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人教版八年级数学下册同步精讲精练专题用勾股定理解决最短路径问题(原卷版+解析)
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这是一份人教版八年级数学下册同步精讲精练专题用勾股定理解决最短路径问题(原卷版+解析)，共39页。试卷主要包含了用计算法求平面中的最短问题，用平移法求平面中的最短问题，用对称法求平面的最短问题，用展开图求长方体中的最短问题，用展开图求圆柱体的最短问题等内容，欢迎下载使用。
题型一 用计算法求平面中的最短问题
【例题1】如图，某工厂C前面有一条笔直的公路，原来有两条路AC，BC可以从工厂C到达公路，经测量AC＝6千米，BC＝8千米，AB＝10千米，现需要修建一条路，使工厂C到公路的路程最短．请你帮工厂C设计一种方案，并求出新建路的长．
【变式1-1】（2022春•朝天区期末）如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”，踩伤了花草．则他们仅仅少走了 步路．（假设2步为1米）
【变式1-2】如图所示，A、B两块试验田相距200米，C为水源地，AC＝160m，BC＝120m，为了方便灌溉，现有两种方案修筑水渠．
甲方案：从水源地C直接修筑两条水渠分别到A、B；
乙方案；过点C作AB的垂线，垂足为H，先从水源地C修筑一条水渠到AB所在直线上的H处，再从H分别向A、B进行修筑．
（1）请判断△ABC的形状（要求写出推理过程）；
（2）两种方案中，哪一种方案所修的水渠较短？请通过计算说明．
【变式1-3】小明听说“武黄城际列车”已经开通，便设计了如下问题：如图，以往从黄石A坐客车到武昌客运站B，现在可以在A坐城际列车到武汉青山站C，再从青山站C坐市内公共汽车到武昌客运站B．设AB＝80km，BC＝20km，∠ABC＝120°．请你帮助小明解决以下问题：
（1）求A、C之间的距离；（参考数据：21=4.6）
（2）若客车的平均速度是60km/h，市内的公共汽车的平均速度为40km/h，城际列车的平均速度为180km/h，为了最短时间到达武昌客运站，小明应该选择哪种乘车方案？请说明理由．（不计候车时间）
【变式1-4】（2021秋•大名县期末）如图，在△ABC中，AC＝21，BC＝13，D是AC边上一点，BD＝12，AD＝16．
（1）求证：BD⊥AC；
（2）若E是边AB上的动点，求线段DE的最小值．
题型二 用平移法求平面中的最短问题
【例题2】如图，相邻的两边互相垂直，则从点B到点A的最短距离为（ ）
A．13B．12C．8D．5
【变式2-1】（2022春•梁山县期中）如图，已知∠B＝∠C＝∠D＝∠E＝90°，且AB＝CD＝3，BC＝4，DE＝EF＝2，则A，F两点间的距离是（ ）
A．14B．6+3C．8+2D．10
【变式2-2】如图，某校科技创新兴趣小组用他们设计的机器人，在平坦的操场上进行走展示．输入指令后，机器人从出发点A先向东走10米，又向南走40米，再向西走20米，又向南走40米，再向东走70米到达终止点B．求终止点B与原出发点A的距离AB．
【变式2-3】（2022•南京模拟）如图，要为一段高为5米，长为13米的楼梯铺上红地毯，则红地毯至少要 米长．
【变式2-4】（2022秋•丰城市校级期末）某会展中心在会展期间准备将高5m、长13m、宽2m的楼道铺上地毯，已知地毯每平方米20元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要 元．
题型三 用对称法求平面的最短问题
【例题3】（2022春•苍溪县期末）如图，亮亮在A处看护羊群吃草，其家在B处，A，B到河岸的距离分别为AC＝200m，BD＝100m，CD＝400m，亮亮从A处把羊群赶到河边饮水后回家，作图说明亮亮如何行走路程最短，并求出亮亮走的最短路程．
【变式3-1】（2022春•雄县期末）如图，高速公路的同一侧有A、B两城镇，它们到高速公路所在直线MN的距离分别为AA′=2km, BB′=4km , 且A′B′=8km.
（1）要在高速公路上A′、B′之间建一个出口P，使A、B两城镇到P的距离之和最小．请在图中画出P的位置，并作简单说明．
（2）求这个最短距离．
【变式3-2】（2021秋•新吴区期中）如图，牧童在离河边3km的A处牧马，小屋位于他南6km东9km的B处，他想把他的马牵到河边饮水，然后回小屋．他要完成此过程所走的最短路程是多少？并在图中画出饮水C所在在位置（保留作图痕迹）．
【变式3-3】如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，D是BC的中点，E是AB上的一动点，且不与A，B重合，是否存在一个位置，使DE+CE的值最小？若不存在，说明理由；若存在，试求出最小值．
【变式3-4】如图所示，正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM＝2，N是AC上的一动点，求DN+MN的最小值．
题型四 用展开图求长方体中的最短问题
【例题4】（2022秋•南关区校级期末）如图，一长方体木块长AB＝6，宽BC＝5，高BB1＝2．一只蚂蚁从木块点A处，沿木块表面爬行到点C1位置最短路径的长度为（ ）
A．89B．85C．125D．80
【变式4-1】如图，在长方体透明容器（无盖）内的点B处有一滴糖浆，容器外A点处的蚂蚁想沿容器壁爬到容器内吃糖浆，已知容器长为5cm，宽为3cm，高为4cm，点A距底部1cm，请问蚂蚁需爬行的最短距离是（容器壁厚度不计）（ ）
A．317cmB．10cmC．55cmD．113cm
【变式4-2】如图，长方体的底面长和宽分别为4cm和2cm，高为5cm．若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路径长为 cm．
【变式4-3】边长分别为4cm，3cm两正方体如图放置，点P在E1F1上，且E1P=13E1F1，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点P，需要爬行的最短距离是 cm．
【变式4-4】（2022秋•安岳县期末）如图所示，ABCD是长方形地面，长AB＝10m，宽AD＝5m，中间竖有一堵砖墙高MN＝1m．一只蚂蚱从A点爬到C点，它必须翻过中间那堵墙，则它至少要走 m的路程．
【变式4-5】在一个长为8分米，宽为5分米，高为7分米的长方体上，截去一个长为6分米，宽为5分米，深为2分米的长方体后，得到一个如图所示的几何体．一只蚂蚁要从该几何体的顶点A处，沿着几何体的表面到几何体上和A相对的顶点B处吃食物，求它需要爬行的最短路径的长．
【变式4-6】（2021春•封开县期末）如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为9、3和1，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物．则这只蚂蚁沿着台阶面爬行的最短路程是（ ）
A．18B．15C．12D．8
【变式4-7】（2022秋•南海区期中）如图，一个长方体形的木柜放在墙角处（与墙面和地面均没有缝隙），有一只蚂蚁从柜角A处沿着木柜表面爬到柜角C1处，若AB＝3，BC＝4，CC1＝5；
（1）请你在下面网格（每个小正方形边长为1）中，画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径；
（2）求蚂蚁爬过的最短路径的长；
（3）我们发现，“用不同的方式表示同一图形的面积”可以解决计算线段的有关问题，这种方法称为“面积法”．请“面积法”求点B1到最短路径的距离．
【变式4-8】如图所示的长方体透明玻璃鱼缸，假设其长AD＝80cm，高AB＝60cm，水深AE＝40cm．在水面上紧贴内壁G处有一块面包屑，G在水面线EF上，且EG＝60cm，一只蚂蚁想从鱼缸外的A点沿鱼缸壁爬进鱼缸内的G处吃面包屑．则蚂蚁爬行的最短路线为 cm．
【变式4-9】（2022春•新市区校级期中）如图1，长方体的底面边长分别为3m和2m，高为1m，在盒子里，可以放入最长为 m的木棒；
（2）如图2，在与（1）相同的长方体中，如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点C，那么所用细线最短需要 m；
（3）如图3，长方体的棱长分别为AB＝BC＝6cm，AA1＝14cm，假设昆虫甲从盒内顶点C1以2厘米/秒的速度在盒子的内部沿棱C1C向下爬行，同时昆虫乙从盒内顶点A以相同的速度在盒壁的侧面上爬行，那么昆虫乙至少需要多长时间才能捕捉昆虫甲？
题型五 用展开图求圆柱体的最短问题
【例题5】（2022秋•惠济区校级期末）一只蚂蚁从圆柱体的下底面A点沿着侧面爬到上底面B点，已知圆柱的底面周长为12cm，高为8cm，则蚂蚁所走过的最短路径是 cm．
【变式5-1】（2022秋•城阳区期中）如图，一个圆柱形水杯，底面直径为8cm，高为9cm，则一只小虫从下底点A处爬到上底B处，则小虫所爬的最短路径长是（π取3） cm．
【变式5-2】（2022秋•烟台期末）我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高三丈，周八尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为3丈，底面周长为8尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B处，则问题中葛藤的最短长度是 丈．
【变式5-3】国庆节期间，重庆南开中学用彩灯带装饰了艺术楼大厅的所有圆柱形柱子．为了美观，每根柱子的彩灯带需要从A点沿柱子表面缠绕两周到其正上方的B点，如图所示，若每根柱子的底面周长均为2米，高均为3米，则每根柱子所用彩灯带的最短长度为（ ）
A．7米B．11米C．13米D．5米
【变式5-4】（2022秋•高新区校级期末）如图，圆柱底面半径为2πcm，高为9cm，点A，B分别是圆柱两底面圆周上的点，且A，B在同一条竖直直线上，用一根棉线从A点顺着圆柱侧面绕3圈到B点，则这根棉线的长度最短为 cm．
【变式5-5】如图，这是一个供滑板爱好者使用的U型池的示意图，该U型池可以看成是长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是直径为32πm的半圆，其边缘AB＝CD＝15m，点E在CD上，CE＝3m，一滑板爱好者从A点滑到E点，则他滑行的最短距离约为 m．（边缘部分的厚度忽略不计）
【变式5-6】如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3cm的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是（ ）
A．13cmB．14cmC．15cmD．16cm
八年级下册数学《第十七章 勾股定理》
专题 用勾股定理解决最短路径问题
题型一 用计算法求平面中的最短问题
【例题1】如图，某工厂C前面有一条笔直的公路，原来有两条路AC，BC可以从工厂C到达公路，经测量AC＝6千米，BC＝8千米，AB＝10千米，现需要修建一条路，使工厂C到公路的路程最短．请你帮工厂C设计一种方案，并求出新建路的长．
【分析】直接利用勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，再利用三角形面积求法得出答案．
【解答】解：过点C作CD⊥AB于点D，则线段CD为新建公路．
∵AC＝6km，BC＝8km，AB＝10km
∴AC2+BC2＝62+82＝100，AB2＝102＝100，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形．
∵S△ABC=12•AC•BC=12AB•CD，
∴12×6×8=12×10×CD，∴CD＝4.8km
∴新建路的长为4.8km．
【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，正确应用直角三角形的性质是解题关键．
【变式1-1】（2022春•朝天区期末）如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”，踩伤了花草．则他们仅仅少走了 步路．（假设2步为1米）
【分析】在Rt△ABC中，利用勾股定理求出AB的长，根据2步为1米，即可得出少走的步数．
【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝6m，BC＝8m，
∴AB=62+82=10（m），
则（8+6﹣10）×2＝8，
∴他们仅仅少走了8步，
故答案为：8．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理知识是解题的关键．
【变式1-2】如图所示，A、B两块试验田相距200米，C为水源地，AC＝160m，BC＝120m，为了方便灌溉，现有两种方案修筑水渠．
甲方案：从水源地C直接修筑两条水渠分别到A、B；
乙方案；过点C作AB的垂线，垂足为H，先从水源地C修筑一条水渠到AB所在直线上的H处，再从H分别向A、B进行修筑．
（1）请判断△ABC的形状（要求写出推理过程）；
（2）两种方案中，哪一种方案所修的水渠较短？请通过计算说明．
【分析】（1）由勾股定理的逆定理即可得出△ABC是直角三角形；
（2）由△ABC的面积求出CH，得出AC+BC＜CH+AH+BH，即可得出结果．
【解答】解：（1）△ABC是直角三角形；理由如下：
∴AC2+BC2＝1602+1202＝40000，AB2＝2002＝40000，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°；
（2）甲方案所修的水渠较短；理由如下：
∵△ABC是直角三角形，
∴△ABC的面积=12AB•CH=12AC•BC，
∴CH=AC⋅BCAB=160×120200=96（m），
∵CH⊥AB，
∴∠AHC＝90°，
∴AH=AC2−CH2=1602−962=128（m），
∴BH＝AB﹣AH＝72m，
∵AC+BC＝160m+120m＝280m，CH+AH+BH＝96m+200m＝296m，
∴AC+BC＜CH+AH+BH，
∴甲方案所修的水渠较短．
【点评】本题考查了勾股定理的应用、勾股定理的逆定理、三角形面积的计算；熟练掌握勾股定理，由勾股定理的逆定理证出△ABC是直角三角形是解决问题的关键．
【变式1-3】小明听说“武黄城际列车”已经开通，便设计了如下问题：如图，以往从黄石A坐客车到武昌客运站B，现在可以在A坐城际列车到武汉青山站C，再从青山站C坐市内公共汽车到武昌客运站B．设AB＝80km，BC＝20km，∠ABC＝120°．请你帮助小明解决以下问题：
（1）求A、C之间的距离；（参考数据：21=4.6）
（2）若客车的平均速度是60km/h，市内的公共汽车的平均速度为40km/h，城际列车的平均速度为180km/h，为了最短时间到达武昌客运站，小明应该选择哪种乘车方案？请说明理由．（不计候车时间）
【分析】（1）过点C作AB的垂线，交AB的延长线于E点，利用勾股定理求得AC的长即可；
（2）分别求得乘车时间，然后比较即可得到答案．
【解答】解：（1）过点C作AB的垂线，交AB的延长线于E点，
∵∠ABC＝120°，BC＝20，
∴BE＝10，CE=103
在△ACE中，
∵AC2＝8100+300，
∴AC=2021=20×4.6=92km；
（2）乘客车需时间t1=8060=113（小时）；
乘列车需时间t2=92180+2040=1190（小时）；
∴选择城际列车．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是正确的构造直角三角形．
【变式1-4】（2021秋•大名县期末）如图，在△ABC中，AC＝21，BC＝13，D是AC边上一点，BD＝12，AD＝16．
（1）求证：BD⊥AC；
（2）若E是边AB上的动点，求线段DE的最小值．
【分析】（1）利用勾股定理的逆定理解决问题即可．
（2）根据垂线段最短解决问题即可．
【解答】解：（1）∵AC＝21，AD＝16，
∴CD＝AC﹣AD＝5，
∵BD2+CD2＝122+52＝169＝BC2，
∴∠BDC＝90°，
∴BD⊥AC．
（2）当DE⊥AB时，DE最短，
∵AB=AD2+BD2=162+122=20，
∵12•AD•DB=12•AB•DE，
∴DE=16×1220=9.6，
∴线段DE使的最小值为9.6．
【点评】本题考查勾股定理以及逆定理，三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
题型二 用平移法求平面中的最短问题
【例题2】如图，相邻的两边互相垂直，则从点B到点A的最短距离为（ ）
A．13B．12C．8D．5
【分析】如图，连接AB，构造直角△ABH．利用勾股定理解决问题即可．
【解答】解：如图，连接AB，构造直角△ABH．
由题意AH＝1+2+2＝5，BH＝4+4+4＝12，
∴AB=AH2+BH2=52+122=13．
故选：A．
【点评】本题考查勾股定理，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
【变式2-1】（2022春•梁山县期中）如图，已知∠B＝∠C＝∠D＝∠E＝90°，且AB＝CD＝3，BC＝4，DE＝EF＝2，则A，F两点间的距离是（ ）
A．14B．6+3C．8+2D．10
【分析】过点F作FG⊥AB交AB的延长线于点G，根据题意求出AG、FG，根据勾股定理计算，得到答案．
【解答】解：过点F作FG⊥AB交AB的延长线于点G，
则AG＝AB+CD+EF＝8，FG＝BC+DE＝6，
由勾股定理得，AF=AG2+FG2=10，
故选：D．
【点评】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
【变式2-2】如图，某校科技创新兴趣小组用他们设计的机器人，在平坦的操场上进行走展示．输入指令后，机器人从出发点A先向东走10米，又向南走40米，再向西走20米，又向南走40米，再向东走70米到达终止点B．求终止点B与原出发点A的距离AB．
【分析】直接构造直角三角形进而利用勾股定理得出答案．
【解答】解：如图所示：过点A作AC⊥CB于C，
则在Rt△ABC中，AC＝40+40＝80（米），
BC＝70﹣20+10＝60（米），
故终止点与原出发点的距离AB=602+802=100（米），
答：终止点B与原出发点A的距离AB为100m．
【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，正确构造直角三角形是解题关键．
【变式2-3】（2022•南京模拟）如图，要为一段高为5米，长为13米的楼梯铺上红地毯，则红地毯至少要 米长．
【分析】地毯的长度实际是所有台阶的宽加上台阶的高，因此利用勾股定理求出水平距离即可．
【解答】解：根据勾股定理，楼梯水平长度为132−52=12米，则红地毯至少要12+5＝17米长．
【点评】本题是一道实际问题，结合勾股定理解答．
【变式2-4】（2022秋•丰城市校级期末）某会展中心在会展期间准备将高5m、长13m、宽2m的楼道铺上地毯，已知地毯每平方米20元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要 元．
【分析】地毯的长是楼梯的竖直部分与水平部分的和，即AB与BC的和，在直角△ABC中，根据勾股定理即可求得AB的长，地毯的长与宽的积就是面积，再乘地毯每平方米的单价即可求解．
【解答】解：由勾股定理得AB=AC2−BC2=132−52=12 （m）,
则地毯总长为12+5=17（m），
则地毯的总面积为17×2=34（平方米），
所以铺完这个楼道至少需要34×20=680（元）．
故答案为：680．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，正确理解地毯的长度的计算是解题的关键．
题型三 用对称法求平面的最短问题
【例题3】（2022春•苍溪县期末）如图，亮亮在A处看护羊群吃草，其家在B处，A，B到河岸的距离分别为AC＝200m，BD＝100m，CD＝400m，亮亮从A处把羊群赶到河边饮水后回家，作图说明亮亮如何行走路程最短，并求出亮亮走的最短路程．
【分析】如图，延长BD到B′，使得BD＝DB′，连接AB′交CD于点P，连接BP，此时AP+PB的值最小，过点B′作B′E⊥AC交AC的延长线于点E，利用勾股定理求出AB′即可．
【解答】解：如图，延长BD到B′，使得BD＝DB′，连接AB′交CD于点P，连接BP，此时AP+PB的值最小，过点B′作B′E⊥AC交AC的延长线于点E，
∵∠CDB′＝∠DCE＝∠E＝90°，
∴四边形CDB′E是矩形，
∴CD＝EB′＝400m，DB′＝EC＝BD＝100m，
∴AE＝AC＝ce＝200+100＝300（m），
∴AB′=AE2+EB′2=3002+4002=500（m），
∴PA+PB的最小值为500m．
【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，轴对称﹣最短问题，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．
【变式3-1】（2022春•雄县期末）如图，高速公路的同一侧有A、B两城镇，它们到高速公路所在直线MN的距离分别为AA′=2km, BB′=4km , 且A′B′=8km.
（1）要在高速公路上A′、B′之间建一个出口P，使A、B两城镇到P的距离之和最小．请在图中画出P的位置，并作简单说明．
（2）求这个最短距离．
【分析】（1）根据题意画出图形，再利用轴对称求最短路径的方法得出P点位置；
（2）结合勾股定理得出即可．
【解答】解：（1）如图，作点B关于MN的对称点C，连接AC交MN于点P，则点P即为所建出口，
此时A、B两城镇到出口P的距离之和最小，最短距离为AC的长．
在此处键入公式。
（2）作AD⊥BB′于点D，在Rt△ADC中，AD=A′B′=8 km,DC=6 km.
∴AC=AD2+CD2=82+62=10 km,
∴这个最短距离为10 km.
【点评】此题主要考查了应用与设计作图，两点之间线段最短、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用对称解决最短问题．
【变式3-2】（2021秋•新吴区期中）如图，牧童在离河边3km的A处牧马，小屋位于他南6km东9km的B处，他想把他的马牵到河边饮水，然后回小屋．他要完成此过程所走的最短路程是多少？并在图中画出饮水C所在在位置（保留作图痕迹）．
【分析】先作A关于MN的对称点，连接A′B，构建直角三角形，利用勾股定理即可得出答案．
【解答】解：如图，作出A点关于MN的对称点A′，连接A′B交MN于点P，
则从A延AP到P再延PB到B，
此时AP+BP＝A′B，
在Rt△A′DB中，由勾股定理求得
A′B=DA′2+DB2=(3+3+6)2+92=15km，
答：他要完成这件事情所走的最短路程是15km．
【点评】本题考查的是勾股定理和轴对称在实际生活中的运用，需要同学们联系实际，题目是一道比较典型的题目，难度适中．
【变式3-3】如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，D是BC的中点，E是AB上的一动点，且不与A，B重合，是否存在一个位置，使DE+CE的值最小？若不存在，说明理由；若存在，试求出最小值．
【分析】过点C作CO⊥AB于O，延长CO到C′，使OC′=OC；连接DC′，交AB于E，连接CE，此时DE+CE=DE+EC′=DC′的值最小；再根据勾股定理求出DC′即可．
【解答】解：如图所示：过点C作CO⊥AB于O，延长CO到C′，使OC′=OC；
连接DC′，交AB于E，连接CE，此时DE+CE=DE+EC′=DC′的值最小；
连接BC′，由轴对称的性质得：∠C′BE=∠CBE=45°，
∴∠CBC′=90°，
∴BC′⊥BC，∠BCC′=∠BC′C=45°，
∴BC=BC′=2，
∵D是BC边的中点，
∴BD=1，
根据勾股定理得：DC′=＝；
∴DE+CE的最小值为5．
【变式3-4】如图所示，正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM＝2，N是AC上的一动点，求DN+MN的最小值．
【分析】要求DN+MN的最小值，DN，MN不能直接求，可考虑通过作辅助线转化DN，MN的值，从而找出其最小值求解．
【解答】解：如图，连接BM，
∵点B和点D关于直线AC对称，
∴NB＝ND，
则BM就是DN+MN的最小值，
∵正方形ABCD的边长是8，DM＝2，
∴CM＝6，
∴BM=62+82=10，
∴DN+MN的最小值是10．
【点评】本考查正方形的性质和轴对称及勾股定理等知识的综合应用，解题的难点在于确定满足条件的点N的位置：利用轴对称的方法．然后熟练运用勾股定理．
题型四 用展开图求长方体中的最短问题
【例题4】（2022秋•南关区校级期末）如图，一长方体木块长AB＝6，宽BC＝5，高BB1＝2．一只蚂蚁从木块点A处，沿木块表面爬行到点C1位置最短路径的长度为（ ）
A．89B．85C．125D．80
【分析】连接AC1，求出AC1的长即可，分为三种情况：画出图形，根据勾股定理求出每种情况时AC1的长，再找出最短的即可．
【解答】解：展开成平面后，连接AC1，则AC1的长就是绳子最短时的长度，
如图1，由勾股定理得：AC1=62+(2+5)2=85（cm）；
如图2，由勾股定理得：AC1=(5+6)2+22=55（cm）；
如图3，同法可求AC1=52+(2+6)2=89（cm）；
∵85＜89＜55，
∴最短路径的长度为85cm，
故选：B．
【点评】本题考查了平面展开﹣最短路线问题和勾股定理的应用，本题具有一定的代表性，是一道比较好的题目，注意：要分类讨论．
【变式4-1】如图，在长方体透明容器（无盖）内的点B处有一滴糖浆，容器外A点处的蚂蚁想沿容器壁爬到容器内吃糖浆，已知容器长为5cm，宽为3cm，高为4cm，点A距底部1cm，请问蚂蚁需爬行的最短距离是（容器壁厚度不计）（ ）
A．317cmB．10cmC．55cmD．113cm
【分析】将容器侧面展开，建立A关于EF的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B的长度即为所求．
【解答】解：将容器的侧面展开，如图所示：
作A关于EF的对称点A′，连接A′B，则A′B即为最短距离，
由题意得：EC＝4cm，AC＝1cm，BC＝5+3＝8（cm），
∴AE＝A′E＝EC﹣AC＝4﹣1＝3（cm），
∴A′C＝A′E+EC＝3+4＝7（cm），
由勾股定理得：A′BA'C2+BC2=72+82=113（cm）．
故选：D．
【点评】本题考查了平面展开-最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力．
【变式4-2】如图，长方体的底面长和宽分别为4cm和2cm，高为5cm．若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路径长为 cm．
【分析】要求长方体表面两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将长方体侧面展开；接下来利用“两点之间，线段最短”以及直角三角形勾股定理来解答即可．
【解答】解：根据题意，画出侧面展开图．
∵PA＝2×（4+2）＝12，QA＝5，
∴PQ=52+122=13（cm）．
故蚂蚁爬行的最短路径长为13cm．
故答案为：13．
【点评】本题主要考查两点之间线段最短，以及如何把立体图形转化成平面图形．
【变式4-3】边长分别为4cm，3cm两正方体如图放置，点P在E1F1上，且E1P=13E1F1，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点P，需要爬行的最短距离是 cm．
【分析】求出两种展开图PA的值，比较即可判断；
【解答】解：如图，有两种展开方法：
方法一：PA=72+42=65cm，
方法二：PA=82+32=73cm．
故需要爬行的最短距离是65cm．
【点评】本题考查平面展开-最短问题，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
【变式4-4】（2022秋•安岳县期末）如图所示，ABCD是长方形地面，长AB＝10m，宽AD＝5m，中间竖有一堵砖墙高MN＝1m．一只蚂蚱从A点爬到C点，它必须翻过中间那堵墙，则它至少要走 m的路程．
【分析】连接AC，利用勾股定理求出AC的长，再把中间的墙平面展开，使原来的矩形长度增加而宽度不变，求出新矩形的对角线长即可．
【解答】1解：如图所示，将图展开，图形长度增加2MN，
原图长度增加2米，则AB＝10+2＝12m，
连接AC，
∵四边形ABCD是长方形，AB＝12m，宽AD＝5m，
∴AC=AB2+BC2=122+52=13m，
∴蚂蚱从A点爬到C点，它至少要走13m的路程．
故答案为：13．
【点评】本题考查的是平面展开最短路线问题及勾股定理，根据题意画出图形是解答此题的关键．
【变式4-5】在一个长为8分米，宽为5分米，高为7分米的长方体上，截去一个长为6分米，宽为5分米，深为2分米的长方体后，得到一个如图所示的几何体．一只蚂蚁要从该几何体的顶点A处，沿着几何体的表面到几何体上和A相对的顶点B处吃食物，求它需要爬行的最短路径的长．
【分析】将长方体展成平面图形，根据两点之间线段最短即可确定蚂蚁爬行的最短路线为AB，利用勾股定理求出AB的长度即可．
【解答】解：情形1：平面展开图所示，
AB=(1+2+6+2+1)2+52=13（分米）．
情形2：平面展开图如图所示：
AB=102+72=149（分米），
∵149＜13，
答：它需要爬行的最短路径的长是149分米．
【点评】本题考查的是平面展开路径问题，勾股定理等知识，解题的关键是明确蚂蚁爬行的不同路线．
【变式4-6】（2021春•封开县期末）如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为9、3和1，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物．则这只蚂蚁沿着台阶面爬行的最短路程是（ ）
A．18B．15C．12D．8
【分析】此类题目只需要将其展开便可直观的得出解题思路．将台阶展开得到的是一个矩形，蚂蚁要从B点到A点的最短距离，便是矩形的对角线，利用勾股定理即可解出答案．
【解答】解：将台阶展开，如图，
因为AC＝3×3+1×3＝12，BC＝9，
所以AB2＝AC2+BC2＝225，
所以AB＝15，
所以蚂蚁爬行的最短线路为15．
故选：B．
【点评】本题考查了平面展开﹣最短路径问题，用到台阶的平面展开图，根据题意判断出长方形的长和宽是解题的关键．
【变式4-7】（2022秋•南海区期中）如图，一个长方体形的木柜放在墙角处（与墙面和地面均没有缝隙），有一只蚂蚁从柜角A处沿着木柜表面爬到柜角C1处，若AB＝3，BC＝4，CC1＝5；
（1）请你在下面网格（每个小正方形边长为1）中，画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径；
（2）求蚂蚁爬过的最短路径的长；
（3）我们发现，“用不同的方式表示同一图形的面积”可以解决计算线段的有关问题，这种方法称为“面积法”．请“面积法”求点B1到最短路径的距离．
【分析】（1）有两种方案，分别画出图形即可；
（2）求出两种方案中AC1的长，可得结论；
（3）利用面积法求解即可．
【解答】解：（1）有两个方案：如图所示，
（2）方案一中，AC1=32+92=310，
方案二中，AC1=72+52=74，
∴74＜310，
∴蚂蚁爬过的最短路径的长为74；
（3）方案二中，设AC1交BB1于点E，过点B1作B1F⊥AC1于点F．
∵AB∥B1C1，
∴B1EEB=C1EAE=B1C1AB=43，
∴B1E=47×5=207，C1E=47×74=4747，
∵12×B1C1×EB1=12×B1F×EC2，
∴B1F=4×2074747=107437．
∴点B1到最短路径的距离是107437．
【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，最短问题等知识，解题的关键是学会把立体几何问题转化为平面几何问题．
【变式4-8】如图所示的长方体透明玻璃鱼缸，假设其长AD＝80cm，高AB＝60cm，水深AE＝40cm．在水面上紧贴内壁G处有一块面包屑，G在水面线EF上，且EG＝60cm，一只蚂蚁想从鱼缸外的A点沿鱼缸壁爬进鱼缸内的G处吃面包屑．则蚂蚁爬行的最短路线为 cm．
【分析】作出A关于BC的对称点A′，连接A′G，与BC交于点Q，此时AQ+QG最短；A′G为直角△A′EG的斜边，根据勾股定理求解即可．
【解答】解：如图所示作点A关于BC的对称点A′，连接A′G交BC与点Q，小虫沿着A→Q→G的路线爬行时路程最短．
在直角△A′EG中，A′E＝80cm，EG＝60cm，
∴AQ+QG＝A′Q+QG＝A′G=A'E2+EG2=100cm．
∴最短路线长为100cm．
故答案为：100．
【点评】本题考查最短路径问题，关键知道两点之间线段最短，从而可找到路径求出解．
【变式4-9】（2022春•新市区校级期中）如图1，长方体的底面边长分别为3m和2m，高为1m，在盒子里，可以放入最长为 m的木棒；
（2）如图2，在与（1）相同的长方体中，如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点C，那么所用细线最短需要 m；
（3）如图3，长方体的棱长分别为AB＝BC＝6cm，AA1＝14cm，假设昆虫甲从盒内顶点C1以2厘米/秒的速度在盒子的内部沿棱C1C向下爬行，同时昆虫乙从盒内顶点A以相同的速度在盒壁的侧面上爬行，那么昆虫乙至少需要多长时间才能捕捉昆虫甲？
【分析】（1）根据勾股定理即可得到结论；
（2）将长方体展开，根据两点之间线段最短，可知所用细线最短长度；
（3）利用昆虫是在侧面上爬行，两种爬行路线的最短路径相等，利用勾股定理求出即可．
【解答】解：（1）可以放入最长为32+22+12=14（m）的木棒；
故答案为：14；
（2）如图所示：将长方体展开，连接AC，
∴AC=(3+2+3+2)2+12=101（m）．
故答案为：101；
（3）因为昆虫是在侧面上爬行，可以看出，下面两图的最短路径相等，
设昆虫甲从顶点C1沿棱C1C向顶点C爬行的同时，昆虫乙从顶点A按路径A→E→F，
爬行捕捉到昆虫甲需x秒钟，如图1在Rt△ACF中，
（2x）2＝122+（14﹣2x）2，
解得：x=8514．
答：昆虫乙至少需要8514秒钟才能捕捉到昆虫甲．
【点评】此题主要考查了平面展开-最短路径问题以及三角形的相似等知识，立体图形中的最短距离，通常要转换为平面图形的两点间的线段长来进行解决，最短路径问题利用平面展开图分别求出是解决问题的关键．
题型五 用展开图求圆柱体的最短问题
【例题5】（2022秋•惠济区校级期末）一只蚂蚁从圆柱体的下底面A点沿着侧面爬到上底面B点，已知圆柱的底面周长为12cm，高为8cm，则蚂蚁所走过的最短路径是 cm．
【分析】将圆柱体展开，利用勾股定理进行求解即可．
【解答】解：如图，线段AB即为所求，
由题意得：∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，
∴AB=AC2+BC2=62+82=10（cm）；
即蚂蚁走过的最短路径为：10cm；
故答案为：10．
【点评】本题考查勾股定理的应用．解题的关键是将立体图形展开为平面图形，利用勾股定理求最短路径．
【变式5-1】（2022秋•城阳区期中）如图，一个圆柱形水杯，底面直径为8cm，高为9cm，则一只小虫从下底点A处爬到上底B处，则小虫所爬的最短路径长是（π取3） cm．
【分析】先将圆柱的侧面展开为一矩形，而矩形的长就是地面周长的一半，高就是圆柱的高，再根据勾股定理就可以求出其值．
【解答】解：展开圆柱的侧面如图，根据两点之间线段最短就可以得知AB最短．
由题意，得AC=12×3×6＝12，
在Rt△ABC中，由勾股定理，得
AB=AC2+BC2=122+92=15（cm）．
故答案为：15．
【点评】本题考查了圆柱侧面展开图的运用，两点之间线段最短的运用，勾股定理的运用．在解答时将圆柱的侧面展开式关键．
【变式5-2】（2022秋•烟台期末）我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高三丈，周八尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为3丈，底面周长为8尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B处，则问题中葛藤的最短长度是 丈．
【分析】根据题意画出图形，在Rt△ABC中，再根据勾股定理求解即可．
【解答】解：如图所示：AB表示葛藤的最短长度，
由题意可知：BC＝3（丈），AC＝8×5÷10＝4（丈），
在Rt△ABC中，AB=AC2+BC2=32+42=5（丈）．
故答案为：5．
【点评】本题考查了平面展开—最短路径问题，能够根据题意画出图形，构造直角三角形是解题的关键．
【变式5-3】国庆节期间，重庆南开中学用彩灯带装饰了艺术楼大厅的所有圆柱形柱子．为了美观，每根柱子的彩灯带需要从A点沿柱子表面缠绕两周到其正上方的B点，如图所示，若每根柱子的底面周长均为2米，高均为3米，则每根柱子所用彩灯带的最短长度为（ ）
A．7米B．11米C．13米D．5米
【分析】要求彩带的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，借助于勾股定理．
【解答】解：将圆柱表面切开展开呈长方形，
则彩灯带长为2个长方形的对角线长，
∵圆柱高3米，底面周长2米，
∴AC2＝22+1.52＝6.25，
∴AC＝2.5（米），
∴每根柱子所用彩灯带的最短长度为5m．
故选：D．
【点评】本题考查了平面展开-最短路线问题，勾股定理的应用．圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，高等于圆柱的高，本题就是把圆柱的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．
【变式5-4】（2022秋•高新区校级期末）如图，圆柱底面半径为2πcm，高为9cm，点A，B分别是圆柱两底面圆周上的点，且A，B在同一条竖直直线上，用一根棉线从A点顺着圆柱侧面绕3圈到B点，则这根棉线的长度最短为 cm．
【分析】要求圆柱体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将圆柱体展开，然后利用两点之间线段最短解答．
【解答】解：圆柱体的展开图如图所示：用一棉线从A顺着圆柱侧面绕3圈到B的运动最短路线是：AC→CD→DB；
即在圆柱体的展开图长方形中，将长方形平均分成3个小长方形，A沿着3个长方形的对角线运动到B的路线最短；
∵圆柱底面半径为2πcm，
∴长方形的宽即是圆柱体的底面周长：2π×2π=4（cm）；
又∵圆柱高为9cm，
∴小长方形的一条边长是3cm；
根据勾股定理求得AC＝CD＝DB=32+42=5（cm）；
∴AC+CD+DB＝15（cm）；
故答案为：15．
【点评】本题主要考查了平面展开﹣﹣路径最短问题．圆柱的侧面展开图是一个长方形，此长方形的宽等于圆柱底面周长，长方形的长等于圆柱的高．本题就是把圆柱的侧面展开成长方形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．
【变式5-5】如图，这是一个供滑板爱好者使用的U型池的示意图，该U型池可以看成是长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是直径为32πm的半圆，其边缘AB＝CD＝15m，点E在CD上，CE＝3m，一滑板爱好者从A点滑到E点，则他滑行的最短距离约为 m．（边缘部分的厚度忽略不计）
【分析】要求滑行的最短距离，需将该U型池的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果．
【解答】解：如图是其侧面展开图：AD=12×π×32π=16m，AB＝CD＝15m．DE＝CD﹣CE＝15﹣3＝12（m），
在Rt△ADE中，AE=AD2+DE2=162+122=20（m）．
故他滑行的最短距离约为20m．
故答案为：20．
【变式5-6】如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3cm的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是（ ）
A．13cmB．14cmC．15cmD．16cm
【分析】将圆柱侧面展开再进行点标注，此时长方形的长为圆柱底面周长的一半，如图，作A关于EF的对称点A′，连接A′B，根据两点之间，线段最短可知A′B的长度即为所求；接下来结合已知数据，根据勾股定理相信你可以求出A′B的长了．
【解答】解：如图：
∵高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，
此时蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿3cm与饭粒相对的点A处，
∴A′D＝5（cm），BD＝12﹣3+AE＝12（cm），
∴将容器侧面展开，作A关于EF的对称点A′，
连接A′B，则A′B即为最短距离，
A′B=A′D2+BD2=52+122=13（cm）．
故选：A．
【点评】本题考查了平面展开﹣最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力．
题型一 用计算法求平面中的最短问题
【例题1】如图，某工厂C前面有一条笔直的公路，原来有两条路AC，BC可以从工厂C到达公路，经测量AC＝6千米，BC＝8千米，AB＝10千米，现需要修建一条路，使工厂C到公路的路程最短．请你帮工厂C设计一种方案，并求出新建路的长．
【变式1-1】（2022春•朝天区期末）如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”，踩伤了花草．则他们仅仅少走了 步路．（假设2步为1米）
【变式1-2】如图所示，A、B两块试验田相距200米，C为水源地，AC＝160m，BC＝120m，为了方便灌溉，现有两种方案修筑水渠．
甲方案：从水源地C直接修筑两条水渠分别到A、B；
乙方案；过点C作AB的垂线，垂足为H，先从水源地C修筑一条水渠到AB所在直线上的H处，再从H分别向A、B进行修筑．
（1）请判断△ABC的形状（要求写出推理过程）；
（2）两种方案中，哪一种方案所修的水渠较短？请通过计算说明．
【变式1-3】小明听说“武黄城际列车”已经开通，便设计了如下问题：如图，以往从黄石A坐客车到武昌客运站B，现在可以在A坐城际列车到武汉青山站C，再从青山站C坐市内公共汽车到武昌客运站B．设AB＝80km，BC＝20km，∠ABC＝120°．请你帮助小明解决以下问题：
（1）求A、C之间的距离；（参考数据：21=4.6）
（2）若客车的平均速度是60km/h，市内的公共汽车的平均速度为40km/h，城际列车的平均速度为180km/h，为了最短时间到达武昌客运站，小明应该选择哪种乘车方案？请说明理由．（不计候车时间）
【变式1-4】（2021秋•大名县期末）如图，在△ABC中，AC＝21，BC＝13，D是AC边上一点，BD＝12，AD＝16．
（1）求证：BD⊥AC；
（2）若E是边AB上的动点，求线段DE的最小值．
题型二 用平移法求平面中的最短问题
【例题2】如图，相邻的两边互相垂直，则从点B到点A的最短距离为（ ）
A．13B．12C．8D．5
【变式2-1】（2022春•梁山县期中）如图，已知∠B＝∠C＝∠D＝∠E＝90°，且AB＝CD＝3，BC＝4，DE＝EF＝2，则A，F两点间的距离是（ ）
A．14B．6+3C．8+2D．10
【变式2-2】如图，某校科技创新兴趣小组用他们设计的机器人，在平坦的操场上进行走展示．输入指令后，机器人从出发点A先向东走10米，又向南走40米，再向西走20米，又向南走40米，再向东走70米到达终止点B．求终止点B与原出发点A的距离AB．
【变式2-3】（2022•南京模拟）如图，要为一段高为5米，长为13米的楼梯铺上红地毯，则红地毯至少要 米长．
【变式2-4】（2022秋•丰城市校级期末）某会展中心在会展期间准备将高5m、长13m、宽2m的楼道铺上地毯，已知地毯每平方米20元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要 元．
题型三 用对称法求平面的最短问题
【例题3】（2022春•苍溪县期末）如图，亮亮在A处看护羊群吃草，其家在B处，A，B到河岸的距离分别为AC＝200m，BD＝100m，CD＝400m，亮亮从A处把羊群赶到河边饮水后回家，作图说明亮亮如何行走路程最短，并求出亮亮走的最短路程．
【变式3-1】（2022春•雄县期末）如图，高速公路的同一侧有A、B两城镇，它们到高速公路所在直线MN的距离分别为AA′=2km, BB′=4km , 且A′B′=8km.
（1）要在高速公路上A′、B′之间建一个出口P，使A、B两城镇到P的距离之和最小．请在图中画出P的位置，并作简单说明．
（2）求这个最短距离．
【变式3-2】（2021秋•新吴区期中）如图，牧童在离河边3km的A处牧马，小屋位于他南6km东9km的B处，他想把他的马牵到河边饮水，然后回小屋．他要完成此过程所走的最短路程是多少？并在图中画出饮水C所在在位置（保留作图痕迹）．
【变式3-3】如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，D是BC的中点，E是AB上的一动点，且不与A，B重合，是否存在一个位置，使DE+CE的值最小？若不存在，说明理由；若存在，试求出最小值．
【变式3-4】如图所示，正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM＝2，N是AC上的一动点，求DN+MN的最小值．
题型四 用展开图求长方体中的最短问题
【例题4】（2022秋•南关区校级期末）如图，一长方体木块长AB＝6，宽BC＝5，高BB1＝2．一只蚂蚁从木块点A处，沿木块表面爬行到点C1位置最短路径的长度为（ ）
A．89B．85C．125D．80
【变式4-1】如图，在长方体透明容器（无盖）内的点B处有一滴糖浆，容器外A点处的蚂蚁想沿容器壁爬到容器内吃糖浆，已知容器长为5cm，宽为3cm，高为4cm，点A距底部1cm，请问蚂蚁需爬行的最短距离是（容器壁厚度不计）（ ）
A．317cmB．10cmC．55cmD．113cm
【变式4-2】如图，长方体的底面长和宽分别为4cm和2cm，高为5cm．若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路径长为 cm．
【变式4-3】边长分别为4cm，3cm两正方体如图放置，点P在E1F1上，且E1P=13E1F1，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点P，需要爬行的最短距离是 cm．
【变式4-4】（2022秋•安岳县期末）如图所示，ABCD是长方形地面，长AB＝10m，宽AD＝5m，中间竖有一堵砖墙高MN＝1m．一只蚂蚱从A点爬到C点，它必须翻过中间那堵墙，则它至少要走 m的路程．
【变式4-5】在一个长为8分米，宽为5分米，高为7分米的长方体上，截去一个长为6分米，宽为5分米，深为2分米的长方体后，得到一个如图所示的几何体．一只蚂蚁要从该几何体的顶点A处，沿着几何体的表面到几何体上和A相对的顶点B处吃食物，求它需要爬行的最短路径的长．
【变式4-6】（2021春•封开县期末）如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为9、3和1，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物．则这只蚂蚁沿着台阶面爬行的最短路程是（ ）
A．18B．15C．12D．8
【变式4-7】（2022秋•南海区期中）如图，一个长方体形的木柜放在墙角处（与墙面和地面均没有缝隙），有一只蚂蚁从柜角A处沿着木柜表面爬到柜角C1处，若AB＝3，BC＝4，CC1＝5；
（1）请你在下面网格（每个小正方形边长为1）中，画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径；
（2）求蚂蚁爬过的最短路径的长；
（3）我们发现，“用不同的方式表示同一图形的面积”可以解决计算线段的有关问题，这种方法称为“面积法”．请“面积法”求点B1到最短路径的距离．
【变式4-8】如图所示的长方体透明玻璃鱼缸，假设其长AD＝80cm，高AB＝60cm，水深AE＝40cm．在水面上紧贴内壁G处有一块面包屑，G在水面线EF上，且EG＝60cm，一只蚂蚁想从鱼缸外的A点沿鱼缸壁爬进鱼缸内的G处吃面包屑．则蚂蚁爬行的最短路线为 cm．
【变式4-9】（2022春•新市区校级期中）如图1，长方体的底面边长分别为3m和2m，高为1m，在盒子里，可以放入最长为 m的木棒；
（2）如图2，在与（1）相同的长方体中，如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点C，那么所用细线最短需要 m；
（3）如图3，长方体的棱长分别为AB＝BC＝6cm，AA1＝14cm，假设昆虫甲从盒内顶点C1以2厘米/秒的速度在盒子的内部沿棱C1C向下爬行，同时昆虫乙从盒内顶点A以相同的速度在盒壁的侧面上爬行，那么昆虫乙至少需要多长时间才能捕捉昆虫甲？
题型五 用展开图求圆柱体的最短问题
【例题5】（2022秋•惠济区校级期末）一只蚂蚁从圆柱体的下底面A点沿着侧面爬到上底面B点，已知圆柱的底面周长为12cm，高为8cm，则蚂蚁所走过的最短路径是 cm．
【变式5-1】（2022秋•城阳区期中）如图，一个圆柱形水杯，底面直径为8cm，高为9cm，则一只小虫从下底点A处爬到上底B处，则小虫所爬的最短路径长是（π取3） cm．
【变式5-2】（2022秋•烟台期末）我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高三丈，周八尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为3丈，底面周长为8尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B处，则问题中葛藤的最短长度是 丈．
【变式5-3】国庆节期间，重庆南开中学用彩灯带装饰了艺术楼大厅的所有圆柱形柱子．为了美观，每根柱子的彩灯带需要从A点沿柱子表面缠绕两周到其正上方的B点，如图所示，若每根柱子的底面周长均为2米，高均为3米，则每根柱子所用彩灯带的最短长度为（ ）
A．7米B．11米C．13米D．5米
【变式5-4】（2022秋•高新区校级期末）如图，圆柱底面半径为2πcm，高为9cm，点A，B分别是圆柱两底面圆周上的点，且A，B在同一条竖直直线上，用一根棉线从A点顺着圆柱侧面绕3圈到B点，则这根棉线的长度最短为 cm．
【变式5-5】如图，这是一个供滑板爱好者使用的U型池的示意图，该U型池可以看成是长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是直径为32πm的半圆，其边缘AB＝CD＝15m，点E在CD上，CE＝3m，一滑板爱好者从A点滑到E点，则他滑行的最短距离约为 m．（边缘部分的厚度忽略不计）
【变式5-6】如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3cm的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是（ ）
A．13cmB．14cmC．15cmD．16cm
八年级下册数学《第十七章 勾股定理》
专题 用勾股定理解决最短路径问题
题型一 用计算法求平面中的最短问题
【例题1】如图，某工厂C前面有一条笔直的公路，原来有两条路AC，BC可以从工厂C到达公路，经测量AC＝6千米，BC＝8千米，AB＝10千米，现需要修建一条路，使工厂C到公路的路程最短．请你帮工厂C设计一种方案，并求出新建路的长．
【分析】直接利用勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，再利用三角形面积求法得出答案．
【解答】解：过点C作CD⊥AB于点D，则线段CD为新建公路．
∵AC＝6km，BC＝8km，AB＝10km
∴AC2+BC2＝62+82＝100，AB2＝102＝100，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形．
∵S△ABC=12•AC•BC=12AB•CD，
∴12×6×8=12×10×CD，∴CD＝4.8km
∴新建路的长为4.8km．
【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，正确应用直角三角形的性质是解题关键．
【变式1-1】（2022春•朝天区期末）如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”，踩伤了花草．则他们仅仅少走了 步路．（假设2步为1米）
【分析】在Rt△ABC中，利用勾股定理求出AB的长，根据2步为1米，即可得出少走的步数．
【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝6m，BC＝8m，
∴AB=62+82=10（m），
则（8+6﹣10）×2＝8，
∴他们仅仅少走了8步，
故答案为：8．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理知识是解题的关键．
【变式1-2】如图所示，A、B两块试验田相距200米，C为水源地，AC＝160m，BC＝120m，为了方便灌溉，现有两种方案修筑水渠．
甲方案：从水源地C直接修筑两条水渠分别到A、B；
乙方案；过点C作AB的垂线，垂足为H，先从水源地C修筑一条水渠到AB所在直线上的H处，再从H分别向A、B进行修筑．
（1）请判断△ABC的形状（要求写出推理过程）；
（2）两种方案中，哪一种方案所修的水渠较短？请通过计算说明．
【分析】（1）由勾股定理的逆定理即可得出△ABC是直角三角形；
（2）由△ABC的面积求出CH，得出AC+BC＜CH+AH+BH，即可得出结果．
【解答】解：（1）△ABC是直角三角形；理由如下：
∴AC2+BC2＝1602+1202＝40000，AB2＝2002＝40000，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°；
（2）甲方案所修的水渠较短；理由如下：
∵△ABC是直角三角形，
∴△ABC的面积=12AB•CH=12AC•BC，
∴CH=AC⋅BCAB=160×120200=96（m），
∵CH⊥AB，
∴∠AHC＝90°，
∴AH=AC2−CH2=1602−962=128（m），
∴BH＝AB﹣AH＝72m，
∵AC+BC＝160m+120m＝280m，CH+AH+BH＝96m+200m＝296m，
∴AC+BC＜CH+AH+BH，
∴甲方案所修的水渠较短．
【点评】本题考查了勾股定理的应用、勾股定理的逆定理、三角形面积的计算；熟练掌握勾股定理，由勾股定理的逆定理证出△ABC是直角三角形是解决问题的关键．
【变式1-3】小明听说“武黄城际列车”已经开通，便设计了如下问题：如图，以往从黄石A坐客车到武昌客运站B，现在可以在A坐城际列车到武汉青山站C，再从青山站C坐市内公共汽车到武昌客运站B．设AB＝80km，BC＝20km，∠ABC＝120°．请你帮助小明解决以下问题：
（1）求A、C之间的距离；（参考数据：21=4.6）
（2）若客车的平均速度是60km/h，市内的公共汽车的平均速度为40km/h，城际列车的平均速度为180km/h，为了最短时间到达武昌客运站，小明应该选择哪种乘车方案？请说明理由．（不计候车时间）
【分析】（1）过点C作AB的垂线，交AB的延长线于E点，利用勾股定理求得AC的长即可；
（2）分别求得乘车时间，然后比较即可得到答案．
【解答】解：（1）过点C作AB的垂线，交AB的延长线于E点，
∵∠ABC＝120°，BC＝20，
∴BE＝10，CE=103
在△ACE中，
∵AC2＝8100+300，
∴AC=2021=20×4.6=92km；
（2）乘客车需时间t1=8060=113（小时）；
乘列车需时间t2=92180+2040=1190（小时）；
∴选择城际列车．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是正确的构造直角三角形．
【变式1-4】（2021秋•大名县期末）如图，在△ABC中，AC＝21，BC＝13，D是AC边上一点，BD＝12，AD＝16．
（1）求证：BD⊥AC；
（2）若E是边AB上的动点，求线段DE的最小值．
【分析】（1）利用勾股定理的逆定理解决问题即可．
（2）根据垂线段最短解决问题即可．
【解答】解：（1）∵AC＝21，AD＝16，
∴CD＝AC﹣AD＝5，
∵BD2+CD2＝122+52＝169＝BC2，
∴∠BDC＝90°，
∴BD⊥AC．
（2）当DE⊥AB时，DE最短，
∵AB=AD2+BD2=162+122=20，
∵12•AD•DB=12•AB•DE，
∴DE=16×1220=9.6，
∴线段DE使的最小值为9.6．
【点评】本题考查勾股定理以及逆定理，三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
题型二 用平移法求平面中的最短问题
【例题2】如图，相邻的两边互相垂直，则从点B到点A的最短距离为（ ）
A．13B．12C．8D．5
【分析】如图，连接AB，构造直角△ABH．利用勾股定理解决问题即可．
【解答】解：如图，连接AB，构造直角△ABH．
由题意AH＝1+2+2＝5，BH＝4+4+4＝12，
∴AB=AH2+BH2=52+122=13．
故选：A．
【点评】本题考查勾股定理，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
【变式2-1】（2022春•梁山县期中）如图，已知∠B＝∠C＝∠D＝∠E＝90°，且AB＝CD＝3，BC＝4，DE＝EF＝2，则A，F两点间的距离是（ ）
A．14B．6+3C．8+2D．10
【分析】过点F作FG⊥AB交AB的延长线于点G，根据题意求出AG、FG，根据勾股定理计算，得到答案．
【解答】解：过点F作FG⊥AB交AB的延长线于点G，
则AG＝AB+CD+EF＝8，FG＝BC+DE＝6，
由勾股定理得，AF=AG2+FG2=10，
故选：D．
【点评】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
【变式2-2】如图，某校科技创新兴趣小组用他们设计的机器人，在平坦的操场上进行走展示．输入指令后，机器人从出发点A先向东走10米，又向南走40米，再向西走20米，又向南走40米，再向东走70米到达终止点B．求终止点B与原出发点A的距离AB．
【分析】直接构造直角三角形进而利用勾股定理得出答案．
【解答】解：如图所示：过点A作AC⊥CB于C，
则在Rt△ABC中，AC＝40+40＝80（米），
BC＝70﹣20+10＝60（米），
故终止点与原出发点的距离AB=602+802=100（米），
答：终止点B与原出发点A的距离AB为100m．
【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，正确构造直角三角形是解题关键．
【变式2-3】（2022•南京模拟）如图，要为一段高为5米，长为13米的楼梯铺上红地毯，则红地毯至少要 米长．
【分析】地毯的长度实际是所有台阶的宽加上台阶的高，因此利用勾股定理求出水平距离即可．
【解答】解：根据勾股定理，楼梯水平长度为132−52=12米，则红地毯至少要12+5＝17米长．
【点评】本题是一道实际问题，结合勾股定理解答．
【变式2-4】（2022秋•丰城市校级期末）某会展中心在会展期间准备将高5m、长13m、宽2m的楼道铺上地毯，已知地毯每平方米20元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要 元．
【分析】地毯的长是楼梯的竖直部分与水平部分的和，即AB与BC的和，在直角△ABC中，根据勾股定理即可求得AB的长，地毯的长与宽的积就是面积，再乘地毯每平方米的单价即可求解．
【解答】解：由勾股定理得AB=AC2−BC2=132−52=12 （m）,
则地毯总长为12+5=17（m），
则地毯的总面积为17×2=34（平方米），
所以铺完这个楼道至少需要34×20=680（元）．
故答案为：680．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，正确理解地毯的长度的计算是解题的关键．
题型三 用对称法求平面的最短问题
【例题3】（2022春•苍溪县期末）如图，亮亮在A处看护羊群吃草，其家在B处，A，B到河岸的距离分别为AC＝200m，BD＝100m，CD＝400m，亮亮从A处把羊群赶到河边饮水后回家，作图说明亮亮如何行走路程最短，并求出亮亮走的最短路程．
【分析】如图，延长BD到B′，使得BD＝DB′，连接AB′交CD于点P，连接BP，此时AP+PB的值最小，过点B′作B′E⊥AC交AC的延长线于点E，利用勾股定理求出AB′即可．
【解答】解：如图，延长BD到B′，使得BD＝DB′，连接AB′交CD于点P，连接BP，此时AP+PB的值最小，过点B′作B′E⊥AC交AC的延长线于点E，
∵∠CDB′＝∠DCE＝∠E＝90°，
∴四边形CDB′E是矩形，
∴CD＝EB′＝400m，DB′＝EC＝BD＝100m，
∴AE＝AC＝ce＝200+100＝300（m），
∴AB′=AE2+EB′2=3002+4002=500（m），
∴PA+PB的最小值为500m．
【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，轴对称﹣最短问题，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．
【变式3-1】（2022春•雄县期末）如图，高速公路的同一侧有A、B两城镇，它们到高速公路所在直线MN的距离分别为AA′=2km, BB′=4km , 且A′B′=8km.
（1）要在高速公路上A′、B′之间建一个出口P，使A、B两城镇到P的距离之和最小．请在图中画出P的位置，并作简单说明．
（2）求这个最短距离．
【分析】（1）根据题意画出图形，再利用轴对称求最短路径的方法得出P点位置；
（2）结合勾股定理得出即可．
【解答】解：（1）如图，作点B关于MN的对称点C，连接AC交MN于点P，则点P即为所建出口，
此时A、B两城镇到出口P的距离之和最小，最短距离为AC的长．
在此处键入公式。
（2）作AD⊥BB′于点D，在Rt△ADC中，AD=A′B′=8 km,DC=6 km.
∴AC=AD2+CD2=82+62=10 km,
∴这个最短距离为10 km.
【点评】此题主要考查了应用与设计作图，两点之间线段最短、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用对称解决最短问题．
【变式3-2】（2021秋•新吴区期中）如图，牧童在离河边3km的A处牧马，小屋位于他南6km东9km的B处，他想把他的马牵到河边饮水，然后回小屋．他要完成此过程所走的最短路程是多少？并在图中画出饮水C所在在位置（保留作图痕迹）．
【分析】先作A关于MN的对称点，连接A′B，构建直角三角形，利用勾股定理即可得出答案．
【解答】解：如图，作出A点关于MN的对称点A′，连接A′B交MN于点P，
则从A延AP到P再延PB到B，
此时AP+BP＝A′B，
在Rt△A′DB中，由勾股定理求得
A′B=DA′2+DB2=(3+3+6)2+92=15km，
答：他要完成这件事情所走的最短路程是15km．
【点评】本题考查的是勾股定理和轴对称在实际生活中的运用，需要同学们联系实际，题目是一道比较典型的题目，难度适中．
【变式3-3】如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，D是BC的中点，E是AB上的一动点，且不与A，B重合，是否存在一个位置，使DE+CE的值最小？若不存在，说明理由；若存在，试求出最小值．
【分析】过点C作CO⊥AB于O，延长CO到C′，使OC′=OC；连接DC′，交AB于E，连接CE，此时DE+CE=DE+EC′=DC′的值最小；再根据勾股定理求出DC′即可．
【解答】解：如图所示：过点C作CO⊥AB于O，延长CO到C′，使OC′=OC；
连接DC′，交AB于E，连接CE，此时DE+CE=DE+EC′=DC′的值最小；
连接BC′，由轴对称的性质得：∠C′BE=∠CBE=45°，
∴∠CBC′=90°，
∴BC′⊥BC，∠BCC′=∠BC′C=45°，
∴BC=BC′=2，
∵D是BC边的中点，
∴BD=1，
根据勾股定理得：DC′=＝；
∴DE+CE的最小值为5．
【变式3-4】如图所示，正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM＝2，N是AC上的一动点，求DN+MN的最小值．
【分析】要求DN+MN的最小值，DN，MN不能直接求，可考虑通过作辅助线转化DN，MN的值，从而找出其最小值求解．
【解答】解：如图，连接BM，
∵点B和点D关于直线AC对称，
∴NB＝ND，
则BM就是DN+MN的最小值，
∵正方形ABCD的边长是8，DM＝2，
∴CM＝6，
∴BM=62+82=10，
∴DN+MN的最小值是10．
【点评】本考查正方形的性质和轴对称及勾股定理等知识的综合应用，解题的难点在于确定满足条件的点N的位置：利用轴对称的方法．然后熟练运用勾股定理．
题型四 用展开图求长方体中的最短问题
【例题4】（2022秋•南关区校级期末）如图，一长方体木块长AB＝6，宽BC＝5，高BB1＝2．一只蚂蚁从木块点A处，沿木块表面爬行到点C1位置最短路径的长度为（ ）
A．89B．85C．125D．80
【分析】连接AC1，求出AC1的长即可，分为三种情况：画出图形，根据勾股定理求出每种情况时AC1的长，再找出最短的即可．
【解答】解：展开成平面后，连接AC1，则AC1的长就是绳子最短时的长度，
如图1，由勾股定理得：AC1=62+(2+5)2=85（cm）；
如图2，由勾股定理得：AC1=(5+6)2+22=55（cm）；
如图3，同法可求AC1=52+(2+6)2=89（cm）；
∵85＜89＜55，
∴最短路径的长度为85cm，
故选：B．
【点评】本题考查了平面展开﹣最短路线问题和勾股定理的应用，本题具有一定的代表性，是一道比较好的题目，注意：要分类讨论．
【变式4-1】如图，在长方体透明容器（无盖）内的点B处有一滴糖浆，容器外A点处的蚂蚁想沿容器壁爬到容器内吃糖浆，已知容器长为5cm，宽为3cm，高为4cm，点A距底部1cm，请问蚂蚁需爬行的最短距离是（容器壁厚度不计）（ ）
A．317cmB．10cmC．55cmD．113cm
【分析】将容器侧面展开，建立A关于EF的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B的长度即为所求．
【解答】解：将容器的侧面展开，如图所示：
作A关于EF的对称点A′，连接A′B，则A′B即为最短距离，
由题意得：EC＝4cm，AC＝1cm，BC＝5+3＝8（cm），
∴AE＝A′E＝EC﹣AC＝4﹣1＝3（cm），
∴A′C＝A′E+EC＝3+4＝7（cm），
由勾股定理得：A′BA'C2+BC2=72+82=113（cm）．
故选：D．
【点评】本题考查了平面展开-最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力．
【变式4-2】如图，长方体的底面长和宽分别为4cm和2cm，高为5cm．若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路径长为 cm．
【分析】要求长方体表面两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将长方体侧面展开；接下来利用“两点之间，线段最短”以及直角三角形勾股定理来解答即可．
【解答】解：根据题意，画出侧面展开图．
∵PA＝2×（4+2）＝12，QA＝5，
∴PQ=52+122=13（cm）．
故蚂蚁爬行的最短路径长为13cm．
故答案为：13．
【点评】本题主要考查两点之间线段最短，以及如何把立体图形转化成平面图形．
【变式4-3】边长分别为4cm，3cm两正方体如图放置，点P在E1F1上，且E1P=13E1F1，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点P，需要爬行的最短距离是 cm．
【分析】求出两种展开图PA的值，比较即可判断；
【解答】解：如图，有两种展开方法：
方法一：PA=72+42=65cm，
方法二：PA=82+32=73cm．
故需要爬行的最短距离是65cm．
【点评】本题考查平面展开-最短问题，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
【变式4-4】（2022秋•安岳县期末）如图所示，ABCD是长方形地面，长AB＝10m，宽AD＝5m，中间竖有一堵砖墙高MN＝1m．一只蚂蚱从A点爬到C点，它必须翻过中间那堵墙，则它至少要走 m的路程．
【分析】连接AC，利用勾股定理求出AC的长，再把中间的墙平面展开，使原来的矩形长度增加而宽度不变，求出新矩形的对角线长即可．
【解答】1解：如图所示，将图展开，图形长度增加2MN，
原图长度增加2米，则AB＝10+2＝12m，
连接AC，
∵四边形ABCD是长方形，AB＝12m，宽AD＝5m，
∴AC=AB2+BC2=122+52=13m，
∴蚂蚱从A点爬到C点，它至少要走13m的路程．
故答案为：13．
【点评】本题考查的是平面展开最短路线问题及勾股定理，根据题意画出图形是解答此题的关键．
【变式4-5】在一个长为8分米，宽为5分米，高为7分米的长方体上，截去一个长为6分米，宽为5分米，深为2分米的长方体后，得到一个如图所示的几何体．一只蚂蚁要从该几何体的顶点A处，沿着几何体的表面到几何体上和A相对的顶点B处吃食物，求它需要爬行的最短路径的长．
【分析】将长方体展成平面图形，根据两点之间线段最短即可确定蚂蚁爬行的最短路线为AB，利用勾股定理求出AB的长度即可．
【解答】解：情形1：平面展开图所示，
AB=(1+2+6+2+1)2+52=13（分米）．
情形2：平面展开图如图所示：
AB=102+72=149（分米），
∵149＜13，
答：它需要爬行的最短路径的长是149分米．
【点评】本题考查的是平面展开路径问题，勾股定理等知识，解题的关键是明确蚂蚁爬行的不同路线．
【变式4-6】（2021春•封开县期末）如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为9、3和1，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物．则这只蚂蚁沿着台阶面爬行的最短路程是（ ）
A．18B．15C．12D．8
【分析】此类题目只需要将其展开便可直观的得出解题思路．将台阶展开得到的是一个矩形，蚂蚁要从B点到A点的最短距离，便是矩形的对角线，利用勾股定理即可解出答案．
【解答】解：将台阶展开，如图，
因为AC＝3×3+1×3＝12，BC＝9，
所以AB2＝AC2+BC2＝225，
所以AB＝15，
所以蚂蚁爬行的最短线路为15．
故选：B．
【点评】本题考查了平面展开﹣最短路径问题，用到台阶的平面展开图，根据题意判断出长方形的长和宽是解题的关键．
【变式4-7】（2022秋•南海区期中）如图，一个长方体形的木柜放在墙角处（与墙面和地面均没有缝隙），有一只蚂蚁从柜角A处沿着木柜表面爬到柜角C1处，若AB＝3，BC＝4，CC1＝5；
（1）请你在下面网格（每个小正方形边长为1）中，画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径；
（2）求蚂蚁爬过的最短路径的长；
（3）我们发现，“用不同的方式表示同一图形的面积”可以解决计算线段的有关问题，这种方法称为“面积法”．请“面积法”求点B1到最短路径的距离．
【分析】（1）有两种方案，分别画出图形即可；
（2）求出两种方案中AC1的长，可得结论；
（3）利用面积法求解即可．
【解答】解：（1）有两个方案：如图所示，
（2）方案一中，AC1=32+92=310，
方案二中，AC1=72+52=74，
∴74＜310，
∴蚂蚁爬过的最短路径的长为74；
（3）方案二中，设AC1交BB1于点E，过点B1作B1F⊥AC1于点F．
∵AB∥B1C1，
∴B1EEB=C1EAE=B1C1AB=43，
∴B1E=47×5=207，C1E=47×74=4747，
∵12×B1C1×EB1=12×B1F×EC2，
∴B1F=4×2074747=107437．
∴点B1到最短路径的距离是107437．
【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，最短问题等知识，解题的关键是学会把立体几何问题转化为平面几何问题．
【变式4-8】如图所示的长方体透明玻璃鱼缸，假设其长AD＝80cm，高AB＝60cm，水深AE＝40cm．在水面上紧贴内壁G处有一块面包屑，G在水面线EF上，且EG＝60cm，一只蚂蚁想从鱼缸外的A点沿鱼缸壁爬进鱼缸内的G处吃面包屑．则蚂蚁爬行的最短路线为 cm．
【分析】作出A关于BC的对称点A′，连接A′G，与BC交于点Q，此时AQ+QG最短；A′G为直角△A′EG的斜边，根据勾股定理求解即可．
【解答】解：如图所示作点A关于BC的对称点A′，连接A′G交BC与点Q，小虫沿着A→Q→G的路线爬行时路程最短．
在直角△A′EG中，A′E＝80cm，EG＝60cm，
∴AQ+QG＝A′Q+QG＝A′G=A'E2+EG2=100cm．
∴最短路线长为100cm．
故答案为：100．
【点评】本题考查最短路径问题，关键知道两点之间线段最短，从而可找到路径求出解．
【变式4-9】（2022春•新市区校级期中）如图1，长方体的底面边长分别为3m和2m，高为1m，在盒子里，可以放入最长为 m的木棒；
（2）如图2，在与（1）相同的长方体中，如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点C，那么所用细线最短需要 m；
（3）如图3，长方体的棱长分别为AB＝BC＝6cm，AA1＝14cm，假设昆虫甲从盒内顶点C1以2厘米/秒的速度在盒子的内部沿棱C1C向下爬行，同时昆虫乙从盒内顶点A以相同的速度在盒壁的侧面上爬行，那么昆虫乙至少需要多长时间才能捕捉昆虫甲？
【分析】（1）根据勾股定理即可得到结论；
（2）将长方体展开，根据两点之间线段最短，可知所用细线最短长度；
（3）利用昆虫是在侧面上爬行，两种爬行路线的最短路径相等，利用勾股定理求出即可．
【解答】解：（1）可以放入最长为32+22+12=14（m）的木棒；
故答案为：14；
（2）如图所示：将长方体展开，连接AC，
∴AC=(3+2+3+2)2+12=101（m）．
故答案为：101；
（3）因为昆虫是在侧面上爬行，可以看出，下面两图的最短路径相等，
设昆虫甲从顶点C1沿棱C1C向顶点C爬行的同时，昆虫乙从顶点A按路径A→E→F，
爬行捕捉到昆虫甲需x秒钟，如图1在Rt△ACF中，
（2x）2＝122+（14﹣2x）2，
解得：x=8514．
答：昆虫乙至少需要8514秒钟才能捕捉到昆虫甲．
【点评】此题主要考查了平面展开-最短路径问题以及三角形的相似等知识，立体图形中的最短距离，通常要转换为平面图形的两点间的线段长来进行解决，最短路径问题利用平面展开图分别求出是解决问题的关键．
题型五 用展开图求圆柱体的最短问题
【例题5】（2022秋•惠济区校级期末）一只蚂蚁从圆柱体的下底面A点沿着侧面爬到上底面B点，已知圆柱的底面周长为12cm，高为8cm，则蚂蚁所走过的最短路径是 cm．
【分析】将圆柱体展开，利用勾股定理进行求解即可．
【解答】解：如图，线段AB即为所求，
由题意得：∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，
∴AB=AC2+BC2=62+82=10（cm）；
即蚂蚁走过的最短路径为：10cm；
故答案为：10．
【点评】本题考查勾股定理的应用．解题的关键是将立体图形展开为平面图形，利用勾股定理求最短路径．
【变式5-1】（2022秋•城阳区期中）如图，一个圆柱形水杯，底面直径为8cm，高为9cm，则一只小虫从下底点A处爬到上底B处，则小虫所爬的最短路径长是（π取3） cm．
【分析】先将圆柱的侧面展开为一矩形，而矩形的长就是地面周长的一半，高就是圆柱的高，再根据勾股定理就可以求出其值．
【解答】解：展开圆柱的侧面如图，根据两点之间线段最短就可以得知AB最短．
由题意，得AC=12×3×6＝12，
在Rt△ABC中，由勾股定理，得
AB=AC2+BC2=122+92=15（cm）．
故答案为：15．
【点评】本题考查了圆柱侧面展开图的运用，两点之间线段最短的运用，勾股定理的运用．在解答时将圆柱的侧面展开式关键．
【变式5-2】（2022秋•烟台期末）我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高三丈，周八尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为3丈，底面周长为8尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B处，则问题中葛藤的最短长度是 丈．
【分析】根据题意画出图形，在Rt△ABC中，再根据勾股定理求解即可．
【解答】解：如图所示：AB表示葛藤的最短长度，
由题意可知：BC＝3（丈），AC＝8×5÷10＝4（丈），
在Rt△ABC中，AB=AC2+BC2=32+42=5（丈）．
故答案为：5．
【点评】本题考查了平面展开—最短路径问题，能够根据题意画出图形，构造直角三角形是解题的关键．
【变式5-3】国庆节期间，重庆南开中学用彩灯带装饰了艺术楼大厅的所有圆柱形柱子．为了美观，每根柱子的彩灯带需要从A点沿柱子表面缠绕两周到其正上方的B点，如图所示，若每根柱子的底面周长均为2米，高均为3米，则每根柱子所用彩灯带的最短长度为（ ）
A．7米B．11米C．13米D．5米
【分析】要求彩带的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，借助于勾股定理．
【解答】解：将圆柱表面切开展开呈长方形，
则彩灯带长为2个长方形的对角线长，
∵圆柱高3米，底面周长2米，
∴AC2＝22+1.52＝6.25，
∴AC＝2.5（米），
∴每根柱子所用彩灯带的最短长度为5m．
故选：D．
【点评】本题考查了平面展开-最短路线问题，勾股定理的应用．圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，高等于圆柱的高，本题就是把圆柱的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．
【变式5-4】（2022秋•高新区校级期末）如图，圆柱底面半径为2πcm，高为9cm，点A，B分别是圆柱两底面圆周上的点，且A，B在同一条竖直直线上，用一根棉线从A点顺着圆柱侧面绕3圈到B点，则这根棉线的长度最短为 cm．
【分析】要求圆柱体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将圆柱体展开，然后利用两点之间线段最短解答．
【解答】解：圆柱体的展开图如图所示：用一棉线从A顺着圆柱侧面绕3圈到B的运动最短路线是：AC→CD→DB；
即在圆柱体的展开图长方形中，将长方形平均分成3个小长方形，A沿着3个长方形的对角线运动到B的路线最短；
∵圆柱底面半径为2πcm，
∴长方形的宽即是圆柱体的底面周长：2π×2π=4（cm）；
又∵圆柱高为9cm，
∴小长方形的一条边长是3cm；
根据勾股定理求得AC＝CD＝DB=32+42=5（cm）；
∴AC+CD+DB＝15（cm）；
故答案为：15．
【点评】本题主要考查了平面展开﹣﹣路径最短问题．圆柱的侧面展开图是一个长方形，此长方形的宽等于圆柱底面周长，长方形的长等于圆柱的高．本题就是把圆柱的侧面展开成长方形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．
【变式5-5】如图，这是一个供滑板爱好者使用的U型池的示意图，该U型池可以看成是长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是直径为32πm的半圆，其边缘AB＝CD＝15m，点E在CD上，CE＝3m，一滑板爱好者从A点滑到E点，则他滑行的最短距离约为 m．（边缘部分的厚度忽略不计）
【分析】要求滑行的最短距离，需将该U型池的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果．
【解答】解：如图是其侧面展开图：AD=12×π×32π=16m，AB＝CD＝15m．DE＝CD﹣CE＝15﹣3＝12（m），
在Rt△ADE中，AE=AD2+DE2=162+122=20（m）．
故他滑行的最短距离约为20m．
故答案为：20．
【变式5-6】如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3cm的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是（ ）
A．13cmB．14cmC．15cmD．16cm
【分析】将圆柱侧面展开再进行点标注，此时长方形的长为圆柱底面周长的一半，如图，作A关于EF的对称点A′，连接A′B，根据两点之间，线段最短可知A′B的长度即为所求；接下来结合已知数据，根据勾股定理相信你可以求出A′B的长了．
【解答】解：如图：
∵高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，
此时蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿3cm与饭粒相对的点A处，
∴A′D＝5（cm），BD＝12﹣3+AE＝12（cm），
∴将容器侧面展开，作A关于EF的对称点A′，
连接A′B，则A′B即为最短距离，
A′B=A′D2+BD2=52+122=13（cm）．
故选：A．
【点评】本题考查了平面展开﹣最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力．
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