人教版八年级数学上册同步备课专题二次根式求值的常用方法(原卷版+解析)

这是一份人教版八年级数学上册同步备课专题二次根式求值的常用方法(原卷版+解析)，共30页。试卷主要包含了利用二次根式的性质求值，化简后直接代入求值，利用整体思想代入求值等内容，欢迎下载使用。


题型一 利用二次根式的性质求值
【例题1】(2023春•黄冈期中）已知等式5−xx−3=5−xx−3成立，化简|x﹣6|+(x−2)2的值．
【变式1-1】(2023秋•海陵区校级期末）如图，a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简b2−(b+c)2−(c−a)2．
【变式1-2】(2023秋•农安县期中）已知，如图所示，实数a、b、c在数轴上的位置．化简：a2−|a−b|+(c−a)2+|b+c|．
【变式1-3】先化简，再求值：2n−mmn÷m2+n2−5n2mn⋅(m+2n)22mn，其中m+1+(n−3)2=0．
【变式1-4】(2023秋•如东县期末）x，y为实数，且y＜x−1+1−x+3，化简：|y−3|−y2−8y+16．
【变式1-5】(2023秋•崇川区校级月考）已知：y＞3x−2+2−3x+2，求y2−4y+42−y+5−3x的值．
【变式1-6】(2023春•睢县期中）已知a、b满足4a−b+1+13b−4a−3=0，求2a（ba÷1−b）
【变式1-7】(2023秋•金牛区校级月考）若等式(3x+1)(2−x)=3x+1•2−x成立，
试化简：|x﹣4|+9x2+6x+1+|x﹣2|．
【变式1-8】(2023春•藁城区校级期中）求代数式a+1−2a+a2的值．其中a＝1011，如图所示的是小亮和小芳的解答过程．
（1） 的解法是错误的；
（2）求代数式a+2a2−6a+9的值，其中a＝﹣2022．
题型二 化简后直接代入求值
【例题2】(2023秋•青浦区校级期中）先化简再求值：x−2xy+yx−y÷1x+2xy+y，其中x=13+22，y=13−22．
【变式2-1】(2023秋•长泰县期中）先化简，再求值：(a−3)(a+3)−a(a−4)，其中：a=3+1．
【变式2-2】(2023春•谷城县期末）已知x＝2−3，求代数式（7+43）x2+（22+6）x﹣1的值
【变式2-3】(2023春•范县期中）先化简，再求值．
（6xyx+3yxy3）﹣（4yxy+36xy），其中x=12−1，y=12+1．
【变式2-4】(2023春•连山区期中）给出以下式子：（x2−4x2−4x+4−1x−2）÷x+1x+2，先简化，然后从﹣1，2，2+23三个数中，选个合适的数代入求值．
【变式2-5】(2023秋•宝山区期中）已知a=12+3，求1+2a+a2a+1−a2−4a+4a2−2a的值．
【变式2-6】(2023春•曹县期中）先化简，再求值．（6xyx+3yxy3）﹣（4yxy+36xy），其中x=32，y＝27．
【变式2-7】(2023秋•虹口区校级月考）先化简，再求值：4a−b+a+bba−ab+a−bba−ab，其中a＝1，
b＝2．
【变式2-8】(2023秋•崇川区校级月考）当x=1+20222时，多项式4x3﹣2025x﹣2022的值为（ ）
A．3B．﹣3C．1D．﹣1
题型三 利用整体思想代入求值
【例题3】(2023•峄城区校级模拟）已知a=5−26，b=5+26，则a2+b2﹣3ab的值为（ ）
A．5B．65C．95D．135
【变式3-1】(2023秋•邵阳县期末）若a＝1+2，b＝1−2，则代数式a2+b2−3ab的值为（ ）
A．3B．±3C．5D．9
【变式3-2】(2023春•藁城区校级月考）已知a=3+1，b=3−1，则ba−ab的值为（ ）
A．−23B．23C．43D．−43
【变式3-3】(2023秋•澧县期末）已知x=13−22，y=13+22，xy+yx−4＝ ．
【变式3-4】(2023春•渝中区校级期中）已知：x=2+1，y=2−1，求下列各式的值．
（1）x2+2xy+y2；
（2）x2+y2．
【变式3-5】计算求值 a，b为实数，且a+b＝﹣8，ab＝8，求bba+aab的值．
【变式3-7】已知x2﹣3x+1＝0，求x2+1x2−2的值．
【变式3-8】(2023秋•虹口区校级月考）已知a(a+b)=3b(a+5b)，则2a+3b+aba−b+ab的值为 ．
【变式3-9】（1）已知39+x2−15+x2=2，求39+x2+15+x2的值
（2）已知29−x2−15+x2=2，求29−x2+15+x2的值．
题型四 利用二次根式的整数部分和小数部分求值
【例题4】已知a，b为实数，m，n分别表示5−7的整数部分和小数部分，且am+bn＝0，求代数式a2b+34的值．
【变式4-1】(2023秋•普陀区校级月考）如果5+5和5−2小数部分分别为a，b，那么ab+2＝ ．
【变式4-2】(2023秋•宛城区校级月考）已知x=12+3，y=12−3．
（1）求x2+y2﹣xy的值；
（2）若x的整数部分是a，y的小数部分是b，求5a2021+（x﹣b）2﹣y的值．
【变式4-3】(2023秋•滨江区校级期中）（1）已知7+7的小数部分是a，7−7的小数部分是b，求a+b的值；
（2）设5+3的整数部分用a表示，小数部分用b表示，3−3的整数部分用c表示，小数部分用d表示，求ab﹣cd的值．
【变式4-4】(2023秋•古田县期中）已知a+b−33+|b+3|＝b+3，x为a+b的整数部分，y为a+b的小数部分．求2x﹣3y的值．
【变式4-5】(2023春•大观区校级期末）阅读下列材料：
∵1＜3＜4，即1＜3＜2，
∴3的整数部分为1，小数部分为3−1．
请根据材料提示，进行解答：
（1）14的整数部分是 ，小数部分是 ．
（2）如果6的小数部分为m，21的整数部分为n，求2m+n﹣26的值．
（3）已知：10+32=a+b，其中a是整数，且0＜b＜1，请直接写出a，b的值．
【变式4-6】(2023秋•西安月考）观察：因为4＜5＜9，即2＜5＜3，所以5的整数部分为2，小数部分为5−2．
请你观察上述规律后解决下面的问题：
（1）规定用符号[m]表示实数m的整数部分，例如：[23]＝0，[6]＝2．按此规定，那么[10+1]的值为 ．
（2）若11的整数部分为a，小数部分为b，|c|=11，求c（a﹣b﹣6）+12的值．
八年级下册数学《第十六章 二次根式》
专题 二次根式求值的常用方法
题型一 利用二次根式的性质求值
【例题1】(2023春•黄冈期中）已知等式5−xx−3=5−xx−3成立，化简|x﹣6|+(x−2)2的值．
分析：先根据二次根式有意义的条件求出x的值，再将x代入化简即可求值．
【解答】解：由题意得，5−x≥0x−3＞0，
∴3＜x≤5，
∴|x﹣6|+(x−2)2
＝6﹣x+x﹣2
＝4．
【点评】此题考查了二次根式有意义的条件，熟记二次根式有意义的条件是解题的关键．
【变式1-1】(2023秋•海陵区校级期末）如图，a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简b2−(b+c)2−(c−a)2．
分析：先根据数轴判断b，b+c，c﹣a的正负性，再根据二次根式的性质进行化简即可求解．
【解答】解：由题意可知：
∵a＜c，b＜0，c＞0，|b|＞|c|，
∴b+c＜0，c﹣a＞0，
∴b2−(b+c)2−(c−a)2
＝|b|﹣|b+c|﹣|c﹣a|
＝﹣b+（b+c）﹣（c﹣a）
＝﹣b+b+c﹣c+a
＝a，
【点评】本题主要考查了数轴和二次根式，理解题意掌握二次根式的性质是解题的关键．
【变式1-2】(2023秋•农安县期中）已知，如图所示，实数a、b、c在数轴上的位置．化简：a2−|a−b|+(c−a)2+|b+c|．
分析：先根据数轴判断a，b，c的正负数，再根据绝对值的意义化简求解．
【解答】解：根据数轴可得：c＜b＜0＜a，
∴a﹣b＞0，c﹣a＜0，b+c＜0，
∴a2−|a−b|+(c−a)2+|b+c|
＝a﹣（a﹣b）﹣（c﹣a）﹣（b+c）
＝a﹣a+b﹣c+a﹣b﹣c
＝a﹣2c．
【点评】本题考查了二次根式的化简与求值，绝对值的化简是解题的关键．
【变式1-3】先化简，再求值：2n−mmn÷m2+n2−5n2mn⋅(m+2n)22mn，其中m+1+(n−3)2=0．
分析：直接利用非负数的性质得出m，n的值，再把m，n的值代入，再利用二次根式的混合运算法则计算得出答案．
【解答】解：2n−mmn÷m2+n2−5n2mn⋅(m+2n)22mn
=2n−mmn÷m2+n2−5n2mn⋅m2+4n2+4mn2mn
=2n−mmn⋅mnm2−4n2⋅(m+2n)22mn
=2n−mmn⋅mn(m−2n)(m+2n)⋅(m+2n)22mn
=−m+2n2mn，
∵m+1+(n−3)2=0，
∴m+1＝0，n﹣3＝0，
∴m＝﹣1，n＝3．
∴原式=−m+2n2mn
=−−1+2×32×3×(−1)=56．
【点评】此题主要考查了二次根式的化简求值，正确掌握相关运算法则是解题关键．
【变式1-4】(2023秋•如东县期末）x，y为实数，且y＜x−1+1−x+3，化简：|y−3|−y2−8y+16．
分析：先根据x−1、1−x有意义的条件可得x﹣1≥0，1﹣x≥0，解可求x＝1，再把x＝1代入y＜x−1+1−x+3中，易求
y＜3，从而可对所求式子化简，并合并即可．
【解答】解：∵x﹣1≥0，1﹣x≥0，
∴x≥1，x≤1，
∴x＝1，
又∵y＜x−1+1−x+3，
∴y＜3，
∴|y﹣3|−y2−8y+16=3﹣y﹣（4﹣y）＝﹣1．
故答案为﹣1．
【点评】本题考查了二次根式的性质、二次根式的化简求值．解题的关键是注意被开方式是≥0的．
【变式1-5】(2023秋•崇川区校级月考）已知：y＞3x−2+2−3x+2，求y2−4y+42−y+5−3x的值．
分析：根据被开方数是非负数且分母不等于零，以此即可得到结果．
【解答】解：由y＞3x−2+2−3x+2可得，
3x−2≥02−3x≥0，
∴x=23，
∴y＞2，
∴y2−4y+42−y+5−3x
=(y−2)22−y+5−3×23
=y−22−y+5−2
＝﹣1+5﹣2
＝2．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，利用被开方数是非负数且分母不等于零得出x=23，y＞2是解题关键．
【变式1-6】(2023春•睢县期中）已知a、b满足4a−b+1+13b−4a−3=0，求2a（ba÷1−b）
分析：根据非负数性质可得关于a、b的方程组，求得a、b的值代入计算即可．
【解答】解：根据题意，得：4a−b+1=013b−4a−3=0，
解得：a=−1b=−3，
故2a（ba÷1−b）
＝2×（﹣1）×（−3−1÷13）
＝﹣2×（3×3）
＝﹣2×3
＝﹣6．
【点评】本题主要考查二次根式的求值及非负数的性质，根据非负数性质列出方程组是解题的前提，代入求值是关键．
【变式1-7】(2023秋•金牛区校级月考）若等式(3x+1)(2−x)=3x+1•2−x成立，试化简：|x﹣4|+9x2+6x+1+|x﹣2|．
分析：根据题意求出x的取值范围，根据完全平方公式和a2=|a|化简，根据绝对值的性质化简即可．
【解答】解：根据题意得：3x+1≥0，2﹣x≥0，
∴−13≤x≤2，
∴x﹣4＜0，x﹣2≤0，
∴原式＝|x﹣4|+(3x+1)2+|x﹣2|
＝|x﹣4|+|3x+1|+|x﹣2|
＝4﹣x+3x+1+2﹣x
＝x+7．
【点评】本题考查了二次根式的乘除法，掌握a2=|a|是解题的关键．
【变式1-8】(2023春•藁城区校级期中）求代数式a+1−2a+a2的值．其中a＝1011，如图所示的是小亮和小芳的解答过程．
（1） 的解法是错误的；
（2）求代数式a+2a2−6a+9的值，其中a＝﹣2022．
分析：（1）先将被开方式进行因式分解，然后根据二次根式的性质进行化简，从而作出判断；
（2）先将被开方式进行因式分解，然后根据二次根式的性质进行化简，最后代入求值．
【解答】解：（1）小亮的解法是错误的，理由如下：
原式＝a+(1−a)2，
∵a＝1011，
∴1﹣a＜0，
∴原式＝a+a﹣1＝2a﹣1＝2×1011﹣1＝2021，
故答案为：小亮；
（2）原式＝a+2(a−3)2，
∵a＝﹣2022，
∴a﹣3＜0，
∴原式＝a+2（3﹣a）
＝a+6﹣2a
＝6﹣a
＝6﹣（﹣2022）
＝6+2022
＝2028．
【点评】本题考查二次根式的化简求值，理解二次根式的性质，掌握利用完全平方公式分解因式的技巧是解题关键．
题型二 化简后直接代入求值
【例题2】(2023秋•青浦区校级期中）先化简再求值：x−2xy+yx−y÷1x+2xy+y，其中x=13+22，y=13−22．
分析：根据平方差公式、完全平方公式把原式的分子、分母变形，再根据约分法则化简，利用分母有理化法则把x、y化简，代入计算即可．
【解答】解：原式=(x−y)2(x+y)(x−y)•（x+y）2
＝（x−y）•（x+y）
＝x﹣y，
当x=13+22=3−22(3+22)(3−22)=3﹣22，y=13−22=3+22时，
原式＝（3﹣22）﹣（3+22）＝﹣42．
【点评】本题考查的是二次根式的化简求值，掌握二次根式的乘法法则、平方差公式、完全平方公式是解题的关键．
【变式2-1】(2023秋•长泰县期中）先化简，再求值：(a−3)(a+3)−a(a−4)，其中：a=3+1．
分析：先算乘法，再合并同类项，最后代入求出答案即可．
【解答】解：(a−3)(a+3)−a(a−4)
＝a2﹣3﹣a2+4a
＝4a﹣3，
当a=3+1时，原式＝4×（3+1）﹣3＝43+4﹣3＝43+1．
【点评】本题考查了二次根式的化简求值，能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键．
【变式2-2】(2023春•谷城县期末）已知x＝2−3，求代数式（7+43）x2+（22+6）x﹣1的值
分析：先求出x2的值，代入后先根据二次根式的乘法法则进行计算，再根据二次根式的加减法则进行计算即可．
【解答】解：∵x＝2−3，
∴x2＝（2−3）2＝4﹣43+3＝7﹣43，
∴（7+43）x2+（22+6）x﹣1
＝（7+43）×（7﹣43）+（22+6）×（2−3）﹣1
＝49﹣48+42−26+26−32−1
=2．
【点评】本题考查了二次根式的化简求值，能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键．
【变式2-3】(2023春•范县期中）先化简，再求值．
（6xyx+3yxy3）﹣（4yxy+36xy），其中x=12−1，y=12+1．
分析：首先把二次根式进行化简，然后再去括号合并同类二次根式，再代入xy的值即可．
【解答】解：原式＝（6xy+3xy）﹣（4xy+6xy），
＝6xy+3xy−4xy−6xy，
=−xy，
当x=12−1，y=12+1时，xy=12−1=1，
则原式＝﹣1．
【点评】此题主要考查了二次根式的化简求值，关键是正确化简二次根式．
【变式2-4】(2023春•连山区期中）给出以下式子：（x2−4x2−4x+4−1x−2）÷x+1x+2，先简化，然后从﹣1，2，2+23三个数中，选个合适的数代入求值．
分析：先算括号里面的减法，再根据发送到除法法则把除法变成乘法，算乘法，根据分式有意义的条件求出x不能为2，﹣2，﹣1，取x＝2+23，再代入求出答案即可．
【解答】解：（x2−4x2−4x+4−1x−2）÷x+1x+2
＝[(x+2)(x−2)(x−2)2−1x−2]•x+2x+1
＝（x+2x−2−1x−2）•x+2x+1
=x+2−1x−2•x+2x+1
=x+1x−2•x+2x+1
=x+2x−2，
由题意得，x﹣2≠0，x+2≠0，x+1≠0，
则x≠2，x≠﹣2，x≠﹣1，
∴当x=2+23时
原式=2+23+22+23−2=23+423=1+233．
【点评】本题考查了分式和二次根式的化简求值，能灵活运用分式和二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键，注意运算顺序．
【变式2-5】(2023秋•宝山区期中）已知a=12+3，求1+2a+a2a+1−a2−4a+4a2−2a的值．
分析：先利用分母有理化可得a＝2−3，然后再代入到化简后的式子，进行计算即可解答．
【解答】解：∵a=12+3=2−3(2+3)(2−3)=2−3，
∴a﹣2＜0，
∴1+2a+a2a+1−a2−4a+4a2−2a
=(1+a)2a+1−(a−2)2a(a−2)
＝a+1−2−aa(a−2)
＝a+1+1a
＝2−3+1+（2+3）
＝2−3+1+2+3
＝5
【点评】本题考查了二次根式的化简求值，分式的化简求值，分母有理化，准确熟练地进行计算是解题的关键．
【变式2-6】(2023春•曹县期中）先化简，再求值．（6xyx+3yxy3）﹣（4yxy+36xy），其中x=32，y＝27．
分析：先根据二次根式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x、y的值代入计算可得．
【解答】解：原式＝（6x•xyx+3y•yxy）﹣（4y•xyy+6xy）
＝6xy+3xy−4xy−6xy
=−xy，
当x=32、y＝27时，
原式=−32×27=−922．
【点评】本题主要考查二次根式的混合运算﹣化简求值，解题的关键是熟练掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则．
【变式2-7】(2023秋•虹口区校级月考）先化简，再求值：4a−b+a+bba−ab+a−bba−ab，其中a＝1，
b＝2．
分析：利用二次根式的相应的法则对式子进行化简，再代入相应的值运算即可．
【解答】解：4a−b+a+bba−ab+a−bba−ab
=4a−b+2aba−ab
=4(a−b)(a+b)+2aab(b−a)
=4abab(a−b)(a+b)−2a(a+b)ab(a+b)(a+b)
=−2ab+b
=−2(ab−b)ab−b2，
∵a＝1，b＝2，
∴原式=−2(2−2)2−4=2−2．
【点评】本题主要考查了二次根式的化简求值，熟练掌握二次根式的化简求值的方法是解决本题的关键．
【变式2-8】(2023秋•崇川区校级月考）当x=1+20222时，多项式4x3﹣2025x﹣2022的值为（ ）
A．3B．﹣3C．1D．﹣1
分析：求出2x＝1+2022，再变形得出4x3﹣2025x﹣2022＝（4x2﹣2025）x﹣2022，再依次代入，最后根据二次根式的运算法则进行计算即可．
【解答】解：∵x=1+20222，
∴2x＝1+2022，
∴4x3﹣2025x﹣2022
＝（4x2﹣2025）x﹣2022
＝[（1+2022）2﹣2025]x﹣2022
＝（1+2022+22022−2025）x﹣2022
＝（﹣2+22022）x﹣2022
＝2（﹣1+2022）×1+20222−2022
＝（﹣1+2022）×（1+2022）﹣2022
＝2022﹣1﹣2022
＝﹣1，
故选：D．
【点评】本题考查了二次根式的化简求值，能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键．
题型三 利用整体思想代入求值
【例题3】(2023•峄城区校级模拟）已知a=5−26，b=5+26，则a2+b2﹣3ab的值为（ ）
A．5B．65C．95D．135
分析：由已知可得a﹣b＝﹣46，ab＝1，因为原式＝（a﹣b）2﹣ab，再整体代入即可．
【解答】解：∵a=5−26，b=5+26，
∴a﹣b＝﹣46，ab＝1，
∴原式＝（a﹣b）2﹣ab
＝96﹣1
＝95．
故选：C．
【点评】本题考查了二次根式的计算，熟练掌握计算法则是关键．
【变式3-1】(2023秋•邵阳县期末）若a＝1+2，b＝1−2，则代数式a2+b2−3ab的值为（ ）
A．3B．±3C．5D．9
分析：首先把所求的式子化成(a−b)2−ab的形式，然后代入数值计算即可．
【解答】解：原式=(a−b)2−ab=(22)2−(−1)=8+1=3．
故选：A．
【点评】本题考查了二次根式的化简求值，正确对所求的式子进行变形是关键．
【变式3-2】(2023春•藁城区校级月考）已知a=3+1，b=3−1，则ba−ab的值为（ ）
A．−23B．23C．43D．−43
分析：由题意可得ab＝2，a﹣b＝2，a+b＝23，再整理所求的式子，代入运算即可．
【解答】解：∵a=3+1，b=3−1，
∴ab＝（3+1）×（3−1）＝2，
a﹣b=3+1﹣（3−1）＝2，
a+b=3+1+3−1＝23，
∴ba−ab
=b2−a2ab
=−(a+b)(a−b)ab
=−23×22
=−23．
故选：A．
【点评】本题主要考查二次根式的化简求值，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
【变式3-3】(2023秋•澧县期末）已知x=13−22，y=13+22，xy+yx−4＝ ．
分析：先分母有理化，进一步得到xy，x+y，再将xy+yx−4变形后代入计算即可求解．
【解答】解：∵x=13−22=3+22，y=13+22=3﹣22，
∴x+y＝6，xy＝9﹣8＝1，
∴xy+yx−4=x2+y2xy−4=(x+y)2−2xyxy−4=36−21−4＝34﹣4＝30．
故答案为：30．
【点评】本题考查了二次根式的化简求值，分式的化简求值，分母有理化，关键是求出xy，x+y的值．
【变式3-4】(2023春•渝中区校级期中）已知：x=2+1，y=2−1，求下列各式的值．
（1）x2+2xy+y2；
（2）x2+y2．
分析：先计算出x+y与xy的值，再把代数式变形得到（1）x2+2xy+y2＝（x+y）2；（2）x2+y2＝（x+y）2﹣2xy，然后分别利用整体代入的方法计算．
【解答】解：∵x=2+1，y=2−1，
∴x+y＝22，xy＝2﹣1＝1，
（1）x2+2xy+y2＝（x+y）2＝（22）2＝8；
（2）x2+y2＝（x+y）2﹣2xy＝8﹣2×1＝6．
【点评】本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．利用整体代入的方法可简化计算．
【变式3-5】计算求值 a，b为实数，且a+b＝﹣8，ab＝8，求bba+aab的值．
分析：首先由a+b＝﹣8，ab＝8，求得a2+b2＝48，然后化简二次根式，代入即可求得答案．
【解答】解：∵a+b＝﹣8，ab＝8，
∴a，b同号，且均为负数，
∴a2+b2+2ab＝64，
∵ab＝8，
∴a2+b2＝48，
∴原式＝﹣baba−aabb=（−ba−ab）ab=−a2+b2ab•ab=−488×8=−122．
【点评】此题考查了二次根式的化简．求得a2+b2＝48是解题的关键．
【变式3-7】已知x2﹣3x+1＝0，求x2+1x2−2的值．
分析：把已知等式两边除以x得到x+1x=3，再利用完全平方公式变形得到原式=(x+1x)2−4，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：∵x2﹣3x+1＝0，
∴x﹣3+1x=0，即x+1x=3，
∴原式=(x+1x)2−4
=32−4
=5．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化简为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．也考查了代数式的变形能力．
【变式3-8】(2023秋•虹口区校级月考）已知a(a+b)=3b(a+5b)，则2a+3b+aba−b+ab的值为 ．
分析：根据已知可得（a−5b）（a+3b）＝0，从而可得a=5b，进而可得a＝25b，然后代入式子中进行计算即可解答．
【解答】解：∵a(a+b)=3b(a+5b)，
∴（a）2+ab=3ab+15（b）2，
∴（a）2﹣2ab−15（b）2＝0，
∴（a−5b）（a+3b）＝0，
∵a+3b≠0，
∴a−5b=0，
∴a=5b，
∴a＝25b，
∴2a+3b+aba−b+ab
=50b+3b+5b25b−b+5b
=58b29b
＝2．
【点评】本题考查了二次根式的化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
【变式3-9】（1）已知39+x2−15+x2=2，求39+x2+15+x2的值
（2）已知29−x2−15+x2=2，求29−x2+15+x2的值．
分析：（1）根据平方差公式可以解答本题；
（2）根据题目中的式子，进行变形建立与所求式子之间的关系，注意所求的式子的结果是正值．
【解答】解：（1）∵39+x2−15+x2=2，
∴（39+x2−15+x2）（39+x2+15+x2）＝2（39+x2+15+x2），
∴39+x2﹣15﹣x2＝2（39+x2+15+x2），
∴24＝2（39+x2+15+x2），
∴39+x2+15+x2=12；
（2）∵29−x2−15+x2=2，
∴（29−x2−15+x2）2＝4，
∴29−x2+15+x2−229−x2⋅15+x2=4，
∴29−x2⋅15+x2=20，
∴（29−x2+15+x2）2=29−x2+15+x2+229−x2⋅15+x2=44+2×20＝84，
∴29−x2+15+x2=84=221．
【点评】本题考查二次根式的化简求值，解答此类问题的关键是明确二次根式化简求值的方法．
题型四 利用二次根式的整数部分和小数部分求值
【例题4】已知a，b为实数，m，n分别表示5−7的整数部分和小数部分，且am+bn＝0，求代数式a2b+34的值．
分析：根据已知首先求出m，n的值，进而化简原式得出2a+3b＝0，b＝0，求出即可．
【解答】解：∵m，n分别表示5−7的整数部分和小数部分，
∴m＝2，n＝5−7−2＝3−7，
∴am+bn＝a×2+（3−7）b＝2a+（3−7）b＝0，
∴ab=7−32
∴a2b+34=12×7−32+34=74．
【点评】本题考查了估算无理数的大小，解决本题的根据是求出m，n的值．
【变式4-1】(2023秋•普陀区校级月考）如果5+5和5−2小数部分分别为a，b，那么ab+2＝ ．
分析：先估算5，进而求得a、b的值，再代值计算便可．
【解答】解：∵2＜5＜3，
∴7＜5+5＜8，0＜5−2＜1，
∵5+5和5−2小数部分分别为a，b，
∴a＝5+5−7=5−2，b=5−2，
∴ab+2=5−25−2+2＝1+2＝3，
故答案为：3．
【点评】本题考查了估算无理数的大小，二次根式除法运算，正确估算无理数的大小是解题的关键．
【变式4-2】(2023秋•宛城区校级月考）已知x=12+3，y=12−3．
（1）求x2+y2﹣xy的值；
（2）若x的整数部分是a，y的小数部分是b，求5a2021+（x﹣b）2﹣y的值．
分析：（1）利用分母有理化化简x和y，并将所求式变形后代入可答案；
（2）根据无理数的估算可知0＜2−3＜1，3＜2+3＜4，可得a和b的值，代入所求式可得答案．
【解答】解：（1）∵x=12+3=2−3(2+3)(2−3)=2−3，y=12−3=2+3(2−3)(2+3)=2+3，
∴x2+y2﹣xy
＝（x+y）2﹣3xy
＝（2−3+2+3）2﹣3（2−3）（2+3）
＝16﹣3
＝13；
（2）∵1＜3＜2，
∴0＜2−3＜1，3＜2+3＜4，
∴a＝0，b＝2+3−3=3−1，
∴5a2021+（x﹣b）2﹣y
＝5×0+（2−3−3+1）2﹣（2+3）
＝（3﹣23）2﹣2−3
＝9﹣123+12﹣2−3
＝19﹣133．
【点评】本题考查了分母有理化，二次根式的混合运算，掌握完全平方公式和分母有理化是解本题的关键．
【变式4-3】(2023秋•滨江区校级期中）（1）已知7+7的小数部分是a，7−7的小数部分是b，求a+b的值；
（2）设5+3的整数部分用a表示，小数部分用b表示，3−3的整数部分用c表示，小数部分用d表示，求ab﹣cd的值．
分析：（1）由4＜7＜9，得出2＜7＜3，确定7+7的小数部分，可得a的值，然后确定用7−7的小数部分，可得b的值，把a、b值代入代数式a+b中计算即可；
（2）同理估算3的大小，确定a，b，c，d的值，代入所求式计算即可．
【解答】解：（1）∵4＜7＜9，
∴2＜7＜3，
∴9＜7+7＜10，4＜7−7＜5，
∴7+7的整数部分是9，小数部分a=7+7﹣9=7−2，7−7的小数部分是7−7−4＝3−7，
∴a=7−2，b＝3−7，
∴a+b=7−2+3−7=1；
（2）∵1＜3＜4，
∴1＜3＜2，
∴6＜5+3＜7，1＜3−3＜2，
∴a＝6，b＝5+3−6=3−1，c＝1，d＝3−3−1＝2−3，
∴ab﹣cd＝6（3−1）﹣1×（2−3）＝63−6﹣2+3=73−8．
【点评】本题考查的是估算无理数的大小，应从估算无理数7或3的范围入手．
【变式4-4】(2023秋•古田县期中）已知a+b−33+|b+3|＝b+3，x为a+b的整数部分，y为a+b的小数部分．求2x﹣3y的值．
分析：由a+b−33+|b+3|＝b+3，可得a+b＝33，再根据x为a+b的整数部分，y为a+b的小数部分，确定x、y的值，代入计算即可．
【解答】解：由a+b−33+|b+3|＝b+3，可得a+b＝33，
∵5＜33＜6，x为a+b的整数部分，y为a+b的小数部分，
∴x＝5，y=33−5，
∴2x﹣3y＝10﹣3（33−5）＝25﹣333，
答：2x﹣3y的值为25﹣333．
【点评】本题考查估算无理数的大小，理解算术平方根的意义是解决问题的关键．
【变式4-5】(2023春•大观区校级期末）阅读下列材料：
∵1＜3＜4，即1＜3＜2，
∴3的整数部分为1，小数部分为3−1．
请根据材料提示，进行解答：
（1）14的整数部分是 ，小数部分是 ．
（2）如果6的小数部分为m，21的整数部分为n，求2m+n﹣26的值．
（3）已知：10+32=a+b，其中a是整数，且0＜b＜1，请直接写出a，b的值．
分析：（1）估算14的大小即可；
（2）估算无理数6和21的大小，进而确定m，n的值，再代入计算即可；
（3）估算无理数32的大小，进而确定10+32的大小，确定a，b的值即可．
【解答】解：（1）∵9＜14＜16，即3＜14＜4，
∴14的整数部分是3，小数部分是14−3，
故答案为：3，14−3；
（2）∵2＜6＜3，4＜21＜5，
∴m=6−2，n＝4，
∴2m+n﹣26
＝2（6−2）+4﹣26
＝26−4+4﹣26
＝0；
（3）∵5＜32＜6，
∴15＜10+32＜16，
∴10+32的整数部分是15，小数部分是10+32−15=32−5，
∵10+32=a+b，其中a是整数，且0＜b＜1，
∴a＝15，b=32−5．
【点评】本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根的定义是正确解答的前提，确定无理数的整数部分、小数部分是得出正确答案的关键．
【变式4-6】(2023秋•西安月考）观察：因为4＜5＜9，即2＜5＜3，所以5的整数部分为2，小数部分为5−2．
请你观察上述规律后解决下面的问题：
（1）规定用符号[m]表示实数m的整数部分，例如：[23]＝0，[6]＝2．按此规定，那么[10+1]的值为 ．
（2）若11的整数部分为a，小数部分为b，|c|=11，求c（a﹣b﹣6）+12的值．
分析：（1）根据算术平方根的定义，估算无理数10的大小，进而确定10+1的大小即可；
（2）估算无理数11的大小，确定a、b的值，再根据绝对值的定义得出c的值，再代入计算即可．
【解答】解：（1）∵9＜10＜16，即3＜10＜4，
∴4＜10+1＜5，
∴10+1的整数部分为4，
即[10+1]＝4，
故答案为：4；
（2）∵9＜11＜16，即3＜11＜4，
∴11的整数部分a＝3，小数部分b=11−3，
∵|c|=11，
∴c＝±11，
当a＝3，b=11−3，c=11时，
c（a﹣b﹣6）+12=11（3−11+3﹣6）+12
＝﹣11+12
＝1；
当a＝3，b=11−3，c=−11时，
c（a﹣b﹣6）+12=−11（3−11+3﹣6）+12
＝11+12
＝23；
答：c（a﹣b﹣6）+12的值为1或23．
【点评】本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根的定义估算无理数的大小，进而确定整数部分、小数部分是正确解答的前提．