人教版八年级数学上册同步备课《第十六章二次根式》知识串讲+热考题型(原卷版+解析)

这是一份人教版八年级数学上册同步备课《第十六章二次根式》知识串讲+热考题型(原卷版+解析)，共61页。试卷主要包含了二次根式的定义，代数式的定义，最简二次根式概念，可合并的二次根式概念，21的大小，确定m等内容，欢迎下载使用。


二次根式有关概念
●●1、二次根式的定义：一般地，我们把形如a（a≥0）的式子叫做二次根式．其中“ ”称为二次根号，a为被开方数.
●●2、代数式的定义：用基本运算符号（基本运算符号包括：加、减、乘、除、乘方和开方）把表示数或字母连接起来的式子，称为代数式.
●●3、最简二次根式概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．
●●4、可合并的二次根式概念：把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，则这几个二次根式就是可以合并的二次根式．
二次根式的有关性质
●●1、a 的性质： a≥0； a≥0（双重非负性）．
●●2、（a）2（a≥0） 的性质：
（a）2＝a （a≥0）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）．
●●3、a2 的性质： a2=|a|=a(a＞0)0(a=0)−a(a＜0)（算术平方根的意义）．
二次根式的相关运算
●●1、二次根式的乘除法
二次根式的乘法法则：两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变.
二次根式的除法法则：两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变.
用字母表示为：
（1）二次根式的乘法法则：a•b=a⋅b（a≥0，b≥0）
（2）积的算术平方根性质：a⋅b=a•b（a≥0，b≥0）
（3）二次根式的除法法则：ab=ab（a≥0，b＞0）
（4）商的算术平方根的性质：ab=ab（a≥0，b＞0）
●●2、二次根式的加减法
二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并.
合并方法为系数相加减，根指数和被开方数不变．
●●3、二次根式的混合运算
（1）二次根式的混合运算是指二次根式的加、减、乘、除、乘方的混合运算．
（2）二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序是一样：先乘方、再乘除、最后加减，有括号的先算括号里面的（或先去掉括号）．
题型一 根据二次根式是整数求字母的取值
【例题1】(2023春•德宏州期末）已知20−n是整数，则自然数n所有可能的值有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【变式1-1】(2023春•温州期中）若12−n是整数，则满足条件的自然数n的值可以是 （写出一个即可）．
【变式1-2】已知24n是整数，求正整数n的最小值．
【变式1-3】已知18−n是整数，求自然数n所有可能的值；
题型二 二次根式与绝对值的综合运用
【例题2】已知实数x满足|2017﹣x|+x−2018=x，求x﹣20172的值．
【变式2-1】(2023春•灌云县期末）a2=|a|是二次根式的一条重要性质，请利用该性质解答以下问题：
（1）化简：(−3)2= ，(3−π)2= ；
（2）已知实数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，化简﹣|c﹣a|+(b−c)2．
【变式2-2】已知x2+8x+16+x2−12x+36=10，化简(2x+8)2+2|x﹣6|
【变式2-3】(2023秋•南江县校级期中）若﹣1≤x≤2，化简：|x﹣2|+x2+2x+1+(x−3)2．
【变式2-4】(2023春•姜堰区期末）小明在学习二次根式时，碰到这样一道题，他尝试着运用分类讨论的方法解题如下：
题目：若代数式(m−1)2+(m−2)2的值是1，求m的取值范围．
解：原式＝|m﹣1|+|m﹣2|，
当m＜1时，原式＝（1﹣m）+（2﹣m）＝3﹣2m＝1，解得m＝1（舍去）；
当1≤m≤2时，原式＝（m﹣1）+（2﹣m）＝1，符合条件；
当m＞2时，原式＝（m﹣1）+（m﹣2）＝2m﹣3＝1，解得m＝2（舍去）；
所以，m的取值范围是1≤m≤2．
请你根据小明的做法，解答下列问题：
（1）当3≤m≤5时，化简：(m−3)2+(m−5)2= ；
（2）若代数式(2−m)2−(m−6)2的值是4，求m的取值范围．
题型三 二次根式与三角形的综合运用
【例题3】设a，b，c分别为一三角形的三边长，试化简：(a+b+c)2+|a﹣b﹣c|+(b−a−c)2−(c−b−a)2．
【变式3-1】已知a、b、c是△ABC的三边，化简：(a+b+c)2−(a+b+c)2+(b−c−a)2−(c−a−b)2．
【变式3-2】已知三角形的两边长分别为3和5，第三边长为c，化简（|2−c|）2−14c2−4c+16．
题型四 二次根式乘除法法则成立的条件
【例题4】等式x+3•x−3=x2−9成立的条件是 ．
【变式4-1】(2023秋•闵行区校级期中）如果4x2−1=2x+1•2x−1成立，那么x的取值范围是 ．
【变式4-2】(2023•绵阳模拟）等式x2(x+1)=−xx+1成立的x的取值范围在数轴上表示为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式4-3】(2023秋•万柏林区校级月考）等式1−xx−3=x−13−x成立的x取值范围是（ ）
A．x≤1B．x＞3C．1≤x＜3D．x＜3
题型五 把二次根式根号外的因数（式）移到根号内
【例题5】把下列各式中根号外的因式适当改变后移到根号内．
（1）25； （2）﹣412； （3）（2﹣x）7x−2．
【变式5-1】(2023春•凉州区期末）若把x−1x中根号外的因式移入根号内，则转化后的结果是（ ）
A．xB．−xC．−xD．−−x
【变式5-2】(2023春•绥滨县期末）把（m﹣1）11−m中根号前的（m﹣1）移到根号内得（ ）
A．m−1B．1−mC．−m−1D．−1−m
【变式5-3】把下列各式中根号外的因数（式）移到根号内．
（1）﹣xyyx； （2）737； （3）﹣53； （4）3b23b；
题型六 二次根式的运算在实际生活中的应用
【例题6】(2023春•潼南区期中）在一块矩形的土地上种植草坪，该矩形土地的长为128m、宽为75m．
（1）求该矩形土地的周长；
（2）若种植造价每平方米160元，求在该矩形土地上全部种植草坪的总费用．
（提示：结果保留整数，6≈2.4）
【变式6-1】(2023春•陵城区期中）如图，有一张边长为63cm的正方形纸板，现将该纸板的四个角剪掉，制作一个有底无盖的长方体盒子，剪掉的四个角是面积相等的小正方形，此小正方形的边长为3cm．
（1）求长方体盒子的容积；
（2）求这个长方体盒子的侧面积．
【变式6-2】(2023春•汉滨区期中）三角形的周长为（55+210）cm，面积为（206+45）cm2，已知两边的长分别为45cm和40cm，求：（1）第三边的长；
（2）第三边上的高．
【变式6-3】(2023春•云南期末）某居民小区有块形状为矩形ABCD的绿地，长BC为128米，宽AB为50米，现在要矩形绿地中修建两个形状大小相同的长方形花坛（即图中阴影部分），每个长方形花坛的长为(13+1)米，宽为(13−1)米．
（1）求矩形ABCD的周长．（结果化为最简二次根式）
（2）除去修建花坛的地方，其它地方全修建成通道，通道上要铺上造价为6元/平方米的地砖，要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？
【变式6-4】如果一个三角形的三边的长分别为a，b，c，那么可以根据海伦﹣秦九韶公式S=p(p−a)(p−b)(p−c)[其中p=12（a+b+c）]或其他方法求出这个三角形的面积．试求出三边长分别为5，3，25的三角形的面积．
题型七 二次根式的大小比较
【例题7】比较二次根式的大小：（1） ；（2） ．
【变式7-1】(2023春•关岭县期末）王老师在小结时总结了这样一句话“对于任意两个正数a，b，如果a＞b，那么a＞b”，然后讲解了一道例题：比较15200和23的大小．
解：(15200)2=125×200＝8，（23）2＝4×3＝12．∵8＜12，∴15200＜23．
参考上面例题的解法，解答下列问题：
（1）比较﹣56与﹣65的大小；
（2）比较7+1与5+3的大小．
【变式7-2】用平方法比较6+11与14+3的大小．
【变式7-3】(2023秋•山亭区期末）数学课上，老师出了一道题：比较19−23与23的大小．
小华的方法是：
因为19＞4，所以19−2 2，所以19−23 23（填“＞”或“＜”）；
小英的方法是：
19−23−23=19−43，因为19＞42＝16，所以19−4 0，所以19−43 0，所以19−23 23（填“＞”或“＜”）．
（1）根据上述材料填空；
（2）请从小华和小英的方法中选择一种比较6−14与12的大小．
【变式7-4】课堂上老师讲解了比较11−10和15−14的方法，观察发现11﹣10＝15﹣14＝1，于是比较这两个数的倒数：
111−10=11+10(11−10)(11+10)=11+10
115−14=15+14(15−14)(15+14)=15+14
因为15+14＞11+10，所以115−14＞111−10，则有15−14＜11−10．
请你设计一种方法比较8+3与6+5的大小．
【变式7-5】阅读下面问题：12+1=2−1；13+2=3−2；15+2=5−2．
（1）根据以上规律推测，化简：①17+6；②1n+1+n（n为正整数）．
（2）根据你的推测，比较15−14和14−13的大小．
题型八 巧用二次根式的小数部分与整数部分求代数式的值
【例题8】(2023秋•思明区校级期末）若6−13的整数部分为x，小数部分为y，则（2x+13）y的值是（ ）
A．5−313B．3C．313−5D．﹣3
【变式8-1】设a=5，且b是a的小数部分，求a−ab的值．
【变式8-2】已知m、n分别是6−13的整数部分和小数部分，求m、n的值，并求代数式n2−2nm−m2的值．
【变式8-3】(2023秋•罗湖区校级期中）根据推理提示，回答下列问题：
∵1＜3＜4，即1＜3＜2，
∴3的整数部分为1，小数部分为3−1．
（1）14的整数部分是 ，小数部分是 ．
（2）如果6的小数部分为m，21的整数部分为n，求2m+n﹣26= ．
（3）已知：10+32=a+b，其中a是整数，且0＜b＜1，则a＝ ，b＝ ．
题型九 二次根式的化简求值及混合运算
【例题9】先化简，再求值：（a+ba−b）2•2a−2b3a+3b−4a2a2−b2÷3ab，其中a=3，b=2．
【变式9-1】已知x=12，y=14，求xx−y+xx+y的值；
【变式9-1】先化简，再求值：（6xyx+3yxy3）﹣（4yxy+36xy），其中x=23，y＝27．
【变式9-2】若x2+y2﹣6x﹣4y+13＝0，求yx+xy的值．
【变式9-3】(2023秋•普陀区期中）已知a=12+1，求a2−2a+1a−1−a2+2a+1a2+a的值．
【变式9-4】已知：x＝2+3，y＝2−3，求下列各式的值：
（1）x2﹣y2； （2）x2﹣xy+y2； （3）2x3+6x2y+2xy2．
【变式9-5】(2023春•莒南县期中）在解决问题：“已知a=12−1，求3a2﹣6a﹣1的值”．
∵a=12−1=2+1(2−1)(2+1)=2+1，
∴a﹣1=2
∴（a﹣1）2＝2，
∴a2﹣2a＝1，
∴3a2﹣6a＝3，
∴3a2﹣6a﹣1＝2．
请你根据小明的解答过程，解决下列问题：
（1）化简：22−5；
（2）若a=13+22，求2a2﹣12a﹣1的值．
题型十 利用有理数的意义求字母式子的值
【例题10】(2023•江北区开学）若a+63=(m+n3)2，当a，m，n均为正整数时，则a的值为 ．
【变式10-1】先阅读下面的材料，然后再根据要求解答提出的问题：设a，b是有理数，且满足a+2b＝3﹣22，求ba的值．解：由题意得（a﹣3）+（b+2）2=0，因为a，b都是有理数，所以a﹣3，b+2也是有理数，由于2是无理数，所以a﹣3＝0，b+2＝0，所以a＝3，b＝﹣2，所以ba＝（﹣2）3＝﹣8．
问题：设x，y都是有理数，且满足x2﹣2y+5y＝8+45，求x+y的值．
【变式10-2】(2023秋•辉县市期中）【阅读学习】
小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+22=（1+2）2．善于思考的小明进行了以下探索：
设a+b2=（m+n2）2（其中a，b，m，n均为整数），则有a+b2=m2+2n2+22mn．
∴a＝m2+2n2，b＝2mn．这样小明就找到了一种把a+b2的式子化为平方式的方法．
【解决问题】
（1）当a，b，m，n均为正整数时，若a+b3=（m+n3）2，用含m，n的式子分别表示a，b，得：a＝ ，b＝ ；
（2）利用（1）的结论，找一组正整数a，b，m，n（m≠n），使得a+b3=（m+n3）2成立，且a+b+m+n的值最小．请直接写出a，b，m，n的值；
（3）若a+65=（m+n5）2，且a，m，n均为正整数，求a的值．
题型十一 有关二次根式的规律探究
【例题11】(2023春•承德期末）观察下列各式及其验证过程：
2+23=223，验证：2+23=2×3+23=233=223；
3+38=338，验证：3+38=3×8+38=338=338；
（1）按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想5+524的变形结果并进行验证；
（2）针对上述各式反映的规律，写出用n（n为大于1的整数）表示的等式并给予验证．
【变式11-1】(2023秋•大田县期中）观察下列各式及其验证过程
①2−25=225，验证：2−25=85=4×25=225；
②3−310=3310，验证：3−310=2710=9×310=3310．
（1）类比上述两个等式及其验证过程，猜想5−526的变形结果并进行验证．
（2）针对上述各式反映的规律，写出用m（m为自然数，且m≥2）表示的等式并证明．
（3）模仿上述验算过程的方法，对338=3+38进行验证；并针对等式反映的规律，直接写出用n（n为自然数，且n≥2）表示的等式．
【变式11-2】(2023秋•吉安县期中）观察下列各式及其验证过程：
12−13=1223，
验证：12−13=12×3=222×3=1223；
12(13−14)=1338，
验证：12(13−14)=12×3×4=32×32×4=1338；
13(14−15)=14415；
验证：13(14−15)=13×4×5=43×42×5=14415．
（1）按照上述三个等式及其验证过程，猜想14(15−16)的结果；
（2）针对上述各式反映的规律，写出用n（n是大于等于2的自然数）表示的等式．
【变式11-3】(2023秋•鄞州区期中）先阅读材料，再解决问题．
13=12=1；
13+23=32=3；
13+23+33=62=6；
13+23+33+43=102=10；
…
根据上面的规律，解决问题：
（1）13+23+33+43+53+63= ＝ ；
（2）求13+23+33+⋯+n3（用含n的代数式表示）．
【变式11-4】(2023春•朔州月考）综合与探究：
观察下列等式，根据你发现的规律解决问题：
①12+1=2−1(2+1)(2−1)=2−1(2)2−12=2−1
②13+2=3−2(3+2)(3−2)=3−2(3)2−(2)2=3−2
③14+3=4−3(4+3)(4−3)=4−3(4)2−(3)2=4−3
……
（1）化简：17+6= ．
（2）化简：1n+1+n= （n为正整数）．
（3）利用上面所揭示的规律计算：
11+2+13+2+14+3+⋯⋯+12019+2020+12020+2021+12021+2022．
题型十二 二次根式运算在复合二次根式中的应用
【例题12】(2023秋•城阳区期中）先阅读下面的解题过程，然后再解答：
形如m±2n的化简，只要我们找到两个数a，b，使a+b＝m，ab＝n，即（a）2+（b）2＝m，a•b=n，那么便有：m±2n=(a±b)2=a±b（a＞b）．
例如：化简：7+43．
解：首先把7+43化为7+212，这里m＝7，n＝12．
因为4+3＝7，4×3＝12，
即（4）2+（3）2＝7，4×3=12，
所以7+43=7+212=(4+3)2=2+3．
根据上述方法完成下列题目：
（1）5+26= （直接写化简后结果）；
（2）化简：14−65．（写出解答过程）
【变式9-1】(2023秋•双牌县期末）先阅读下面例题的解答过程，然后作答．
例题：化简8+215．
解：先观察8+215，
由于8＝5+3，即8＝（5）2+（3）2，
且15＝5×3，即215=2×5×3，
则有8+215=(5+3)2=5+3．
试用上述例题的方法化简：15+414=（ ）
A．2+13B．2+11C．1+14D．7+22
【变式9-2】(2023秋•郸城县期中）请阅读下列材料：
形如m±2n的式子的化简，我们只要找到两个正数a，b，使a+b＝m，ab＝n，即(a)2+(b)2=m，a×b=n，那么便有m±2n=(a±b)2=a±b（a＞b）．
例如：化简7+43．
解：首先把7+43化为7+212，这里m＝7，n＝12，
由于4+3＝7，4×3＝12，即(4)2+(3)2=7，4×3=12，
所以7+43=7+212=(4+3)2=2+3．
请根据材料解答下列问题：
（1）填空：5−26= ．
（2）化简：21−123（请写出计算过程）．
【变式9-3】(2023春•金华月考）有这样一类题目：将a+2b化简，若你能找到两个数m和n，使m2+n2＝a且mn=b，则a+2b可变为m2+n2+2mn，即变成（m+n）2，从而使得a+2b化简．
例如：∵5+26=3+2+26=（3）2+（2）2+26=（3+2）2
∴5+26=(3+2)2=3+2
请你仿照上例将下列各式化简：
（1）4+23；
（2）7−210．
解题技巧提炼
先通过二次根式的定义求出自然数n的范围，再由二次根式的性质确定20﹣n是一个完全平方数，最后通过分类讨论思想求出自然数的所有可能取的值.
解题技巧提炼
灵活利用二次根式的性质和绝对值的性质进行化简计算是解题的关键.
1、的性质：具有双重非负性，即，即一个非负数的算术平方根是非负数；
2、，即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身；
3、，即一个数的平方的算术平方根等于它的绝对值.
解题技巧提炼
运用a2=|a|进行化简时，一定要结合具体问题，本题结合相关的几何图形的特征，三角形的两边之和大于第三边确定被开方数底数的符号，然后进行化简.
解题技巧提炼
式子a•b=a⋅b成立的条件是a≥0且b≥0；
式子ab=ab成立的条件是a≥0且b>0.
解题技巧提炼
把二次根式根号外的因数（式）移到根号内时，应先判断根号外的因数（式）的正负，若为非负数，直接平方后移到根号内；若为负数，平方后移到根号内并在根号外加负号.
解题技巧提炼
先认真分析题意，将实际问题转化成二次根式的加减乘除运算问题，然后按照二次根式的运算的法则进行计算即可，注意计算的准确性和结果的要求.
解题技巧提炼
利用二次根式的性质比较两个二次根式的大小：
方法一移动因式法：可以把根号外的因式平方后移入根号内，根据此时被开方数的大小比较即可；
方法二平方法：可以把这两个二次根式分别进行平方，比较平方的大小，再比较原数的大小，注意是负数的，平方大的那个负数反而小．
方法三：估算二次根式的大小来比较大小.
解题技巧提炼
确定二次根式的整数部分和小数部分的方法：先用”放缩法”确定二次根式的整数部分，再用二次根式与整数部分的差确定小数部分，即n≤a＜n＋1，则可以确定a的整数部分为n，小数部分为a﹣n.
解题技巧提炼
解决这类问题时，一般先将所给的式子进行化简，然后将含二次根式的字母的值代入，根据二次根式的运算顺序进行计算.
解题技巧提炼
通过完全平方公式去掉括号,然后比较等式左右两边的系数得出要求的字母的值，这里用到了不为零的有理数与无理数相加的和是有理数和无理数.
解题技巧提炼
用综合法解决探索规律问题，先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律，用一个统一的式子表示出变化规律是解决此类问题的关键，然后再用所得到的规律解决问题.
解题技巧提炼
把复合二次根式化简需要灵活运用二次根式的性质和运算法则，可以用平方法，可以先将复合二次根式平方并化简，再讲结果开方，求得原式的值.还可以用配方法来化简.
八年级下册数学《第十六章 二次根式》
本章知识综合运用
二次根式有关概念
●●1、二次根式的定义：一般地，我们把形如a（a≥0）的式子叫做二次根式．其中“ ”称为二次根号，a为被开方数.
●●2、代数式的定义：用基本运算符号（基本运算符号包括：加、减、乘、除、乘方和开方）把表示数或字母连接起来的式子，称为代数式.
●●3、最简二次根式概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．
●●4、可合并的二次根式概念：把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，则这几个二次根式就是可以合并的二次根式．
二次根式的有关性质
●●1、a 的性质： a≥0； a≥0（双重非负性）．
●●2、（a）2（a≥0） 的性质：
（a）2＝a （a≥0）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）．
●●3、a2 的性质： a2=|a|=a(a＞0)0(a=0)−a(a＜0)（算术平方根的意义）．
二次根式的相关运算
●●1、二次根式的乘除法
二次根式的乘法法则：两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变.
二次根式的除法法则：两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变.
用字母表示为：
（1）二次根式的乘法法则：a•b=a⋅b（a≥0，b≥0）
（2）积的算术平方根性质：a⋅b=a•b（a≥0，b≥0）
（3）二次根式的除法法则：ab=ab（a≥0，b＞0）
（4）商的算术平方根的性质：ab=ab（a≥0，b＞0）
●●2、二次根式的加减法
二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并.
合并方法为系数相加减，根指数和被开方数不变．
●●3、二次根式的混合运算
（1）二次根式的混合运算是指二次根式的加、减、乘、除、乘方的混合运算．
（2）二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序是一样：先乘方、再乘除、最后加减，有括号的先算括号里面的（或先去掉括号）．
题型一 根据二次根式是整数求字母的取值
【例题1】(2023春•德宏州期末）已知20−n是整数，则自然数n所有可能的值有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
分析：由二次根式的定义即可求出答案．
【解答】解：由于20﹣n≥0，且n≥0，
∴0≤n≤20，
由于20−n是整数，
∴20﹣n＝0或1或4或9或16，
解得：n＝20或19或16或11或4，一共5个．
故选：D．
【点评】本题考查二次根式的定义，解题的关键是正确理解二次根式有意义的条件．
【变式1-1】(2023春•温州期中）若12−n是整数，则满足条件的自然数n的值可以是 （写出一个即可）．
分析：先确定n的取值范围，再根据代数式是整式写一个满足题意的n即可．
【解答】解：∵12﹣n≥0，
∴n≤12，
∵12−n是整数，
∴当12﹣n＝1时，n＝11．
故答案为：11．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
【变式1-2】已知24n是整数，求正整数n的最小值．
分析：根据二次根式结果为整数，确定出正整数n的最小值即可．
【解答】解：∵24n是整数，n为正整数，
∴24n＝144，即n＝6，
则正整数n的最小值为6．
【点评】此题考查了二次根式的定义，熟练掌握二次根式性质是解本题的关键．
【变式1-3】已知18−n是整数，求自然数n所有可能的值；
分析：根据二次根式结果为整数，确定出自然数n的值即可；
【解答】解：∵18−n是整数，
∴18﹣n＝0，18﹣n＝1，18﹣n＝4，18﹣n＝9，18﹣n＝16，
解得：n＝18，n＝17，n＝14，n＝9，n＝2，
则自然数n的值为2，9，14，17，18；
【点评】此题考查了二次根式的定义，熟练掌握二次根式性质是解本题的关键．
题型二 二次根式与绝对值的综合运用
【例题2】已知实数x满足|2017﹣x|+x−2018=x，求x﹣20172的值．
分析：由绝对值的性质和已知，先求出x的值，再计算20172的值．
【解答】解：∵实数x满足|2017﹣x|+x−2018=x，
∴x≥2018．
∴x﹣2017+x−2018=x．
即x−2018=2017．
∴x﹣2018＝20172．
∴x＝20172+2018．
∴x﹣20172
＝20172+2018﹣20172
＝2018．
【点评】本题主要考查了二次根式的性质，掌握绝对值的意义、二次根式的性质是解决本题的关键．
【变式2-1】(2023春•灌云县期末）a2=|a|是二次根式的一条重要性质，请利用该性质解答以下问题：
（1）化简：(−3)2= ，(3−π)2= ；
（2）已知实数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，化简﹣|c﹣a|+(b−c)2．
分析：（1）根据二次根式的性质进行求解即可；
（2）由数轴可得a＜b＜0＜c，从而可得c﹣a＞0，b﹣c＜0，再进行化简即可．
【解答】解：（1）(−3)2
＝|﹣3|
＝3，
(3−π)2
＝|3﹣π|
＝π﹣3，
故答案为：3，π﹣3；
（2）由数轴得：a＜b＜0＜c，
∴c﹣a＞0，b﹣c＜0，
∴﹣|c﹣a|+(b−c)2
＝﹣（c﹣a）+c﹣b
＝﹣c+a+c﹣b
＝a﹣b．
【点评】本题主要考查二次根式的化简，数轴，解答的关键是对相应的知识的掌握．
【变式2-2】已知x2+8x+16+x2−12x+36=10，化简(2x+8)2+2|x﹣6|
分析：先由x2+8x+16+x2−12x+36=10，求得x的取值范围，再判定2x+8＞0，x﹣6＜0，根据绝对值的性质，即可解答．
【解答】解：x2+8x+16+x2−12x+36=10，
(x+4)2+(x−6)2=10
|x+4|+|x﹣6|＝10，
当x+4＞0，x﹣6＜0时，|x+4|+|x﹣6|＝10成立，
∴﹣4＜x＜6，
∴2x+8＞0，x﹣6＜0，
(2x+8)2+2|x﹣6|＝|2x+8|+2|x﹣6|＝2x+8﹣2（x﹣6）＝2x+8﹣2x+12＝20．
【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，解决本题的关键是确定x的取值范围．
【变式2-3】(2023秋•南江县校级期中）若﹣1≤x≤2，化简：|x﹣2|+x2+2x+1+(x−3)2．
分析：首先根据x的范围确定x﹣2、x+1以及x﹣3的符号，然后去掉绝对值符号进行化简即可．
【解答】解：∵﹣1≤x≤2，
∴x﹣2≤0，x+1≥0，x﹣3＜0，
则原式＝2﹣x+|x+1|+|x﹣3|
＝2﹣x+x+1+3﹣x
＝6﹣x．
【点评】本题考查了二次根式的化简求值，正确理解绝对值的性质是关键．
【变式2-4】(2023春•姜堰区期末）小明在学习二次根式时，碰到这样一道题，他尝试着运用分类讨论的方法解题如下：
题目：若代数式(m−1)2+(m−2)2的值是1，求m的取值范围．
解：原式＝|m﹣1|+|m﹣2|，
当m＜1时，原式＝（1﹣m）+（2﹣m）＝3﹣2m＝1，解得m＝1（舍去）；
当1≤m≤2时，原式＝（m﹣1）+（2﹣m）＝1，符合条件；
当m＞2时，原式＝（m﹣1）+（m﹣2）＝2m﹣3＝1，解得m＝2（舍去）；
所以，m的取值范围是1≤m≤2．
请你根据小明的做法，解答下列问题：
（1）当3≤m≤5时，化简：(m−3)2+(m−5)2= ；
（2）若代数式(2−m)2−(m−6)2的值是4，求m的取值范围．
分析：（1）先利用二次根式的性质得到原式＝|m﹣3|+|m﹣5|，再根据m的范围去绝对值，然后合并即可；
（2）先利用二次根式的性质得到原式＝|m﹣2|﹣|m﹣6|，再讨论：m＜2或2≤m≤6或m＞6，然后分别去绝对值确定满足条件的m的范围．
【解答】解：∵3≤m≤5，
∴(m−3)2+(m−5)2=|m﹣3|+|m﹣5|
＝m﹣3﹣（m﹣5）
＝m﹣3﹣m+5
＝2；
故答案为2；
（2）原式＝|m﹣2|﹣|m﹣6|，
当m＜2时，原式＝（2﹣m）﹣（6﹣m）＝﹣4，不符合条件；
当2≤m≤6时，原式＝（m﹣2）﹣（6﹣m）＝2m﹣8＝4，解得m＝6，符合条件；
当m＞6时，原式＝（m﹣2）﹣（m﹣6）＝4，符合条件；
所以m的取值范围是m≥6．
【点评】本题考查了二次根式的性质与化简：熟练掌握二次根式的性质和分类讨论的思想是解决问题的关键．
题型三 二次根式与三角形的综合运用
【例题3】设a，b，c分别为一三角形的三边长，试化简：(a+b+c)2+|a﹣b﹣c|+(b−a−c)2−(c−b−a)2．
分析：先根据三角形的三边关系判断出a+b+c，a﹣b﹣c，b﹣a﹣c及c﹣b﹣a的符号，再把二次根式进行化简即可．
【解答】解：∵a，b，c分别为一三角形的三边长，
∴a+b+c＞0，a﹣b﹣c＜0，b﹣a﹣c＜0，c﹣b﹣a＜0，
∴原式＝a+b+c﹣（a﹣b﹣c）﹣（b﹣a﹣c）+（c﹣b﹣a）
＝a+b+c﹣a+b+c﹣b+a+c+c﹣b﹣a
＝4c．
【点评】本题考查的是二次根式的性质与化简，熟知三角形的三边关系是解答此题的关键．
【变式3-1】已知a、b、c是△ABC的三边，化简：(a+b+c)2−(a+b+c)2+(b−c−a)2−(c−a−b)2．
分析：由a，b，c为三角形三边，利用三角形三边关系判断即可得到结果．
【解答】解：∵a，b，c为△ABC三边，
∴a+b+c＞0，b﹣c﹣a＜0，c﹣a﹣b＜0，
则原式＝0+a+c﹣b﹣（a+b﹣c）＝a+c﹣b﹣a﹣b+c＝2c﹣2b．
【点评】此题考查了二次根式的性质与化简，以及三角形的三边关系，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
【变式3-2】已知三角形的两边长分别为3和5，第三边长为c，化简（|2−c|）2−14c2−4c+16．
分析：首先利用三角形三边关系得出c的取值范围，进而化简求出答案．
【解答】解：∵三角形的两边长分别为3和5，第三边长为c，
∴2＜c＜8，
∴（|2−c|）2−14c2−4c+16
＝c﹣2−(12c−4)2
＝c﹣2﹣（4−12c）
=32c﹣6．
【点评】此题主要考查了二次根式的化简，正确得出c的取值范围是解题关键．
题型四 二次根式乘除法法则成立的条件
【例题4】等式x+3•x−3=x2−9成立的条件是 ．
分析：直接利用二次根式的性质得出x+3≥0，x﹣3≥0进而得出答案．
【解答】解：∵x+3•x−3=x2−9成立，
∴x+3≥0，x﹣3≥0，
解得：x≥3．
故答案为：x≥3．
【点评】此题主要考查了二次根式的性质，正确利用二次根式的定义分析是解题关键．
【变式4-1】(2023秋•闵行区校级期中）如果4x2−1=2x+1•2x−1成立，那么x的取值范围是 ．
分析：直接利用二次根式的性质结合不等式组的解法，分析得出答案．
【解答】解：∵4x2−1=2x+1•2x−1成立，
∴2x+1≥02x−1≥0，
解得：x≥12．
故答案为：x≥12．
【点评】此题主要考查了二次根式的乘法以及二次根式有意义的条件、一元一次不等式组的解法，正确得出不等式组是解题关键．
【变式4-2】(2023•绵阳模拟）等式x2(x+1)=−xx+1成立的x的取值范围在数轴上表示为（ ）
A．
B．
C．
D．
分析：根据二次根式有意义的条件即可求出x的范围．
【解答】解：由题意可知：x≤0x+1≥0，
解得：﹣1≤x≤0，
故选：A．
【点评】本题考查二次根式的意义，二次根式的性质与化简，解题的关键是熟练运用二次根式有意义的条件．
【变式4-3】(2023秋•万柏林区校级月考）等式1−xx−3=x−13−x成立的x取值范围是（ ）
A．x≤1B．x＞3C．1≤x＜3D．x＜3
分析：根据二次根式的有意义的条件即可求出答案．
【解答】解：由题意可知：1−xx−3≥0，x−13−x≥0，
∴x−1x−3≤0，
∴x﹣1≤0，x﹣3＞0或x﹣1≥0，x﹣3＜0，
∴1≤x＜3，
故选：C．
【点评】本题考查二次根式的性质与化简，解题的关键是熟练运用二次根式的有意义的条件．
题型五 把二次根式根号外的因数（式）移到根号内
【例题5】把下列各式中根号外的因式适当改变后移到根号内．
（1）25； （2）﹣412； （3）（2﹣x）7x−2．
分析：（1）根据a2=a（a≥0）可得2=22，再根据二次根式的乘法进行计算即可；
（2）根据a2=a（a≥0）可得﹣4=−42，再根据二次根式的乘法进行计算即可；
（3）首先分析2﹣x是正数还是负数，根据二次根式被开方数为非负数可得2﹣x＜0，然后再把2﹣x化为−(x−2)2，再根据二次根式的乘法进行计算即可．
【解答】解：（1）原式=22×5=22×5=20；
（2）原式=−42×12=−16×12=−8；
（3）原式=−(x−2)2×7x−2=−7(x−2)=−7x−14．
【点评】此题主要考查了二次根式的性质，关键是掌握a2=a（a≥0）．
【变式5-1】(2023春•凉州区期末）若把x−1x中根号外的因式移入根号内，则转化后的结果是（ ）
A．xB．−xC．−xD．−−x
分析：根据二次根式的性质即可求出答案．
【解答】解：∵−1x＞0，
∴x＜0，
∴原式=−(−x)2⋅1−x
=−−x，
故选：D．
【点评】本题考查二次根式的性质，解题的关键是熟练运用二次根式的性质．
【变式5-2】(2023春•绥滨县期末）把（m﹣1）11−m中根号前的（m﹣1）移到根号内得（ ）
A．m−1B．1−mC．−m−1D．−1−m
分析：根据二次根式的性质即可求出答案．
【解答】解：由题意可知：11−m≥0，
∴1﹣m＞0，
∴原式=−(m−1)21−m
=−1−m，
故选：D．
【点评】本题考查二次根式的性质与化简，解题的关键是熟练运用二次根式的性质．
【变式5-3】把下列各式中根号外的因数（式）移到根号内．
（1）﹣xyyx； （2）737； （3）﹣53； （4）3b23b；
分析：（1）根据题意可得出x与y同号，进而将xy平方后代入根号内化简即可，注意整体的符号；
（2）根据题意将7平方后代入根号内化简即可；
（3）根据题意可得﹣5＜0，进而将5平方后代入根号内化简即可，注意整体的符号；
（4）根据题意将3b平方后代入根号内化简即可；
【解答】解：（1）﹣xyyx=−x2y2×yx=−xy3；
（2）737=49×37=21；
（3）﹣53=−25×3=−75；
（4）3b23b=9b2×23b=6b；
【点评】此题主要考查了二次根式的化简，正确将根号外的因式移到根号内注意整体符号是解题关键．
题型六 二次根式的运算在实际生活中的应用
【例题6】(2023春•潼南区期中）在一块矩形的土地上种植草坪，该矩形土地的长为128m、宽为75m．
（1）求该矩形土地的周长；
（2）若种植造价每平方米160元，求在该矩形土地上全部种植草坪的总费用．
（提示：结果保留整数，6≈2.4）
分析：（1）根据矩形周长公式进行计算，并化简即可；
（2）根据矩形面积公式先算出面积，而后乘以每平方米的价钱即可．
【解答】解：（1）2（128+75）＝2（82+53）＝162+103（m）．
即该矩形土地的周长为（162+103）m；
（2）128×75=82×53=406≈96（m2），
160×96＝15360（元）．
故在该矩形土地上全部种植草坪的总费用约为15360元．
【点评】本题考查了二次根式的应用，矩形的周长与面积公式，掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
【变式6-1】(2023春•陵城区期中）如图，有一张边长为63cm的正方形纸板，现将该纸板的四个角剪掉，制作一个有底无盖的长方体盒子，剪掉的四个角是面积相等的小正方形，此小正方形的边长为3cm．
（1）求长方体盒子的容积；
（2）求这个长方体盒子的侧面积．
分析：（1）结合题意可知该长方体盒子的长为63−23=43(cm)，宽为63−23=43(cm)，高为3cm，而长方体的容积为长×宽×高，即可得答案；
（2）该长方体盒子的侧面为长方形，长为63−23=43(cm)，宽为3cm，共4个面，即可得答案．
【解答】解：（1）由题意可知：长方体盒子的容积为：(63−23)×(63−23)×3
=43×43×3
=483（cm3），
答：长方体盒子的容积为483cm3．
（2）长方体盒子的侧面积为：(63−23)×3×4
=43×3×4
＝48（cm2），
答：这个长方体盒子的侧面积为48cm2．
【点评】本题考查了二次根式的应用，关键是结合图形，结合二次根式的乘法法则求解．
【变式6-2】(2023春•汉滨区期中）三角形的周长为（55+210）cm，面积为（206+45）cm2，已知两边的长分别为45cm和40cm，求：（1）第三边的长；
（2）第三边上的高．
分析：（1）根据第三边等于周长减去另两边之和，即可求出第三边的长；
（2）根据三角形的高等于三角形的面积的2倍除以底边即可求出第三边上的高．
【解答】解：（1）∵三角形周长为 (55+210)cm，两边长分别为 45cm 和 40cm，
∴第三边的长是：(55+210)−45−40=55+210−35−210=25cm；
（2）∵面积为（206+45）cm2，
∴第三边上的高为2(206+45)25=406+8525=（430+4）cm．
【点评】此题主要考查了二次根式的加减运算，正确化简二次根式是解题关键．
【变式6-3】(2023春•云南期末）某居民小区有块形状为矩形ABCD的绿地，长BC为128米，宽AB为50米，现在要矩形绿地中修建两个形状大小相同的长方形花坛（即图中阴影部分），每个长方形花坛的长为(13+1)米，宽为(13−1)米．
（1）求矩形ABCD的周长．（结果化为最简二次根式）
（2）除去修建花坛的地方，其它地方全修建成通道，通道上要铺上造价为6元/平方米的地砖，要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？
分析：（1）根据矩形的周长＝（长+宽）×2计算即可；
（2）先求出通道的面积，再算钱数即可．
【解答】解：（1）（128+50）×2
＝（82+52）×2
＝132×2
＝262（米），
答：矩形ABCD的周长为262米；
（2）128×50−2×（13+1）×（13−1）
＝82×52−2×（13﹣1）
＝80﹣24
＝56（平方米），
6×56＝336（元），
答：购买地砖需要花费336元．
【点评】本题考查了二次根式的应用，最简二次根式，掌握ab=a•b（a≥0，b≥0）是解题的关键．
【变式6-4】如果一个三角形的三边的长分别为a，b，c，那么可以根据海伦﹣秦九韶公式S=p(p−a)(p−b)(p−c)[其中p=12（a+b+c）]或其他方法求出这个三角形的面积．试求出三边长分别为5，3，25的三角形的面积．
分析：将a=5，b=3，c=25代入公式可求得三角形的面积．
【解答】解：令a=5，b=3，c=25，
∴p=12(a+b+c)=12(5+3+25)=3+352，
∴S2＝p（p﹣a）（p﹣b）（p﹣c）
=3+352×(3+352−5)×(3+352−3)×(3+352−25)
=3+352×3+52×35−32×3−52
=(35+3)(35−3)4×(3+5)(3−5)4
=45−94×44
＝9，
∵S＞0，
∴S＝3，
故三边长分别为5，3，25的三角形的面积为3．
【点评】本题考查了二次根式的运算，关键是根据题意列式求解．
题型七 二次根式的大小比较
【例题7】比较二次根式的大小：（1） ；（2） ．
分析：（1）把根号外的因式平方后移入根号内，根据此时被开方数的大小比较即可；
（2）首先比较出它们的平方的大小关系；然后根据：两个负实数平方大的反而小，判断出它们的大小关系即可．
【解答】解：（1）∵ ，，∵， ∴ ＜ .
∵ ， ∵45＜50， ∴ ＜．
【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，实数的大小比较等知识点，能选择适当的方法求解是解此题的关键．
【变式7-1】(2023春•关岭县期末）王老师在小结时总结了这样一句话“对于任意两个正数a，b，如果a＞b，那么a＞b”，然后讲解了一道例题：比较15200和23的大小．
解：(15200)2=125×200＝8，（23）2＝4×3＝12．∵8＜12，∴15200＜23．
参考上面例题的解法，解答下列问题：
（1）比较﹣56与﹣65的大小；
（2）比较7+1与5+3的大小．
分析：（1）先分别求出两数的平方，再根据求出的结果比较大小即可；
（2）先分别求出两数的平方，再根据求出的结果比较大小即可．
【解答】解：（1）（﹣56）2＝25×6＝150，（﹣65）2＝36×5＝180，
∵150＜180，
∴﹣56＞−65；
（2）（7+1）2＝7+27+1＝8+27=8+28，（5+3）2＝5+215+3＝8+215=8+60，
∵28＜60，
∴7+1＜5+3．
【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，实数的大小比较和不等式的性质等知识点，能选择适当的方法求解是解此题的关键．
【变式7-2】用平方法比较6+11与14+3的大小．
分析：先计算两个数的平方，再根据平方法的比较原理进行判断即可．
【解答】解：(6+11)2=17+266，
(14+3)2=17+42，
∵17+266＞17+42＞1，
∴(6+11)2＞(14+3)2
∴6+11＞14+3
【点评】此题主要考查运用平方法比较二次根式的大小，知道平方法的比较原理（当数大于1时，平方越大，数越大；当数大于0且小于1时，平方越大，数越小）并会计算二次根式的平方是解题的关键．
【变式7-3】(2023秋•山亭区期末）数学课上，老师出了一道题：比较19−23与23的大小．
小华的方法是：
因为19＞4，所以19−2 2，所以19−23 23（填“＞”或“＜”）；
小英的方法是：
19−23−23=19−43，因为19＞42＝16，所以19−4 0，所以19−43 0，所以19−23 23（填“＞”或“＜”）．
（1）根据上述材料填空；
（2）请从小华和小英的方法中选择一种比较6−14与12的大小．
分析：（1）根据不等式的性质即可解答；
（2）仿照例题的方法进行计算即可解答．
【解答】解：（1）小华的方法是：
因为19＞4，所以19−2＞2，所以19−23＞23，
小英的方法是：
19−23−23=19−43，因为19＞42＝16，19−23−23=19−43，因为19＞42＝16，所以19−4＞0，所以19−43＞0，所以19−23＞23，
故答案为：＞，＞，＞，＞，＞；
（2）如果选择小华的方法，
∵6＜3，
∴6−1＜2，
∴6−14＜12，
如果选择小英的方法，
6−14−12=6−1−24=6−34，
∵6＜9，
∴6＜3，
∴6−3＜0，
∴6−34＜0，
∴6−14＜12．
【点评】本题考查了实数大小比较，熟练掌握作差法比较大小的方法是解题的关键．
【变式7-4】课堂上老师讲解了比较11−10和15−14的方法，观察发现11﹣10＝15﹣14＝1，于是比较这两个数的倒数：
111−10=11+10(11−10)(11+10)=11+10
115−14=15+14(15−14)(15+14)=15+14
因为15+14＞11+10，所以115−14＞111−10，则有15−14＜11−10．
请你设计一种方法比较8+3与6+5的大小．
分析：直接利用完全平方公式将原式变形进而计算得出答案．
【解答】解：∵（8+3）2＝8+28×3+3＝11+224，
（6+5）2＝6+2×6×5+5＝11+230，
∴11+224＜11+230，
∴（8+3）2＜（6+5）2，
∵8+3＞0，6+5＞0，
∴8+3＜6+5．
【点评】此题主要考查了实数比较大小，正确应用完全平方公式是解题关键．
【变式7-5】阅读下面问题：12+1=2−1；13+2=3−2；15+2=5−2．
（1）根据以上规律推测，化简：①17+6；②1n+1+n（n为正整数）．
（2）根据你的推测，比较15−14和14−13的大小．
分析：（1）①根据题目中的例子，可以写出17+6的值；
②根据题目中的例子，可以写出1n+1+n的值；
（2）根据题目中的例子，可以得到15−14=115+14，14−13=114+13，然后即可比较出15−14和14−13的大小．
【解答】解：（1）①17+6
=7−6(7+6)×(7−6)
=7−6；
②1n+1+n=n+1−n；
（2）15−14=115+14，14−13=114+13，
∵15+14＞14+13，
∴115+14＜114+13，
∴15−14＜14−13．
【点评】本题考查二次根式的混合运算，解答本题的关键是明确二次根式混合运算的计算方法．
题型八 巧用二次根式的小数部分与整数部分求代数式的值
【例题8】(2023秋•思明区校级期末）若6−13的整数部分为x，小数部分为y，则（2x+13）y的值是（ ）
A．5−313B．3C．313−5D．﹣3
分析：首先根据13的整数部分，确定6−13的整数部分x的值，则y即可确定，然后代入所求解析式计算即可求解．
【解答】解：∵3＜13＜4，
∴6−13的整数部分x＝2，
则小数部分是：6−13−2＝4−13，
则（2x+13）y＝（4+13）（4−13）
＝16﹣13＝3．
故选：B．
【点评】本题考查了无理数的估算，无理数的估算常用夹逼法，用有理数夹逼无理数是解题的关键．
【变式8-1】设a=5，且b是a的小数部分，求a−ab的值．
分析：根据无理数的估算得到b=5−2，再把a、b的值代入a−ab中，然后进行分母有理化后合并即可．
【解答】解：∵a=5，且b是a的小数部分，
∴b=5−2，
∴原式=5−55−2=5−5（5+2）＝﹣5−5．
【点评】本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰．
【变式8-2】已知m、n分别是6−13的整数部分和小数部分，求m、n的值，并求代数式n2−2nm−m2的值．
分析：首先判断出13在3和4之间，即6−13的整数部分m＝2，则n＝4−13，然后把a和b的值代入代数式求值即可．
【解答】解：∵9＜13＜16，
∴13的整数部分在3和4之间，
∴6−13的整数部分m＝2，n＝4−13，
n2−2nm−m2
=(4−13)2−2(4−13)2−22
＝16﹣813+13﹣4+13−4
＝21﹣713．
【点评】本题主要考查了代数式求值，涉及到比较有理数和无理数的大小，解题的关键在于用正确的形式表示出6−13的整数部分和小数部分，然后代入求值即可．
【变式8-3】(2023秋•罗湖区校级期中）根据推理提示，回答下列问题：
∵1＜3＜4，即1＜3＜2，
∴3的整数部分为1，小数部分为3−1．
（1）14的整数部分是 ，小数部分是 ．
（2）如果6的小数部分为m，21的整数部分为n，求2m+n﹣26= ．
（3）已知：10+32=a+b，其中a是整数，且0＜b＜1，则a＝ ，b＝ ．
分析：（1）根据算术平方根的定义估算无理数14的大小即可；
（2）估算无理数6、21的大小，确定m、n的值，再代入计算即可；
（3）根据无理数32的大小，进而得出10+32的大小，确定a、b的值．
【解答】解：（1）∵9＜14＜16，即3＜14＜4，
∴14的整数部分是3，小数部分为14−3，
故答案为：3，14−3；
（2）∵4＜6＜9，即2＜6＜3，
∴6的整数部分为2，小数部分m=6−2，
∵16＜21＜25，即4＜21＜5，
∴21的整数部分n＝4，
∴2m+n﹣26
＝26−4+4﹣26
＝0，
故答案为：0；
（3）∵5＜32＜6，
∴15＜10+32＜16，
又∵10+32=a+b，其中a是整数，且0＜b＜1，
∴a＝15，b＝10+32−15＝42−5，
故答案为：15，42−5．
【点评】本题考查平方根、算术平方根以及估算无理数的大小，掌握算术平方根的定义是正确解答的前提．
题型九 二次根式的化简求值及混合运算
【例题9】先化简，再求值：（a+ba−b）2•2a−2b3a+3b−4a2a2−b2÷3ab，其中a=3，b=2．
分析：先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把a、b的值代入进行计算即可．
【解答】解：原式=2(a+b)3(a−b)−4ab3(a+b)(a−b)
=2(a+b)2−4ab3(a+b)(a−b)
=2(a2+b2)3(a+b)(a−b)，
当a=3，b=2时，
原式=2(3+2)3(3+2)(3−2)=103．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
【变式9-1】已知x=12，y=14，求xx−y+xx+y的值；
分析：根据分母有理化把原式化简，代入计算即可；
【解答】解：xx−y+xx+y
=x(x+y)(x−y)(x+y)+x(x−y)(x+y)(x−y)
=x+xyx−y+x−xyx−y
=2xx−y，
【点评】本题考查的是二次根式的化简求值，掌握二次根式的混合运算法则、完全平方公式是解题的关键．
【变式9-1】先化简，再求值：（6xyx+3yxy3）﹣（4yxy+36xy），其中x=23，y＝27．
分析：根据二次根式的性质、二次根式的加减混合运算法则把原式化简，把x、y的值代入计算即可．
【解答】解：原式＝6x×xyx+3y×yxy−4y×xyy−6xy
＝6xy+3xy−4xy−6xy
=−xy，
当x=23，y＝27时，原式=−23×27=−18=−32．
【点评】调标考查的是二次根式的化简求值，掌握二次根式的性质、二次根式的加减混合运算法则是解题的关键．
【变式9-2】若x2+y2﹣6x﹣4y+13＝0，求yx+xy的值．
分析：x2+y2﹣6x﹣4y+13＝0，可以变形成（x﹣3）2+（y﹣2）2＝0，根据非负数的性质即可求得x，y的值，然后把所求的式子进行化简，代入求解即可．
【解答】解：x2+y2﹣6x﹣4y+13＝0，
即（x2﹣6x+9）+（y2﹣4y+4）＝0，
（x﹣3）2+（y﹣2）2＝0，
则x﹣3＝0，y﹣2＝0，
解得：x＝3，y＝2．
yx+xy=xyx+xyy=xy(x+y)xy，
当x＝3，y＝2时，原式=566．
【点评】本题考查了非负数的性质以及二次根式的化简，正确求得x，y的值是关键．
【变式9-3】(2023秋•普陀区期中）已知a=12+1，求a2−2a+1a−1−a2+2a+1a2+a的值．
分析：直接将已知分母有理化，再结合分式的性质化简，进而代入得出答案．
【解答】解：∵a=12+1=2−1(2+1)(2−1)=2−1，
∴a2−2a+1a−1−a2+2a+1a2+a
=(a−1)2a−1−(a+1)2a(a+1)
＝a﹣1−1a
=2−1﹣1﹣（2+1）
=2−1﹣1−2−1
＝﹣3．
【点评】此题主要考查了二次根式的化简求值以及分式的化简求值、分母有理化，正确掌握相关运算法则是解题关键．
【变式9-4】已知：x＝2+3，y＝2−3，求下列各式的值：
（1）x2﹣y2； （2）x2﹣xy+y2； （3）2x3+6x2y+2xy2．
分析：（1）直接利用乘法公式计算得出答案；
（2）直接将原式变形，再利用乘法公式计算得出答案；
（3）直接将原式变形，再利用乘法公式计算得出答案．
【解答】解：（1）∵x＝2+3，y＝2−3，
∴x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）
＝（2+3+2−3）（2+3−2+3）
＝4×23
＝83；
（2）x＝2+3，y＝2−3，
∴x2﹣xy+y2＝（x﹣y）2+xy
＝（2+3−2+3）2+（2+3）（2−3）
＝12+4﹣3
＝13；
（3）2x3+6x2y+2xy2
＝2x（x2+3xy+y2）
＝2x[（x+y）2+xy]，
＝2×（2+3）[（2+3+2−3）2+（2+3）（2−3）]
＝2×（2+3）×（42+4﹣3）
＝2×（2+3）×17
＝68+343．
【点评】此题主要考查了二次根式的化简求值，正确运用乘法公式是解题关键．
【变式9-5】(2023春•莒南县期中）在解决问题：“已知a=12−1，求3a2﹣6a﹣1的值”．
∵a=12−1=2+1(2−1)(2+1)=2+1，
∴a﹣1=2
∴（a﹣1）2＝2，
∴a2﹣2a＝1，
∴3a2﹣6a＝3，
∴3a2﹣6a﹣1＝2．
请你根据小明的解答过程，解决下列问题：
（1）化简：22−5；
（2）若a=13+22，求2a2﹣12a﹣1的值．
分析：（1）根据平方差公式计算；
（2）利用分母有理化把a化简，根据完全平方公式把原式变形，代入计算即可．
【解答】解：（1）22−5=2(2+5)(2−5)(2+5)=−4﹣25；
（2）a=13+22=3−22(3+22)(3−22)=3﹣22，
则2a2﹣12a﹣1
＝2（a2﹣6a+9﹣9）﹣1
＝2（a﹣3）2﹣19
＝2（3﹣22−3）2﹣19
＝﹣3．
【点评】本题考查的是二次根式的化简求值，掌握分母有理化、完全平方公式、平方差公式是解题的关键．
题型十 利用有理数的意义求字母式子的值
【例题10】(2023•江北区开学）若a+63=(m+n3)2，当a，m，n均为正整数时，则a的值为 ．
分析：通过完全平方公式去掉括号求出a＝m2+3n2，2mn＝6，根据a，m，n均为整数，分两种情况求出m，n，进一步求出a，从而求解．
【解答】解：∵a+63=(m+n3)2，
∴a+63=m2+2nm3+3n2（a，m，n均为整数），
∴a＝m2+3n2，2mn＝6，
∴mn＝3，
①m＝1，n＝3，a＝28，
②m＝3，n＝1，a＝12，
故a的值为27或23．
【点评】本题主要考查了二次根式的混合运算，完全平方式，熟练掌握完全平方式的应用是解题关键．
【变式10-1】先阅读下面的材料，然后再根据要求解答提出的问题：设a，b是有理数，且满足a+2b＝3﹣22，求ba的值．解：由题意得（a﹣3）+（b+2）2=0，因为a，b都是有理数，所以a﹣3，b+2也是有理数，由于2是无理数，所以a﹣3＝0，b+2＝0，所以a＝3，b＝﹣2，所以ba＝（﹣2）3＝﹣8．
问题：设x，y都是有理数，且满足x2﹣2y+5y＝8+45，求x+y的值．
分析：根据题目中例题的方法，对所求式子进行变形，求出x、y的值，从而可以求得x+y的值．
【解答】解：∵x2﹣2y+5y＝8+45，
∴（x2﹣2y﹣8）+（y﹣4）5=0，
∴x2﹣2y﹣8＝0，y﹣4＝0，
解得，x＝±4，y＝4，
当x＝4，y＝4时，x+y＝4+4＝8，
当x＝﹣4，y＝4时，x+y＝（﹣4）+4＝0，
即x+y的值是8或0．
【点评】本题考查实数的运算，解题的关键是明确题目中例题的解答方法，然后运用类比的思想解答所求式子的值．
【变式10-2】(2023秋•辉县市期中）【阅读学习】
小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+22=（1+2）2．善于思考的小明进行了以下探索：
设a+b2=（m+n2）2（其中a，b，m，n均为整数），则有a+b2=m2+2n2+22mn．
∴a＝m2+2n2，b＝2mn．这样小明就找到了一种把a+b2的式子化为平方式的方法．
【解决问题】
（1）当a，b，m，n均为正整数时，若a+b3=（m+n3）2，用含m，n的式子分别表示a，b，得：a＝ ，b＝ ；
（2）利用（1）的结论，找一组正整数a，b，m，n（m≠n），使得a+b3=（m+n3）2成立，且a+b+m+n的值最小．请直接写出a，b，m，n的值；
（3）若a+65=（m+n5）2，且a，m，n均为正整数，求a的值．
分析：（1）根据阅读材料，利用完全平方公式将等式右边展开，即可求出a、b的值；
（2）根据（1）的结论即可得到结果；
（3）根据题意得到a＝m2+5n2，b＝2mn，求得mn＝3，分类讨论即可得到结论．
【解答】解：（1）（m+n3）2＝m2+23mn+3n2＝m2+3n2+2mn3．
∴a＝m2+3n2，b＝2mn．
故答案为：m2+3n2，2mn．
（2）当n＝1，m＝2时，a＝22+3×1＝7，b＝2mn＝4，
故a＝7，b＝4，m＝2，n＝1时，a+b+m+n的值最小．
（3）（m+n5）2＝m2+25mn+5n2＝a+65，
∴a＝m2+5n2，6＝2mn，
∴mn＝3，
∵a、m、n均为正整数，
∴令m＝1，n＝3或m＝3，n＝1；
当m＝1，n＝3时，a＝12+5×32＝46．
当m＝3，n＝1时，a＝32+5×12＝14．
综上，a的值为14或46．
【点评】本题考查了二次根式的化简求值，完全平方公式，整式的加减，理解题意，弄清阅读材料中把一个式子化为平方式的方法是解题的关键．
题型十一 有关二次根式的规律探究
【例题11】(2023春•承德期末）观察下列各式及其验证过程：
2+23=223，验证：2+23=2×3+23=233=223；
3+38=338，验证：3+38=3×8+38=338=338；
（1）按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想5+524的变形结果并进行验证；
（2）针对上述各式反映的规律，写出用n（n为大于1的整数）表示的等式并给予验证．
分析：（1）根据算术平方根的定义计算5+524进行化简即可；
（2）计算n+nn2−1，再根据算术平方根的定义进行化简即可．
【解答】解：（1）∵2+23=223，3+38=338，
∴5+524=5524，
验证：5+524=5×24+524=5324=5524，正确．
（2）n+nn2−1=nnn2−1，
验证：n+nn2−1=n3n2−1=nnn2−1，正确．
【点评】本题考查算术平方根以及数字的变化类，通过具体数值的计算，发现其规律是解决问题的关键．
【变式11-1】(2023秋•大田县期中）观察下列各式及其验证过程
①2−25=225，验证：2−25=85=4×25=225；
②3−310=3310，验证：3−310=2710=9×310=3310．
（1）类比上述两个等式及其验证过程，猜想5−526的变形结果并进行验证．
（2）针对上述各式反映的规律，写出用m（m为自然数，且m≥2）表示的等式并证明．
（3）模仿上述验算过程的方法，对338=3+38进行验证；并针对等式反映的规律，直接写出用n（n为自然数，且n≥2）表示的等式．
分析：（1）仿照所给的例子进行求解即可；
（2）对所给的例子进行分析，并总结出规律即可；
（3）仿照所给的例子进行求解，不难得出结果．
【解答】解：（1）5−526=5526，
验证：5−526=12526=25×526=5526；
（2）∵5＝22+1，10＝32+1，26＝52+1，
∴m−mm2+1=mmm2+1，
证明：m−mm2+1=m3m2+1=m2⋅mm2+1=mmm2+1；
（3）3+38=278=9×38=338，
∵8＝32﹣1，
∴nnn2−1=n+nn2−1．
【点评】本题主要考查数字的变化规律，善于发现题目数字之间的规律，是解题的关键．
【变式11-2】(2023秋•吉安县期中）观察下列各式及其验证过程：
12−13=1223，
验证：12−13=12×3=222×3=1223；
12(13−14)=1338，
验证：12(13−14)=12×3×4=32×32×4=1338；
13(14−15)=14415；
验证：13(14−15)=13×4×5=43×42×5=14415．
（1）按照上述三个等式及其验证过程，猜想14(15−16)的结果；
（2）针对上述各式反映的规律，写出用n（n是大于等于2的自然数）表示的等式．
分析：（1）仔细观察所给的式子，发现等式左边根号里是一个分数和一个带括号的分数减法运算的乘积，结果是一个分数与一个根式的乘积，分数是等号左边根号里减法运算中的被减数；根式中的分子是左边根号里减法运算中的被减数的分母，根式中的分母是左边根号里分数的分母与分数运算中减数分母的乘积，再结合二次根式的运算，进行即可解答；
（2）利用（1）中的关系，结合运算中各个量之间的大小关系，即可得到关于n的等式．
【解答】解：（1）14(15−16)=15524，
验证：左边=14(15−16)，
14×5×6=54×52×6=15524=右边，故正确；
（2）1n(1n+1−1n+2)=1n+1n+1n(n+2)
验证：左边=1n(1n+1−1n+2)，
1n(n+1)(n+2)=n+1n(n+1)2(n+2)=1n+1n+1n(n+2)=右边，故正确．
【点评】本题主要考查了实数的运算，解题关键是发现规律，理清式子中各数之间的关系．
【变式11-3】(2023秋•鄞州区期中）先阅读材料，再解决问题．
13=12=1；
13+23=32=3；
13+23+33=62=6；
13+23+33+43=102=10；
…
根据上面的规律，解决问题：
（1）13+23+33+43+53+63= ＝ ；
（2）求13+23+33+⋯+n3（用含n的代数式表示）．
分析：（1）观察各个等式中最左边的被开方数中各个幂的底数的和与最右边的结果的关系即可得到结论；
（2）利用（1）发现的规律解答即可．
【解答】解：∵13+23=32=3中，1+2＝3，
13+23+33=62=6中，1+2+3＝6，
13+23+33+43=102=10中，1+2+3+4＝10，
∴等式中最左边的被开方数中各个幂的底数的和＝右边的结果．
∵1+2+3+4+5+6＝21，
∴（1）13+23+33+43+53+63=212=21．
故答案为：212，21；
（2）由（1）中发现的规律可得：
13+23+33+⋅⋅⋅+n3=(1+2+3+⋅⋅⋅+n)2=1+2+3+•••+n=n(n+1)2．
【点评】本题主要考查了二次根式的性质与化简，本题是规律型题目，发现数字间的变化的规律是解题的关键．
【变式11-4】(2023春•朔州月考）综合与探究：
观察下列等式，根据你发现的规律解决问题：
①12+1=2−1(2+1)(2−1)=2−1(2)2−12=2−1
②13+2=3−2(3+2)(3−2)=3−2(3)2−(2)2=3−2
③14+3=4−3(4+3)(4−3)=4−3(4)2−(3)2=4−3
……
（1）化简：17+6= ．
（2）化简：1n+1+n= （n为正整数）．
（3）利用上面所揭示的规律计算：
11+2+13+2+14+3+⋯⋯+12019+2020+12020+2021+12021+2022．
分析：（1）把17+6的分子分母都乘以（7−6），然后利用平方差公式计算；
（2）把1n+1+n的分子分母都乘以（n+1−n），然后利用平方差公式计算；
（3）先分母有理化，然后合并即可．
【解答】解：（1）原式=7−6(7+6)(7−6)=7−6；
故答案为：7−6；
（2）原式=n+1−n(n+1+n)(n+1−n)=n+1−n；
故答案为：n+1−n；
（3）原式=2−1+3−2+4−3+•••+2020−2019+2021−2020+2022−2020
=2022−1．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和除法法则是解决问题的关键．
题型十二 二次根式运算在复合二次根式中的应用
【例题12】(2023秋•城阳区期中）先阅读下面的解题过程，然后再解答：
形如m±2n的化简，只要我们找到两个数a，b，使a+b＝m，ab＝n，即（a）2+（b）2＝m，a•b=n，那么便有：m±2n=(a±b)2=a±b（a＞b）．
例如：化简：7+43．
解：首先把7+43化为7+212，这里m＝7，n＝12．
因为4+3＝7，4×3＝12，
即（4）2+（3）2＝7，4×3=12，
所以7+43=7+212=(4+3)2=2+3．
根据上述方法完成下列题目：
（1）5+26= （直接写化简后结果）；
（2）化简：14−65．（写出解答过程）
分析：（1）根据题意给出的算法即可求出答案．
（2）根据题意给出的算法即可求出答案．
【解答】解：（1）原式=2+26+3
=(2)2+26+(3)2
=(2+3)2
=2+3．
故答案为：2+3．
（2）原式=5−245+9
=(5)2−245+32
=(5−3)2
＝3−5．
【点评】本题考查二次根式的性质与化简，解题的关键是正确理解题目给出的算法．
【变式9-1】(2023秋•双牌县期末）先阅读下面例题的解答过程，然后作答．
例题：化简8+215．
解：先观察8+215，
由于8＝5+3，即8＝（5）2+（3）2，
且15＝5×3，即215=2×5×3，
则有8+215=(5+3)2=5+3．
试用上述例题的方法化简：15+414=（ ）
A．2+13B．2+11C．1+14D．7+22
分析：先把被开方数拆项，化为完全平方的形式，再根据二次根式的性质化简．
【解答】解：15+414=(7)2+414+(22)2=(7+22)2=7+22；
故选：D．
【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式的性质，先把被开方数拆项，化为完全平方的形式是解题关键．
【变式9-2】(2023秋•郸城县期中）请阅读下列材料：
形如m±2n的式子的化简，我们只要找到两个正数a，b，使a+b＝m，ab＝n，即(a)2+(b)2=m，a×b=n，那么便有m±2n=(a±b)2=a±b（a＞b）．
例如：化简7+43．
解：首先把7+43化为7+212，这里m＝7，n＝12，
由于4+3＝7，4×3＝12，即(4)2+(3)2=7，4×3=12，
所以7+43=7+212=(4+3)2=2+3．
请根据材料解答下列问题：
（1）填空：5−26= ．
（2）化简：21−123（请写出计算过程）．
分析：（1）利用完全平方公式化简得出答案；
（2）利用完全平方公式以及二次根式的性质化简得出答案．
【解答】解：（1）5−26=(3−2)2=3−2；
故答案为：3−2；
（2）首先把21−123化为21−2108，这里m＝21，n＝108，
∵9+12＝21，9×12＝108，即(9)2+(12)2=21，9×12=108，
∴21−123=21−2108=(9−12)2=12−9=23−3．
【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键．
【变式9-3】(2023春•金华月考）有这样一类题目：将a+2b化简，若你能找到两个数m和n，使m2+n2＝a且mn=b，则a+2b可变为m2+n2+2mn，即变成（m+n）2，从而使得a+2b化简．
例如：∵5+26=3+2+26=（3）2+（2）2+26=（3+2）2
∴5+26=(3+2)2=3+2
请你仿照上例将下列各式化简：
（1）4+23；
（2）7−210．
分析：（1）先根据完全平方公式得出4+23=（3+1）2，再根据二次根式的性质进行计算即可；
（2）先根据完全平方公式得出7﹣210=（5−2）2，再根据二次根式的性质进行计算即可．
【解答】解：（1）∵4+23
＝3+1+23
＝（3）2+12+2×3×1
＝（3+1）2，
∴4+23
=(3+1)2
=3+1；
（2）∵7﹣210
＝5+2﹣210
＝（5）2+（2）2﹣2×5×2
＝（5−2）2，
∴7−210
=(5−2)2
=5−2．
【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，能熟记二次根式的性质是解此题的关键，注意：a2=|a|=a(a≥0)−a(a＜0)．
解题技巧提炼
先通过二次根式的定义求出自然数n的范围，再由二次根式的性质确定20﹣n是一个完全平方数，最后通过分类讨论思想求出自然数的所有可能取的值.
解题技巧提炼
灵活利用二次根式的性质和绝对值的性质进行化简计算是解题的关键.
1、的性质：具有双重非负性，即，即一个非负数的算术平方根是非负数；
2、，即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身；
3、，即一个数的平方的算术平方根等于它的绝对值.
解题技巧提炼
运用a2=|a|进行化简时，一定要结合具体问题，本题结合相关的几何图形的特征，三角形的两边之和大于第三边确定被开方数底数的符号，然后进行化简.
解题技巧提炼
式子a•b=a⋅b成立的条件是a≥0且b≥0；
式子ab=ab成立的条件是a≥0且b>0.
解题技巧提炼
把二次根式根号外的因数（式）移到根号内时，应先判断根号外的因数（式）的正负，若为非负数，直接平方后移到根号内；若为负数，平方后移到根号内并在根号外加负号.
解题技巧提炼
先认真分析题意，将实际问题转化成二次根式的加减乘除运算问题，然后按照二次根式的运算的法则进行计算即可，注意计算的准确性和结果的要求.
解题技巧提炼
利用二次根式的性质比较两个二次根式的大小：
方法一移动因式法：可以把根号外的因式平方后移入根号内，根据此时被开方数的大小比较即可；
方法二平方法：可以把这两个二次根式分别进行平方，比较平方的大小，再比较原数的大小，注意是负数的，平方大的那个负数反而小．
方法三：估算二次根式的大小来比较大小.
解题技巧提炼
确定二次根式的整数部分和小数部分的方法：先用”放缩法”确定二次根式的整数部分，再用二次根式与整数部分的差确定小数部分，即n≤a＜n＋1，则可以确定a的整数部分为n，小数部分为a﹣n.
解题技巧提炼
解决这类问题时，一般先将所给的式子进行化简，然后将含二次根式的字母的值代入，根据二次根式的运算顺序进行计算.
解题技巧提炼
通过完全平方公式去掉括号,然后比较等式左右两边的系数得出要求的字母的值，这里用到了不为零的有理数与无理数相加的和是有理数和无理数.
解题技巧提炼
用综合法解决探索规律问题，先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律，用一个统一的式子表示出变化规律是解决此类问题的关键，然后再用所得到的规律解决问题.
解题技巧提炼
把复合二次根式化简需要灵活运用二次根式的性质和运算法则，可以用平方法，可以先将复合二次根式平方并化简，再讲结果开方，求得原式的值.还可以用配方法来化简.