y＝4xB．y＝4x﹣30C．y＝﹣4xD．y＝30﹣4x
【变式4-1】(2023春•罗湖区校级期末）油箱中存油20升，油从油箱中均匀流出，流速为0.2升/分钟，则油箱中剩余油量 Q（升）与流出时间t（分钟）的函数关系是（ ）
A．Q＝0.2tB．Q＝20﹣0.2tC．t＝0.2QD．t＝20﹣0.2Q
【变式4-2】(2023秋•高新区校级期末）西安市出租车起步价8.5元（路程小于或等于3公里），超过3公里每增加1公里加收2元，出租车费y（元）与行程x（公里）（x＞3）之间的函数关系 ．
【变式4-3】(2023春•清镇市校级期中）汽车开始行驶时，油箱中有油40升，如果每小时耗油5升，则油箱余油量y（升）与行驶时间x（时）的关系式为 ．
【变式4-4】(2023春•和平区校级月考）观察下列图形及表格，则周长l与梯形个数n之间的关系式为 ．
【变式4-5】(2023秋•武义县期末）如图，某链条每节长为2.8cm，每两节链条相连接部分重叠的圆的
直径为1cm，按这种连接方式，x节链条总长度为ycm，则y关于x的函数关系式是 cm．
【变式4-6】(2023春•碑林区期末）某中学数学兴趣小组准备围建一个长方形ABCD苗圃园，其中一边靠墙，另外三边是由长度为40m的篱笆围成的．如图，已知墙长EF为25m，设这个苗圃园垂直于墙的一边长AB为x（7.5m＜x＜20m），BC的长度为l．苗圃园的面积为S．
（1）BC的长度L与AB的长度x的关系式为 ．
（2）当x＝8m时，BC的长度l＝ m，苗圃园的面积S＝ m2．
【变式4-7】(2023春•永丰县期末）“十一”期间，小明和父母一起开车到距家200km的景点旅游，出发前，汽车油箱内储油45L，行驶150km时，发现油箱余油量为30L（假设行驶过程中汽车的耗油量是均匀的）．
（1）写出该车行驶路程x（km）与剩余油量Q（L）的关系式；
（2）当x＝280km时，求剩余油量Q的值．
【变式4-8】(2023春•晋州市期中）已知一个长方形的长为x，宽为y，周长为40．
（1）求出y关于x的函数解析式（不用写出自变量x的取值范围）；
（2）当x＝13时，求y的值；
（3）当y＝8时，该长方形的面积是多少？
题型五 实际问题中的函数图象
【例题5】（2023•平远县校级开学）如图，是某蓄水池的横断面示意图，分深水区和浅水区，如果这个蓄水池以固定的流量注水，下面哪个图象能大致表示水的最大深度h和时间t之间的关系（ ）
A．B．C．D．
【变式5-1】(2023春•锦江区校级期末）如图是两圆柱形连通容器，向甲容器匀速注水，则下面可以近似地刻画甲容器的水面高度h（cm）随时间t（分）的变化情况的是（ ）
A．B．C．D．
【变式5-2】(2023春•惠济区期末）以下四种情境分别描述了两个变量之间的关系：甲：乐乐投篮时，投出去的篮球的高度与时间的关系；乙：乐乐去文具店购买签字笔，支付费用与购买签字笔支数的关系；丙：一长方形水池里还有一部分水，再打开水管匀速往里注水，注水时间和水池中水面的高度之间的关系；丁：乐乐去奶奶家吃饭，饭后，按原速度原路返回，乐乐离家的距离与时间的关系．用下面的图象刻画上述情境，排序正确的是（ ）
A．①②③④B．①③④②C．①④②③D．①③②④
【变式5-3】(2023秋•北碚区校级期末）下面是物理课上测量铁块A的体积实验，将铁块匀速向上提起，直至完全露出水面一定高度，下面能反映这一过程中，液面高度h与铁块被提起的时间t之间函数关系的大致图象是（ ）
A．B．C．D．
【变式5-4】(2023秋•梅里斯区期末）小明从家出发，徒步到书店购买文具，购好文具后骑共享单车原路返回，设他从家出发后所用的时间为t（分），离家的距离为S（米）．则S与t之间的关系大致可以用图象表示为（ ）
A．B．C．D．
【变式5-5】(2023春•全州县期末）某学生早上为赶时间匀速小跑赶往学校；到校后，便在教室里上课；放学后因时间充足，便以相对较慢的速度匀速走回家，下列图象能大致反映这一过程的是（ ）
A．B．C．D．
【变式5-6】(2023春•定州市期末）一列慢车从甲地驶往乙地，一列快车从乙地驶往甲地，慢车的速度为100千米/小时，快车的速度为150千米/小时，甲、乙两地之间的距离为1000千米，两车同时出发，则图中折线大致表示两车之间的距离y（千米）与慢车行驶时间t（小时）之间函数图象的是（ ）
A．B．
C．D．
题型六 从函数图象中获取信息解决问题
【例题6】(2023秋•渝中区校级期末）某星期日上午10：00，小丰从家匀速步行到附近的咖啡店看书，看完书后，他匀速跑步回家，且跑步的速度是步行速度的2倍，小丰离家的距离y（千米）与所用的时间x（分钟）之间的关系如图所示，下列说法错误的是（ ）
A．小丰在咖啡店看书的时间是40分钟
B．小丰家与咖啡店的距离为2千米
C．小丰的步行速度是4千米小时
D．小丰返回家的时刻是上午11：20
【变式6-1】(2023秋•北碚区校级期末）甲，乙两人在一次百米赛跑中，路程s与时间t的关系如图所示，下列说法错误的是（ ）
A．甲，乙两人同时出发
B．甲先到达终点
C．乙在这次赛跑中的平均速度为0.8米/秒
D．乙比甲晚到0.5秒
【变式6-2】(2023春•秦都区期中）某中学举行了“健康欢乐跑”教职工运动会，陈老师参加了800米欢乐跑，其路程s（单位：米）与时间t（单位：分钟）之间的关系如图所示，则下列说法错误的是（ ）
A．陈老师跑完全程用了5分钟
B．陈老师前3分钟的速度为100米/分
C．3分钟时，陈老师距离终点还有500米
D．陈老师前3分钟的速度大于后2分钟的速度
【变式6-3】(2023春•金塔县期中）亮亮从家跑步到学校，在学校图书馆看了一会书，然后步行回家，亮亮离家的路程y（米）与时间t（分）之间的关系如图所示，则亮亮回家的速度为 ．
【变式6-4】(2023秋•越城区校级期末）在全民健身越野赛中，甲、乙两选手的行程y（km）随时间x（h）变化的图象（全程）如图所示．给出下列四种说法：①起跑后1h内，甲在乙的前面；②第1h两人都跑了10km；③甲比乙先到达终点；④两人都跑了20km．其中正确的是（ ）
A．①B．①②C．①②④D．②③④
【变式6-5】(2023秋•广饶县校级期末）如图，折线ABCDE描述了一辆汽车在某一直线上的行驶过程中，汽车离出发地的距离s（km）与行驶时间t（h）之间的函数关系，根据图中提供的信息，判断下列结论正确的选项是（ ）
①汽车在行驶途中停留了0.5小时；
②汽车在整个行驶过程的平均速度是60km/h；
③汽车共行驶了240km；
④汽车出发4h离出发地40km．
A．①②④B．①②③C．①③④D．①②③④
【变式6-6】(2023秋•海淀区校级期末）小明家、食堂、图书馆在同一条直线上．小明从家去食堂吃早餐，接着去图书馆读报，然后回家．小明离家的距离与时间之间的对应关系如图所示．
根据如图回答下列问题：
（1）食堂离小明家多远？小明从家到食堂用了多少时间？
（2）小明吃早餐用了多少时间？在图书馆停留了多少时间？
（3）图书馆离小明家多远？小明从图书馆回家的平均速度是多少？
【变式6-7】(2023春•卢龙县期中）某次大型活动，组委会启用无人机航拍活动过程，在操控无人机时应根据现场状况调节高度．已知无人机在上升和下降过程中速度相同，设无人机的飞行高度h（米）与操控无人机的时间x（分钟）之间的关系如图中的实线所示，根据图象回答下列问题：
（1）在上升或下降过程中，无人机的速度是 米/分；
（2）图中a表示的数是 ，b表示的数是 ；
（3）无人机在60米高的上空停留的时间是 分钟．
题型七 函数的三种表示方法
【例题7】(2023春•湘东区期中）弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度y（厘米）与所挂物体的质量x（千克）间有下面关系（假设弹簧不会折断）：
下列说法不正确的是（ ）
A．x与y都是变量，且x自变量，y是因变量
B．弹簧不挂重物时的长度为10厘米
C．物体质量每增加1千克，弹簧长度y增加0.5厘米
D．所挂物体质量为26千克时，弹簧长度为23.5厘米
【变式7-1】(2023春•武功县期中）在某一阶段，某商品的售价x（元）与销量y（件）之间存在如下关系：
估计当售价x为137元时，销量y可能为（ ）
A．33件B．43件C．53件D．63件
【变式7-2】(2023春•普宁市校级期中）已知火车站托运行李的费用C和托运行李的质量P（P为整数）的对应关系如下表所示：
则C与P之间的关系式为（ ）
A．C＝0.5（P﹣1）B．C＝2P﹣0.5
C．C＝2P+0.5D．C＝2+0.5（P﹣1）
【变式7-3】(2023秋•晋中期末）如图是一支温度计的示意图，图中左边是用摄氏温度表示的温度值，右边是用华氏温度表示的温度值，下表是这两个温度值之间的部分对应关系：
根据以上信息，可以得到y与x之间的关系式为（ ）
A．y=95x+32B．y＝x+32C．y＝x+40D．y=59x+32
【变式7-4】(2023春•陈仓区期中）草莓销售季节，某种植基地开发了草莓采摘无人销售方式，为方便小朋友体验，销售人员把销售的草莓数量x（kg）与销售总价y（元）之间的关系写在了下列表格中：
（1）请你写出草莓的销售数量x（kg）与销售总价y（元）之间的关系式；
（2）丽丽一家共摘了6.5kg草莓，应付多少钱？
【变式7-5】(2023秋•东营月考）在一次实验中，马达同学把一根弹簧的上端固定，在其下端悬挂物体质量x的一组对应值．
（1）如表反应了哪两个变量之间的关系，并指出谁是自变量，谁是函数．
（2）当悬挂物体的重量为4千克时，弹簧长 ；不挂重物时弹簧长 ；
（3）弹簧长度y所挂物体质量x之间的关系可以用式子表示为： ；
（4）当弹簧长40cm时，求所挂物体的重量．
【变式7-6】(2023春•西安期中）某剧院的观众席的座位为扇形，且按下列方式设置：
（1）按照上表所示的规律，当x每增加1时，y如何变化？
（2）写出座位数y与排数x之间的解析式．
（3）按照如表所示的规律，某一排可能有90个座位吗？说说你的理由．
题型八 动点运动问题与函数图象
【例题8】(2023秋•泗阳县期末）如图，在长方形ABCD中，动点P从点B出发，沿BC、CD、DA运动至点A停止，设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y，y关于x的函数图象如图2所示，若b﹣2a＝5，则长方形ABCD的周长为（ ）
A．20B．18C．16D．24
【变式8-1】(2023秋•东港市期末）如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是边BC的中点，动点P从点C出发，沿CA﹣AB运动到点B，设点P的运动路程为x，△PCD的面积为y，y与x的函数图象如图2所示，则AB的长为（ ）
A．213B．413C．314D．6
【变式8-2】(2023春•牡丹区校级期中）如图，在长方形ABCD中，动点P从点B出发，沿BC，CD，DA运动到点A停止，设点P运动路程为x，△ABP的面积为y，如果y关于x的函数图象如图所示，则长方形ABCD的周长是（ ）
A．24B．18C．20D．40
【变式8-3】(2023春•朝阳区校级月考）如图，正方形ABCD的边长为4，P为正方形边上一动点，运动路线是A→D→C→B→A，设P点经过的路程为x，以点A、P、D为顶点的三角形的面积是y，则下列图象能大致反映y与x的函数关系的是（ ）
A．B．
C．D．
【变式8-4】(2023•南海区校级四模）如图，矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，M是CD的中点，点P在矩形的边上沿A→B→C→M运动，则△APM的面积y与点P经过的路程x之间的函数关系用图象表示大致是（ ）
A．B．
C．D．
【变式8-5】(2023春•灵宝市校级月考）如图1，点P从菱形ABCD的顶点A出发，沿A→D→B以1cm/s的速度匀速运动到点B，图2是点P运动时，△PBC的面积y（cm2）随时间x（s）变化的函数关系图象，则菱形ABCD的周长为（ ）
A．5B．103C．256D．252
【变式8-6】(2023春•芗城区校级期中）如图1，AH＝BC＝10cm，GF＝DE，点P从点A出发保持匀速运动，沿长方形凹槽A→B→C→D→E→F→G→H的路线运动，到点H停止；如图2是△APH的面积S（cm2）和运动时间x（s）的图象．
（1）求图1中的AB的长度；
（2）设点P运动的路程为y（cm），请写出y（cm）与运动时间x（s）之间的关系式，写出x的取值范围．
【变式8-7】(2023春•槐荫区期末）如图1所示，在三角形ABC中，AD是三角形的高，且AD＝8cm，BC＝10cm，点E是BC上的一个动点，由点B向点C运动，其速度与时间的变化关系如图2所示．
（1）由图2知，点E运动的时间为 s，速度为 cm/s，点E停止运动时与点C的距离为 cm；
（2）求在点E的运动过程中，三角形ABE的面积y（cm2）与运动时间x（s）之间的关系式，并写出自变量的取值范围；
（3）当点E停止运动后，求三角形ABE的面积．
解题技巧提炼
函数的定义：设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量．
说明：对于函数概念的理解：①有两个变量；②一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而发生变化；③对于自变量的每一个确定的值，函数值有且只有一个值与之对应，即单对应．
解题技巧提炼
自变量的取值范围必须使含有自变量的表达式都有意义．
①当表达式的分母不含有自变量时，自变量取全体实数．例如y＝2x+13中的x．
②当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零．例如y＝x+2x﹣1．
③当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零．
④对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义．
解题技巧提炼
①当已知函数解析式时，求函数值就是求代数式的值；当已知函数解析式，给出函数值时，求相应的自变量的值就是解方程；
②当自变量确定时，函数值是唯一确定的．但当函数值唯一确定时，对应的自变量可以是多个．
x（人）
…
2500
2750
3000
3500
4000
…
y（元）
…
﹣1000
﹣500
0
1000
2000
…
解题技巧提炼
用来表示函数关系的等式叫做函数解析式，也称为函数关系式．
注意：①函数解析式是等式．
②函数解析式中，通常等式的右边的式子中的变量是自变量，等式左边的那个字母表示自变量的函数．
③函数的解析式在书写时有顺序性，例如，y＝x+9时表示y是x的函数，若写成x＝﹣y+9就表示x是y的函数.
梯形个数
1
2
3
4
5
…
图形周长
5
8
11
14
17
…
解题技巧提炼
正确理解函数图象横、纵坐标表示的意义，抓住关键点，如起点、交点、终点的意义，明确图象变化趋势、快慢的意义.实际问题的过程，就能够识别实际问题中的函数图象.
解题技巧提炼
函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力，用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图．
x
0
1
2
3
4
5
y
10
10.5
11
11.5
12
12.5
解题技巧提炼
函数的三种表示方法：列表法、解析式法、图象法．
其特点分别是：列表法能具体地反映自变量与函数的数值对应关系，在实际生活中应用非常广泛；解析式法准确地反映了函数与自变量之间的对应规律，根据它可以由自变量的取值求出相应的函数值，反之亦然；图象法直观地反映函数值随自变量的变化而变化的规律．
注意：①它们分别从数和形的角度反映了函数的本质；②它们之间可以互相转化．
售价x/年
90
100
110
120
130
140
销量y/件
90
80
70
60
50
40
P（kg）
1
2
3
4
5
…
C（元）
2
2.5
3
3.5
4
…
摄氏温度值x/℃
0
10
20
30
40
50
华氏温度值y/℉
32
50
68
86
104
122
销售数量x（kg）
1
2
3
4
…
销售总价y（元）
8.5
16.5
24.5
32.5
…
所挂物体质量x/kg
0
1
2
3
4
5
弹簧长度y/cm
18
20
22
24
26
28
排数（x）
1
2
3
4
…
座位数（y）
50
53
56
59
…
解题技巧提炼
本题考查了动点问题的函数图象，考查了函数图象所代表的实际意义，应用了数形结合的数学思想．关键是将图1中点P的运动与图2中的函数图象进行对应．
八年级下册数学《第十九章 一次函数》
19.1 函 数
知识点一
常量与变量
◆常量：在一个变化过程中，数值始终不变的量叫做常量.
◆变量：在一个变化过程中，数值发生变化的量叫做常量.
【注意】判断一个量是常量还是变量，应先看它是否在一个变化的过程中，若在，则看它在这个变化过程中数值是否发生变化.“常量”是已知数，是指在整个变化过程中保持不变的量，但“常量”不等于“常数”，它也可以是数值不变的字母，如在匀速运动中的速度v就是一个常量.
知识点二
函数
◆函数的定义：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量 x 与y，并且对于 x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说 x 是自变量，y 是 x 的函数.
◆函数值的定义：如果当 x = a 时 y = b，那么 b 叫做当自变量的值为 a时的函数值.
【注意】理解函数定义时应把握以下几点：①有两个变量；②函数不是数，函数的本质是对应，函数关系就是变量之间的对应关系，且是一种特殊的对应关系，一个变量的数值随另个一变量的数值的变化而变化；③对于自变量的每一个确定的值，函数有且仅有一个值与之对应.
知识点三
函数解析式
◆函数解析式：用来表示函数关系的等式叫做函数解析式，也称为函数关系式．
【注意】
①函数解析式是等式．
②函数解析式中，通常等式的右边的式子中的变量是自变量，等式左边的那个字母表示自变量的函数．
③函数的解析式在书写时有顺序性，例如，y＝x+9时表示y是x的函数，若写成x＝﹣y+9就表示x是y的函数．
知识点四
自变量取值范围的确定
◆1、使函数有意义的自变量的取值叫做自变量的取值范围．
◆2、确定函数自变量取值范围的方法：
①当表达式的分母不含有自变量时，自变量取全体实数．
②当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零．
③当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零．
④对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义．
知识点五
函数的图象
◆函数图象的定义：一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象.
【注意】①函数图形上的任意点（x，y）都满足其函数的解析式；②满足解析式的任意一对x、y的值，所对应的点一定在函数图象上；③判断点P（x，y）是否在函数图象上的方法是：将点P（x，y）的x、y的值代入函数的解析式，若能满足函数的解析式，这个点就在函数的图象上；如果不满足函数的解析式，这个点就不在函数的图象上．
知识点六
函数的图象的画法
◆描点法画函数图象的一般步骤如下：
第一步：列表——表中给出一些自变量的值及其对应的函数值；
第二步：描点——在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点；
第三步：连线——按照横坐标由小到大的顺序，把所描出的各点用平滑曲线连接起来.
知识点七
函数的图象表示方法
◆三种表示函数的方法的优缺点以及它们之间的联系：
题型一 函数的识别
【例题1】(2023秋•聊城期末）如图，下列各曲线中能够表示y是x的函数的是（ ）
A．B．
C．D．
分析：设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量．函数的意义反映在图象上简单的判断方法是：作垂直x轴的直线在左右平移的过程中与函数图象只会有一个交点．
【解答】解：A、作垂直x轴的直线，在左右平移的过程中与函数图象可能有两个交点，故A不符合题意；
B、作垂直x轴的直线，在左右平移的过程中与函数图象可能有两个交点，故B不符合题意；
C、作垂直x轴的直线，在左右平移的过程中与函数图象可能有两个交点，故C不符合题意；
D、作垂直x轴的直线，在左右平移的过程中与函数图象只会有一个交点，故D符合题意；
故选：D．
【点评】主要考查了函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x，y，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数，x叫自变量．
【变式1-1】(2023秋•广饶县校级期末）下列各图象中，y不是x的函数的是（ ）
A．B．
C．D．
分析：对于自变量x的每一个确定的值y都有唯一的确定值与其对应，则y是x的函数，根据函数的定义解答即可．
【解答】解：根据函数的定义，选项A、B、D图象表示y是x的函数，C图象中对于x的一个值y有两个值对应，故C中y不是x的函数，
故选：C．
【点评】此题考查函数的定义，函数图象，结合函数图象正确理解函数的定义是解题的关键．
【变式1-2】(2023秋•越城区校级期末）下列关系式中，y不是x的函数的是（ ）
A．y＝xB．y＝x2C．y＝x3D．|y|＝x
分析：根据对于x的每一个确定的值，y是否有唯一的值与其对应进行判断．
【解答】解：A、y＝x，y是x的函数，故A不符合题意；
B、y＝x2，y是x的函数，故B不符合题意；
C、y＝x3，y是x的函数，故C不符合题意；
D、|y|＝x，当x＝2时，y＝±2，即对于x的每一个确定的值，y不是有唯一的值与其对应，
∴y不是x的函数，故D符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查的是函数的定义，设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数．
【变式1-3】(2023秋•莱阳市期末）下列图象中，表示y是x的函数的是（ ）
A．B．
C．D．
分析：函数就是在一个变化过程中有两个变量x，y，当给x一个值时，y有唯一的值与其对应，就说y是x的函数，x是自变量．注意“y有唯一的值与其对应”对图象的影响．
【解答】解：根据函数的定义可知，每给定自变量x一个值都有唯一的函数值y相对应，
所以B、C、D错误．
故选：A．
【点评】主要考查了函数图象的读图能力．要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．函数的意义反映在图象上简单的判断方法是：做垂直x轴的直线在左右平移的过程中与函数图象只会有一个交点．
【变式1-4】(2023秋•镇海区校级期末）下列图形中，不能表示y是x函数的是（ ）
A．B．
C．D．
分析：设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，C选项中一个x值对应多个y值，与函数的概念不一致，由此即可求解．
【解答】解：A图形中，一个x值对应唯一的y值，符合函数的定义，故此选项不符合题意；
B图形中，一个x值对应唯一的y值，符合函数的定义，故此选项不符合题意；
C图形中，一个x值对应唯一的y值，符合函数的定义，故此选项不符合题意；
D图形中，一个x值对应多个y值，不符合函数的定义，故此选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查函数的定义，理解函数的定义，将图形与函数的定义结合是解题的关键．
【变式1-5】(2023秋•平桂区 期末）下列表达式中，y不是x的函数的是（ ）
A．y＝±6xB．y＝6x2+x+1C．y＝6x+3D．y=6x
分析：根据函数的定义：设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量，依次判断即可．
【解答】解：y＝±6x中，x取一个值，y有两个值和其对应，
故A选项符合题意；
y＝6x2+x+1中，x取一个值，y有唯一的值和其对应，
故B选项不符合题意；
y＝6x+3中，x取一个值，y有唯一的值和其对应，
故C选项不符合题意；
y=6x中，x取一个值，y有唯一的值和其对应，
故D选项不符合题意，
故选：A．
【点评】本题考查了函数的概念，熟练掌握函数的概念是解题的关键．
题型二 确定函数自变量的取值范围
根式有意义的条件
【例题2】(2023秋•任城区校级期末）在函数y=x+3x中，自变量x的取值范围是（ ）
A．x≥﹣3B．x＞﹣3C．x≥﹣3且x≠0D．x≠0且x≠﹣3
分析：根据分式有意义的条件和二次根式有意义的条件，可得x+3≥0x≠0，然后进行计算即可解答．
【解答】解：根据题意可得：x+3≥0x≠0，
解得：x≥﹣3且x≠0，
故选：C．
【点评】本题考查了函数自变量的取值范围，熟练掌握分式有意义的条件和二次根式有意义的条件是解题的关键．
【变式2-1】(2023秋•香坊区期末）函数y=2x−3中，自变量x的取值范围是 ．
分析：根据分母不为0可得x﹣3≠0，然后进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：
x﹣3≠0，
解得：x≠3，
故答案为：x≠3．
【点评】本题考查了函数自变量的取值范围，熟练掌握分母不为0是解题的关键．
【变式2-2】(2023秋•贵池区期末）函数y=1−2xx+3中，自变量x的取值范围是（ ）
A．x≥12B．x≠﹣3
C．x≤12且x≠﹣3D．x≤−12且x≠﹣3
分析：根据分式有意义的条件以及二次根式有意义的条件即可求得x的取值范围．
【解答】解：∵1﹣2x≥0，x+3≠0，
∴x≤12且x≠﹣3，故C正确．
故选：C．
【点评】本题考查了分式有意义的条件以及二次根式有意义的条件，掌握以上知识是解题的关键．
【变式2-3】(2023秋•栾城区校级期末）函数y=x−2x−3的自变量x的取值范围是（ ）
A．x≠3B．x＞0且x≠3C．x≥0且x≠3D．x＞2且x≠3
分析：根据二次根式的性质和分式有意义的条件，列出不等式组求解即可．
【解答】解：根据题意可得：x≥0x−3≠0，
解得：x≥0且x≠3，
故选：C．
【点评】本题考查函数自变量的取值范围，理解二次根式和分式有意义的条件是解题的关键．
【变式2-4】(2023秋•淅川县期末）函数y=x+1x−3的自变量x的取值范围为 ．
分析：根据a（a≥0）以及分母不能为0，进行计算即可．
【解答】解：由题意得：
x+1≥0且x﹣3≠0，
∴x≥﹣1且x≠3，
故答案为：x≥﹣1且x≠3．
【点评】本题考查了函数自变量的取值范围，熟练掌握a（a≥0）以及分母不能为0是解题的关键．
【变式2-5】(2023秋•平桂区 期末）函数y=1x−1中自变量x的取值范围是（ ）
A．x≥0B．x＞1C．x≥1D．x≠0
分析：根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出x的范围．
【解答】解：根据题意得：x﹣1＞0，
解得：x＞1．
故选：B．
【点评】本题考查了函数自变量的范围，掌握当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数，当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0，当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
【变式2-6】(2023秋•南开区校级期末）y=2x+6+1−2x中自变量x的取值范围是 ．
分析：根据函数的解析式的自变量的取值范围就是让函数的解析式由意义为依据列出式子，求出其解就可以了．
【解答】解：由题意，得
2x+6≥0−2x＞0，
解得：﹣3≤x＜0．
∴故答案为：﹣3≤x＜0．
【点评】本题是一道有关函数的解析式的题目，考查了函数自变量的取值范围，要求学生理解自变量的取值范围就是使其解析式有意义．
题型三 求函数的值
【例题3】(2023秋•梧州期末）当x＝2时，函数y=6−x的函数值是（ ）
A．y＝4B．y＝3C．y＝2D．y＝1
分析：把x＝2代入计算，再根据算术平方根的定义可得答案．
【解答】解：当x＝2时，y=6−2=4=2，
故选：C．
【点评】本题考查函数值，将自变量的值代入求出函数值是解决问题的关键．
【变式3-1】(2023春•峄城区期中）已知变量y与x的关系式是y=4x−13x2，则当x＝3时，y＝ ．
分析：将x＝3代入y=4x−13x2即可求解．
【解答】解：当x＝3时，y=4x−13x2=4×3−13×32=9．
故答案为：9．
【点评】本题考查求函数值，解题的关键是掌握已知函数解析式时，求函数值就是求代数式的值．
【变式3-2】(2023春•平川区校级期中）已知变量s与t的关系式是s＝5t﹣1.5t2，则当t＝2时，s＝ ．
分析：把t的值代入函数解析式进行计算即可得解．
【解答】解：t＝2时，s＝5×2﹣1.5×22＝10﹣6＝4．
故答案为：4．
【点评】本题考查了函数值求解，准确进行计算是解题的关键．
【变式3-3】(2023春•海沧区校级期末）下面四个函数中，符合当自变量x为1时，函数值为1的函数是（ ）
A．y＝2x﹣2B．y=2xC．y＝x2D．y＝x+1
分析：把x＝1代入每一个选项的函数关系式中，进行计算即可解答．
【解答】解：A、当x＝1时，y＝2×1﹣2＝0，故A不符合题意；
B、当x＝1时，y=21=2，故B不符合题意；
C、当x＝1时，y＝12＝1，故C符合题意；
D、当x＝1时，y＝1+1＝2，故D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了函数值，函数的概念，准确熟练地进行计算是解题的关键．
【变式3-4】(2023秋•南岸区校级期中）根据如图所示的程序计算函数y的值，若输入的x的值为4时，输出的y的值为5．则输入x的值为3时，输出的y的值为（ ）
A．﹣6B．6C．﹣3D．3
分析：先将x＝4代入求得b，再将x＝3代入进而求得函数值y．
【解答】解：当x＝4，8+b＝5．
∴b＝﹣3．
∴当x＝3，y＝﹣3×3+3＝﹣6．
故选：A．
【点评】本题主要考查求函数值，熟练掌握求函数值的方法是解决本题的关键．
【变式3-5】(2023秋•锦江区校级期中）已知函数y=1x−1．
（1）自变量x的取值范围为 ；
（2）当x＝4时，y的值为 ．
分析：（1）根据二次根式的被开方数大于0且分母不为0解决此题．
（2）将自变量的值代入解析式求得函数值．
【解答】解：（1）由题意得，x−1≠0且x﹣1≥0．
∴x≠1且x≥1．
∴x＞1．
故答案为：x＞1．
（2）当x＝4，y=1x−1=14−1=33．
故答案为：33．
【点评】本题主要考查二次根式的性质、求函数值，熟练掌握二次根式的被开放数大于0、求函数值的方法是解决本题的关键．
【变式3-6】(2023秋•莲都区期末）某公交车司机统计了月乘车人数x（人）与月利润y（元）的部分数据如表，假设每位乘客的公交票价固定不变，公交车月支出费用为6000元．（月利润＝月收入﹣月支出费用）
（1）根据函数的定义，y是关于x的函数吗？
（2）结合表格解答下列问题：
①公交车票的单价是多少元？
②当x＝2750时，y的值是多少？它的实际意义是什么？
分析：（1）根据函数的定义进行判断即可；
（2）①根据表格中月乘车人数x，与月利润y之间的变化对应值，可求出车票的单价；
②根据表格中两个变量的对应值得出答案即可．
【解答】解；（1）由函数的定义可知，表格中“月利润y”随着“月乘车人数x的变化而变化，当月乘车人数每取一个固定值，月利润y就有唯一值与之相对应”，
所月利润y是月乘车人数x的函数；
（2）①（2000﹣1000）÷（4000﹣3500）＝2（元），
答：公交车的票价为每人2元；
②当x＝2750时，y＝﹣500，当月乘车人数为2750人时，月利润为﹣500元，即公司亏损500元．
【点评】本题考查函数、函数值，理解函数的定义，掌握函数值的计算方法是正确解答的前提．
题型四 列函数解析式
【例题4】(2023春•清远期中）已知小明从A地到B地，速度为4千米/小时，A、B两地相距30千米，若用x（小时）表示行走的时间，y（千米）表示余下的路程，则y与x之间的表达式是（ ）
A．y＝4xB．y＝4x﹣30C．y＝﹣4xD．y＝30﹣4x
分析：表示出小明x小时所行路程为4xkm后，就可以表示出所剩路程为（30﹣4x）km，即可得出答案．
【解答】解：∵小明x小时行驶4xkm，
∴剩余路程为（30﹣4x）km，
即y与x之间的函数表达式是y＝30﹣4x．
故选：D．
【点评】此题主要考查了函数关系式，正确理解题意表示出行驶路程是解题的关键．
【变式4-1】(2023春•罗湖区校级期末）油箱中存油20升，油从油箱中均匀流出，流速为0.2升/分钟，则油箱中剩余油量 Q（升）与流出时间t（分钟）的函数关系是（ ）
A．Q＝0.2tB．Q＝20﹣0.2tC．t＝0.2QD．t＝20﹣0.2Q
分析：利用油箱中存油量20升﹣流出油量＝剩余油量，根据等量关系列出函数关系式即可．
【解答】解：由题意得：流出油量是0.2t，
则剩余油量：Q＝20﹣0.2t，
故选：B．
【点评】此题主要考查了列函数解析式，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．
【变式4-2】(2023秋•高新区校级期末）西安市出租车起步价8.5元（路程小于或等于3公里），超过3公里每增加1公里加收2元，出租车费y（元）与行程x（公里）（x＞3）之间的函数关系 ．
分析：首先设乘出租车xkm，应付y元车费，根据题意即可得一次函数：y＝8.5+2（x﹣3），进而得出即可．
【解答】解：设乘出租车xkm，应付y元车费．
∵每增加1公里加收2元，
∴根据题意得：当x＞3时，y＝8.5+2（x﹣3）＝2x+2.5．
故答案为：y＝2x+2.5．
【点评】此题考查了一次函数的实际应用问题．此题难度适中，解题的关键是理解题意，根据题意求得函数解析式．
【变式4-3】(2023春•清镇市校级期中）汽车开始行驶时，油箱中有油40升，如果每小时耗油5升，则油箱余油量y（升）与行驶时间x（时）的关系式为 ．
分析：通过油箱内油量＝原有油量﹣耗油量列关系式．
【解答】解：由题意得y＝40﹣5x．
故答案为：y＝40﹣5x．
【点评】本题考查列代数式，解题关键是通过题意找到等量关系．
【变式4-4】(2023春•和平区校级月考）观察下列图形及表格，则周长l与梯形个数n之间的关系式为 ．
分析：观察可得当梯形的个数为1个时，图形周长为5；当梯形的个数为2个时，图形周长为5+（2﹣1）×3；当梯形的个数为3个时，图形周长为5+（3﹣1）×3；即可得出当梯形个数为10个时，图形周长为5+（10﹣1）×3，当梯形个数为n个时，图形周长为5+（n﹣1）×3．
【解答】解：当梯形的个数为1个时，图形周长为5；
当梯形的个数为2个时，图形周长为5+（2﹣1）×3；
当梯形的个数为3个时，图形周长为5+（3﹣1）×3；
…，
当梯形个数为n个时，图形周长为5+（n﹣1）×3＝3n+2．
故答案为：l＝3n+2．
【点评】此题考查了图形的变化类，解题的关键是通过观察，归纳、总结得出图形的周长与梯形的个数之间的关系．
【变式4-5】(2023秋•武义县期末）如图，某链条每节长为2.8cm，每两节链条相连接部分重叠的圆的
直径为1cm，按这种连接方式，x节链条总长度为ycm，则y关于x的函数关系式是 cm．
分析：先求出1节链条的长度，2节链条的总长度，3节链条的总长度，然后从数字找规律，进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：
1节链条的长度＝2.8cm，
2节链条的总长度＝[2.8+（2.8﹣1）]cm，
3节链条的总长度＝[2.8+（2.8﹣1）×2]cm，
..．
∴x节链条总长度y＝[2.8+（2.8﹣1）×（x﹣1）]＝（1.8x+1）（cm），
故答案为：（1.8x+1）cm．
【点评】本题考查了规律型：图形的变化类，从数字找规律是解题的关键．
【变式4-6】(2023春•碑林区期末）某中学数学兴趣小组准备围建一个长方形ABCD苗圃园，其中一边靠墙，另外三边是由长度为40m的篱笆围成的．如图，已知墙长EF为25m，设这个苗圃园垂直于墙的一边长AB为x（7.5m＜x＜20m），BC的长度为l．苗圃园的面积为S．
（1）BC的长度L与AB的长度x的关系式为 ．
（2）当x＝8m时，BC的长度l＝ m，苗圃园的面积S＝ m2．
分析：（1）根据周长公式求解；
（2）代入求值，根据矩形的面积公式求解．
【解答】解：（1）∵2x+l＝40，
∴l＝40﹣2x．
故答案为：l＝40﹣2x．
（2）当x＝8m时，BC的长度l＝40﹣2x＝24（m），
苗圃园的面积S＝xl＝24×8＝1192（m2）．
故答案为：24，192．
【点评】本题考查列函数表达式，并求值，理解题意是解题的关键．
【变式4-7】(2023春•永丰县期末）“十一”期间，小明和父母一起开车到距家200km的景点旅游，出发前，汽车油箱内储油45L，行驶150km时，发现油箱余油量为30L（假设行驶过程中汽车的耗油量是均匀的）．
（1）写出该车行驶路程x（km）与剩余油量Q（L）的关系式；
（2）当x＝280km时，求剩余油量Q的值．
分析：（1）根据平均每千米的耗油量＝总耗油量÷行驶路程即可得出该车平均每千米的耗油量，再根据剩余油量＝总油量﹣平均每千米的耗油量×行驶路程即可得出Q关于x的函数关系式；
（2）当x＝280km时，代入上式求出即可．
【解答】解：（1）该车平均每千米的耗油量为（45﹣30）÷150＝0.1（升/千米），
行驶路程x（千米）与剩余油量Q（升）的关系式为Q＝45﹣0.1x；
（2）当x＝280时，Q＝45﹣0.1×280＝17（L）．
答：当x＝280千米时，剩余油量Q的值为17L．
【点评】本题考查了函数的关系式以及一次函数图象上点的坐标特征，根据数量关系列出函数关系式是解题的关键．
【变式4-8】(2023春•晋州市期中）已知一个长方形的长为x，宽为y，周长为40．
（1）求出y关于x的函数解析式（不用写出自变量x的取值范围）；
（2）当x＝13时，求y的值；
（3）当y＝8时，该长方形的面积是多少？
分析：（1）根据长方形的周长公式化简即可得出答案；
（2）把x＝13代入函数解析式即可；
（3）把y＝8代入函数解析式求出x，再求长方形的面积即可．
【解答】解：（1）∵长方形的周长为40，
∴2（x+y）＝40，
∴y＝20﹣x；
（2）当x＝13时，
y＝20﹣13
＝7；
（3）当y＝8时，20﹣x＝8，
∴x＝12，
∴长方形的面积＝12×8＝96．
【点评】本题考查了函数关系式，函数值，根据长方形的周长公式化简得到y关于x的函数解析式是解题的关键．
题型五 实际问题中的函数图象
【例题5】（2023•平远县校级开学）如图，是某蓄水池的横断面示意图，分深水区和浅水区，如果这个蓄水池以固定的流量注水，下面哪个图象能大致表示水的最大深度h和时间t之间的关系（ ）
A．B．C．D．
分析：首先看图可知，蓄水池的下部分比上部分的体积小，故h与t的关系变为先快后慢．
【解答】解：根据题意和图形的形状，可知水的最大深度h与时间t之间的关系分为两段，先快后慢．
故选：C．
【点评】考查根据几何图形的性质确定函数的图象和函数图象的作图能力．要能根据几何图形和图形上的数据分析得出所对应的函数的类型和所需要的条件，结合实际意义画出正确的图象．
【变式5-1】(2023春•锦江区校级期末）如图是两圆柱形连通容器，向甲容器匀速注水，则下面可以近似地刻画甲容器的水面高度h（cm）随时间t（分）的变化情况的是（ ）
A．B．C．D．
分析：根据三个阶段甲容器的水面高度h（cm）随时间t（分）的增长速度确定出此题正确的结果．
【解答】解：∵刚开始时注水都在甲容器，水面高度h增长速度不变；
当甲容器中水位到达连通部分后注水开始流向乙容器，此时甲容器的水面高度h（cm）不变；
当乙容器水位也到达连通部分后，甲、乙两容器中水位同时上升，此时水面高度h（cm）上升但速度比开始时慢，
∴选项A中图象符合该变化过程，
故选：A．
【点评】此题考查了用图象描述实际问题中变化情况的能力，关键是能准确理解变化过程并能用图象描述．
【变式5-2】(2023春•惠济区期末）以下四种情境分别描述了两个变量之间的关系：甲：乐乐投篮时，投出去的篮球的高度与时间的关系；乙：乐乐去文具店购买签字笔，支付费用与购买签字笔支数的关系；丙：一长方形水池里还有一部分水，再打开水管匀速往里注水，注水时间和水池中水面的高度之间的关系；丁：乐乐去奶奶家吃饭，饭后，按原速度原路返回，乐乐离家的距离与时间的关系．用下面的图象刻画上述情境，排序正确的是（ ）
A．①②③④B．①③④②C．①④②③D．①③②④
分析：根据四种变化中两个变量间的关系，可分别判断每种变化对应的图象．
【解答】解：∵乐乐投篮时，投出去的篮球的高度随时间成抛物线形状，
∴该变化对应图象①；
∵乐乐去文具店购买签字笔，支付费用与购买签字笔支数成正比例关系，
∴该变化对应图象④；
∵一长方形水池里还有一部分水，再打开水管匀速往里注水时，注水时间和水池中水面的高度成一次函数关系；
∴该变化对应图象②；
∵乐乐去奶奶家吃饭，饭后，按原速度原路返回，
∴该变化对应图象③；
故选：C．
【点评】此题考查了运用函数图象获取相关信息的能力，关键是能准确理解相关知识与读图．
【变式5-3】(2023秋•北碚区校级期末）下面是物理课上测量铁块A的体积实验，将铁块匀速向上提起，直至完全露出水面一定高度，下面能反映这一过程中，液面高度h与铁块被提起的时间t之间函数关系的大致图象是（ ）
A．B．C．D．
分析：根据题意，在实验中有3个阶段：①铁块在液面以下，②铁块的一部分露出液面，但未完全露出时，③铁块完全露出时，分别分析液面的变化情况，结合选项，可得答案．
【解答】解：根据题意，在实验中有3个阶段，
①铁块在液面以下，液面的高度不变；
②铁块的一部分露出液面，但未完全露出时，液面高度降低；
③铁块在液面以上，完全露出时，液面高度又维持不变；
即B符合描述；
故选：B．
【点评】本题考查函数的图象，注意，函数值随时间的变化问题，不一定要通过求解析式来解决．
【变式5-4】(2023秋•梅里斯区期末）小明从家出发，徒步到书店购买文具，购好文具后骑共享单车原路返回，设他从家出发后所用的时间为t（分），离家的距离为S（米）．则S与t之间的关系大致可以用图象表示为（ ）
A．B．C．D．
分析：根据题意，把小明的运动过程分为三个阶段，分别分析出s、t之间的变化关系，从而得解．
【解答】解：小明的整个行程共分三个阶段：
①徒步从家到书店购买文具，s随时间t的增大而增大；
②购文具逗留期间，s不变；
③骑共享单车返回途中，速度比徒步速度大，比徒步时的直线更陡，离家距离为0；
纵观各选项，只有A选项符合．
故选：A．
【点评】本题考查了函数的图象，根据题意，分析出整个过程的运动情况，并判断出各阶段的图象变化情况是解题的关键．
【变式5-5】(2023春•全州县期末）某学生早上为赶时间匀速小跑赶往学校；到校后，便在教室里上课；放学后因时间充足，便以相对较慢的速度匀速走回家，下列图象能大致反映这一过程的是（ ）
A．B．C．D．
分析：某学生以一个较快的速度匀速赶往学校，离家的距离和所走路程都逐渐增大；上午在教室里上课，离家的距离和所走路程都不变；中午以较慢的速度匀速回家，离家的距离变小，所走路程增加，比开始增加的慢．
【解答】解：匀速赶往学校，离家的距离和所走路程都逐渐增大；
上午在教室里上课，离家的距离和所走路程都不变；
中午以较慢的速度匀速回家，离家的距离变小，所走路程增加，比开始增加的慢．
故选：A．
【点评】本题考查的是函数图象，要求学生具有利用函数的图象信息解决生活中的实际问题的能力．
【变式5-6】(2023春•定州市期末）一列慢车从甲地驶往乙地，一列快车从乙地驶往甲地，慢车的速度为100千米/小时，快车的速度为150千米/小时，甲、乙两地之间的距离为1000千米，两车同时出发，则图中折线大致表示两车之间的距离y（千米）与慢车行驶时间t（小时）之间函数图象的是（ ）
A．B．
C．D．
分析：分三段讨论，①两车从开始到相遇，这段时间两车距迅速减小，②相遇后向相反方向行驶到特快到达甲地，这段时间两车距迅速增加，③特快到达甲地至快车到达乙地，这段时间两车距缓慢增大，结合实际选符合的图象即可．
【解答】解：①两车从开始到相遇，这段时间两车距迅速减小；
②相遇后向相反方向行驶到特快到达甲地这段时间两车距迅速增加；
③快车到达甲地至快车到达乙地，这段时间两车距缓慢增大；
结合图象可得A选项符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了函数的图象，解答本题关键是分段讨论，要结合实际解答，明白每条直线所代表的实际含义及拐点的含义．
题型六 从函数图象中获取信息解决问题
【例题6】(2023秋•渝中区校级期末）某星期日上午10：00，小丰从家匀速步行到附近的咖啡店看书，看完书后，他匀速跑步回家，且跑步的速度是步行速度的2倍，小丰离家的距离y（千米）与所用的时间x（分钟）之间的关系如图所示，下列说法错误的是（ ）
A．小丰在咖啡店看书的时间是40分钟
B．小丰家与咖啡店的距离为2千米
C．小丰的步行速度是4千米小时
D．小丰返回家的时刻是上午11：20
分析：根据图象，由路程＝速度×时间之间的关系逐项分析即可．
【解答】解：由图象可知，小丰在咖啡店看书的时间是70﹣30＝40分钟，故选项A不符合题意；
由图象可知小丰家与咖啡店的距离为2千米，故B选项不符合题意；
小丰的步行速度是20.5=4千米/小时，故C选项不符合题意；
∵跑步的速度是步行速度的2倍，
∴从咖啡店回家用的时间为15分钟，
∴从出家门到回到家用了70+15＝85分钟，
∴小丰返回家的时刻是上午11：25，故D选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了函数的图象，路程＝速度×时间之间的关系的运用，借助图象是解题关键．
【变式6-1】(2023秋•北碚区校级期末）甲，乙两人在一次百米赛跑中，路程s与时间t的关系如图所示，下列说法错误的是（ ）
A．甲，乙两人同时出发
B．甲先到达终点
C．乙在这次赛跑中的平均速度为0.8米/秒
D．乙比甲晚到0.5秒
分析：从图象上观察甲、乙两人的路程，时间的基本信息，再计算速度，回答题目的问题．
【解答】解：从图中可获取的信息有：
甲，乙两人同时出发，A正确，不符合题意；
甲先到达终点，B正确，不符合题意；
乙在这次赛跑中的速度为100÷12.5＝8（米/秒），C错误，符合题意；
乙比甲晚到12.5﹣12＝0.5（秒），D正确，不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了函数的图象，还考查了学生从图象中读取信息的数形结合能力．解决此类识图题，同学们要注意分析其中的“关键点”，还要善于分析各图象的变化趋势．
【变式6-2】(2023春•秦都区期中）某中学举行了“健康欢乐跑”教职工运动会，陈老师参加了800米欢乐跑，其路程s（单位：米）与时间t（单位：分钟）之间的关系如图所示，则下列说法错误的是（ ）
A．陈老师跑完全程用了5分钟
B．陈老师前3分钟的速度为100米/分
C．3分钟时，陈老师距离终点还有500米
D．陈老师前3分钟的速度大于后2分钟的速度
分析：由函数图像可直接确定A正确；由速度＝路程÷时间可求出陈老师前3分钟的速度，可确定B；由函数图像可求出3分钟时，陈老师距离终点还有800﹣300＝500米，确定C正确；由速度＝路程÷时间可求出陈老师后2分钟的速度，再比较可确定D．
【解答】解：由图像可知第5分钟时陈老师跑完全程的800米，故A正确，不符合题意；
300÷3＝100米/分，故陈老师前3分钟的速度为100米/分，B正确，不符合题意；
800﹣300＝500米，故3分钟时，陈老师距离终点还有500米，C正确，不符合题意；
陈老师后2分钟的速度为：500÷2＝250米/分＞100米/分，故陈老师前3分钟的速度小于后2分钟的速度，D错误，符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查从函数图像获取信息，读懂函数图像，从函数图像获取必要的信息和数据是解题关键．
【变式6-3】(2023春•金塔县期中）亮亮从家跑步到学校，在学校图书馆看了一会书，然后步行回家，亮亮离家的路程y（米）与时间t（分）之间的关系如图所示，则亮亮回家的速度为 ．
分析：由图象可知，亮亮家距离图书馆600米，回家用了30﹣20＝10分，即可求出亮亮回家的速度．
【解答】解：由图象可知，亮亮家距离图书馆600米，回家用了30﹣20＝10分，
∴亮亮回家的速度为60010=60（米/分）．
故答案为：60米/分．
【点评】此题主要考查了看函数图象，解决本题的关键是读懂图意，然后根据图象信息找到所需要的数量关系，利用数量关系即可解决问题．
【变式6-4】(2023秋•越城区校级期末）在全民健身越野赛中，甲、乙两选手的行程y（km）随时间x（h）变化的图象（全程）如图所示．给出下列四种说法：①起跑后1h内，甲在乙的前面；②第1h两人都跑了10km；③甲比乙先到达终点；④两人都跑了20km．其中正确的是（ ）
A．①B．①②C．①②④D．②③④
分析：根据图像可以直接判断①②正确，③错误；先求出乙跑的直线解析式，然后将x＝2代入求出y的值，即可求出两人跑的总路程，判断出④正确．
【解答】解：①起跑1h内，甲在乙的前面，故①正确；
②在跑了1h时，乙追上甲，此时都跑了10km，故②正确；
③乙比甲先到达终点，故③错误；
④设乙跑的直线解析式为：y＝kx，将点（1，10）代入得：k＝10，
∴乙跑的直线解析式为：y＝10x，
把x＝2代入得：y＝20，
∴两人都跑了20km，故④正确；
综上分析可知，正确的有①②④．
故选：C．
【点评】本题主要考查了函数图象，解答此类问题的关键是从函数图像中获得信息，利用数形结合求解．
【变式6-5】(2023秋•广饶县校级期末）如图，折线ABCDE描述了一辆汽车在某一直线上的行驶过程中，汽车离出发地的距离s（km）与行驶时间t（h）之间的函数关系，根据图中提供的信息，判断下列结论正确的选项是（ ）
①汽车在行驶途中停留了0.5小时；
②汽车在整个行驶过程的平均速度是60km/h；
③汽车共行驶了240km；
④汽车出发4h离出发地40km．
A．①②④B．①②③C．①③④D．①②③④
分析：根据停留时距离S不发生变化可判断①；根据速度＝路程÷时间列式计算即可判断②；求得往返的路程和得出答案即可判断③；先求出3h到4.5h的速度，再求据出发地的距离可判断④．
【解答】解：①汽车在行驶途中停留了2﹣1.5＝0.5h，
故①正确；
②平均速度：120×2÷4.5=1603千米/小时，
故②错误；
③汽车共行驶了120×2＝240km，
故③正确；
④汽车自出发后3h到4.5h速度为：120÷（4.5﹣3）＝120÷1.5＝80千米/小时，
∴汽车出发4h离出发地距离为120﹣（4﹣3）×80＝120﹣80＝40千米，
故④正确．
∴正确的是①③④，
故选：C．
【点评】本题考查了一次函数的应用，主要利用了速度、路程、时间之间的关系，准确识图并获取必要的信息是解题的关键．
【变式6-6】(2023秋•海淀区校级期末）小明家、食堂、图书馆在同一条直线上．小明从家去食堂吃早餐，接着去图书馆读报，然后回家．小明离家的距离与时间之间的对应关系如图所示．
根据如图回答下列问题：
（1）食堂离小明家多远？小明从家到食堂用了多少时间？
（2）小明吃早餐用了多少时间？在图书馆停留了多少时间？
（3）图书馆离小明家多远？小明从图书馆回家的平均速度是多少？
分析：根据题意和函数图象中的数据可以依次解答．
【解答】解：（1）食堂离小明家0.6（km），小明从家到食堂用了8（min）；
（2）小明吃早餐用的时间为25﹣8＝17（min），在图书馆停留的时间为58﹣28＝30（min）；
（3）图书馆离小明家0.8（km），小明从图书馆回家的平均速度是0.8÷（68÷58）＝0.08（km/min）．
【点评】本题考查函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
【变式6-7】(2023春•卢龙县期中）某次大型活动，组委会启用无人机航拍活动过程，在操控无人机时应根据现场状况调节高度．已知无人机在上升和下降过程中速度相同，设无人机的飞行高度h（米）与操控无人机的时间x（分钟）之间的关系如图中的实线所示，根据图象回答下列问题：
（1）在上升或下降过程中，无人机的速度是 米/分；
（2）图中a表示的数是 ，b表示的数是 ；
（3）无人机在60米高的上空停留的时间是 分钟．
分析：（1）根据图象信息，根据速度等于路程除以时间计算即可；
（2）根据（1）的结论，结合图象可得a与b的值；
（3）根据b的值可得结论；
【解答】解：（1）在上升或下降过程中，无人机的速度是：60÷（12﹣9）＝20（米/分）；
故答案为：20；
（2）a＝40÷20＝2；b＝5+（60﹣40）÷20＝6．
故答案为：2；6；
（3）无人机在60米高的上空停留的时间是：9﹣6＝3（分钟），
故答案为：3；
【点评】本题考查了函数图象，从函数图象获取信息是解题的关键．
题型七 函数的三种表示方法
【例题7】(2023春•湘东区期中）弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度y（厘米）与所挂物体的质量x（千克）间有下面关系（假设弹簧不会折断）：
下列说法不正确的是（ ）
A．x与y都是变量，且x自变量，y是因变量
B．弹簧不挂重物时的长度为10厘米
C．物体质量每增加1千克，弹簧长度y增加0.5厘米
D．所挂物体质量为26千克时，弹簧长度为23.5厘米
分析：根据给定的表格分别判断即可．
【解答】解：根据题意，可知x与y都是变量，且x自变量，y是因变量，
故A选项不符合题意；
当x＝0时，y＝10，
∴弹簧不挂重物时的长度为10厘米，
故B选项不符合题意；
根据表格，可知物体质量每增加1千克，弹簧长度y增加0.5厘米，
故C选项不符合题意；
当x＝26时，y＝10+0.5×26＝23，
故D选项符合题意，
故选：D．
【点评】本题考查了函数的表示方法，常量与变量，理解给定的表格是解题的关键．
【变式7-1】(2023春•武功县期中）在某一阶段，某商品的售价x（元）与销量y（件）之间存在如下关系：
估计当售价x为137元时，销量y可能为（ ）
A．33件B．43件C．53件D．63件
分析：根据表格中的售价与销量得到售价每提升一元，销量减少一件，即可得到答案．
【解答】解：根据表格中的售价与销量得到售价每提升一元，销量减少一件，
当售价为137元时，售价从130元增加到137时，售价提高7元，则销量从50件减少到50﹣7＝43件，
故销量为137元时，销量可能为43件．
故选：B．
【点评】本题主要考查函数的表示方法，解题的关键是找到售价与销量之间的关系．
【变式7-2】(2023春•普宁市校级期中）已知火车站托运行李的费用C和托运行李的质量P（P为整数）的对应关系如下表所示：
则C与P之间的关系式为（ ）
A．C＝0.5（P﹣1）B．C＝2P﹣0.5
C．C＝2P+0.5D．C＝2+0.5（P﹣1）
分析：根据表可以得到P增加1，则对应的C增加0.5，据此即可求解．
【解答】解：根据表可以得到P增加1，则对应的C增加0.5，则C与P的对应关系是：C＝2+0.5（P﹣1）．
故选：D．
【点评】本题考查了函数关系式，理解P增加1，则对应的C增加0.5是关系式．
【变式7-3】(2023秋•晋中期末）如图是一支温度计的示意图，图中左边是用摄氏温度表示的温度值，右边是用华氏温度表示的温度值，下表是这两个温度值之间的部分对应关系：
根据以上信息，可以得到y与x之间的关系式为（ ）
A．y=95x+32B．y＝x+32C．y＝x+40D．y=59x+32
分析：根据表格可知x每增加10℃，y增加18°F，当x＝0时，y＝32，即可确定y与x的函数关系式．
【解答】解：根据表中的对应关系，可知y=1810x+32=95x+32，
∴y=95x+32，
故选：A．
【点评】本题考查了函数关系式，找出表格中的数据之间的关系是解题的关键．
【变式7-4】(2023春•陈仓区期中）草莓销售季节，某种植基地开发了草莓采摘无人销售方式，为方便小朋友体验，销售人员把销售的草莓数量x（kg）与销售总价y（元）之间的关系写在了下列表格中：
（1）请你写出草莓的销售数量x（kg）与销售总价y（元）之间的关系式；
（2）丽丽一家共摘了6.5kg草莓，应付多少钱？
分析：（1）由表格可值，销售数量每增加1kg，销售总价增加8元，即可写出函数关系式；
（2）把x＝6.5代入（1）中的函数关系式中即可得出答案．
【解答】解：（1）根据题意可得，
y＝8x+0.5；
（2）把x＝6.5代入y＝8x+0.5中，
得y＝8×6.5＝52.5（元）．
丽丽一家共摘了6.5kg草莓，应付52.5元．
【点评】本题主要考查了函数的表示方法，熟练掌握函数的表示方法进行求解是解决本题的关键．
【变式7-5】(2023秋•东营月考）在一次实验中，马达同学把一根弹簧的上端固定，在其下端悬挂物体质量x的一组对应值．
（1）如表反应了哪两个变量之间的关系，并指出谁是自变量，谁是函数．
（2）当悬挂物体的重量为4千克时，弹簧长 ；不挂重物时弹簧长 ；
（3）弹簧长度y所挂物体质量x之间的关系可以用式子表示为： ；
（4）当弹簧长40cm时，求所挂物体的重量．
分析：（1）根据自变量和函数的含义即可确定；
（2）根据表格即可确定；
（3）根据给定的表格即可确定关系式；
（4）将y＝40代入（3）中的关系式求解即可．
【解答】解：（1）自变量是所挂物体的质量x，函数量是弹簧长度y；
（2）由表格可知，当悬挂物体的重量为4千克时，弹簧长26cm，不挂重物时弹簧长18cm，
故答案为：26cm，18cm；
（3）由表格可知，y与x的关系式为y＝2x+18，
故答案为：y＝2x+18；
（4）当y＝40时，即2x+18＝40，
解得x＝11，
答：所挂物体的重量为11千克．
【点评】本题考查了函数的表示方法，通过表格求出y和x的关系式是解题的关键．
【变式7-6】(2023春•西安期中）某剧院的观众席的座位为扇形，且按下列方式设置：
（1）按照上表所示的规律，当x每增加1时，y如何变化？
（2）写出座位数y与排数x之间的解析式．
（3）按照如表所示的规律，某一排可能有90个座位吗？说说你的理由．
分析：（1）根据表格中数据直接得出y的变化情况；
（2）根据x，y的变化规律得出y与x的函数关系；
（3）利用（2）中所求，将y＝90代入分析即可．
【解答】解：（1）由图表中数据可得：当x每增加1时，y增加3；
（2）由题意可得：y＝50+3（x﹣1）＝3x+47；
（3）某一排不可能有90个座位，
理由：由题意可得：y＝3x+47＝90，
解得：x=433．
故x不是整数，则某一排不可能有90个座位．
【点评】此题主要考查了函数关系，正确得出y与x的函数关系式是解题关键．
题型八 动点运动问题与函数图象
【例题8】(2023秋•泗阳县期末）如图，在长方形ABCD中，动点P从点B出发，沿BC、CD、DA运动至点A停止，设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y，y关于x的函数图象如图2所示，若b﹣2a＝5，则长方形ABCD的周长为（ ）
A．20B．18C．16D．24
分析：根据函数的图象、结合图形可知BC＝a，12AB×BC＝10，所以AB=20a，根据b﹣2a=20a，b﹣2a＝5，得20a=5，求出a的值即可得出答案．
【解答】解：根据图2的点（a，10），可知BC＝a，12AB×BC＝10，
∴AB=20a，
∴BC+CD+DA＝2a+20a=b，
∴b﹣2a=20a，
∵b﹣2a＝5，
∴20a=5，
∴a＝4，
∴AB＝5，BC＝4，
∴长方形ABCD的周长为2×（5+4）＝18．
故选：B．
【点评】本题主要考查了动点问题的函数图象，在解题时要能根据函数的图象求出有关的线段的长度，从而得出长方形的周长是本题的关键．
【变式8-1】(2023秋•东港市期末）如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是边BC的中点，动点P从点C出发，沿CA﹣AB运动到点B，设点P的运动路程为x，△PCD的面积为y，y与x的函数图象如图2所示，则AB的长为（ ）
A．213B．413C．314D．6
分析：由图象可知：当x＝3时，y等于3，由此可得出CD的长，进而得出BC的长；当x＝6时，面积最大，且面积发生转折，此时点P和点A重合，可得AC＝6，最后由勾股定理可得结论．
【解答】解：由图象可知：当x＝3时，CP＝3，y=12PC⋅CD=3，
即 12×3⋅CD=3，解得CD＝2，
∵点D是BC的中点，
∴BC＝4，
当x＝6时，此时点P和点A重合，
∴AC＝6，
在 Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，AC＝6，
由勾股定理可得，AB=42+62=213．
故选：A．
【点评】本题考查了动点问题的函数图象：函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．解决本题的关键是利用分类讨论的思想求出AC和BC的长．
【变式8-2】(2023春•牡丹区校级期中）如图，在长方形ABCD中，动点P从点B出发，沿BC，CD，DA运动到点A停止，设点P运动路程为x，△ABP的面积为y，如果y关于x的函数图象如图所示，则长方形ABCD的周长是（ ）
A．24B．18C．20D．40
分析：根据y关于x的函数图象得到BC、CD的长，进而求长方形的周长．
【解答】解：由y关于x的函数图象可知，BC＝4，CD＝9﹣BC＝9﹣4＝5，
∴长方形ABCD的周长是：2×（4+5）＝18；
故选：B．
【点评】本题主要考查关于动点问题的函数图象，根据函数图像获取相关信息是解题的关键．
【变式8-3】(2023春•朝阳区校级月考）如图，正方形ABCD的边长为4，P为正方形边上一动点，运动路线是A→D→C→B→A，设P点经过的路程为x，以点A、P、D为顶点的三角形的面积是y，则下列图象能大致反映y与x的函数关系的是（ ）
A．B．
C．D．
分析：根据动点从点A出发，首先向点D运动，此时y不随x的增加而增大，当点P在DC上运动时，y随着x的增大而增大，当点P在CB上运动时，y不变，据此作出选择即可．
【解答】解：当点P由点A向点D运动，即0＜x≤4时，y的值为0；
当点P在DC上运动，即4＜x≤8时，y随着x的增大而增大；
当点P在CB上运动，即8＜x≤12时，y不变；
当点P在BA上运动，即12＜x≤16时，y随x的增大而减小．
故选：B．
【点评】本题考查了动点问题的函数图象，解决动点问题的函数图象问题关键是发现y随x的变化而变化的趋势．
【变式8-4】(2023•南海区校级四模）如图，矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，M是CD的中点，点P在矩形的边上沿A→B→C→M运动，则△APM的面积y与点P经过的路程x之间的函数关系用图象表示大致是（ ）
A．B．
C．D．
分析：根据每一段函数的性质，确定其解析式，特别注意根据函数的增减性，以及几个最值点，确定选项比较简单．
【解答】解：点P由A到B这一段中，三角形的AP边上的高不变，因而面积是路程x的正比例函数，
当P到达B点时，面积达到最大，值是1，
在P由B到C这一段，面积随着路程的增大而减小，
到达C点，即路程是3时，最小是12，
由C到M这一段，面积越来越小，
当P到达M时，面积最小变成0，
因而选项B符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了分段函数的画法，是难点，要细心认真．
【变式8-5】(2023春•灵宝市校级月考）如图1，点P从菱形ABCD的顶点A出发，沿A→D→B以1cm/s的速度匀速运动到点B，图2是点P运动时，△PBC的面积y（cm2）随时间x（s）变化的函数关系图象，则菱形ABCD的周长为（ ）
A．5B．103C．256D．252
分析：过点D作DE⊥BC，根据图象的三角形的面积可得菱形的边长为a，再利用菱形的性质和勾股定理列方程可求a即可．
【解答】解：如图1，过点D作DE⊥BC于点E，
∵AD∥BC，
∴当点P在边AD上运动时，y的值不变，
∴AD＝a，即菱形的边长是a，
∴12•a•DE=32a，
∴DE＝3，
当点P在DB上运动时，y逐渐减小，
∴DB＝5，
∴BE=BD2−DE2=52−32=4，
在Rt△DCE中，DC＝a，CE＝4﹣a，DE＝3，
∴a2＝32+（4﹣a）2，
解得a=258，
∴菱形ABCD的周长为4a=252．
故选：D．
【点评】本题考查动点问题的函数图象和菱形的性质，根据图象分析得出a的值是解题关键．
【变式8-6】(2023春•芗城区校级期中）如图1，AH＝BC＝10cm，GF＝DE，点P从点A出发保持匀速运动，沿长方形凹槽A→B→C→D→E→F→G→H的路线运动，到点H停止；如图2是△APH的面积S（cm2）和运动时间x（s）的图象．
（1）求图1中的AB的长度；
（2）设点P运动的路程为y（cm），请写出y（cm）与运动时间x（s）之间的关系式，写出x的取值范围．
分析：（1）根据图2可知，当运动时间为10s时，△APH的面积S＝100cm2，即可求出AB的长度；
（2）由（1）可知点P运动的速度为2010=2cm/s，再求出GF＝DE＝2×（22﹣20）＝4cm，所以运动时间x的范围为0≤x≤29，即可求出答案．
【解答】解：（1）根据图2可知，当运动时间为10s时，△APH的面积S＝100cm2，
即P运动到B点时12×AH×AB＝100，
∵AH＝10cm，
∴AB＝20（cm），
答：AB的长度20cm；
（2）由（1）可知点P运动的速度为2010=2（cm/s），
∴GF＝DE＝2×（22﹣20）＝4（cm），
∴从点A到点H的路程为20+10+20+4+4＝58cm，
∴运动时间x的范围为0≤x≤582，即0≤x≤29，
∴y＝2x（0≤x≤29）．
【点评】本题考查了动点问题的函数图象，关键是能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．
【变式8-7】(2023春•槐荫区期末）如图1所示，在三角形ABC中，AD是三角形的高，且AD＝8cm，BC＝10cm，点E是BC上的一个动点，由点B向点C运动，其速度与时间的变化关系如图2所示．
（1）由图2知，点E运动的时间为 s，速度为 cm/s，点E停止运动时与点C的距离为 cm；
（2）求在点E的运动过程中，三角形ABE的面积y（cm2）与运动时间x（s）之间的关系式，并写出自变量的取值范围；
（3）当点E停止运动后，求三角形ABE的面积．
分析：（1）根据图象解答即可；
（2）根据三角形的面积公式，可得答案；
（3）根据三角形的面积公式，可得答案．
【解答】解：（1）根据题意和图象，可得E点运动的时间为3s，速度为3cm/s，
当点E停止运动时，BE＝3×3＝9（cm），此时距离点C：10﹣9＝1（cm），
故答案为：3，3，1；
（2）根据题意得y=12×BE×AD=12×3x×8=12x，
即y＝12x（0＜x≤3）；
（3）当x＝3时，y＝12×3＝36（cm2），
故△ABE的面积为36cm2．
【点评】本题主要考查了动点问题的函数图象，涉及求函数解析式，求函数值问题，能读懂函数图象是解决问题的关键．
解题技巧提炼
函数的定义：设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量．
说明：对于函数概念的理解：①有两个变量；②一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而发生变化；③对于自变量的每一个确定的值，函数值有且只有一个值与之对应，即单对应．
解题技巧提炼
自变量的取值范围必须使含有自变量的表达式都有意义．
①当表达式的分母不含有自变量时，自变量取全体实数．例如y＝2x+13中的x．
②当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零．例如y＝x+2x﹣1．
③当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零．
④对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义．
解题技巧提炼
①当已知函数解析式时，求函数值就是求代数式的值；当已知函数解析式，给出函数值时，求相应的自变量的值就是解方程；
②当自变量确定时，函数值是唯一确定的．但当函数值唯一确定时，对应的自变量可以是多个．
x（人）
…
2500
2750
3000
3500
4000
…
y（元）
…
﹣1000
﹣500
0
1000
2000
…
解题技巧提炼
用来表示函数关系的等式叫做函数解析式，也称为函数关系式．
注意：①函数解析式是等式．
②函数解析式中，通常等式的右边的式子中的变量是自变量，等式左边的那个字母表示自变量的函数．
③函数的解析式在书写时有顺序性，例如，y＝x+9时表示y是x的函数，若写成x＝﹣y+9就表示x是y的函数.
梯形个数
1
2
3
4
5
…
图形周长
5
8
11
14
17
…
解题技巧提炼
正确理解函数图象横、纵坐标表示的意义，抓住关键点，如起点、交点、终点的意义，明确图象变化趋势、快慢的意义.实际问题的过程，就能够识别实际问题中的函数图象.
解题技巧提炼
函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力，用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图．
x
0
1
2
3
4
5
y
10
10.5
11
11.5
12
12.5
解题技巧提炼
函数的三种表示方法：列表法、解析式法、图象法．
其特点分别是：列表法能具体地反映自变量与函数的数值对应关系，在实际生活中应用非常广泛；解析式法准确地反映了函数与自变量之间的对应规律，根据它可以由自变量的取值求出相应的函数值，反之亦然；图象法直观地反映函数值随自变量的变化而变化的规律．
注意：①它们分别从数和形的角度反映了函数的本质；②它们之间可以互相转化．
售价x/年
90
100
110
120
130
140
销量y/件
90
80
70
60
50
40
P（kg）
1
2
3
4
5
…
C（元）
2
2.5
3
3.5
4
…
摄氏温度值x/℃
0
10
20
30
40
50
华氏温度值y/℉
32
50
68
86
104
122
销售数量x（kg）
1
2
3
4
…
销售总价y（元）
8.5
16.5
24.5
32.5
…
所挂物体质量x/kg
0
1
2
3
4
5
弹簧长度y/cm
18
20
22
24
26
28
排数（x）
1
2
3
4
…
座位数（y）
50
53
56
59
…
解题技巧提炼
本题考查了动点问题的函数图象，考查了函数图象所代表的实际意义，应用了数形结合的数学思想．关键是将图1中点P的运动与图2中的函数图象进行对应．
知识点一
常量与变量
◆常量：在一个变化过程中，数值始终不变的量叫做常量.
◆变量：在一个变化过程中，数值发生变化的量叫做常量.
【注意】判断一个量是常量还是变量，应先看它是否在一个变化的过程中，若在，则看它在这个变化过程中数值是否发生变化.“常量”是已知数，是指在整个变化过程中保持不变的量，但“常量”不等于“常数”，它也可以是数值不变的字母，如在匀速运动中的速度v就是一个常量.
知识点二
函数
◆函数的定义：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量 x 与y，并且对于 x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说 x 是自变量，y 是 x 的函数.
◆函数值的定义：如果当 x = a 时 y = b，那么 b 叫做当自变量的值为 a时的函数值.
【注意】理解函数定义时应把握以下几点：①有两个变量；②函数不是数，函数的本质是对应，函数关系就是变量之间的对应关系，且是一种特殊的对应关系，一个变量的数值随另个一变量的数值的变化而变化；③对于自变量的每一个确定的值，函数有且仅有一个值与之对应.
知识点三
函数解析式
◆函数解析式：用来表示函数关系的等式叫做函数解析式，也称为函数关系式．
【注意】
①函数解析式是等式．
②函数解析式中，通常等式的右边的式子中的变量是自变量，等式左边的那个字母表示自变量的函数．
③函数的解析式在书写时有顺序性，例如，y＝x+9时表示y是x的函数，若写成x＝﹣y+9就表示x是y的函数．
知识点四
自变量取值范围的确定
◆1、使函数有意义的自变量的取值叫做自变量的取值范围．
◆2、确定函数自变量取值范围的方法：
①当表达式的分母不含有自变量时，自变量取全体实数．
②当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零．
③当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零．
④对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义．
知识点五
函数的图象
◆函数图象的定义：一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象.
【注意】①函数图形上的任意点（x，y）都满足其函数的解析式；②满足解析式的任意一对x、y的值，所对应的点一定在函数图象上；③判断点P（x，y）是否在函数图象上的方法是：将点P（x，y）的x、y的值代入函数的解析式，若能满足函数的解析式，这个点就在函数的图象上；如果不满足函数的解析式，这个点就不在函数的图象上．
知识点六
函数的图象的画法
◆描点法画函数图象的一般步骤如下：
第一步：列表——表中给出一些自变量的值及其对应的函数值；
第二步：描点——在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点；
第三步：连线——按照横坐标由小到大的顺序，把所描出的各点用平滑曲线连接起来.
知识点七
函数的图象表示方法
◆三种表示函数的方法的优缺点以及它们之间的联系：
题型一 函数的识别
【例题1】(2023秋•聊城期末）如图，下列各曲线中能够表示y是x的函数的是（ ）
A．B．
C．D．
【变式1-1】(2023秋•广饶县校级期末）下列各图象中，y不是x的函数的是（ ）
A．B．
C．D．
【变式1-2】(2023秋•越城区校级期末）下列关系式中，y不是x的函数的是（ ）
A．y＝xB．y＝x2C．y＝x3D．|y|＝x
【变式1-3】(2023秋•莱阳市期末）下列图象中，表示y是x的函数的是（ ）
A．B．
C．D．
【变式1-4】(2023秋•镇海区校级期末）下列图形中，不能表示y是x函数的是（ ）
A．B．
C．D．
【变式1-5】(2023秋•平桂区 期末）下列表达式中，y不是x的函数的是（ ）
A．y＝±6xB．y＝6x2+x+1C．y＝6x+3D．y=6x
题型二 确定函数自变量的取值范围
根式有意义的条件
【例题2】(2023秋•任城区校级期末）在函数y=x+3x中，自变量x的取值范围是（ ）
A．x≥﹣3B．x＞﹣3C．x≥﹣3且x≠0D．x≠0且x≠﹣3
【变式2-1】(2023秋•香坊区期末）函数y=2x−3中，自变量x的取值范围是 ．
【变式2-2】(2023秋•贵池区期末）函数y=1−2xx+3中，自变量x的取值范围是（ ）
A．x≥12B．x≠﹣3
C．x≤12且x≠﹣3D．x≤−12且x≠﹣3
【变式2-3】(2023秋•栾城区校级期末）函数y=x−2x−3的自变量x的取值范围是（ ）
A．x≠3B．x＞0且x≠3C．x≥0且x≠3D．x＞2且x≠3
【变式2-4】(2023秋•淅川县期末）函数y=x+1x−3的自变量x的取值范围为 ．
【变式2-5】(2023秋•平桂区 期末）函数y=1x−1中自变量x的取值范围是（ ）
A．x≥0B．x＞1C．x≥1D．x≠0
【变式2-6】(2023秋•南开区校级期末）y=2x+6+1−2x中自变量x的取值范围是 ．
题型三 求函数的值
【例题3】(2023秋•梧州期末）当x＝2时，函数y=6−x的函数值是（ ）
A．y＝4B．y＝3C．y＝2D．y＝1
【变式3-1】(2023春•峄城区期中）已知变量y与x的关系式是y=4x−13x2，则当x＝3时，y＝ ．
【变式3-2】(2023春•平川区校级期中）已知变量s与t的关系式是s＝5t﹣1.5t2，则当t＝2时，s＝ ．
【变式3-3】(2023春•海沧区校级期末）下面四个函数中，符合当自变量x为1时，函数值为1的函数是（ ）
A．y＝2x﹣2B．y=2xC．y＝x2D．y＝x+1
【变式3-4】(2023秋•南岸区校级期中）根据如图所示的程序计算函数y的值，若输入的x的值为4时，输出的y的值为5．则输入x的值为3时，输出的y的值为（ ）
A．﹣6B．6C．﹣3D．3
【变式3-5】(2023秋•锦江区校级期中）已知函数y=1x−1．
（1）自变量x的取值范围为 ；
（2）当x＝4时，y的值为 ．
【变式3-6】(2023秋•莲都区期末）某公交车司机统计了月乘车人数x（人）与月利润y（元）的部分数据如表，假设每位乘客的公交票价固定不变，公交车月支出费用为6000元．（月利润＝月收入﹣月支出费用）
（1）根据函数的定义，y是关于x的函数吗？
（2）结合表格解答下列问题：
①公交车票的单价是多少元？
②当x＝2750时，y的值是多少？它的实际意义是什么？
题型四 列函数解析式
【例题4】(2023春•清远期中）已知小明从A地到B地，速度为4千米/小时，A、B两地相距30千米，若用x（小时）表示行走的时间，y（千米）表示余下的路程，则y与x之间的表达式是（ ）
A．y＝4xB．y＝4x﹣30C．y＝﹣4xD．y＝30﹣4x
【变式4-1】(2023春•罗湖区校级期末）油箱中存油20升，油从油箱中均匀流出，流速为0.2升/分钟，则油箱中剩余油量 Q（升）与流出时间t（分钟）的函数关系是（ ）
A．Q＝0.2tB．Q＝20﹣0.2tC．t＝0.2QD．t＝20﹣0.2Q
【变式4-2】(2023秋•高新区校级期末）西安市出租车起步价8.5元（路程小于或等于3公里），超过3公里每增加1公里加收2元，出租车费y（元）与行程x（公里）（x＞3）之间的函数关系 ．
【变式4-3】(2023春•清镇市校级期中）汽车开始行驶时，油箱中有油40升，如果每小时耗油5升，则油箱余油量y（升）与行驶时间x（时）的关系式为 ．
【变式4-4】(2023春•和平区校级月考）观察下列图形及表格，则周长l与梯形个数n之间的关系式为 ．
【变式4-5】(2023秋•武义县期末）如图，某链条每节长为2.8cm，每两节链条相连接部分重叠的圆的
直径为1cm，按这种连接方式，x节链条总长度为ycm，则y关于x的函数关系式是 cm．
【变式4-6】(2023春•碑林区期末）某中学数学兴趣小组准备围建一个长方形ABCD苗圃园，其中一边靠墙，另外三边是由长度为40m的篱笆围成的．如图，已知墙长EF为25m，设这个苗圃园垂直于墙的一边长AB为x（7.5m＜x＜20m），BC的长度为l．苗圃园的面积为S．
（1）BC的长度L与AB的长度x的关系式为 ．
（2）当x＝8m时，BC的长度l＝ m，苗圃园的面积S＝ m2．
【变式4-7】(2023春•永丰县期末）“十一”期间，小明和父母一起开车到距家200km的景点旅游，出发前，汽车油箱内储油45L，行驶150km时，发现油箱余油量为30L（假设行驶过程中汽车的耗油量是均匀的）．
（1）写出该车行驶路程x（km）与剩余油量Q（L）的关系式；
（2）当x＝280km时，求剩余油量Q的值．
【变式4-8】(2023春•晋州市期中）已知一个长方形的长为x，宽为y，周长为40．
（1）求出y关于x的函数解析式（不用写出自变量x的取值范围）；
（2）当x＝13时，求y的值；
（3）当y＝8时，该长方形的面积是多少？
题型五 实际问题中的函数图象
【例题5】（2023•平远县校级开学）如图，是某蓄水池的横断面示意图，分深水区和浅水区，如果这个蓄水池以固定的流量注水，下面哪个图象能大致表示水的最大深度h和时间t之间的关系（ ）
A．B．C．D．
【变式5-1】(2023春•锦江区校级期末）如图是两圆柱形连通容器，向甲容器匀速注水，则下面可以近似地刻画甲容器的水面高度h（cm）随时间t（分）的变化情况的是（ ）
A．B．C．D．
【变式5-2】(2023春•惠济区期末）以下四种情境分别描述了两个变量之间的关系：甲：乐乐投篮时，投出去的篮球的高度与时间的关系；乙：乐乐去文具店购买签字笔，支付费用与购买签字笔支数的关系；丙：一长方形水池里还有一部分水，再打开水管匀速往里注水，注水时间和水池中水面的高度之间的关系；丁：乐乐去奶奶家吃饭，饭后，按原速度原路返回，乐乐离家的距离与时间的关系．用下面的图象刻画上述情境，排序正确的是（ ）
A．①②③④B．①③④②C．①④②③D．①③②④
【变式5-3】(2023秋•北碚区校级期末）下面是物理课上测量铁块A的体积实验，将铁块匀速向上提起，直至完全露出水面一定高度，下面能反映这一过程中，液面高度h与铁块被提起的时间t之间函数关系的大致图象是（ ）
A．B．C．D．
【变式5-4】(2023秋•梅里斯区期末）小明从家出发，徒步到书店购买文具，购好文具后骑共享单车原路返回，设他从家出发后所用的时间为t（分），离家的距离为S（米）．则S与t之间的关系大致可以用图象表示为（ ）
A．B．C．D．
【变式5-5】(2023春•全州县期末）某学生早上为赶时间匀速小跑赶往学校；到校后，便在教室里上课；放学后因时间充足，便以相对较慢的速度匀速走回家，下列图象能大致反映这一过程的是（ ）
A．B．C．D．
【变式5-6】(2023春•定州市期末）一列慢车从甲地驶往乙地，一列快车从乙地驶往甲地，慢车的速度为100千米/小时，快车的速度为150千米/小时，甲、乙两地之间的距离为1000千米，两车同时出发，则图中折线大致表示两车之间的距离y（千米）与慢车行驶时间t（小时）之间函数图象的是（ ）
A．B．
C．D．
题型六 从函数图象中获取信息解决问题
【例题6】(2023秋•渝中区校级期末）某星期日上午10：00，小丰从家匀速步行到附近的咖啡店看书，看完书后，他匀速跑步回家，且跑步的速度是步行速度的2倍，小丰离家的距离y（千米）与所用的时间x（分钟）之间的关系如图所示，下列说法错误的是（ ）
A．小丰在咖啡店看书的时间是40分钟
B．小丰家与咖啡店的距离为2千米
C．小丰的步行速度是4千米小时
D．小丰返回家的时刻是上午11：20
【变式6-1】(2023秋•北碚区校级期末）甲，乙两人在一次百米赛跑中，路程s与时间t的关系如图所示，下列说法错误的是（ ）
A．甲，乙两人同时出发
B．甲先到达终点
C．乙在这次赛跑中的平均速度为0.8米/秒
D．乙比甲晚到0.5秒
【变式6-2】(2023春•秦都区期中）某中学举行了“健康欢乐跑”教职工运动会，陈老师参加了800米欢乐跑，其路程s（单位：米）与时间t（单位：分钟）之间的关系如图所示，则下列说法错误的是（ ）
A．陈老师跑完全程用了5分钟
B．陈老师前3分钟的速度为100米/分
C．3分钟时，陈老师距离终点还有500米
D．陈老师前3分钟的速度大于后2分钟的速度
【变式6-3】(2023春•金塔县期中）亮亮从家跑步到学校，在学校图书馆看了一会书，然后步行回家，亮亮离家的路程y（米）与时间t（分）之间的关系如图所示，则亮亮回家的速度为 ．
【变式6-4】(2023秋•越城区校级期末）在全民健身越野赛中，甲、乙两选手的行程y（km）随时间x（h）变化的图象（全程）如图所示．给出下列四种说法：①起跑后1h内，甲在乙的前面；②第1h两人都跑了10km；③甲比乙先到达终点；④两人都跑了20km．其中正确的是（ ）
A．①B．①②C．①②④D．②③④
【变式6-5】(2023秋•广饶县校级期末）如图，折线ABCDE描述了一辆汽车在某一直线上的行驶过程中，汽车离出发地的距离s（km）与行驶时间t（h）之间的函数关系，根据图中提供的信息，判断下列结论正确的选项是（ ）
①汽车在行驶途中停留了0.5小时；
②汽车在整个行驶过程的平均速度是60km/h；
③汽车共行驶了240km；
④汽车出发4h离出发地40km．
A．①②④B．①②③C．①③④D．①②③④
【变式6-6】(2023秋•海淀区校级期末）小明家、食堂、图书馆在同一条直线上．小明从家去食堂吃早餐，接着去图书馆读报，然后回家．小明离家的距离与时间之间的对应关系如图所示．
根据如图回答下列问题：
（1）食堂离小明家多远？小明从家到食堂用了多少时间？
（2）小明吃早餐用了多少时间？在图书馆停留了多少时间？
（3）图书馆离小明家多远？小明从图书馆回家的平均速度是多少？
【变式6-7】(2023春•卢龙县期中）某次大型活动，组委会启用无人机航拍活动过程，在操控无人机时应根据现场状况调节高度．已知无人机在上升和下降过程中速度相同，设无人机的飞行高度h（米）与操控无人机的时间x（分钟）之间的关系如图中的实线所示，根据图象回答下列问题：
（1）在上升或下降过程中，无人机的速度是 米/分；
（2）图中a表示的数是 ，b表示的数是 ；
（3）无人机在60米高的上空停留的时间是 分钟．
题型七 函数的三种表示方法
【例题7】(2023春•湘东区期中）弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度y（厘米）与所挂物体的质量x（千克）间有下面关系（假设弹簧不会折断）：
下列说法不正确的是（ ）
A．x与y都是变量，且x自变量，y是因变量
B．弹簧不挂重物时的长度为10厘米
C．物体质量每增加1千克，弹簧长度y增加0.5厘米
D．所挂物体质量为26千克时，弹簧长度为23.5厘米
【变式7-1】(2023春•武功县期中）在某一阶段，某商品的售价x（元）与销量y（件）之间存在如下关系：
估计当售价x为137元时，销量y可能为（ ）
A．33件B．43件C．53件D．63件
【变式7-2】(2023春•普宁市校级期中）已知火车站托运行李的费用C和托运行李的质量P（P为整数）的对应关系如下表所示：
则C与P之间的关系式为（ ）
A．C＝0.5（P﹣1）B．C＝2P﹣0.5
C．C＝2P+0.5D．C＝2+0.5（P﹣1）
【变式7-3】(2023秋•晋中期末）如图是一支温度计的示意图，图中左边是用摄氏温度表示的温度值，右边是用华氏温度表示的温度值，下表是这两个温度值之间的部分对应关系：
根据以上信息，可以得到y与x之间的关系式为（ ）
A．y=95x+32B．y＝x+32C．y＝x+40D．y=59x+32
【变式7-4】(2023春•陈仓区期中）草莓销售季节，某种植基地开发了草莓采摘无人销售方式，为方便小朋友体验，销售人员把销售的草莓数量x（kg）与销售总价y（元）之间的关系写在了下列表格中：
（1）请你写出草莓的销售数量x（kg）与销售总价y（元）之间的关系式；
（2）丽丽一家共摘了6.5kg草莓，应付多少钱？
【变式7-5】(2023秋•东营月考）在一次实验中，马达同学把一根弹簧的上端固定，在其下端悬挂物体质量x的一组对应值．
（1）如表反应了哪两个变量之间的关系，并指出谁是自变量，谁是函数．
（2）当悬挂物体的重量为4千克时，弹簧长 ；不挂重物时弹簧长 ；
（3）弹簧长度y所挂物体质量x之间的关系可以用式子表示为： ；
（4）当弹簧长40cm时，求所挂物体的重量．
【变式7-6】(2023春•西安期中）某剧院的观众席的座位为扇形，且按下列方式设置：
（1）按照上表所示的规律，当x每增加1时，y如何变化？
（2）写出座位数y与排数x之间的解析式．
（3）按照如表所示的规律，某一排可能有90个座位吗？说说你的理由．
题型八 动点运动问题与函数图象
【例题8】(2023秋•泗阳县期末）如图，在长方形ABCD中，动点P从点B出发，沿BC、CD、DA运动至点A停止，设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y，y关于x的函数图象如图2所示，若b﹣2a＝5，则长方形ABCD的周长为（ ）
A．20B．18C．16D．24
【变式8-1】(2023秋•东港市期末）如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是边BC的中点，动点P从点C出发，沿CA﹣AB运动到点B，设点P的运动路程为x，△PCD的面积为y，y与x的函数图象如图2所示，则AB的长为（ ）
A．213B．413C．314D．6
【变式8-2】(2023春•牡丹区校级期中）如图，在长方形ABCD中，动点P从点B出发，沿BC，CD，DA运动到点A停止，设点P运动路程为x，△ABP的面积为y，如果y关于x的函数图象如图所示，则长方形ABCD的周长是（ ）
A．24B．18C．20D．40
【变式8-3】(2023春•朝阳区校级月考）如图，正方形ABCD的边长为4，P为正方形边上一动点，运动路线是A→D→C→B→A，设P点经过的路程为x，以点A、P、D为顶点的三角形的面积是y，则下列图象能大致反映y与x的函数关系的是（ ）
A．B．
C．D．
【变式8-4】(2023•南海区校级四模）如图，矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，M是CD的中点，点P在矩形的边上沿A→B→C→M运动，则△APM的面积y与点P经过的路程x之间的函数关系用图象表示大致是（ ）
A．B．
C．D．
【变式8-5】(2023春•灵宝市校级月考）如图1，点P从菱形ABCD的顶点A出发，沿A→D→B以1cm/s的速度匀速运动到点B，图2是点P运动时，△PBC的面积y（cm2）随时间x（s）变化的函数关系图象，则菱形ABCD的周长为（ ）
A．5B．103C．256D．252
【变式8-6】(2023春•芗城区校级期中）如图1，AH＝BC＝10cm，GF＝DE，点P从点A出发保持匀速运动，沿长方形凹槽A→B→C→D→E→F→G→H的路线运动，到点H停止；如图2是△APH的面积S（cm2）和运动时间x（s）的图象．
（1）求图1中的AB的长度；
（2）设点P运动的路程为y（cm），请写出y（cm）与运动时间x（s）之间的关系式，写出x的取值范围．
【变式8-7】(2023春•槐荫区期末）如图1所示，在三角形ABC中，AD是三角形的高，且AD＝8cm，BC＝10cm，点E是BC上的一个动点，由点B向点C运动，其速度与时间的变化关系如图2所示．
（1）由图2知，点E运动的时间为 s，速度为 cm/s，点E停止运动时与点C的距离为 cm；
（2）求在点E的运动过程中，三角形ABE的面积y（cm2）与运动时间x（s）之间的关系式，并写出自变量的取值范围；
（3）当点E停止运动后，求三角形ABE的面积．
解题技巧提炼
函数的定义：设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量．
说明：对于函数概念的理解：①有两个变量；②一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而发生变化；③对于自变量的每一个确定的值，函数值有且只有一个值与之对应，即单对应．
解题技巧提炼
自变量的取值范围必须使含有自变量的表达式都有意义．
①当表达式的分母不含有自变量时，自变量取全体实数．例如y＝2x+13中的x．
②当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零．例如y＝x+2x﹣1．
③当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零．
④对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义．
解题技巧提炼
①当已知函数解析式时，求函数值就是求代数式的值；当已知函数解析式，给出函数值时，求相应的自变量的值就是解方程；
②当自变量确定时，函数值是唯一确定的．但当函数值唯一确定时，对应的自变量可以是多个．
x（人）
…
2500
2750
3000
3500
4000
…
y（元）
…
﹣1000
﹣500
0
1000
2000
…
解题技巧提炼
用来表示函数关系的等式叫做函数解析式，也称为函数关系式．
注意：①函数解析式是等式．
②函数解析式中，通常等式的右边的式子中的变量是自变量，等式左边的那个字母表示自变量的函数．
③函数的解析式在书写时有顺序性，例如，y＝x+9时表示y是x的函数，若写成x＝﹣y+9就表示x是y的函数.
梯形个数
1
2
3
4
5
…
图形周长
5
8
11
14
17
…
解题技巧提炼
正确理解函数图象横、纵坐标表示的意义，抓住关键点，如起点、交点、终点的意义，明确图象变化趋势、快慢的意义.实际问题的过程，就能够识别实际问题中的函数图象.
解题技巧提炼
函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力，用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图．
x
0
1
2
3
4
5
y
10
10.5
11
11.5
12
12.5
解题技巧提炼
函数的三种表示方法：列表法、解析式法、图象法．
其特点分别是：列表法能具体地反映自变量与函数的数值对应关系，在实际生活中应用非常广泛；解析式法准确地反映了函数与自变量之间的对应规律，根据它可以由自变量的取值求出相应的函数值，反之亦然；图象法直观地反映函数值随自变量的变化而变化的规律．
注意：①它们分别从数和形的角度反映了函数的本质；②它们之间可以互相转化．
售价x/年
90
100
110
120
130
140
销量y/件
90
80
70
60
50
40
P（kg）
1
2
3
4
5
…
C（元）
2
2.5
3
3.5
4
…
摄氏温度值x/℃
0
10
20
30
40
50
华氏温度值y/℉
32
50
68
86
104
122
销售数量x（kg）
1
2
3
4
…
销售总价y（元）
8.5
16.5
24.5
32.5
…
所挂物体质量x/kg
0
1
2
3
4
5
弹簧长度y/cm
18
20
22
24
26
28
排数（x）
1
2
3
4
…
座位数（y）
50
53
56
59
…
解题技巧提炼
本题考查了动点问题的函数图象，考查了函数图象所代表的实际意义，应用了数形结合的数学思想．关键是将图1中点P的运动与图2中的函数图象进行对应．
八年级下册数学《第十九章 一次函数》
19.1 函 数
知识点一
常量与变量
◆常量：在一个变化过程中，数值始终不变的量叫做常量.
◆变量：在一个变化过程中，数值发生变化的量叫做常量.
【注意】判断一个量是常量还是变量，应先看它是否在一个变化的过程中，若在，则看它在这个变化过程中数值是否发生变化.“常量”是已知数，是指在整个变化过程中保持不变的量，但“常量”不等于“常数”，它也可以是数值不变的字母，如在匀速运动中的速度v就是一个常量.
知识点二
函数
◆函数的定义：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量 x 与y，并且对于 x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说 x 是自变量，y 是 x 的函数.
◆函数值的定义：如果当 x = a 时 y = b，那么 b 叫做当自变量的值为 a时的函数值.
【注意】理解函数定义时应把握以下几点：①有两个变量；②函数不是数，函数的本质是对应，函数关系就是变量之间的对应关系，且是一种特殊的对应关系，一个变量的数值随另个一变量的数值的变化而变化；③对于自变量的每一个确定的值，函数有且仅有一个值与之对应.
知识点三
函数解析式
◆函数解析式：用来表示函数关系的等式叫做函数解析式，也称为函数关系式．
【注意】
①函数解析式是等式．
②函数解析式中，通常等式的右边的式子中的变量是自变量，等式左边的那个字母表示自变量的函数．
③函数的解析式在书写时有顺序性，例如，y＝x+9时表示y是x的函数，若写成x＝﹣y+9就表示x是y的函数．
知识点四
自变量取值范围的确定
◆1、使函数有意义的自变量的取值叫做自变量的取值范围．
◆2、确定函数自变量取值范围的方法：
①当表达式的分母不含有自变量时，自变量取全体实数．
②当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零．
③当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零．
④对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义．
知识点五
函数的图象
◆函数图象的定义：一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象.
【注意】①函数图形上的任意点（x，y）都满足其函数的解析式；②满足解析式的任意一对x、y的值，所对应的点一定在函数图象上；③判断点P（x，y）是否在函数图象上的方法是：将点P（x，y）的x、y的值代入函数的解析式，若能满足函数的解析式，这个点就在函数的图象上；如果不满足函数的解析式，这个点就不在函数的图象上．
知识点六
函数的图象的画法
◆描点法画函数图象的一般步骤如下：
第一步：列表——表中给出一些自变量的值及其对应的函数值；
第二步：描点——在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点；
第三步：连线——按照横坐标由小到大的顺序，把所描出的各点用平滑曲线连接起来.
知识点七
函数的图象表示方法
◆三种表示函数的方法的优缺点以及它们之间的联系：
题型一 函数的识别
【例题1】(2023秋•聊城期末）如图，下列各曲线中能够表示y是x的函数的是（ ）
A．B．
C．D．
分析：设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量．函数的意义反映在图象上简单的判断方法是：作垂直x轴的直线在左右平移的过程中与函数图象只会有一个交点．
【解答】解：A、作垂直x轴的直线，在左右平移的过程中与函数图象可能有两个交点，故A不符合题意；
B、作垂直x轴的直线，在左右平移的过程中与函数图象可能有两个交点，故B不符合题意；
C、作垂直x轴的直线，在左右平移的过程中与函数图象可能有两个交点，故C不符合题意；
D、作垂直x轴的直线，在左右平移的过程中与函数图象只会有一个交点，故D符合题意；
故选：D．
【点评】主要考查了函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x，y，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数，x叫自变量．
【变式1-1】(2023秋•广饶县校级期末）下列各图象中，y不是x的函数的是（ ）
A．B．
C．D．
分析：对于自变量x的每一个确定的值y都有唯一的确定值与其对应，则y是x的函数，根据函数的定义解答即可．
【解答】解：根据函数的定义，选项A、B、D图象表示y是x的函数，C图象中对于x的一个值y有两个值对应，故C中y不是x的函数，
故选：C．
【点评】此题考查函数的定义，函数图象，结合函数图象正确理解函数的定义是解题的关键．
【变式1-2】(2023秋•越城区校级期末）下列关系式中，y不是x的函数的是（ ）
A．y＝xB．y＝x2C．y＝x3D．|y|＝x
分析：根据对于x的每一个确定的值，y是否有唯一的值与其对应进行判断．
【解答】解：A、y＝x，y是x的函数，故A不符合题意；
B、y＝x2，y是x的函数，故B不符合题意；
C、y＝x3，y是x的函数，故C不符合题意；
D、|y|＝x，当x＝2时，y＝±2，即对于x的每一个确定的值，y不是有唯一的值与其对应，
∴y不是x的函数，故D符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查的是函数的定义，设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数．
【变式1-3】(2023秋•莱阳市期末）下列图象中，表示y是x的函数的是（ ）
A．B．
C．D．
分析：函数就是在一个变化过程中有两个变量x，y，当给x一个值时，y有唯一的值与其对应，就说y是x的函数，x是自变量．注意“y有唯一的值与其对应”对图象的影响．
【解答】解：根据函数的定义可知，每给定自变量x一个值都有唯一的函数值y相对应，
所以B、C、D错误．
故选：A．
【点评】主要考查了函数图象的读图能力．要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．函数的意义反映在图象上简单的判断方法是：做垂直x轴的直线在左右平移的过程中与函数图象只会有一个交点．
【变式1-4】(2023秋•镇海区校级期末）下列图形中，不能表示y是x函数的是（ ）
A．B．
C．D．
分析：设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，C选项中一个x值对应多个y值，与函数的概念不一致，由此即可求解．
【解答】解：A图形中，一个x值对应唯一的y值，符合函数的定义，故此选项不符合题意；
B图形中，一个x值对应唯一的y值，符合函数的定义，故此选项不符合题意；
C图形中，一个x值对应唯一的y值，符合函数的定义，故此选项不符合题意；
D图形中，一个x值对应多个y值，不符合函数的定义，故此选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查函数的定义，理解函数的定义，将图形与函数的定义结合是解题的关键．
【变式1-5】(2023秋•平桂区 期末）下列表达式中，y不是x的函数的是（ ）
A．y＝±6xB．y＝6x2+x+1C．y＝6x+3D．y=6x
分析：根据函数的定义：设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量，依次判断即可．
【解答】解：y＝±6x中，x取一个值，y有两个值和其对应，
故A选项符合题意；
y＝6x2+x+1中，x取一个值，y有唯一的值和其对应，
故B选项不符合题意；
y＝6x+3中，x取一个值，y有唯一的值和其对应，
故C选项不符合题意；
y=6x中，x取一个值，y有唯一的值和其对应，
故D选项不符合题意，
故选：A．
【点评】本题考查了函数的概念，熟练掌握函数的概念是解题的关键．
题型二 确定函数自变量的取值范围
根式有意义的条件
【例题2】(2023秋•任城区校级期末）在函数y=x+3x中，自变量x的取值范围是（ ）
A．x≥﹣3B．x＞﹣3C．x≥﹣3且x≠0D．x≠0且x≠﹣3
分析：根据分式有意义的条件和二次根式有意义的条件，可得x+3≥0x≠0，然后进行计算即可解答．
【解答】解：根据题意可得：x+3≥0x≠0，
解得：x≥﹣3且x≠0，
故选：C．
【点评】本题考查了函数自变量的取值范围，熟练掌握分式有意义的条件和二次根式有意义的条件是解题的关键．
【变式2-1】(2023秋•香坊区期末）函数y=2x−3中，自变量x的取值范围是 ．
分析：根据分母不为0可得x﹣3≠0，然后进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：
x﹣3≠0，
解得：x≠3，
故答案为：x≠3．
【点评】本题考查了函数自变量的取值范围，熟练掌握分母不为0是解题的关键．
【变式2-2】(2023秋•贵池区期末）函数y=1−2xx+3中，自变量x的取值范围是（ ）
A．x≥12B．x≠﹣3
C．x≤12且x≠﹣3D．x≤−12且x≠﹣3
分析：根据分式有意义的条件以及二次根式有意义的条件即可求得x的取值范围．
【解答】解：∵1﹣2x≥0，x+3≠0，
∴x≤12且x≠﹣3，故C正确．
故选：C．
【点评】本题考查了分式有意义的条件以及二次根式有意义的条件，掌握以上知识是解题的关键．
【变式2-3】(2023秋•栾城区校级期末）函数y=x−2x−3的自变量x的取值范围是（ ）
A．x≠3B．x＞0且x≠3C．x≥0且x≠3D．x＞2且x≠3
分析：根据二次根式的性质和分式有意义的条件，列出不等式组求解即可．
【解答】解：根据题意可得：x≥0x−3≠0，
解得：x≥0且x≠3，
故选：C．
【点评】本题考查函数自变量的取值范围，理解二次根式和分式有意义的条件是解题的关键．
【变式2-4】(2023秋•淅川县期末）函数y=x+1x−3的自变量x的取值范围为 ．
分析：根据a（a≥0）以及分母不能为0，进行计算即可．
【解答】解：由题意得：
x+1≥0且x﹣3≠0，
∴x≥﹣1且x≠3，
故答案为：x≥﹣1且x≠3．
【点评】本题考查了函数自变量的取值范围，熟练掌握a（a≥0）以及分母不能为0是解题的关键．
【变式2-5】(2023秋•平桂区 期末）函数y=1x−1中自变量x的取值范围是（ ）
A．x≥0B．x＞1C．x≥1D．x≠0
分析：根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出x的范围．
【解答】解：根据题意得：x﹣1＞0，
解得：x＞1．
故选：B．
【点评】本题考查了函数自变量的范围，掌握当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数，当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0，当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
【变式2-6】(2023秋•南开区校级期末）y=2x+6+1−2x中自变量x的取值范围是 ．
分析：根据函数的解析式的自变量的取值范围就是让函数的解析式由意义为依据列出式子，求出其解就可以了．
【解答】解：由题意，得
2x+6≥0−2x＞0，
解得：﹣3≤x＜0．
∴故答案为：﹣3≤x＜0．
【点评】本题是一道有关函数的解析式的题目，考查了函数自变量的取值范围，要求学生理解自变量的取值范围就是使其解析式有意义．
题型三 求函数的值
【例题3】(2023秋•梧州期末）当x＝2时，函数y=6−x的函数值是（ ）
A．y＝4B．y＝3C．y＝2D．y＝1
分析：把x＝2代入计算，再根据算术平方根的定义可得答案．
【解答】解：当x＝2时，y=6−2=4=2，
故选：C．
【点评】本题考查函数值，将自变量的值代入求出函数值是解决问题的关键．
【变式3-1】(2023春•峄城区期中）已知变量y与x的关系式是y=4x−13x2，则当x＝3时，y＝ ．
分析：将x＝3代入y=4x−13x2即可求解．
【解答】解：当x＝3时，y=4x−13x2=4×3−13×32=9．
故答案为：9．
【点评】本题考查求函数值，解题的关键是掌握已知函数解析式时，求函数值就是求代数式的值．
【变式3-2】(2023春•平川区校级期中）已知变量s与t的关系式是s＝5t﹣1.5t2，则当t＝2时，s＝ ．
分析：把t的值代入函数解析式进行计算即可得解．
【解答】解：t＝2时，s＝5×2﹣1.5×22＝10﹣6＝4．
故答案为：4．
【点评】本题考查了函数值求解，准确进行计算是解题的关键．
【变式3-3】(2023春•海沧区校级期末）下面四个函数中，符合当自变量x为1时，函数值为1的函数是（ ）
A．y＝2x﹣2B．y=2xC．y＝x2D．y＝x+1
分析：把x＝1代入每一个选项的函数关系式中，进行计算即可解答．
【解答】解：A、当x＝1时，y＝2×1﹣2＝0，故A不符合题意；
B、当x＝1时，y=21=2，故B不符合题意；
C、当x＝1时，y＝12＝1，故C符合题意；
D、当x＝1时，y＝1+1＝2，故D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了函数值，函数的概念，准确熟练地进行计算是解题的关键．
【变式3-4】(2023秋•南岸区校级期中）根据如图所示的程序计算函数y的值，若输入的x的值为4时，输出的y的值为5．则输入x的值为3时，输出的y的值为（ ）
A．﹣6B．6C．﹣3D．3
分析：先将x＝4代入求得b，再将x＝3代入进而求得函数值y．
【解答】解：当x＝4，8+b＝5．
∴b＝﹣3．
∴当x＝3，y＝﹣3×3+3＝﹣6．
故选：A．
【点评】本题主要考查求函数值，熟练掌握求函数值的方法是解决本题的关键．
【变式3-5】(2023秋•锦江区校级期中）已知函数y=1x−1．
（1）自变量x的取值范围为 ；
（2）当x＝4时，y的值为 ．
分析：（1）根据二次根式的被开方数大于0且分母不为0解决此题．
（2）将自变量的值代入解析式求得函数值．
【解答】解：（1）由题意得，x−1≠0且x﹣1≥0．
∴x≠1且x≥1．
∴x＞1．
故答案为：x＞1．
（2）当x＝4，y=1x−1=14−1=33．
故答案为：33．
【点评】本题主要考查二次根式的性质、求函数值，熟练掌握二次根式的被开放数大于0、求函数值的方法是解决本题的关键．
【变式3-6】(2023秋•莲都区期末）某公交车司机统计了月乘车人数x（人）与月利润y（元）的部分数据如表，假设每位乘客的公交票价固定不变，公交车月支出费用为6000元．（月利润＝月收入﹣月支出费用）
（1）根据函数的定义，y是关于x的函数吗？
（2）结合表格解答下列问题：
①公交车票的单价是多少元？
②当x＝2750时，y的值是多少？它的实际意义是什么？
分析：（1）根据函数的定义进行判断即可；
（2）①根据表格中月乘车人数x，与月利润y之间的变化对应值，可求出车票的单价；
②根据表格中两个变量的对应值得出答案即可．
【解答】解；（1）由函数的定义可知，表格中“月利润y”随着“月乘车人数x的变化而变化，当月乘车人数每取一个固定值，月利润y就有唯一值与之相对应”，
所月利润y是月乘车人数x的函数；
（2）①（2000﹣1000）÷（4000﹣3500）＝2（元），
答：公交车的票价为每人2元；
②当x＝2750时，y＝﹣500，当月乘车人数为2750人时，月利润为﹣500元，即公司亏损500元．
【点评】本题考查函数、函数值，理解函数的定义，掌握函数值的计算方法是正确解答的前提．
题型四 列函数解析式
【例题4】(2023春•清远期中）已知小明从A地到B地，速度为4千米/小时，A、B两地相距30千米，若用x（小时）表示行走的时间，y（千米）表示余下的路程，则y与x之间的表达式是（ ）
A．y＝4xB．y＝4x﹣30C．y＝﹣4xD．y＝30﹣4x
分析：表示出小明x小时所行路程为4xkm后，就可以表示出所剩路程为（30﹣4x）km，即可得出答案．
【解答】解：∵小明x小时行驶4xkm，
∴剩余路程为（30﹣4x）km，
即y与x之间的函数表达式是y＝30﹣4x．
故选：D．
【点评】此题主要考查了函数关系式，正确理解题意表示出行驶路程是解题的关键．
【变式4-1】(2023春•罗湖区校级期末）油箱中存油20升，油从油箱中均匀流出，流速为0.2升/分钟，则油箱中剩余油量 Q（升）与流出时间t（分钟）的函数关系是（ ）
A．Q＝0.2tB．Q＝20﹣0.2tC．t＝0.2QD．t＝20﹣0.2Q
分析：利用油箱中存油量20升﹣流出油量＝剩余油量，根据等量关系列出函数关系式即可．
【解答】解：由题意得：流出油量是0.2t，
则剩余油量：Q＝20﹣0.2t，
故选：B．
【点评】此题主要考查了列函数解析式，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．
【变式4-2】(2023秋•高新区校级期末）西安市出租车起步价8.5元（路程小于或等于3公里），超过3公里每增加1公里加收2元，出租车费y（元）与行程x（公里）（x＞3）之间的函数关系 ．
分析：首先设乘出租车xkm，应付y元车费，根据题意即可得一次函数：y＝8.5+2（x﹣3），进而得出即可．
【解答】解：设乘出租车xkm，应付y元车费．
∵每增加1公里加收2元，
∴根据题意得：当x＞3时，y＝8.5+2（x﹣3）＝2x+2.5．
故答案为：y＝2x+2.5．
【点评】此题考查了一次函数的实际应用问题．此题难度适中，解题的关键是理解题意，根据题意求得函数解析式．
【变式4-3】(2023春•清镇市校级期中）汽车开始行驶时，油箱中有油40升，如果每小时耗油5升，则油箱余油量y（升）与行驶时间x（时）的关系式为 ．
分析：通过油箱内油量＝原有油量﹣耗油量列关系式．
【解答】解：由题意得y＝40﹣5x．
故答案为：y＝40﹣5x．
【点评】本题考查列代数式，解题关键是通过题意找到等量关系．
【变式4-4】(2023春•和平区校级月考）观察下列图形及表格，则周长l与梯形个数n之间的关系式为 ．
分析：观察可得当梯形的个数为1个时，图形周长为5；当梯形的个数为2个时，图形周长为5+（2﹣1）×3；当梯形的个数为3个时，图形周长为5+（3﹣1）×3；即可得出当梯形个数为10个时，图形周长为5+（10﹣1）×3，当梯形个数为n个时，图形周长为5+（n﹣1）×3．
【解答】解：当梯形的个数为1个时，图形周长为5；
当梯形的个数为2个时，图形周长为5+（2﹣1）×3；
当梯形的个数为3个时，图形周长为5+（3﹣1）×3；
…，
当梯形个数为n个时，图形周长为5+（n﹣1）×3＝3n+2．
故答案为：l＝3n+2．
【点评】此题考查了图形的变化类，解题的关键是通过观察，归纳、总结得出图形的周长与梯形的个数之间的关系．
【变式4-5】(2023秋•武义县期末）如图，某链条每节长为2.8cm，每两节链条相连接部分重叠的圆的
直径为1cm，按这种连接方式，x节链条总长度为ycm，则y关于x的函数关系式是 cm．
分析：先求出1节链条的长度，2节链条的总长度，3节链条的总长度，然后从数字找规律，进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：
1节链条的长度＝2.8cm，
2节链条的总长度＝[2.8+（2.8﹣1）]cm，
3节链条的总长度＝[2.8+（2.8﹣1）×2]cm，
..．
∴x节链条总长度y＝[2.8+（2.8﹣1）×（x﹣1）]＝（1.8x+1）（cm），
故答案为：（1.8x+1）cm．
【点评】本题考查了规律型：图形的变化类，从数字找规律是解题的关键．
【变式4-6】(2023春•碑林区期末）某中学数学兴趣小组准备围建一个长方形ABCD苗圃园，其中一边靠墙，另外三边是由长度为40m的篱笆围成的．如图，已知墙长EF为25m，设这个苗圃园垂直于墙的一边长AB为x（7.5m＜x＜20m），BC的长度为l．苗圃园的面积为S．
（1）BC的长度L与AB的长度x的关系式为 ．
（2）当x＝8m时，BC的长度l＝ m，苗圃园的面积S＝ m2．
分析：（1）根据周长公式求解；
（2）代入求值，根据矩形的面积公式求解．
【解答】解：（1）∵2x+l＝40，
∴l＝40﹣2x．
故答案为：l＝40﹣2x．
（2）当x＝8m时，BC的长度l＝40﹣2x＝24（m），
苗圃园的面积S＝xl＝24×8＝1192（m2）．
故答案为：24，192．
【点评】本题考查列函数表达式，并求值，理解题意是解题的关键．
【变式4-7】(2023春•永丰县期末）“十一”期间，小明和父母一起开车到距家200km的景点旅游，出发前，汽车油箱内储油45L，行驶150km时，发现油箱余油量为30L（假设行驶过程中汽车的耗油量是均匀的）．
（1）写出该车行驶路程x（km）与剩余油量Q（L）的关系式；
（2）当x＝280km时，求剩余油量Q的值．
分析：（1）根据平均每千米的耗油量＝总耗油量÷行驶路程即可得出该车平均每千米的耗油量，再根据剩余油量＝总油量﹣平均每千米的耗油量×行驶路程即可得出Q关于x的函数关系式；
（2）当x＝280km时，代入上式求出即可．
【解答】解：（1）该车平均每千米的耗油量为（45﹣30）÷150＝0.1（升/千米），
行驶路程x（千米）与剩余油量Q（升）的关系式为Q＝45﹣0.1x；
（2）当x＝280时，Q＝45﹣0.1×280＝17（L）．
答：当x＝280千米时，剩余油量Q的值为17L．
【点评】本题考查了函数的关系式以及一次函数图象上点的坐标特征，根据数量关系列出函数关系式是解题的关键．
【变式4-8】(2023春•晋州市期中）已知一个长方形的长为x，宽为y，周长为40．
（1）求出y关于x的函数解析式（不用写出自变量x的取值范围）；
（2）当x＝13时，求y的值；
（3）当y＝8时，该长方形的面积是多少？
分析：（1）根据长方形的周长公式化简即可得出答案；
（2）把x＝13代入函数解析式即可；
（3）把y＝8代入函数解析式求出x，再求长方形的面积即可．
【解答】解：（1）∵长方形的周长为40，
∴2（x+y）＝40，
∴y＝20﹣x；
（2）当x＝13时，
y＝20﹣13
＝7；
（3）当y＝8时，20﹣x＝8，
∴x＝12，
∴长方形的面积＝12×8＝96．
【点评】本题考查了函数关系式，函数值，根据长方形的周长公式化简得到y关于x的函数解析式是解题的关键．
题型五 实际问题中的函数图象
【例题5】（2023•平远县校级开学）如图，是某蓄水池的横断面示意图，分深水区和浅水区，如果这个蓄水池以固定的流量注水，下面哪个图象能大致表示水的最大深度h和时间t之间的关系（ ）
A．B．C．D．
分析：首先看图可知，蓄水池的下部分比上部分的体积小，故h与t的关系变为先快后慢．
【解答】解：根据题意和图形的形状，可知水的最大深度h与时间t之间的关系分为两段，先快后慢．
故选：C．
【点评】考查根据几何图形的性质确定函数的图象和函数图象的作图能力．要能根据几何图形和图形上的数据分析得出所对应的函数的类型和所需要的条件，结合实际意义画出正确的图象．
【变式5-1】(2023春•锦江区校级期末）如图是两圆柱形连通容器，向甲容器匀速注水，则下面可以近似地刻画甲容器的水面高度h（cm）随时间t（分）的变化情况的是（ ）
A．B．C．D．
分析：根据三个阶段甲容器的水面高度h（cm）随时间t（分）的增长速度确定出此题正确的结果．
【解答】解：∵刚开始时注水都在甲容器，水面高度h增长速度不变；
当甲容器中水位到达连通部分后注水开始流向乙容器，此时甲容器的水面高度h（cm）不变；
当乙容器水位也到达连通部分后，甲、乙两容器中水位同时上升，此时水面高度h（cm）上升但速度比开始时慢，
∴选项A中图象符合该变化过程，
故选：A．
【点评】此题考查了用图象描述实际问题中变化情况的能力，关键是能准确理解变化过程并能用图象描述．
【变式5-2】(2023春•惠济区期末）以下四种情境分别描述了两个变量之间的关系：甲：乐乐投篮时，投出去的篮球的高度与时间的关系；乙：乐乐去文具店购买签字笔，支付费用与购买签字笔支数的关系；丙：一长方形水池里还有一部分水，再打开水管匀速往里注水，注水时间和水池中水面的高度之间的关系；丁：乐乐去奶奶家吃饭，饭后，按原速度原路返回，乐乐离家的距离与时间的关系．用下面的图象刻画上述情境，排序正确的是（ ）
A．①②③④B．①③④②C．①④②③D．①③②④
分析：根据四种变化中两个变量间的关系，可分别判断每种变化对应的图象．
【解答】解：∵乐乐投篮时，投出去的篮球的高度随时间成抛物线形状，
∴该变化对应图象①；
∵乐乐去文具店购买签字笔，支付费用与购买签字笔支数成正比例关系，
∴该变化对应图象④；
∵一长方形水池里还有一部分水，再打开水管匀速往里注水时，注水时间和水池中水面的高度成一次函数关系；
∴该变化对应图象②；
∵乐乐去奶奶家吃饭，饭后，按原速度原路返回，
∴该变化对应图象③；
故选：C．
【点评】此题考查了运用函数图象获取相关信息的能力，关键是能准确理解相关知识与读图．
【变式5-3】(2023秋•北碚区校级期末）下面是物理课上测量铁块A的体积实验，将铁块匀速向上提起，直至完全露出水面一定高度，下面能反映这一过程中，液面高度h与铁块被提起的时间t之间函数关系的大致图象是（ ）
A．B．C．D．
分析：根据题意，在实验中有3个阶段：①铁块在液面以下，②铁块的一部分露出液面，但未完全露出时，③铁块完全露出时，分别分析液面的变化情况，结合选项，可得答案．
【解答】解：根据题意，在实验中有3个阶段，
①铁块在液面以下，液面的高度不变；
②铁块的一部分露出液面，但未完全露出时，液面高度降低；
③铁块在液面以上，完全露出时，液面高度又维持不变；
即B符合描述；
故选：B．
【点评】本题考查函数的图象，注意，函数值随时间的变化问题，不一定要通过求解析式来解决．
【变式5-4】(2023秋•梅里斯区期末）小明从家出发，徒步到书店购买文具，购好文具后骑共享单车原路返回，设他从家出发后所用的时间为t（分），离家的距离为S（米）．则S与t之间的关系大致可以用图象表示为（ ）
A．B．C．D．
分析：根据题意，把小明的运动过程分为三个阶段，分别分析出s、t之间的变化关系，从而得解．
【解答】解：小明的整个行程共分三个阶段：
①徒步从家到书店购买文具，s随时间t的增大而增大；
②购文具逗留期间，s不变；
③骑共享单车返回途中，速度比徒步速度大，比徒步时的直线更陡，离家距离为0；
纵观各选项，只有A选项符合．
故选：A．
【点评】本题考查了函数的图象，根据题意，分析出整个过程的运动情况，并判断出各阶段的图象变化情况是解题的关键．
【变式5-5】(2023春•全州县期末）某学生早上为赶时间匀速小跑赶往学校；到校后，便在教室里上课；放学后因时间充足，便以相对较慢的速度匀速走回家，下列图象能大致反映这一过程的是（ ）
A．B．C．D．
分析：某学生以一个较快的速度匀速赶往学校，离家的距离和所走路程都逐渐增大；上午在教室里上课，离家的距离和所走路程都不变；中午以较慢的速度匀速回家，离家的距离变小，所走路程增加，比开始增加的慢．
【解答】解：匀速赶往学校，离家的距离和所走路程都逐渐增大；
上午在教室里上课，离家的距离和所走路程都不变；
中午以较慢的速度匀速回家，离家的距离变小，所走路程增加，比开始增加的慢．
故选：A．
【点评】本题考查的是函数图象，要求学生具有利用函数的图象信息解决生活中的实际问题的能力．
【变式5-6】(2023春•定州市期末）一列慢车从甲地驶往乙地，一列快车从乙地驶往甲地，慢车的速度为100千米/小时，快车的速度为150千米/小时，甲、乙两地之间的距离为1000千米，两车同时出发，则图中折线大致表示两车之间的距离y（千米）与慢车行驶时间t（小时）之间函数图象的是（ ）
A．B．
C．D．
分析：分三段讨论，①两车从开始到相遇，这段时间两车距迅速减小，②相遇后向相反方向行驶到特快到达甲地，这段时间两车距迅速增加，③特快到达甲地至快车到达乙地，这段时间两车距缓慢增大，结合实际选符合的图象即可．
【解答】解：①两车从开始到相遇，这段时间两车距迅速减小；
②相遇后向相反方向行驶到特快到达甲地这段时间两车距迅速增加；
③快车到达甲地至快车到达乙地，这段时间两车距缓慢增大；
结合图象可得A选项符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了函数的图象，解答本题关键是分段讨论，要结合实际解答，明白每条直线所代表的实际含义及拐点的含义．
题型六 从函数图象中获取信息解决问题
【例题6】(2023秋•渝中区校级期末）某星期日上午10：00，小丰从家匀速步行到附近的咖啡店看书，看完书后，他匀速跑步回家，且跑步的速度是步行速度的2倍，小丰离家的距离y（千米）与所用的时间x（分钟）之间的关系如图所示，下列说法错误的是（ ）
A．小丰在咖啡店看书的时间是40分钟
B．小丰家与咖啡店的距离为2千米
C．小丰的步行速度是4千米小时
D．小丰返回家的时刻是上午11：20
分析：根据图象，由路程＝速度×时间之间的关系逐项分析即可．
【解答】解：由图象可知，小丰在咖啡店看书的时间是70﹣30＝40分钟，故选项A不符合题意；
由图象可知小丰家与咖啡店的距离为2千米，故B选项不符合题意；
小丰的步行速度是20.5=4千米/小时，故C选项不符合题意；
∵跑步的速度是步行速度的2倍，
∴从咖啡店回家用的时间为15分钟，
∴从出家门到回到家用了70+15＝85分钟，
∴小丰返回家的时刻是上午11：25，故D选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了函数的图象，路程＝速度×时间之间的关系的运用，借助图象是解题关键．
【变式6-1】(2023秋•北碚区校级期末）甲，乙两人在一次百米赛跑中，路程s与时间t的关系如图所示，下列说法错误的是（ ）
A．甲，乙两人同时出发
B．甲先到达终点
C．乙在这次赛跑中的平均速度为0.8米/秒
D．乙比甲晚到0.5秒
分析：从图象上观察甲、乙两人的路程，时间的基本信息，再计算速度，回答题目的问题．
【解答】解：从图中可获取的信息有：
甲，乙两人同时出发，A正确，不符合题意；
甲先到达终点，B正确，不符合题意；
乙在这次赛跑中的速度为100÷12.5＝8（米/秒），C错误，符合题意；
乙比甲晚到12.5﹣12＝0.5（秒），D正确，不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了函数的图象，还考查了学生从图象中读取信息的数形结合能力．解决此类识图题，同学们要注意分析其中的“关键点”，还要善于分析各图象的变化趋势．
【变式6-2】(2023春•秦都区期中）某中学举行了“健康欢乐跑”教职工运动会，陈老师参加了800米欢乐跑，其路程s（单位：米）与时间t（单位：分钟）之间的关系如图所示，则下列说法错误的是（ ）
A．陈老师跑完全程用了5分钟
B．陈老师前3分钟的速度为100米/分
C．3分钟时，陈老师距离终点还有500米
D．陈老师前3分钟的速度大于后2分钟的速度
分析：由函数图像可直接确定A正确；由速度＝路程÷时间可求出陈老师前3分钟的速度，可确定B；由函数图像可求出3分钟时，陈老师距离终点还有800﹣300＝500米，确定C正确；由速度＝路程÷时间可求出陈老师后2分钟的速度，再比较可确定D．
【解答】解：由图像可知第5分钟时陈老师跑完全程的800米，故A正确，不符合题意；
300÷3＝100米/分，故陈老师前3分钟的速度为100米/分，B正确，不符合题意；
800﹣300＝500米，故3分钟时，陈老师距离终点还有500米，C正确，不符合题意；
陈老师后2分钟的速度为：500÷2＝250米/分＞100米/分，故陈老师前3分钟的速度小于后2分钟的速度，D错误，符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查从函数图像获取信息，读懂函数图像，从函数图像获取必要的信息和数据是解题关键．
【变式6-3】(2023春•金塔县期中）亮亮从家跑步到学校，在学校图书馆看了一会书，然后步行回家，亮亮离家的路程y（米）与时间t（分）之间的关系如图所示，则亮亮回家的速度为 ．
分析：由图象可知，亮亮家距离图书馆600米，回家用了30﹣20＝10分，即可求出亮亮回家的速度．
【解答】解：由图象可知，亮亮家距离图书馆600米，回家用了30﹣20＝10分，
∴亮亮回家的速度为60010=60（米/分）．
故答案为：60米/分．
【点评】此题主要考查了看函数图象，解决本题的关键是读懂图意，然后根据图象信息找到所需要的数量关系，利用数量关系即可解决问题．
【变式6-4】(2023秋•越城区校级期末）在全民健身越野赛中，甲、乙两选手的行程y（km）随时间x（h）变化的图象（全程）如图所示．给出下列四种说法：①起跑后1h内，甲在乙的前面；②第1h两人都跑了10km；③甲比乙先到达终点；④两人都跑了20km．其中正确的是（ ）
A．①B．①②C．①②④D．②③④
分析：根据图像可以直接判断①②正确，③错误；先求出乙跑的直线解析式，然后将x＝2代入求出y的值，即可求出两人跑的总路程，判断出④正确．
【解答】解：①起跑1h内，甲在乙的前面，故①正确；
②在跑了1h时，乙追上甲，此时都跑了10km，故②正确；
③乙比甲先到达终点，故③错误；
④设乙跑的直线解析式为：y＝kx，将点（1，10）代入得：k＝10，
∴乙跑的直线解析式为：y＝10x，
把x＝2代入得：y＝20，
∴两人都跑了20km，故④正确；
综上分析可知，正确的有①②④．
故选：C．
【点评】本题主要考查了函数图象，解答此类问题的关键是从函数图像中获得信息，利用数形结合求解．
【变式6-5】(2023秋•广饶县校级期末）如图，折线ABCDE描述了一辆汽车在某一直线上的行驶过程中，汽车离出发地的距离s（km）与行驶时间t（h）之间的函数关系，根据图中提供的信息，判断下列结论正确的选项是（ ）
①汽车在行驶途中停留了0.5小时；
②汽车在整个行驶过程的平均速度是60km/h；
③汽车共行驶了240km；
④汽车出发4h离出发地40km．
A．①②④B．①②③C．①③④D．①②③④
分析：根据停留时距离S不发生变化可判断①；根据速度＝路程÷时间列式计算即可判断②；求得往返的路程和得出答案即可判断③；先求出3h到4.5h的速度，再求据出发地的距离可判断④．
【解答】解：①汽车在行驶途中停留了2﹣1.5＝0.5h，
故①正确；
②平均速度：120×2÷4.5=1603千米/小时，
故②错误；
③汽车共行驶了120×2＝240km，
故③正确；
④汽车自出发后3h到4.5h速度为：120÷（4.5﹣3）＝120÷1.5＝80千米/小时，
∴汽车出发4h离出发地距离为120﹣（4﹣3）×80＝120﹣80＝40千米，
故④正确．
∴正确的是①③④，
故选：C．
【点评】本题考查了一次函数的应用，主要利用了速度、路程、时间之间的关系，准确识图并获取必要的信息是解题的关键．
【变式6-6】(2023秋•海淀区校级期末）小明家、食堂、图书馆在同一条直线上．小明从家去食堂吃早餐，接着去图书馆读报，然后回家．小明离家的距离与时间之间的对应关系如图所示．
根据如图回答下列问题：
（1）食堂离小明家多远？小明从家到食堂用了多少时间？
（2）小明吃早餐用了多少时间？在图书馆停留了多少时间？
（3）图书馆离小明家多远？小明从图书馆回家的平均速度是多少？
分析：根据题意和函数图象中的数据可以依次解答．
【解答】解：（1）食堂离小明家0.6（km），小明从家到食堂用了8（min）；
（2）小明吃早餐用的时间为25﹣8＝17（min），在图书馆停留的时间为58﹣28＝30（min）；
（3）图书馆离小明家0.8（km），小明从图书馆回家的平均速度是0.8÷（68÷58）＝0.08（km/min）．
【点评】本题考查函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
【变式6-7】(2023春•卢龙县期中）某次大型活动，组委会启用无人机航拍活动过程，在操控无人机时应根据现场状况调节高度．已知无人机在上升和下降过程中速度相同，设无人机的飞行高度h（米）与操控无人机的时间x（分钟）之间的关系如图中的实线所示，根据图象回答下列问题：
（1）在上升或下降过程中，无人机的速度是 米/分；
（2）图中a表示的数是 ，b表示的数是 ；
（3）无人机在60米高的上空停留的时间是 分钟．
分析：（1）根据图象信息，根据速度等于路程除以时间计算即可；
（2）根据（1）的结论，结合图象可得a与b的值；
（3）根据b的值可得结论；
【解答】解：（1）在上升或下降过程中，无人机的速度是：60÷（12﹣9）＝20（米/分）；
故答案为：20；
（2）a＝40÷20＝2；b＝5+（60﹣40）÷20＝6．
故答案为：2；6；
（3）无人机在60米高的上空停留的时间是：9﹣6＝3（分钟），
故答案为：3；
【点评】本题考查了函数图象，从函数图象获取信息是解题的关键．
题型七 函数的三种表示方法
【例题7】(2023春•湘东区期中）弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度y（厘米）与所挂物体的质量x（千克）间有下面关系（假设弹簧不会折断）：
下列说法不正确的是（ ）
A．x与y都是变量，且x自变量，y是因变量
B．弹簧不挂重物时的长度为10厘米
C．物体质量每增加1千克，弹簧长度y增加0.5厘米
D．所挂物体质量为26千克时，弹簧长度为23.5厘米
分析：根据给定的表格分别判断即可．
【解答】解：根据题意，可知x与y都是变量，且x自变量，y是因变量，
故A选项不符合题意；
当x＝0时，y＝10，
∴弹簧不挂重物时的长度为10厘米，
故B选项不符合题意；
根据表格，可知物体质量每增加1千克，弹簧长度y增加0.5厘米，
故C选项不符合题意；
当x＝26时，y＝10+0.5×26＝23，
故D选项符合题意，
故选：D．
【点评】本题考查了函数的表示方法，常量与变量，理解给定的表格是解题的关键．
【变式7-1】(2023春•武功县期中）在某一阶段，某商品的售价x（元）与销量y（件）之间存在如下关系：
估计当售价x为137元时，销量y可能为（ ）
A．33件B．43件C．53件D．63件
分析：根据表格中的售价与销量得到售价每提升一元，销量减少一件，即可得到答案．
【解答】解：根据表格中的售价与销量得到售价每提升一元，销量减少一件，
当售价为137元时，售价从130元增加到137时，售价提高7元，则销量从50件减少到50﹣7＝43件，
故销量为137元时，销量可能为43件．
故选：B．
【点评】本题主要考查函数的表示方法，解题的关键是找到售价与销量之间的关系．
【变式7-2】(2023春•普宁市校级期中）已知火车站托运行李的费用C和托运行李的质量P（P为整数）的对应关系如下表所示：
则C与P之间的关系式为（ ）
A．C＝0.5（P﹣1）B．C＝2P﹣0.5
C．C＝2P+0.5D．C＝2+0.5（P﹣1）
分析：根据表可以得到P增加1，则对应的C增加0.5，据此即可求解．
【解答】解：根据表可以得到P增加1，则对应的C增加0.5，则C与P的对应关系是：C＝2+0.5（P﹣1）．
故选：D．
【点评】本题考查了函数关系式，理解P增加1，则对应的C增加0.5是关系式．
【变式7-3】(2023秋•晋中期末）如图是一支温度计的示意图，图中左边是用摄氏温度表示的温度值，右边是用华氏温度表示的温度值，下表是这两个温度值之间的部分对应关系：
根据以上信息，可以得到y与x之间的关系式为（ ）
A．y=95x+32B．y＝x+32C．y＝x+40D．y=59x+32
分析：根据表格可知x每增加10℃，y增加18°F，当x＝0时，y＝32，即可确定y与x的函数关系式．
【解答】解：根据表中的对应关系，可知y=1810x+32=95x+32，
∴y=95x+32，
故选：A．
【点评】本题考查了函数关系式，找出表格中的数据之间的关系是解题的关键．
【变式7-4】(2023春•陈仓区期中）草莓销售季节，某种植基地开发了草莓采摘无人销售方式，为方便小朋友体验，销售人员把销售的草莓数量x（kg）与销售总价y（元）之间的关系写在了下列表格中：
（1）请你写出草莓的销售数量x（kg）与销售总价y（元）之间的关系式；
（2）丽丽一家共摘了6.5kg草莓，应付多少钱？
分析：（1）由表格可值，销售数量每增加1kg，销售总价增加8元，即可写出函数关系式；
（2）把x＝6.5代入（1）中的函数关系式中即可得出答案．
【解答】解：（1）根据题意可得，
y＝8x+0.5；
（2）把x＝6.5代入y＝8x+0.5中，
得y＝8×6.5＝52.5（元）．
丽丽一家共摘了6.5kg草莓，应付52.5元．
【点评】本题主要考查了函数的表示方法，熟练掌握函数的表示方法进行求解是解决本题的关键．
【变式7-5】(2023秋•东营月考）在一次实验中，马达同学把一根弹簧的上端固定，在其下端悬挂物体质量x的一组对应值．
（1）如表反应了哪两个变量之间的关系，并指出谁是自变量，谁是函数．
（2）当悬挂物体的重量为4千克时，弹簧长 ；不挂重物时弹簧长 ；
（3）弹簧长度y所挂物体质量x之间的关系可以用式子表示为： ；
（4）当弹簧长40cm时，求所挂物体的重量．
分析：（1）根据自变量和函数的含义即可确定；
（2）根据表格即可确定；
（3）根据给定的表格即可确定关系式；
（4）将y＝40代入（3）中的关系式求解即可．
【解答】解：（1）自变量是所挂物体的质量x，函数量是弹簧长度y；
（2）由表格可知，当悬挂物体的重量为4千克时，弹簧长26cm，不挂重物时弹簧长18cm，
故答案为：26cm，18cm；
（3）由表格可知，y与x的关系式为y＝2x+18，
故答案为：y＝2x+18；
（4）当y＝40时，即2x+18＝40，
解得x＝11，
答：所挂物体的重量为11千克．
【点评】本题考查了函数的表示方法，通过表格求出y和x的关系式是解题的关键．
【变式7-6】(2023春•西安期中）某剧院的观众席的座位为扇形，且按下列方式设置：
（1）按照上表所示的规律，当x每增加1时，y如何变化？
（2）写出座位数y与排数x之间的解析式．
（3）按照如表所示的规律，某一排可能有90个座位吗？说说你的理由．
分析：（1）根据表格中数据直接得出y的变化情况；
（2）根据x，y的变化规律得出y与x的函数关系；
（3）利用（2）中所求，将y＝90代入分析即可．
【解答】解：（1）由图表中数据可得：当x每增加1时，y增加3；
（2）由题意可得：y＝50+3（x﹣1）＝3x+47；
（3）某一排不可能有90个座位，
理由：由题意可得：y＝3x+47＝90，
解得：x=433．
故x不是整数，则某一排不可能有90个座位．
【点评】此题主要考查了函数关系，正确得出y与x的函数关系式是解题关键．
题型八 动点运动问题与函数图象
【例题8】(2023秋•泗阳县期末）如图，在长方形ABCD中，动点P从点B出发，沿BC、CD、DA运动至点A停止，设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y，y关于x的函数图象如图2所示，若b﹣2a＝5，则长方形ABCD的周长为（ ）
A．20B．18C．16D．24
分析：根据函数的图象、结合图形可知BC＝a，12AB×BC＝10，所以AB=20a，根据b﹣2a=20a，b﹣2a＝5，得20a=5，求出a的值即可得出答案．
【解答】解：根据图2的点（a，10），可知BC＝a，12AB×BC＝10，
∴AB=20a，
∴BC+CD+DA＝2a+20a=b，
∴b﹣2a=20a，
∵b﹣2a＝5，
∴20a=5，
∴a＝4，
∴AB＝5，BC＝4，
∴长方形ABCD的周长为2×（5+4）＝18．
故选：B．
【点评】本题主要考查了动点问题的函数图象，在解题时要能根据函数的图象求出有关的线段的长度，从而得出长方形的周长是本题的关键．
【变式8-1】(2023秋•东港市期末）如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是边BC的中点，动点P从点C出发，沿CA﹣AB运动到点B，设点P的运动路程为x，△PCD的面积为y，y与x的函数图象如图2所示，则AB的长为（ ）
A．213B．413C．314D．6
分析：由图象可知：当x＝3时，y等于3，由此可得出CD的长，进而得出BC的长；当x＝6时，面积最大，且面积发生转折，此时点P和点A重合，可得AC＝6，最后由勾股定理可得结论．
【解答】解：由图象可知：当x＝3时，CP＝3，y=12PC⋅CD=3，
即 12×3⋅CD=3，解得CD＝2，
∵点D是BC的中点，
∴BC＝4，
当x＝6时，此时点P和点A重合，
∴AC＝6，
在 Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，AC＝6，
由勾股定理可得，AB=42+62=213．
故选：A．
【点评】本题考查了动点问题的函数图象：函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．解决本题的关键是利用分类讨论的思想求出AC和BC的长．
【变式8-2】(2023春•牡丹区校级期中）如图，在长方形ABCD中，动点P从点B出发，沿BC，CD，DA运动到点A停止，设点P运动路程为x，△ABP的面积为y，如果y关于x的函数图象如图所示，则长方形ABCD的周长是（ ）
A．24B．18C．20D．40
分析：根据y关于x的函数图象得到BC、CD的长，进而求长方形的周长．
【解答】解：由y关于x的函数图象可知，BC＝4，CD＝9﹣BC＝9﹣4＝5，
∴长方形ABCD的周长是：2×（4+5）＝18；
故选：B．
【点评】本题主要考查关于动点问题的函数图象，根据函数图像获取相关信息是解题的关键．
【变式8-3】(2023春•朝阳区校级月考）如图，正方形ABCD的边长为4，P为正方形边上一动点，运动路线是A→D→C→B→A，设P点经过的路程为x，以点A、P、D为顶点的三角形的面积是y，则下列图象能大致反映y与x的函数关系的是（ ）
A．B．
C．D．
分析：根据动点从点A出发，首先向点D运动，此时y不随x的增加而增大，当点P在DC上运动时，y随着x的增大而增大，当点P在CB上运动时，y不变，据此作出选择即可．
【解答】解：当点P由点A向点D运动，即0＜x≤4时，y的值为0；
当点P在DC上运动，即4＜x≤8时，y随着x的增大而增大；
当点P在CB上运动，即8＜x≤12时，y不变；
当点P在BA上运动，即12＜x≤16时，y随x的增大而减小．
故选：B．
【点评】本题考查了动点问题的函数图象，解决动点问题的函数图象问题关键是发现y随x的变化而变化的趋势．
【变式8-4】(2023•南海区校级四模）如图，矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，M是CD的中点，点P在矩形的边上沿A→B→C→M运动，则△APM的面积y与点P经过的路程x之间的函数关系用图象表示大致是（ ）
A．B．
C．D．
分析：根据每一段函数的性质，确定其解析式，特别注意根据函数的增减性，以及几个最值点，确定选项比较简单．
【解答】解：点P由A到B这一段中，三角形的AP边上的高不变，因而面积是路程x的正比例函数，
当P到达B点时，面积达到最大，值是1，
在P由B到C这一段，面积随着路程的增大而减小，
到达C点，即路程是3时，最小是12，
由C到M这一段，面积越来越小，
当P到达M时，面积最小变成0，
因而选项B符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了分段函数的画法，是难点，要细心认真．
【变式8-5】(2023春•灵宝市校级月考）如图1，点P从菱形ABCD的顶点A出发，沿A→D→B以1cm/s的速度匀速运动到点B，图2是点P运动时，△PBC的面积y（cm2）随时间x（s）变化的函数关系图象，则菱形ABCD的周长为（ ）
A．5B．103C．256D．252
分析：过点D作DE⊥BC，根据图象的三角形的面积可得菱形的边长为a，再利用菱形的性质和勾股定理列方程可求a即可．
【解答】解：如图1，过点D作DE⊥BC于点E，
∵AD∥BC，
∴当点P在边AD上运动时，y的值不变，
∴AD＝a，即菱形的边长是a，
∴12•a•DE=32a，
∴DE＝3，
当点P在DB上运动时，y逐渐减小，
∴DB＝5，
∴BE=BD2−DE2=52−32=4，
在Rt△DCE中，DC＝a，CE＝4﹣a，DE＝3，
∴a2＝32+（4﹣a）2，
解得a=258，
∴菱形ABCD的周长为4a=252．
故选：D．
【点评】本题考查动点问题的函数图象和菱形的性质，根据图象分析得出a的值是解题关键．
【变式8-6】(2023春•芗城区校级期中）如图1，AH＝BC＝10cm，GF＝DE，点P从点A出发保持匀速运动，沿长方形凹槽A→B→C→D→E→F→G→H的路线运动，到点H停止；如图2是△APH的面积S（cm2）和运动时间x（s）的图象．
（1）求图1中的AB的长度；
（2）设点P运动的路程为y（cm），请写出y（cm）与运动时间x（s）之间的关系式，写出x的取值范围．
分析：（1）根据图2可知，当运动时间为10s时，△APH的面积S＝100cm2，即可求出AB的长度；
（2）由（1）可知点P运动的速度为2010=2cm/s，再求出GF＝DE＝2×（22﹣20）＝4cm，所以运动时间x的范围为0≤x≤29，即可求出答案．
【解答】解：（1）根据图2可知，当运动时间为10s时，△APH的面积S＝100cm2，
即P运动到B点时12×AH×AB＝100，
∵AH＝10cm，
∴AB＝20（cm），
答：AB的长度20cm；
（2）由（1）可知点P运动的速度为2010=2（cm/s），
∴GF＝DE＝2×（22﹣20）＝4（cm），
∴从点A到点H的路程为20+10+20+4+4＝58cm，
∴运动时间x的范围为0≤x≤582，即0≤x≤29，
∴y＝2x（0≤x≤29）．
【点评】本题考查了动点问题的函数图象，关键是能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．
【变式8-7】(2023春•槐荫区期末）如图1所示，在三角形ABC中，AD是三角形的高，且AD＝8cm，BC＝10cm，点E是BC上的一个动点，由点B向点C运动，其速度与时间的变化关系如图2所示．
（1）由图2知，点E运动的时间为 s，速度为 cm/s，点E停止运动时与点C的距离为 cm；
（2）求在点E的运动过程中，三角形ABE的面积y（cm2）与运动时间x（s）之间的关系式，并写出自变量的取值范围；
（3）当点E停止运动后，求三角形ABE的面积．
分析：（1）根据图象解答即可；
（2）根据三角形的面积公式，可得答案；
（3）根据三角形的面积公式，可得答案．
【解答】解：（1）根据题意和图象，可得E点运动的时间为3s，速度为3cm/s，
当点E停止运动时，BE＝3×3＝9（cm），此时距离点C：10﹣9＝1（cm），
故答案为：3，3，1；
（2）根据题意得y=12×BE×AD=12×3x×8=12x，
即y＝12x（0＜x≤3）；
（3）当x＝3时，y＝12×3＝36（cm2），
故△ABE的面积为36cm2．
【点评】本题主要考查了动点问题的函数图象，涉及求函数解析式，求函数值问题，能读懂函数图象是解决问题的关键．
解题技巧提炼
函数的定义：设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量．
说明：对于函数概念的理解：①有两个变量；②一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而发生变化；③对于自变量的每一个确定的值，函数值有且只有一个值与之对应，即单对应．
解题技巧提炼
自变量的取值范围必须使含有自变量的表达式都有意义．
①当表达式的分母不含有自变量时，自变量取全体实数．例如y＝2x+13中的x．
②当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零．例如y＝x+2x﹣1．
③当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零．
④对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义．
解题技巧提炼
①当已知函数解析式时，求函数值就是求代数式的值；当已知函数解析式，给出函数值时，求相应的自变量的值就是解方程；
②当自变量确定时，函数值是唯一确定的．但当函数值唯一确定时，对应的自变量可以是多个．
x（人）
…
2500
2750
3000
3500
4000
…
y（元）
…
﹣1000
﹣500
0
1000
2000
…
解题技巧提炼
用来表示函数关系的等式叫做函数解析式，也称为函数关系式．
注意：①函数解析式是等式．
②函数解析式中，通常等式的右边的式子中的变量是自变量，等式左边的那个字母表示自变量的函数．
③函数的解析式在书写时有顺序性，例如，y＝x+9时表示y是x的函数，若写成x＝﹣y+9就表示x是y的函数.
梯形个数
1
2
3
4
5
…
图形周长
5
8
11
14
17
…
解题技巧提炼
正确理解函数图象横、纵坐标表示的意义，抓住关键点，如起点、交点、终点的意义，明确图象变化趋势、快慢的意义.实际问题的过程，就能够识别实际问题中的函数图象.
解题技巧提炼
函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力，用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图．
x
0
1
2
3
4
5
y
10
10.5
11
11.5
12
12.5
解题技巧提炼
函数的三种表示方法：列表法、解析式法、图象法．
其特点分别是：列表法能具体地反映自变量与函数的数值对应关系，在实际生活中应用非常广泛；解析式法准确地反映了函数与自变量之间的对应规律，根据它可以由自变量的取值求出相应的函数值，反之亦然；图象法直观地反映函数值随自变量的变化而变化的规律．
注意：①它们分别从数和形的角度反映了函数的本质；②它们之间可以互相转化．
售价x/年
90
100
110
120
130
140
销量y/件
90
80
70
60
50
40
P（kg）
1
2
3
4
5
…
C（元）
2
2.5
3
3.5
4
…
摄氏温度值x/℃
0
10
20
30
40
50
华氏温度值y/℉
32
50
68
86
104
122
销售数量x（kg）
1
2
3
4
…
销售总价y（元）
8.5
16.5
24.5
32.5
…
所挂物体质量x/kg
0
1
2
3
4
5
弹簧长度y/cm
18
20
22
24
26
28
排数（x）
1
2
3
4
…
座位数（y）
50
53
56
59
…
解题技巧提炼
本题考查了动点问题的函数图象，考查了函数图象所代表的实际意义，应用了数形结合的数学思想．关键是将图1中点P的运动与图2中的函数图象进行对应．
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