浙教版八年级数学下册 专题2.33 一元二次方程的应用（题型分类专题）（基础篇）（专项练习）

这是一份浙教版八年级数学下册 专题2.33 一元二次方程的应用（题型分类专题）（基础篇）（专项练习），共26页。
【题型一】握手问题✮✭比赛场次问题
1．无为市某中学九年级学生数学交流会上，每两名学生握手一次，统计后发现共握手次，求参加这次数学交流会的学生有多少人？
2．组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，计划比赛28场，比赛组织者应邀请多少个队参加比赛？
3．参加足球联赛的每两队之间都进行一场比赛，共要比赛45场，求共有多少个队参加这场足球联赛?
4．有一个人收到短信后，再用手机转发短信息，每人只转发一次，经过两轮转发后共有133人收到短信，问每轮转发中平均一个人转发给多少人？
【题型二】传播问题✮✭增长率问题
5．某种电脑病毒传播速度非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有100台电脑被感染．每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？
6．有一个人患了流感，经过两轮传染后有若干人被传染上流感．假设在每轮的传染中平均一个人传染了x个人．
(1) 第二轮被传染上流感人数是______；（用含x的代数式表示）
(2) 在进入第二轮传染之前，如果有4名患者被及时隔离（未治愈），经过两轮传染后是否会有63人患病的情况发生，并说明理由．
7．随着互联网的发展，人们的购物方式有了变化，使用网络平台在线购物越来越多．某产品今年开始做线上销售，8月份的销售利润是6万元，10月份的销售利润是13.5万元，求9，10这两个月销售利润的月平均增长率．
8．某商场在去年底以每件元的进价购进一批同型号的服装，一月份以每件元的售价销售了件，二、三月份该服装畅销，销量持续走高，在售价不变的情况下，三月底统计知三月份的销量达到了件．
(1) 求二、三月份服装销售量的平均月增长率；
(2) 从四月份起商场因换季清仓采用降价促销的方式，经调查发现，在三月份销量的基础上，该服装售价每降价元，月销售量增加件，当每件降价多少元时，四月份可获利元？
【题型三】图形问题✮✭动态几何问题
9．如图，要把长为、宽为的长方形花坛四周扩展相同的宽度，得到面积为的新长方形花坛，求扩展的宽度．
10．某学校生物兴趣小组在该校空地上围了一块面积为200平方米的矩形试验田，用来种植蔬菜，如图，试验田一面靠墙，墙长35米，另外三面用49米的长篱笆围成，其中一边开有一扇1米宽的门（不包括篱笆），求试验田垂直于墙的一边的长为多少米？
11．如图，在中，厘米，厘米，点从点开始沿边向点以厘米秒的速度移动，点从点开始沿边向点以厘米秒的速度移动，如果，分别是从，同时出发，设时间为秒．
(1) 经过几秒时，的面积等于平方厘米？
(2) 经过几秒时，的面积等于直角三角形面积的？
12．如图，在矩形ABCD中，，．点P沿AB边从点A开始向点B以2cm/s的速度移动，点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动．如果P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间（0≤t≤6）．那么当t为何值时，的面积等于8？
【题型四】数字问题✮✭图表信息问题
13．直角三角形中“勾三股四弦五”这一特殊关系，在中国称为“商高定理”，在国外又称为“毕达哥拉斯定理”．由此发现三个连续正整数3，4，5，满足，即前两个数的平方和等于第三个数的平方．请你探究：是否存在五个连续正整数，满足前三个数的平方和等于后两个数的平方和？若存在，请求出这五个正整数；若不存在，请说明理由．
14．解读诗词通过列方程算出周瑜去世时的年龄：大江东去浪淘尽，千古风流数人物，而立之年督东吴，早逝英年两位数，十位恰小个位三，个位平方与寿符，哪位学子算得快，多少年华属周瑜？诗词大意：周瑜三十岁当东吴都督，去世时的年龄是两位数，十位数字比个位数字小三，个位数字的平方等于他去世时的年龄．
15．如图是2022年5月份的日历，在日历表上可以用一个方框圈出的四个数．
(1) 若圈出的四个数中，最小的数为，则最大的数为______（用含的代数式表示）；
(2) 若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为153，求这个最小数．
16．某市为鼓励居民节约用水，对居民用水实行阶梯收费，每户居民用水量每月不超过a吨时，每吨按0.3a元缴纳水费；每月超过a吨时，超过部分每吨按0.4a元缴纳水费．
（1）若a＝12，某户居民3月份用水量为22吨，则该用户应缴纳水费多少元？
（2）若如表是某户居民4月份和5月份的用水量和缴费情况：
根据上表数据，求规定用水量a的值
【题型五】营销问题✮✭利润问题
17．某景区的门票价格为每人80元，每天最多能接待2500名游客，在旅游旺季平均每天能售出1000张门票．为了吸引更多的游客，提高景区知名度，景区决定适当降低门票价格．经过调查发现，当票价每降低2元时，在旅游旺季每天可以多卖出100张票．
(1) 设每张门票降低元，则每天可售出_______张门票；
(2) 若景区想每天获得12万元的门票收入，则每张门票应降低多少元？
18．某演出团体准备在常州大剧院举办迎新演出，该剧院共有1500个座位．如果票价定为每张100元，那么门票可以全部售出；如果票价每增加1元/张，那么门票就会减少3张．演出团体既要让利于民又要使得门票收入为240000元，则票价应该定为多少元/张？
19．某商场销售一批空气加湿器，平均每天可售出30台，每台可盈利50元，为了扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每台降价1元，商场平均每天可多售出2台．
(1) 若该商场某天降价了5元，则当天可售出 台，当天共盈利 元；
(2) 在尽快减少库存的前提下，商场每天要盈利2100元，每台空气加湿器应降价多少元？
20．某大型批发商场平均每天可售出某款商品件，售出1件该款商品的利润是10元． 经调查发现，若该款商品的批发价每降低1元，则每天可多售出件．为了使每天获得的利润更多，该批发商场决定降价x元销售该款商品．
(1) 当x为多少元时，该批发商场每天卖出该款商品的利润为元？
(2) 若按照这种降价促销的策略，该批发商场每天卖出该款商品的利润能达元吗？若能，请求出x的值，若不能，请说明理由．
【题型六】工程问题✮✭行程问题
21．为了提升干线公路美化度，相关部门拟定派一个工程队对39000米的公路进行路面“白改黑”工程．该工程队计划使用一大一小两种型号设备交替的方式施工，原计划小型设备每小时铺设路面30米，大型设备每小时铺设路面60米．
(1) 由于小型设备工作效率较低，该工程队计划使用大型设备的时间比使用小型设备的时间多，当这个工程完工时，小型设备的使用时间为多少小时？
(2) 通过勘察、又新增了部分支线公路美化，结果此工程的实际施工里程比最初拟定的里程39000米多了9000米，于是在实际施工中，小型设备在铺设公路效率不变的情况下，使用时间比原计划增加了18m小时，同时，因为新增的工人操作大型设备不够熟练，使得比原计划每小时下降了m米，使用时间增加了小时，求m的值．
22．由于疫情反弹，某地区开展了连续全员核酸检测，9月7日，医院派出13名医护人员到一个大型小区设置了、两个采样点进行核酸采样，当天共采样9220份，已知点平均每人采样720份，点平均每人采样700份．
(1) 求、两点各有多少名医护人员？
(2) 9月8日，医院继续派出这13名医护人员前往这个小区进行核酸采样，这天，社区组织者将附近数个商户也纳入这个小区采样范围，同时重新规划，决定从点抽调部分医护人员到点经调查发现，点每减少1名医护人员，人均采样量增加10份，点人均采样量不变，最后当天共采样9360份，求从点抽调了多少名医护人员到点？
23．某学校为培养青少年科技创新能力，举办了动漫制作活动，小明设计了点做圆周运动的一个雏型．如图所示，甲、乙两点分别从直径的两端点、以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动.甲运动的路程与时间满足关系：（），乙以4的速度匀速运动，半圆的长度为21．
（1）甲运动4后的路程是多少？
（2）甲、乙从开始运动到第一次相遇时，它们运动了多少时间？
24．某日王老师佩戴运动手环进行快走锻炼，两次锻炼后数据如下表．与第一次锻炼相比，王老师第二次锻炼步数增长的百分率是其平均步长减少的百分率的3倍．设王老师第二次锻炼时平均步长减少的百分率为x（0＜x＜0.5）．
注：步数×平均步长＝距离．
（1）根据题意完成表格填空；
（2）求x的值；
（3）王老师发现好友中步数排名第一为24000步，因此在两次锻炼结束后又走了500米，使得总步数恰好为24000步，求王老师这500米的平均步长．
【题型七】其他问题
25．某果园有棵橙子树，平均每棵树结个橙子，现准备多种一些橙子树以提高果园产量，但是根据经验估计，每多种一棵橙子树，平均每棵树就会少结个橙子．
(1) 多种多少棵橙子树，可以使橙子的总产量为个？
(2) 多种多少棵树，可以使总产量最高？最高多少个？
26．新年到了，为增进同学友谊，某班主任规定本班同学间，每两个人必须相互通电话1次
(1) 若本班人数为20，则共通话________次，若本班人数为（，且为正整数），则共通话________次；
(2) 若同学们共通话1225次，求该班同学的人数；
(3) 王峰同学由打电话问题想到了一个数学问题：若线段上共有个点（不含端点、），线段总数为多少呢？请直接写出结论．
27．2022年卡塔尔世界杯即将在本月开幕，共有若干支球队参赛．第一阶段为小组赛，第二阶段为淘汰赛．在小组赛阶段，所有参赛球队将被分成8个小组（每组参赛球队数量相同），分别进行单循环赛（两支球队之间只踢一场），根据规则，小组前2名的球队顺利出线，进入淘汰赛．已知本届世界杯小组赛阶段共有48场比赛，请问：共有多少支队伍参加比赛？
某工厂生产的某种零件按供需要求分为8个档次．若生产第一档次（最低档次）的产品，一天可生产件，每件的利润为元，每提高一个档次，每件的利润增加3元，每天的产量将减少2件．请解答下列问题，设产品的档次（每天只生产一个档次的产品）为x，若该产品一天的总利润为元，求这天生产产品的档次x的值．
参考答案
1．参加这次数学交流会的学生有人
【分析】每个学生都要和他自己以外的学生握手一次，但两个学生之间只握手一次，所以等量关系为：学生数学生数）总握手次数，把相关数值代入即可求解．
解：设参加此会的学生为名，则每个学生都要握手次，根据题意得：
，
解得：，（舍去），
答：参加这次数学交流会的学生有人．
【点拨】本题考查用一元二次方程解决握手次数问题，得到总次数的等量关系是解决本题的关键．
2．8
【分析】设比赛组织者应邀请x个队参加比赛，根据“参赛的每两个队之间都要比赛一场，计划比赛28场”列方程并求解即可．
解：设比赛组织者应邀请x个队参加比赛，
由题意得，，
整理得，，
解得，，（不合题意，舍去），
答：比赛组织者应邀请8个队参加比赛．
【点拨】此题考查了一元二次方程的应用，根据题意正确列出方程是解题的关键．
3．共有10个球队参加这场足球联赛
【分析】设共有个球队参加这场足球联赛,则每队要参加场比赛，由于共要比赛45场，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正数解即可得出结论．
解：设共有个球队参加这场足球联赛, 根据题意，可列方程得，
．
解得，（舍去）．
答：共有10个球队参加这场足球联赛．
【点拨】本题考查了一元二次方程的应用，找出等量关系，正确列出一元二次方程是解本题的关键．
4．每轮转发中平均一个人转发给11人
【分析】设每轮转发中平均一个人转发给x人，根据题意可得出第一轮转发共有人收到短信，则第二轮转发共有人收到短信，由此可列出关于x的等式，解出x即可．
解：设每轮转发中平均一个人转发给x人，
由题意得：，
解得：（舍），
∴每轮转发中平均一个人转发给11人．
【点拨】本题考查一元二次方程的实际应用．理解题意，找出等量关系，列出等式是解题关键．
5．9台
【分析】设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑．则经过一轮感染，1台电脑感染给了x台电脑，这台电脑又感染给了台电脑．等量关系：经过两轮感染后就会有100台电脑被感染.
解：解设每轮感染中平均每一台电脑会感染x台电脑，依题意得：
，
整理得，
解得（舍去），
答：每轮感染中平均一台电脑感染9台电脑.
【点拨】此题考查了一元二次方程的应用，能够正确表示每轮感染中，有多少台电脑被感染，是解决此题的关键．
6．(1) (2) 第二轮传染后不会有63人患病的情况发生
【分析】（1）根据每轮的传染中平均一个人传染了x个人，可得答案；
（2）根据题意，列出一元二次方程，进而即可判断是否会有63人患病的情况．
（1）解：第一轮被感染的人数为x，第二轮被传染上流感人数是，
故答案为：；
（2）解：经过两轮传染后不会有63人患病的情况发生，理由如下：
依题意得：，
整理得：，
解得：，（不合题意，舍去），
∵不为正整数，
∴第二轮传染后不会有63人患病的情况发生．
【点拨】本题主要考查一元二次方程的实际应用，根据等量关系，列出一元二次方程是关键．
7．9，10两个月份销售利润的月均增长率为．
【分析】设9，10两个月份销售利润的月均增长率为x，则9月份获得利润万元，10月份获得利润万元，根据题意列出方程即可解得．
解：设9，10两个月份销售利润的月均增长率为x，则9月份获得利润万元，10月份获得利润万元，
依题意得：，
整理得：，
解得：（不合题意，舍去）．
答：9，10两个月份销售利润的月均增长率为．
【点拨】此题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找出等量关系式列出方程．
8．(1) (2) 每件降价10元，四月份可获利10400元
【分析】（1）由题意可得：一月份的销售量为：320件；设二月份到三月份销售额的月平均增长率，则二月份的销售量为：；三月份的销售量为：，又知三月份的销售量为：500件，由此等量关系列出方程求出x的值，即求出了平均增长率；
（2）利用销量×每件商品的利润求出即可．
解：（1）设二、三月份销售量的平均月增长率为x，根据题意得：
解得：（不合题意，舍去）．
答：二、三月份销售量的平均月增长率为．
（2）解：设每件降价y元，根据题意得：
整理得：
解得：（不合，舍去）．
答：每件降价10元，四月份可获利10400元
【点拨】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．
9．扩展的宽度为
【分析】利用长方形的面积计算公式，结合新长方形花坛的面积为，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
解：设扩展的宽度为，
依题意，得：，
整理得：，
解得：，（不合题意，舍去）．
答：扩展的宽度为．
【点拨】本题考查了一元二次方程的应用．找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
10．的长为20米
【分析】设米，则米，根据题意找出等量关系，列出方程求解即可．
解：设米，则米，
∵墙长35米，
∴，解得：，
，
解得：（舍），，
答：的长为20米．
【点拨】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意找出等量关系，列出方程求解．
11．(1) 秒或秒(2) 秒或秒
【分析】（1）设经过秒时，的面积等于8平方厘米，则厘米，厘米，根据三角形的面积公式结合的面积等于8平方厘米，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论；
（2）设经过秒时，的面积等于矩形面积的，则厘米，，根据三角形、矩形的面积公式及的面积等于矩形面积的，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论．
解：（1）设经过秒时，的面积等于8平方厘米，
则厘米 ，厘米，
根据题意，得，
整理，得 ，
解得 ， ．
故经过2秒或4秒时，的面积等于8平方厘米．
（2）设经过秒时，的面积等于矩形面积的，
则厘米，厘米，
根据题意，得 ，
整理，得 ，
解得 ，．
故经过秒或秒时，的面积等于直角三角形面积．
【点拨】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
12．2s或4s
【分析】当运动时间为ts时，，，利用三角形面积公式结合的面积等于8，列出关于t的一元二次方程解得即可．
解：当运动时间为ts时，，，
依题意得：，
整理得：，
解得：，，
答：当t为2s或4s时，的面积等于8．
【点拨】本题考查一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
13．存在五个连续正整数，它们分别为：
【分析】假定存在这样的五个正整数，设其中第一个数为，则连续的其他四个数为：、、、，再根据题意，得出，解出然后再根据题意，得出符合题意的的值，进而即可得出第一个正整数，再通过计算即可得出这五个正整数．
解：假定存在这样的五个正整数，设其中第一个数为，则连续的其他四个数为：、、、，
∴可得：，
解得：或，
∵这五个数为正整数，
∴，
∴，，，，
∴这五个正整数为：，
∴存在五个连续正整数，它们分别为：．
【点拨】本题考查了一元二次方程的应用，解本题的关键在设出这五个正整数，再找到等量关系准确列出方程．
14．周瑜去世时的年龄为岁
【分析】设周瑜去世时的年龄的个位数字为，则十位数字为根据题意建立方程求出其值即可．
解：设周瑜去世时的年龄的个位数字为，则十位数字为，依题意得：
，
解得，，
当时，，（不合题意，舍去），
当时，（符合题意），
答：周瑜去世时的年龄为岁．
【点拨】本题是一道数字问题的应用题，考查了列一元二次方程解实际问题的运用，在解答中根据题意设未知数，列出正确的方程是解题的关键．
15．(1) ；(2) 9．
【分析】（1）设圈出的四个数中，最小的数为，根据日历上两个数之间的关系可得答案；
（2）根据最小数与最大数的乘积为105，即可得出关于n的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
（1）解：设圈出的四个数中，最小的数为，则最大的数为
故答案为：
（2）设四个数中，最小数为，根据题意，得.
解得（不符合题意负值舍去）
答：这个最小值为9.
【点拨】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
16．（1） ；（2）10
【分析】（1）根据题意得：该用户3月份用水量超过a吨，然后根据“用水量每月不超过a吨时，每吨按0.3a元缴纳水费；每月超过a吨时，超过部分每吨按0.4a元缴纳水费”，即可求解；
（2）若 ，可得 ，从而得到 ，再由“用水量每月不超过a吨时，每吨按0.3a元缴纳水费；每月超过a吨时，超过部分每吨按0.4a元缴纳水费”，列出方程，即可求解．
解：（1）根据题意得：该用户3月份用水量超过a吨，
元；
（2）若 ，有
，解得： ，即 ，不合题意，舍去，
∴ ，
根据题意得： ，
解得： （舍去），
答：规定用水量a的值为10吨．
【点拨】本题主要考查了一元二次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．
17．(1) (2) 每张门票应降低元
【分析】（1）根据题意“当票价每降低2元时，在旅游旺季每天可以多卖出100张票”，列出代数式；
（2）根据题意列出一元二次方程，解方程，然后根据每天最多能接待2500名游客，取舍的值，即可求解．
（1）解：设每张门票降低元，则每天可售出张门票；
故答案为：．
（2）解： 依题意得：，
整理得：，
解得：，
当时，，符合题意；
当时，，不符合题意，舍去．
答：每张门票应降低元．
【点拨】本题考查了一元二次方程的应用，列代数式，根据题意列出方程是解题的关键．
18．200元/张
【分析】可设票价应定为x元，根据票价×销售的票数=获得门票收入，即可列出一元二次方程，解之即可，再根据让利于民进行取舍．
解：设票价应定为x元/张，依题意有
，
解得：，．
∵要让利于民，
∴，
答：票价应定为200元/张．
【点拨】此题考查一元二次方程的实际运用，找出销售问题中的基本数量关系是解决问题的关键．
19．(1) 40；1800(2) 商场每天要盈利2100元，每台空气加湿器应降价20元
【分析】（1）根据题意列出有算式，进行计算即可求解；
（2）设每台空气加湿器应降价元，根据题意列出一元一次方程，解方程即可求解．
（1）解： （台），
（元）．
故答案为：40；1800．
（2）设每台空气加湿器应降价元，
则每台盈利元，每天可以售出台，
依题意得：，
整理的：，
解得：，，
在尽快减少库存的前提下，
的值为20，
在尽快减少库存的前提下，商场每天要盈利2100元，每台空气加湿器应降价20元．
【点拨】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．
(1) 当x为2或5时，该饮料批发商店每天卖出该款饮料的利润为40000元
(2) 按照这种降价促销的策略，该饮料批发商店每天卖出该款饮料的利润不能达到500元
【分析】（1）利用降价后每瓶的销售利润=原来每瓶的销售利润－降低的价格，即可得出降价后每瓶的销售利润，再用提升后的销量乘以利润等于总利润，由此列出方程求解即可；
（2）由（1）所得的算式，使得总利润等于列式计算即可．
（1）解：该批发商场决定降价x元销售该款商品，依题意得，
，
即
解得：，
答：当x为2或5时，该饮料批发商店每天卖出该款饮料的利润为元
（2）解：，
即
∵，原方程无解，
∴按照这种降价促销的策略，该饮料批发商店每天卖出该款饮料的利润不能达到元．
【点拨】本题考查一元二次方程的应用以及根的判别式，解题关键是找准等量关系，正确列出一元二次方程，牢记“当时，方程无实数根”．
21．(1) 300(2) 5
【分析】（1）设小型设备的使用时间为x小时，则大型设备的使用时间为小时，根据题意列出方程，即可求解；
（2）由（1）得：大型设备的原来使用时间为小时，根据题意可得小型设备的使用时间为小时，大型设备铺设公路每小时为米，大型设备的使用时间为小时，根据题意列出方程，即可求解．
（1）解：设小型设备的使用时间为x小时，则大型设备的使用时间为小时，根据题意得：
，
解得：，
答：小型设备的使用时间为300小时；
（2）解：由（1）得：大型设备的原来使用时间为小时，
根据题意得：小型设备的使用时间为小时，大型设备铺设公路每小时为米，大型设备的使用时间为小时，
∴，
整理得：，
解得：（舍去）．
即m的值为5．
【点拨】本题主要考查了一元一次方程的应用，一元二次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．
22．(1) A检测队有6人，B检测队有7人(2) 从B检测队中抽调了2人到A检测队
【分析】（1）设A点有x名医护人员，B点有y名医护人员，根据“A、B两个采样点共13名医护人员，且当天共采样9220份”，即可得出关于x，y的且当天共采样9220份，即可得出关于x， y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设从B点抽调了m名医护人员到A点，则B点平均每人采样份,根据重新规划后当天共采样9360份，即可得出关于m的一元_二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
（1）解：设A检测队有人，B检测队有人，
依题意得：，分解得：
答：A检测队有6人，B检测队有7人；
（2）解：设从B检测队中抽调了人到A检测队，则B检测队人均采样人，
依题意得：，
解得：，解得：，，
由于从B对抽调部分人到A检测队，则故，
答：从B检测队中抽调了2人到A检测队．
【点拨】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
23．（1）甲运动4后的路程是14；（2）甲、乙从开始运动到第一次相遇时，它们运动了3．
【分析】（1）根据题目所给的函数解析式把t＝4s代入求得l的值即可；
（2）根据图可知，二者第一次相遇走过的总路程为半圆，分别求出甲、乙走的路程，列出方程求解即可．
解：(1) 当时，
（），
答：甲运动4后的路程是14；
（2）由图可知，甲乙第一次相遇时走过的路程为半圆21，甲走过的路程为，乙走过的路程为4，
则，
解得：或（不合题意，舍去），
答：甲、乙从开始运动到第一次相遇时，它们运动了3．
【点拨】本题考查了一元二次方程的应用，试题比较新颖．解题关键是根据图形分析相遇问题，第一次相遇时二者走的总路程为半圆．
24．（1）①，② ；（2）的值为0.1；（3）王老师这的平均步长为0.5米/步．
【分析】（1）①直接利用王老师第二次锻炼步数增长的百分率是其平均步长减少的百分率的3倍，得出第二次锻炼的步数；②利用王老师第二次锻炼时平均步长减少的百分率为x，即可表示出第二次锻炼的平均步长（米/步）；
（2）根据题意表示出第二次锻炼的总距离，进而得出答案；
（3）根据题意可得两次锻炼结束后总步数，进而求出王老师这500米的平均步长．
解：（1）①根据题意可得第二次锻炼的步数为10000（1＋3x）；
②第二次锻炼的平均步长（米/步）为：0.6（1−x）；
故答案为：10000（1＋3x）；0.6（1−x）；
（2）根据题意得，
解得（舍去），.
则的值为0.1.
（3）根据题意可得：10000＋10000（1＋0.1×3）＝23000，
500÷（24000−23000）＝0.5（m）．
答：王老师这500米的平均步长为0.5米．
【点拨】此题主要考查了一元二次方程的应用，根据题意正确表示出第二次锻炼的步数与步长是解题关键．
25．(1) 多种棵或橙子树，可以使橙子的总产量为个；(2) 多种棵树，可以使总产量最高，最高个
【分析】（1）设多种棵橙子树，根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解；
（2）设总产量为，根据题意，列出关于的二次函数，根据二次函数的性质即可求解．
（1）解：设多种棵橙子树，根据题意得，
，
解得：，
答：多种棵或橙子树，可以使橙子的总产量为个；
（2）解：设多种棵橙子树，总产量为个，根据题意得，
∵，
∴当时，的最大值为；
答：多种棵树，可以使总产量最高，最高个．
【点拨】本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用，根据题意列出方程和函数解析式是解题的关键．
26．(1) 190，(2) 50人(3)
【分析】（1）利用通话总次数本班人数（本班人数），即可得出结论；
（2）根据同学们共通话1225次，即可得出关于n的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（3）利用线段的总数点的个数（点的个数），即可用含m的代数式表示出线段的总数．
（1）解：根据题意得：若本班人数为20，则共通话次，
若本班人数为，则共通话；
故答案为：190，
（2）解：由题意得：，
∴，
解得：，（不合题意，舍去），
答：该班同学的人数为50人．
（3）解：线段上共有个点（包含端点、），则相当于通话人数为，
所以线段总数为（条）
【点拨】本题考查了一元二次方程的应用以及列代数式，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，用含n的代数式表示出通话总数；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（3）根据各数量之间的关系，用含m的代数式表示出线段总数．
27．共有32支队伍参加比赛
【分析】设每组有n支队伍参加比赛，则每个小组需要比赛场，由此列一元二次方程即可求解．
解：设每组有n支队伍参加比赛，
则，
整理得，
解得，（舍），
（支），
即共有32支队伍参加比赛．
【点拨】本题考查一元二次方程的实际应用，读懂题意，列出一元二次方程是解题的关键．
28．这天生产产品的档次x的值为6
【分析】设产品的档次（每天只生产一个档次的产品）为x，则每件产品的利润为元，一天可生产件，根据题意得，，进行计算即可得．
解：设产品的档次（每天只生产一个档次的产品）为x，
则每件产品的利润为元，一天可生产件，
根据题意得，，
整理得，，
解得，，（不符合题意，舍），
即这天生产产品的档次x的值为6．
【点拨】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意，正确的列出一元二次方程．月份
用水量（吨）
交水费总金额（元）
4
18
62
5
24
86