浙教版八年级数学下册 专题6.29 反比例函数（动点问题）（基础篇）（专项练习）

这是一份浙教版八年级数学下册 专题6.29 反比例函数（动点问题）（基础篇）（专项练习），共29页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．如图，点A是反比例函数图象上的一个动点，过点A作AB⊥x轴，AC⊥y轴，垂足分别为B，C，则矩形ABOC的面积为（ ）
A．-4B．2C．4D．8
2．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边BC在轴上，点D的坐标为（-2，6），点B是动点，反比例函数经过点D，若AC的延长线交轴于点E，连接BE，则△BCE的面积为（ ）
A．6B．5C．3D．7
3．如图，点A是双曲线y=是在第一象限上的一动点，连接AO并延长交另一分支于点B，以AB为斜边作等腰Rt△ABC，点C在第二象限，随着点A的运动，点C的位置也不断的变化，但始终在一函数图象上运动，则这个函数的解析式为（ ）
A．B．C．D．
4．一次函数的图像经过点，两点，P为反比例函数图像上的一个动点，O为坐标原点，过P作y轴的垂线，垂足为C，则的面积为（ ）
A．2B．4C．8D．不确定
5．如图，在平面直角坐标系中，点是轴正半轴上的一个定点，点是函数的图象上的一个动点，轴于点．当点的纵坐标逐渐增大时，四边形的面积的变化为（ ）
A．不变B．逐渐增大C．逐渐减小D．先增大后减小
6．如图，已知A（1，a），B（b，1）为反比例函数y＝图象上y的两点，动点P在x轴正半轴上运动，当线段AP与线段BP之和最小时，则点P的坐标是（ ）
A．（，0）B．（1，0）C．（，0）D．（2，0）
7．反比例函数和在第一象限的图象如图所示，点A在函数图象上，点B在函数图象上，AB∥y轴，点C是y轴上的一个动点，则△ABC的面积为（ ）
A．1B．2C．3D．4
8．如图，在平面直角坐标系中，矩形的边、分别在轴和轴上，，，点是边上一动点，过点的反比例函数与边交于点．若将沿折叠，点的对应点恰好落在对角线上． 则反比例函数的解析式是（ ）
A．B．C．D．
9．如图，在平面直角坐标系中，点是函数在第一象限内图象上一动点，过点分别作轴于点轴于点，分别交函数的图象于点，连接．当点的纵坐标逐渐增大时，四边形的面积（ ）
A．不变B．逐渐变大C．逐渐变小D．先变大后变小
10．如图，已知点A是双曲线y＝在第一象限的分支上的一个动点，连接AO并延长交另一分支于点B，过点A作y轴的垂线，过点B作x轴的垂线，两垂线交于点C，随着点A的运动，点C的位置也随之变化．设点C的坐标为(m，n)，则m，n满足的关系式为( )
A．n＝－2mB．n＝－C．n＝－4mD．n＝－
二、填空题
11．如图，已知点是双曲线在第一象限的分支上的一个动点，连接并延长交另一分支于点，过点作轴的垂线，过点作轴的垂线，两垂线交于点，随着点的运动，点的位置也随之变化，设点的坐标为，则，满足的关系式为______．
12．如图，已知点是反比例函数图象上的动点，轴，轴，分别交反比例函数（）的图象于点、，交坐标轴于点、，连接．则的面积是______．
13．如图，、是函数上两点，为一动点，作轴，轴，若，则______．
14．如图，在平面直角坐标系中，已知第一象限上的点A（m，n）是双曲线上的动点，过点A作AM∥y轴交x轴于点M，过点N（0，2n）作NB∥x轴交双曲线于点B，交直线AM于点C，若四边形OACB的面积为4，则k的值为________．
15．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A为反比例函数y=-（x＞0）的图象上一动点，AB⊥y轴，垂足为B，以AB为边作正方形ABCD，其中CD在AB上方，连接OA，则OA2-OC2=_______．
16．反比例函数和在第一象限的图象如图所示，点A在函数的图象上，点B在函数的图象上，点C是y轴上一个动点，若轴，则的面积是______．
17．如图，点是反比例函数在第二象限内图像上一点，点是反比例函数在第一象限内图像上一点，且轴，为轴上动点，连接、，则的面积是___________．
18．如图，平行于x轴的直线分别交反比例函数和的图像于点A和点B，点C是x轴上的动点，则的面积为__________．
19．如图，已知点 A 是反比例函数 y 在第一象限图象上的一个动点，连接 OA，以OA 为长，OA为宽作矩形 AOCB，且点 C 在第四象限，随着点 A 的运动，点 C 也随之运动，但点 C 始终在反比例函数 y  的图象上，则 k 的值为________.
20．如图，□的顶点的坐标为，在第一象限反比例函数和的图象分别经过两点，延长交轴于点. 设是反比例函数图象上的动点，若的面积是面积的2倍，的面积等于，则的值为________．
三、解答题
21．在矩形中，，分别以、在直线为轴和轴，建立如图所示的平面直角坐标系．是边上的一个动点（不与、合），过点的反比例函数的图像与边交于点．
(1) 求证：与的面积相等；
(2) 记，求当为何值时，有最大值，最大值是多少？
22．如图，点在反比例函数的图象上，轴，且交y轴于点C，交反比例函数的图象于点B，已知．
求反比例函数的解析式；
点D为反比例函数图象上一动点，连接交y轴于点E，当E为中点时，求的面积．
23．如图，在平面直角坐标系中，直线y=k1x+b与反比例函数y=的图象交于A、B两点，已知A（1，2），B（m，1）．
(1) 求m的值及直线AB的解析式；
(2) 若点P是直线AB上的一动点，将直线AB向下平移n个单位长度（0＜n＜3），平移后直线与x轴、y轴分别交于点D、E，当△PED的面积为1时，求n的值．
24．直线与反比例函数的图象分别交于点A（m，4）和点B（8，n），与坐标轴分别交于点C和点D．
(1) 求直线AB的解析式；
(2) 观察图象，当时，直接写出的解集；
(3) 若点P是x轴上一动点，当△ADP的面积是6时，求出P点的坐标．
25．已知，如图，正比例函数y＝ax的图象与反比例函数图象交于A点（3，2），
（1）试确定上述正比例函数和反比例函数的表达式．
（2）根据图象回答：在第一象限内，当反比例函数值大于正比例函数值时x的取值范围？
（3）M（m，n）是反比例函数上一动点，其中0大于m小于3，过点M作直线MN平行x轴，交y轴于点B．过点A作直线AC平行y轴，交x轴于点C，交直线MB于点D．当四边形OADM的面积为6时，请判断线段BM与DM的大小关系，并说明理由．
26．已知：在矩形中，．分别以所在直线为x轴和y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，F是边BC上的一个动点（不与B，C重合），过F点的反比例函数的图象与AC边交于点E．
（1）记，当S取得最大值时，求k的值；
（2）在（1）的条件下，若直线EF与x轴、y轴分别交于点，求的值．
参考答案
1．C
【分析】根据反比函数的几何意义，可得矩形ABOC的面积等于比例系数的绝对值，即可求解．
解：∵点A是反比例函数图象上的一个动点，过点A作AB⊥x轴，AC⊥y轴，
∴矩形ABOC的面积 ．
故选：C．
【点拨】本题主要考查了反比函数的几何意义，熟练掌握本题主要考查了反比例函数 中 的几何意义，即过双曲线上任意一点引 轴、 轴垂线，所得矩形面积等于 是解题的关键．
2．A
【分析】依据点D的坐标为（-2，6），CD⊥CO，即可得出CO=2，CD=6=AB，进而得到CO×AB=12，再根据，可得BC•EO=AB•CO=12，进而得到△BCE的面积.
解：∵点D的坐标为（-2，6），CD⊥CO，
∴CO=2，CD=6=AB，
∴CO×AB=12，
∵AB∥OE，
∴ ，
即BC•EO=AB•CO=12，
∴△BCE的面积
【点拨】本题主要考查了反比例函数系数k的几何意义，矩形的性质以及平行线分线段成比例定理的综合应用．解题的关键是将△BCE的面积与点D的坐标联系在一起，体现了数形结合的思想方法．
3．D
【分析】连接OC，作CD⊥x轴于D，AE⊥x轴于E，利用反比例函数的性质和等腰直角三角形的性质，根据“AAS”可判定△COD≌△OAE，设A点坐标为（a，），得出OD=AE=，CD=OE=a，最后根据反比例函数图象上点C的坐标特征确定函数解析式．
解：如图，连接OC，作CD⊥x轴于D，AE⊥x轴于E，
∵A点、B点是正比例函数图象与双曲线y=的交点，
∴点A与点B关于原点对称，
∴OA=OB，
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴OC=OA，OC⊥OA，
∴∠DOC+∠AOE=90°，
∵∠DOC+∠DCO=90°，
∴∠DCO=∠AOE，
∴△COD≌△OAE（AAS），
设A点坐标为（a，），得出OD=AE=，CD=OE=a，
∴C点坐标为（-，a），
∵-•a=-6，
∴点C在反比例函数y=-图象上．
故选：D．
【点拨】本题主要考查了用待定系数法求反比例函数的解析式，解题时需要综合运用反比例函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质．判定三角形全等是解决问题的关键环节．
4．A
【分析】由一次函数图像上的两个点，，可确定一次函数中的参数k、b的值，从而确定反比例函数的关系式，再根据反比例函数k的几何意义直接求解．
解：把点，代入得：
，
解得：，
所以反比例函数表达式为，
根据题意可得：．
故选：A．
【点拨】本题考查了反比例函数k的几何意义、一次函数关系式的确定，熟练掌握反比例函数k的几何意义是解题的关键．
5．B
【分析】连接OP，根据反比例函数的比例系数的几何意义，可得，再由四边形的面积等于，即可求解．
解：如图，连接OP，
∵PB⊥y轴，
∴，
∵四边形的面积等于，
∵点是轴正半轴上的一个定点，点的纵坐标逐渐增大
∴四边形的面积随点的纵坐标的增大而增大．
故选：B
【点拨】本题主要考查了反比例函数的比例系数的几何意义，利用数形结合思想解答是解题的关键．
6．C
【分析】先求出A，B的坐标，然后作B点关于x轴的对称点B′，连接AB′交x轴即为P，此时PA+PB最小，最小值为AB′的长，然后求出直线AB′的解析式，求出其与x轴的交点坐标即可.
解：把A（1，a），B（b，1）代y＝得a＝2，b＝2，则A点坐标为（1，2），B点坐标为（2，1），
作B点关于x轴的对称点B′，连接AB′交x轴即为P，此时PA+PB最小，最小值为AB′的长，
∵B点坐标为（2，1），
∴B′点坐标为（2，﹣1），
设直线AB′的解析式为y＝kx+b，
∴
解得
∴直线AB′的解析式为y＝﹣3x+5，
令y＝0，则﹣3x+5＝0，
∴x＝，
∴P的坐标为（，0），
故选C．
【点拨】本题主要考查了反比例函数与一次函数的综合，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
7．A
【分析】连接OA、OB，延长AB，交x轴于D，如图，利用三角形面积公式得到S△OAB=S△ABC，再根据反比例函数的比例系数k的几何意义得到S△OAD=3，S△OBD=2，即可求得S△OAB=S△OAD-S△OBD=1．
解：连结OA、OB，延长AB，交x轴于D，如图，
∵AB∥y轴，
∴AD⊥x轴，OC∥AB，
∴S△OAB=S△ABC，
而S△OAD=×6=3，S△OBD=×4=2，
∴S△OAB=S△OAD﹣S△OBD=1，
∴S△ABC=1，
故选：A．
【点拨】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．
8．C
【分析】设,求得DC=,AE=，得到DB=6-,BE=4-,根据三角函数的定义得到tan∠BAC= tan∠BED，根据平行线的判定定理得到DE∥AC,连接BF，根据折叠的性质得到BH=FH，根据平行线分线段成比例得到AE=BE=2，于是得到结论.
解：
∵四边形OABC是矩形，OA=6,OC=4,
∴BC=OA=6,AB=OC=4,
∴,
设,
∴DC=,AE=,
∴DB=6-,BE=4-,
∴tan∠BED==,
∵tan∠BAC=,
∴tan∠BAC= tan∠BED，
∴∠BED=∠BAC,
∴DE∥AC,
连接BF,
∵将△DBE沿DE折叠，点B的对应点F正好落在对角线AC上,
∴BH=FH，
∴AE=BE=2,
∴,
∴k=12.
∴反比例函数的解析式.
故选C.
【点拨】本题主要考查反比例函数的图像性质，结合了矩形的性质和翻转折叠的知识点.
9．A
【分析】根据反比例函数系数k的几何意义得出矩形ACOB的面积为k， ，则四边形OFAE的面积为定值．
解：∵点A是函数)在第一象限内图象上，过点A分别作AB⊥x轴于点B，AC⊥y轴于点C，
∴矩形ACOB的面积为，
∵点E、F在函数的图象上，
∴ ，
∴四边形OFAE的面积，
故四边形OFAE的面积为定值，保持不变，
故选：A．
【点拨】本题考查了反比例函数中系数k的几何意义，根据反比例函数系数k的几何意义可求出四边形和三角形的面积是解题的关键．
10．B
解：首先根据点C的坐标为（m，n），分别求出点A为（，n），点B的坐标为（-，-n），
根据图像知B、C的横坐标相同，可得-=m.
故选B．
【点拨】此题主要考查了反比例函数的图像上的点的坐标特点，解答此题的关键是要明确：①图像上的点(x，y)的横纵坐标的积是定值k，即xy=k；②双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称；③在坐标系的图像上任取一点，过这个点向x轴、y轴分别作垂线．与坐标轴围成的矩形的面积是一个定值|k|．
11．
【分析】首先根据点的坐标为，分别求出点的坐标、点的坐标；然后根据点B和点C的横坐标相同，求出，满足的关系式即可．
解：由反比例函数的性质可知，点和点关于原点对称，
点的坐标为，
点的坐标为，，
点的坐标为，，
根据图象可知，点和点的横坐标相同，
，即．
故答案为：．
【点拨】此题主要考查了反比例函数的图象上点的坐标的特征，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①图象上的点的横纵坐标的积是定值，即；②双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称；③在图象中任取一点，过这一个点向轴和轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值．
12．##
【分析】设点A的坐标为，可得点B的坐标为，点C的坐标为，，从而得到，即可求解．
解：设点A的坐标为，
∵轴，轴，分别交反比例函数（）的图象于点、，
∴点B的坐标为，点C的坐标为，，
∴，
∴的面积是．
故答案为：
【点拨】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键．
13．
【分析】设、，根据找到、之间的关系，最后表述出，整体代入求值即可．
解：设、，
∴
∴，，
∴，整理得，
∴，
故答案为：4．
【点拨】本题考查的是反比例函数的性质、三角形面积公式，掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解本题的关键．
14．4
【分析】根据反比例函数系数k的几何意义得到S△AOM＝S△BONk，列方程即可得到结论．
解：∵NB∥x轴，AM∥y轴，
∴四边形OMCN是矩形，
∵点A、点B在双曲线上，
∴S△AOM＝S△BONk，
∵四边形OACB的面积为4，
∴kk＋4＝m•2n，
∵点A（m，n），
∴mn＝k，
∴k＝4，
故答案为：4．
【点拨】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，矩形和三角形的面积的矩形，正确的识别图形是解题的关键．
15．8
【分析】利用反比例函数系数k的几何意义、正方形的性质以及勾股定理即可求得OA2-OC2=8．
解：正方形ABCD中，BC=AB，
∴OC=BC-OB=AB-OB，
∵点A为反比例函数y=-（x＞0）的图象上一动点，AB⊥y轴，垂足为B，
∴AB•OB=4，OA2=AB2+OB2，
∴OA2-OC2=AB2+OB2-（AB-OB）2=2AB•OB=2×4=8，
故答案为：8．
【点拨】本题考查了正方形的性质，勾股定理的应用以及反比例函数系数k的几何意义，得出OC=BC-OB=AB-OB，AB•OB=4，OA2=AB2+OB2是解题的关键．
16．##0.5
【分析】设A(m，)，B(m，)，则AB=-，△ABC的高为m，根据三角形面积公式计算即可得答案．
解：∵A、B分别为、图象上的点，AB//y轴，
∴设A(m，)，B(m，)，
∴S△ABC=（-）m=，
故答案为：
【点拨】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数图象上点的坐标都满足反比例函数的解析式是解题关键．
17．
【分析】连接，，设与轴交于点，由轴，可得，又由反比例函数系数的几何意义可知，，，进而可得的面积，由此可得出结论．
解：如图，连接，，设与轴交于点，
∵轴，
∴，
∵点是反比例函数在第二象限内图像上一点，点是反比例函数在第一象限内图像上一点，
∴，，
∴，
∴．
故答案为：．
【点拨】本题考查了反比例函数的比例系数的几何意义：在反比例函数图像中任取一点，过这一个点向轴和轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值．
18．3
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征设点A（a，），代入中求出点B坐标，再利用三角形面积公式计算．
解：设点A的坐标为（a，），
将y=代入中，得：，
∴点B的坐标为（，），
∴△ABC的面积为=3，
故答案为：3．
【点拨】此题主要考查了反比例函数系数k的几何意义，以及图象上点的特点，求解函数问题的关键是要确定相应点坐标，表示出相应线段长度即可求解问题．
19．−3
【分析】设A（a，b），则ab=，分别过A，C作AE⊥x轴于E，CF⊥x轴于F，根据相似三角形的判定证得△AOE∽△COF，由相似三角形的性质得到OF=，CF=，则k=-OF•CF=-3．
解：设A(a,b)，
∴OE=a，AE=b，
∵在反比例函数y=图象上，
∴ab=，
分别过A，C作AE⊥x轴于E，CF⊥x轴于F，
∵矩形AOCB，
∴∠AOE+∠COF=90°，
∴∠OAE=∠COF=90°−∠AOE，
∴△AOE∽△OCF，
∵OC=OA，
∴===，
∴OF=AE=b,CF=OE=a，
∵C在反比例函数y=的图象上，且点C在第四象限，
∴k=−OF⋅CF=−b⋅a=−3ab=−3.
【点拨】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征和矩形的性质，解题的关键是掌握反比例函数图象上点的坐标特征和矩形的性质.
20．6.4
【分析】根据题意求得CD＝BC＝2，即可求得OD＝，由△POA的面积是△PCD面积的2倍，得出xP＝3，根据△POD的面积等于2k﹣8，列出关于k的方程，解方程即可求得．
解：∵▱OABC的顶点A的坐标为（2，0），
∴BD∥x轴，OA＝BC＝2，
∵反比例函数和的图象分别经过C，B两点，
∴DC•OD＝k，BD•OD＝2k，
∴BD＝2CD，
∴CD＝BC＝2，BD＝4，
∴C（2，），B（4，），
∴OD＝，
∵△POA的面积是△PCD面积的2倍，
∴yP＝，
∴xP＝＝3，
∵△POD的面积等于2k﹣8，
∴OD•xP＝2k﹣8，即×3＝2k﹣8，
解得k＝6.4，故答案为6.4．
【点拨】本题考查反比例函数系数k的几何意义，平行四边形的性质，反比例图象上点的坐标特征，求得P的横坐标是解题的关键．
21．(1)证明过程见详解；(2)当时，有最大面积，最大面积为
【分析】（1）设，，根据点，在反比例函数图像上，则可求出，，且，，由此即可求证；
（2）确定，，，，将转化为含有的一元二次方程方程，根据一元二次方程的顶点式即可求解．
解：（1）证明：设，，的面积为，的面积为，
∵，都在反比例函数的图像上，
∴，，则，，
∴，，
∴．
（2）解：根据题意可知，，，
∴，
∴，即，
∴，即，
∴当时，有最大面积，最大面积为．
【点拨】本题主要考查矩形的性质，反比函数与几何的综合问题，掌握反比例函数图形的性质，矩形的性质是解题的关键．
22．(1)；(2)3
【分析】（1）把点A坐标代入反比例函数求得点A坐标，根据AC=2BC求出点B的坐标，然后把点B的坐标代入中求得k的值，即可求出的解析式．
（2）设．根据AD的中点E在y轴上求出点D和点E坐标，然后根据三角形面积公式求解即可．
（1）解：∵点在反比例函数的图象上，
∴．
∴a=2．
∴．
∵轴，且交y轴于点C，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴把点B坐标代入得．
∴．
∴该反比例函数的解析式为．
（2）解：设．
∵，点E为的中点，
∴．
∵点E在y轴上，
∴．
∴．
∴，．
∴．
∴，．
∴．
∴△OAD的面积为3．
【点拨】本题考查根据函数值求自变量，待定系数法求反比例函数解析式，中点坐标，熟练掌握这些知识点是解题关键．
23．(1)m=2；；(2)n=2或1．
【分析】（1）求出点A、B的坐标，即可求解；
（2）△PED的面积S=S四边形PDOE-S△ODE=1，即可求解．
（1）解：反比例函数y=的图象过点A，
则k2=1×2=2，
故反比例函数的表达式为：y=；
点B（m，1）在该函数上，
故m×1=2，解得：m=2，
故点B（2，1）；
将点A、B的坐标代入一次函数表达式得：
，解得，
故一次函数的表达式为y=-x+3；
（2）解：连接PO，
设点P（m，3-m），平移后直线的表达式为：y=-x+3-n，
令x=0，则y=3-n，令y=0，则x=3-n，
即点D、E的坐标分别为（3-n，0）、（0，3-n），即OD=OE=3-n，
△PED的面积=S四边形PDOE-S△ODE=S△OPD+S△OPE-S△OED
=×OD×xP+×OE×yP-×OD×OE
=×（3-n）（3-m+m）−（3-n）2=1，
整理得：n2-3n+2=0，
解得：n=2或1．
【点拨】本题考查了反比例函数与一次函数的交点，当有两个函数的时候，着重使用一次函数，体现了方程思想，综合性较强．
24．(1)；(2)；(3)点P的坐标为或
【分析】（1）根据反比例函数上的点的特点求得的值进而求得点的坐标，待定系数法求直线解析式即可；
（2）根据反比例函数和直线在第一象限的图象直接求得直线在双曲线上方时，的取值范围即可；
（3）根据（1）的解析式求得点的坐标，设P点坐标为，则，根据三角形面积公式求解即可，进而解绝对值方程求得的值，即可求得点的坐标．
解：（1）点和点在图象上，
，，
即，
把，两点代入中得
解得：，
所以直线的解析式为：
（2）由图象可得，当时，的解集为
（3）由（1）得直线AB的解析式为，
当时，，
点坐标为
设P点坐标为，则
ADP的面积是6
×4×PD＝6
PD＝3
解得或
P的坐标为或
因此，点P的坐标为或时，ADP的面积是6.
【点拨】本题考查了反比例函数与一次函数结合，一次函数与坐标轴交点问题，一次函数与坐标轴围成的面积问题，掌握一次函数与反比例函数的图象与性质是解题的关键．
25．（1），；（2）；（3）理由见分析
【分析】（1）把A点坐标分别代入两函数解析式可求得a和k的值，可求得两函数的解析式；
（2）由反比例函数的图象在正比例函数图象的下方可求得对应的x的取值范围；
（3）用M点的坐标可表示矩形OCDB的面积和△OBM的面积，从而可表示出四边形OADM的面积，可得到方程，可求得M点的坐标，从而可证明结论．
解：（1）∵将分别代入，中，
得，，∴，，
∴反比例函数的表达式为：，
正比例函数的表达式为．
（2）∵
观察图象，得在第一象限内，
当时，反比例函数的值大于正比例函数的值；
（3）
理由：∵轴，轴，∴四边形OCDB是平行四边形，
∵x轴轴，∴是矩形．
∵M和A都在双曲线上，
∴，，
∴，又∵，
∴，
即，
∵，∴，即
∴，∴，，
∴．
【点拨】本题为反比例函数的综合应用，涉及知识点有待定系数法、函数与不等式、矩形及三角形的面积和数形结合思想等．在（2）中注意数形结合的应用，在（3）中用M的坐标表示出四边形OADM的面积是解题的关键．
26．（1）6；（2）25
【分析】（1）由条件可分别表示出E、F的坐标，用k可表示出S，再根据函数的性质可求得其最大值，及取得最大值时的k的值；
（2）求得E、F的坐标，即可求得EC＝2，CF＝，根据勾股定求得EF＝，设∠CEF＝，即可求得sin＝，cs＝，进而解直角三角形求得EM＝，FN＝，从而求得EM•FN的值．
解：（1）∵OB＝4，OA＝3，且E、F为反比例函数图象上的两点，
∴E，F两点坐标分别为E（，3），F（4，），
如图，连接OE、OF，
∴S△ECF＝(4−)（3−），
∴S△EOF＝S矩形AOBC−S△AOE−S△BOF−S△ECF＝3×4−××3−×4×−S△ECF，
∴S△EOF＝12−k−S△ECF，
∴S＝S△OEF−S△ECF＝12−k−2S△ECF＝12−k−2×(4−)（3−），
∴S＝−k2＋k．
当k＝时，S有最大值，
即S取得最大值时k＝6．
（2）∵k＝6，
∴E（2，3），F（4，），
∴EC＝2，FC＝，EF＝，
设∠CEF＝，则sin＝，cs＝，
∴EM•FN＝．
【点拨】本题主要考查反比例函数k的意义及二次函数的性质，解直角三角形等，掌握反比例函数图象上点的坐标满足k＝xy是解题的关键．