人教版八年级数学下册同步精讲精练专题直角三角形斜边上的中线的运用(原卷版+解析)

这是一份人教版八年级数学下册同步精讲精练专题直角三角形斜边上的中线的运用(原卷版+解析)，共45页。


题型一 利用直角三角形斜边上的中线求线段长
【例题1】（2022春•镇江期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E，F分别为AB，AC，BC的中点．若CD＝5，则EF的长为 ．
【变式1-1】如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，E是AC的中点．若DE＝3，则AB的长为 ．
【变式1-2】（2022秋•海口期末）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，BD⊥AD于点D，过点D作DE∥AC，交AB于点E，若AB＝6，则DE的长为（ ）
A．2.5B．3C．3.5D．4
【变式1-3】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为AB边上的高，CE为AB边上的中线，AD＝2，CE＝5，则CD＝（ ）
A．2B．3C．4D．23
【变式1-4】如图，在△ABC中，D是BC上一点，AB＝AD，E、F分别是AC、BD的中点，EF＝2，则AC的长是（ ）
A．3B．4C．5D．6
【变式1-5】（2022秋•工业园区校级期中）如图∠ADB＝∠ACB＝90°，E、F分别是AB、CD的中点，若AB＝26，CD＝24，则△DEF的周长为（ ）
A．12B．30C．27D．32
【变式1-6】（2022春•南岗区校级期中）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，过点D作AB的垂线，交BC于E，连接CD，AE，CD＝4，AE＝5，则AC＝（ ）
A．3B．245C．5D．247
【变式1-7】（2021•饶平县校级模拟）如图，在三角形ABC中，AB＝AC，BC＝6，三角形DEF的周长是7，AF⊥BC于F，BE⊥AC于E，且点D是AB的中点，则AF＝（ ）
A．5B．7C．3D．7
【变式1-8】如图，在△ABC中，CF⊥AB于F，BE⊥AC于E，M为BC的中点，EF＝7，BC＝10，则△EFM的周长是（ ）
A．17B．21C．24D．27
题型二 利用直角三角形斜边上的中线求角度
【例题2】（2022秋•莲湖区期中）如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝62°，CD⊥AB，垂足为D，点E是BC的中点，连接ED，则∠EDB的度数是 ．
【变式2-1】如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的中线，ED⊥BC于D，交BA延长线于点E，若∠E＝35°，则∠BDA的度数是 ．
【变式2-2】（2022秋•仓山区校级期末）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，E为对角线AC的中点，连接BE，ED，BD，若∠BAD＝52°，则∠EBD＝ °．
【变式2-3】（2022•碑林区校级模拟）如图，△ABC中，CD⊥AB，垂足为D，E为BC边的中点，AB＝4，AC＝2，DE=3，则∠ACD＝（ ）
A．15°B．30°C．22.5°D．45°
【变式2-4】（2021秋•潍坊期末）如图，四边形ABCD中，∠ADC＝∠ABC＝90°，E为对角线AC的中点，∠DAC＝30°，∠CAB＝40°，连结BE，DE，BD，则∠BDE＝ 度．
【变式2-5】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，∠ACD＝3∠BCD，E是斜边AB的中点，∠ECD是 度．
【变式2-6】（2021秋•温州期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°．以AB长为一边作△ABD，且AD＝BD，∠ADB＝90°，取AB中点E，连DE、CE、CD．则∠EDC＝ °．
【变式2-7】如图，在四边形ABCD中，∠BCD＝∠BAD＝90°，AC，BD相交于点E，点G，H分别是AC，BD的中点，若∠BEC＝80°，那么∠GHE等于（ ）
A．5°B．10°C．20°D．30°
【变式2-8】（2022秋•市中区校级月考）如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，O为AB的中点，点E在BC上，且CE＝AC，∠BAE＝15°，求∠COE的度数．
题型三 利用直角三角形斜边上的中线性质证明
【例题3】如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，M、N分别是AC、BD的中点，试说明：
（1）MD＝MB；
（2）MN⊥BD．
【变式3-1】（2022春•零陵区校级期中）如图，△ABC中，BE平分∠ABC，BE⊥AF于F，D为AB中点，请说明DF∥BC的理由．
【变式3-2】（2021秋•虹口区校级期末）如图，已知△ABC的高BD、CE相交于点O，M、N分别是BC、AO的中点，求证：MN垂直平分DE．
【变式3-3】如图，△ABC中，AD是边BC上的高，CF是边AB上的中线，DC＝BF，点E是CF的中点．
（1）求证：DE⊥CF；
（2）求证：∠B＝2∠BCF．
【变式3-4】如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是中线，E是AD中点，过A作AF∥BC交BE的延长线于点F，连接CF．
（1）求证：AD＝AF；
（2）如果AB＝AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．
【变式3-5】在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD为∠ABC的角平分线，F为AC的中点，AE∥BC交BD的延长线于点E，其中∠FBC＝2∠FBD．
（1）求∠EDC的度数．
（2）求证：BF＝AE．
【变式3-6】已知，如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点E在AC上，AB=12DE，AD∥BC．
求证：∠CBA＝3∠CBE．
【变式3-7】如图，已知四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，点E是AC中点，点F是BD中点．
（1）求证：EF⊥BD；
（2）过点D作DH⊥AC于H点，如果BD平分∠HDE，求证：BA＝BC．
【变式3-8】（2021•安顺模拟）如图，在△ABC中，点D在AB上，且CD＝CB，E为BD的中点，F为AC的中点，连接EF交CD于点M，连接AM．
（1）求证：EF=12AC；
（2）若EF⊥AC，求证：AM+DM＝CB．
【变式3-9】（2022秋•宿城区期中）如图，在锐角三角形ABC中，CD，BE分别是AB，AC边上的高，M，N分别是线段BC，DE的中点．
（1）求证：MN⊥DE．
（2）连接DM，ME，猜想∠A与∠DME之间的关系，并证明你的猜想．
（3）当∠BAC变为钝角时，如图②，上述（1）（2）中的结论是否都成立？若成立，直接回答，不需证明；若不成立，请说明理由．
题型四 三角形中位线与直角三角形斜边上的中线综合应用证明角关系
【例题4】（2022秋•平昌县期末）如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC的中点，点F在DE上，且AF⊥CF，若AC＝3，BC＝6，则DF的长为（ ）
A．1.5B．1C．0.5D．2
【变式4-1】（2022春•南岗区校级期中）如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，连接ED，F是ED延长线上一点，连接AF、CF，若∠AFC＝90°，DF＝1，AC＝6，则BC的长度为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【变式4-2】（2022•金乡县三模）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的高，E、F分别是AB、AC边的中点，若AB＝8，AC＝6，则△DEF的周长为 ．
【变式4-3】如图，△ABC的周长为16，G、H分别为AB、AC的中点，分别以AB、AC为斜边向外作Rt△ADB和Rt△AEC，连接DG、GH、EH，则DG+GH+EH的值为（ ）
A．6B．7C．8D．9
【变式4-4】（2022春•大足区期末）如图，在Rt△ABC中∠ACB＝90°，∠A＝30°，点D，E分别是边AB，AC的中点，延长BC到点F，使CF=12BC，若EF＝2，则DE的长为（ ）
A．2B．1C．3D．3+1
【变式4-5】（2021春•赣榆区期中）如图，在△ABC中，E、F分别是AB、AC的中点，延长EF交△ABC的外角∠ACD的平分线于点G．AG与CG有怎样的位置关系？证明你的结论．
【变式4-6】（2022春•海淀区校级期中）如图，在△ABC中，点D，点E分别是边AC，AB的中点，点F在线段DE上，AF＝5，BF＝12，AB＝13，BC＝19，求DF的长度．
【变式4-7】（2022春•徐州期中）已知：如图，在△ABC中，D、E、F分别是各边的中点，AH是高．
（1）求证：DH＝EF；
（2）求证：∠DHF＝∠DEF．
【变式4-8】（2021春•罗湖区校级期末）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AC＝AD，M，N分别为AC，CD的中点，连接BM，MN，BN．
（1）求证：BM＝MN；
（2）若∠BAD＝60°，AC平分∠BAD，AC＝2，写出求BN长的思路．
八年级下册数学《第十八章 平行四边形》
专题 直角三角形斜边上的中线的运用
题型一 利用直角三角形斜边上的中线求线段长
【例题1】（2022春•镇江期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E，F分别为AB，AC，BC的中点．若CD＝5，则EF的长为 ．
【分析】已知CD是Rt△ABC斜边AB的中线，那么AB＝2CD；EF是△ABC的中位线，则EF应等于AB的一半．
【解答】解：∵△ABC是直角三角形，CD是斜边的中线，
∴CD=12AB，
又∵EF是△ABC的中位线，
∴AB＝2CD＝2×5＝10cm，
∴EF=12×10＝5cm．
故答案为：5．
【点评】此题主要考查了三角形中位线定理以及直角三角形斜边上的中线等知识，用到的知识点为：（1）直角三角形斜边的中线等于斜边的一半；（2）三角形的中位线等于对应边的一半．
【变式1-1】如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，E是AC的中点．若DE＝3，则AB的长为 ．
【分析】根据垂线的性质推知△ADC是直角三角形；然后在直角三角形ADC中，利用直角三角形斜边上的中线是斜边的一半，求得AC＝6；最后由等腰三角形ABC的两腰AB＝AC，求得AB＝6．
【解答】解：∵在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，
∴△ADC是直角三角形；
∵E是AC的中点．
∴DE=12AC（直角三角形的斜边上的中线是斜边的一半），
又∵DE＝3，AB＝AC，
∴AB＝6，
故答案为：6．
【点评】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线、等腰三角形的性质，熟记直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
【变式1-2】（2022秋•海口期末）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，BD⊥AD于点D，过点D作DE∥AC，交AB于点E，若AB＝6，则DE的长为（ ）
A．2.5B．3C．3.5D．4
【分析】求出∠CAD＝∠BAD＝∠EDA，推出AE＝DE，求出∠ABD＝∠EDB，推出BE＝DE，求出AE＝BE，根据直角三角形斜边上中线性质求出即可．
【解答】解：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵DE∥AC，
∴∠CAD＝∠ADE，
∴∠BAD＝∠ADE，
∴AE＝DE，
∵AD⊥DB，
∴∠ADB＝90°，
∴∠EAD+∠ABD＝90°，∠ADE+∠BDE＝∠ADB＝90°．
∴∠ABD＝∠BDE．
∴DE＝BE．
∵AB＝6，
∴DE＝BE＝AE=12AB＝3，
故选：B．
【点评】该题主要考查了等腰三角形的判定与性质、直角三角形的性质、平行线的性质等几何知识点的应用问题；灵活运用有关定理来分析、判断是解题的关键．
【变式1-3】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为AB边上的高，CE为AB边上的中线，AD＝2，CE＝5，则CD＝（ ）
A．2B．3C．4D．23
【分析】根据直角三角形的性质得出AE＝CE＝5，进而得出DE＝3，利用勾股定理解答即可．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CE为AB边上的中线，CE＝5，
∴AE＝CE＝5，
∵AD＝2，
∴DE＝3，
∵CD为AB边上的高，
∴在Rt△CDE中，CD=CE2−DE2=52−32=4，
故选：C．
【点评】此题考查直角三角形的性质，关键是根据直角三角形的性质得出AE＝CE＝5．
【变式1-4】如图，在△ABC中，D是BC上一点，AB＝AD，E、F分别是AC、BD的中点，EF＝2，则AC的长是（ ）
A．3B．4C．5D．6
【分析】连接AF．由AB＝AD，F是BD的中点，根据等腰三角形三线合一的性质得出AF⊥BD．再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得AC＝2EF＝4．
【解答】解：如图，连接AF．
∵AB＝AD，F是BD的中点，
∴AF⊥BD．
∵在Rt△ACF中，∠AFC＝90°，E是AC的中点，EF＝2，
∴AC＝2EF＝4．
故选：B．
【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线的性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．利用等腰三角形三线合一的性质得出AF⊥BD是解题的关键．
【变式1-5】（2022秋•工业园区校级期中）如图∠ADB＝∠ACB＝90°，E、F分别是AB、CD的中点，若AB＝26，CD＝24，则△DEF的周长为（ ）
A．12B．30C．27D．32
【分析】先根据直角三角形的性质求出DF与CF的长，再由等腰三角形的性质求出DE的长，根据勾股定理求出EF的长，进而可得出结论．
【解答】解：∵ADB＝∠ACB＝90°，F是AB的中点，AB＝26，
∴DF＝CF=12AB=12×26＝13，
∴△CDF是等腰三角形．
∵点E是CD的中点，CD＝24，
∴EF⊥CD，DE=12CD＝12．
在Rt△DEF中，DE=DF2−DE2=132−122=5，
∴△DEF的周长为：DF+DE+EF＝13+12+5＝30．
故选：B．
【点评】本题考查的是直角三角形斜边上的中线，熟知在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
【变式1-6】（2022春•南岗区校级期中）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，过点D作AB的垂线，交BC于E，连接CD，AE，CD＝4，AE＝5，则AC＝（ ）
A．3B．245C．5D．247
【分析】由直角三角形斜边上的中线可求AB＝8，根据线段垂直平分线的性质可得BE＝AE＝5，再利用勾股定理求得CE的长，进而可求解AC的长．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，D是AB的中点，CD＝4，
∴AB＝2CD＝8，
∵ED⊥AB，
∴DE垂直平分AB，
∴BE＝AE＝5，
∵AC2＝AE2﹣CE2＝AB2﹣BC2，
∴52﹣CE2＝82﹣（5+CE）2，
解得CE＝1.4，
∴AC=52−1．42=245．
故选：B．
【点评】本题主要考查直角三角形斜边上的中线，线段垂直平分线的性质与判定，勾股定理，掌握勾股定理是解题的关键．
【变式1-7】（2021•饶平县校级模拟）如图，在三角形ABC中，AB＝AC，BC＝6，三角形DEF的周长是7，AF⊥BC于F，BE⊥AC于E，且点D是AB的中点，则AF＝（ ）
A．5B．7C．3D．7
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DE＝DF=12AB，EF=12BC，然后代入数据计算即可得解．
【解答】解：∵AF⊥BC，BE⊥AC，D是AB的中点，
∴DE＝DF=12AB，
∵AB＝AC，AF⊥BC，
∴点F是BC的中点，∴BF＝FC＝3，
∵BE⊥AC，
∴EF=12BC＝3，
∴△DEF的周长＝DE+DF+EF＝AB+3＝7，
∴AB＝4，
由勾股定理知 AF=AB2−BF2=7，
故选：B．
【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形三线合一的性质，熟记各性质是解题的关键．
【变式1-8】如图，在△ABC中，CF⊥AB于F，BE⊥AC于E，M为BC的中点，EF＝7，BC＝10，则△EFM的周长是（ ）
A．17B．21C．24D．27
【分析】根据CF⊥AB于F，BE⊥AC于E，M为BC的中点，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，求出FM和ME的长，即可求解．
【解答】解：∵CF⊥AB，M为BC的中点，
∴MF是Rt△BFC斜边上的中线，
∴FM=12BC=12×10＝5，
同理可得，ME=12BC=12×10＝5，
又∵EF＝7，
∴△EFM的周长＝EF+ME+FM＝7+5+5＝17．
故选：A．
【点评】此题主要考查学生对直角三角形斜边上的中线这个知识点的理解和掌握，解答此题的关键是利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，求出FM和ME的长．
题型二 利用直角三角形斜边上的中线求角度
【例题2】（2022秋•莲湖区期中）如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝62°，CD⊥AB，垂足为D，点E是BC的中点，连接ED，则∠EDB的度数是 ．
【分析】先利用直角三角形的两个锐角互余可得∠B＝28°，然后利用直角三角形斜边上的中线性质可得ED＝EB，从而利用等腰三角形的性质即可解答．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠A＝62°，
∴∠B＝90°﹣∠A＝28°，
∵CD⊥AB，
∴∠CDB＝90°，
∵点E是BC的中点，
∴ED＝EB=12BC，
∴∠EDB＝∠B＝28°，
故答案为：28°．
【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线，熟练掌握直角三角形斜边上的中线性质是解题的关键．
【变式2-1】如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的中线，ED⊥BC于D，交BA延长线于点E，若∠E＝35°，则∠BDA的度数是 ．
【分析】根据直角三角形的性质得到DA＝DB，根据三角形内角和定理计算即可．
【解答】解：∵∠E＝35°，ED⊥BC，
∴∠B＝55°
∵∠BAC＝90°，AD是BC边上的中线，
∴DA＝DB，
∴∠B＝∠DAB＝55°，
∴∠BDA＝180°﹣55°﹣55°＝70°．
故答案为：70°．
【点评】本题考查的是直角三角形的性质，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
【变式2-2】（2022秋•仓山区校级期末）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，E为对角线AC的中点，连接BE，ED，BD，若∠BAD＝52°，则∠EBD＝ °．
【分析】根据已知条件可以判断EA＝EB＝EC＝DE，根据三角形外角定理可得到：∠DEC＝∠DAE+∠ADE＝2∠DAE，同理∠BEC＝2∠BAE，∠DEB＝2∠DAE+2∠BAE＝2∠DAB＝104°，在等腰三角形BED中，已知顶角，即可求出底角∠EBD的度数．
【解答】解：∵∠ABC＝∠ADC＝90°，
∴EA＝EB＝EC＝DE，
∴∠DAE＝∠EDA，∠BAE＝∠EBA，
在△AED中，∠DEC＝∠DAE+∠ADE＝2∠DAE，
同理可得到：∠BEC＝2∠BAE，∠DEB＝∠DEC+∠BEC＝2∠DAE+2∠BAE＝2（∠DAE+∠BAE）＝2×52°＝104°，
在等腰三角形BED中，∠EBD=12×(180°−104°)=38°；
故答案是：38．
【点评】本题考查了直角三角形斜边中线定理和三角形外角定理的运用，掌握基本定理是解题的关键．
【变式2-3】（2022•碑林区校级模拟）如图，△ABC中，CD⊥AB，垂足为D，E为BC边的中点，AB＝4，AC＝2，DE=3，则∠ACD＝（ ）
A．15°B．30°C．22.5°D．45°
【分析】先根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出BC＝2DE＝23，再利用勾股定理的逆定理得出∠ACB＝90°，由AB＝2AC可求解∠ABC＝30°，然后根据同角的余角相等即可得出∠ACD＝∠ABC即可求解．
【解答】解：∵CD⊥AB，E为BC边的中点，DE=3，
∴BC＝2DE＝23，
∵AB＝4，AC＝2，
∴AC2+BC2＝4+12＝16＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°，且∠ABC＝30°，
∴∠ACD+∠BCD＝90°，
∵∠ABC+∠BCD＝90°，
∴∠ACD＝∠ABC＝30°．
故选：B．
【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，勾股定理的逆定理，余角的性质，证明△ABC是直角三角形是解题的关键．
【变式2-4】（2021秋•潍坊期末）如图，四边形ABCD中，∠ADC＝∠ABC＝90°，E为对角线AC的中点，∠DAC＝30°，∠CAB＝40°，连结BE，DE，BD，则∠BDE＝ 度．
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AE＝BE＝DE=12AC，根据等腰三角形的性质以及三角形外角的性质求得∠BEC＝80°，∠CED＝60°，那么∠BED＝140°，然后在等腰△BDE中即可求出底角∠BDE的度数．
【解答】解：∵∠ADC＝∠ABC＝90°，E为对角线AC的中点，
∴AE＝BE＝DE=12AC，
∴∠ABE＝∠CAB＝40°，∠ADE＝∠DAC＝30°，
∴∠BEC＝∠ABE+∠CAB＝80°，∠CED＝∠ADE+∠DAC＝60°，
∴∠BED＝∠BEC+∠CED＝140°．
∵BE＝DE，
∴∠BDE＝∠DBE=180°−∠BED2=20°．
故答案为：20．
【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，熟记各性质并准确识图是解题的关键．
【变式2-5】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，∠ACD＝3∠BCD，E是斜边AB的中点，∠ECD是 度．
【分析】先求出∠BCD和∠ACD，再根据直角三角形两锐角互余求出∠B，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得CE＝BE，根据等边对等角可得∠BCE＝∠B，再求出∠ECD＝45°．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠ACD＝3∠BCD，
∴∠BCD＝90°×11+3=22.5°，
∠ACD＝90°×31+3=67.5°，
∵CD⊥AB，
∴∠B＝90°﹣22.5°＝67.5°，
∵E是AB的中点，∠ACB＝90°，
∴CE＝BE，
∴∠BCE＝∠B＝67.5°，
∴∠ECD＝∠BCE﹣∠BCD＝67.5°﹣22.5°＝45°，
故答案为：45．
【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形的性质，熟记性质并准确识图，理清图中各角度之间的关系是解题的关键．
【变式2-6】（2021秋•温州期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°．以AB长为一边作△ABD，且AD＝BD，∠ADB＝90°，取AB中点E，连DE、CE、CD．则∠EDC＝ °．
【分析】根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半得到EC＝EA＝EB=12AB，根据三角形的外角的性质求出∠CEB＝60°，根据直角三角形的性质得到ED＝EC，根据三角形内角和定理计算即可．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，点E是AB中点，
∴EC＝EA＝EB=12AB，
∴∠ECA＝∠CAB＝30°，
∴∠CEB＝60°，
∵AD＝BD，点E是AB中点，
∴DE⊥AB，即∠AED＝90°，
∴∠DEC＝180°﹣90°﹣60°＝30°，
∵∠ADB＝90°，点E是AB中点，
∴DE=12AB，
∴ED＝EC，
∴∠EDC＝75°，
故答案为：75．
【点评】本题考查的是直角三角形的性质、等腰三角形的性质，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半、等腰三角形的三线合一是解题的关键．
【变式2-7】如图，在四边形ABCD中，∠BCD＝∠BAD＝90°，AC，BD相交于点E，点G，H分别是AC，BD的中点，若∠BEC＝80°，那么∠GHE等于（ ）
A．5°B．10°C．20°D．30°
【分析】连接AH，CH，根据在四边形ABCD中，∠BCD＝∠BAD＝90°，H是BD的中点可知AH＝CH=12BD，再由点G时AC的中点可知HG是线段AC的垂直平分线，故∠EGH＝90°，再由对顶角相等可知∠GEH＝∠BEC＝80°，由直角三角形的性质即可得出结论．
【解答】解：连接AH，CH，
∵在四边形ABCD中，∠BCD＝∠BAD＝90°，H是BD的中点，
∴AH＝CH=12BD．
∵点G时AC的中点，
∴HG是线段AC的垂直平分线，
∴∠EGH＝90°．
∵∠BEC＝80°，
∴∠GEH＝∠BEC＝80°，
∴∠GHE＝90°﹣80°＝10°．
故选：B．
【点评】本题考查的是直角三角形斜边上的中线，熟知在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解答此题的关键．
【变式2-8】（2022秋•市中区校级月考）如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，O为AB的中点，点E在BC上，且CE＝AC，∠BAE＝15°，求∠COE的度数．
【分析】根据等腰直角三角形的性质得到∠CAE＝∠AEC＝45°，求得∠CAB＝60°，得到∠B＝30°，根据直角三角形的性质得到CO＝BO＝AO=12AB，得到△AOC是等边三角形，∠OCB＝∠B＝30°，于是得到结论．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，CE＝AC，
∴∠CAE＝∠AEC＝45°，
∵∠BAE＝15°，
∴∠CAB＝60°，
∴∠B＝30°，
∵∠ACB＝90°，O为AB的中点，
∴CO＝BO＝AO=12AB，
∴△AOC是等边三角形，∠OCB＝∠B＝30°，
∴AC＝OC＝CE，
∴∠COE＝∠CEO=12×（180°﹣30°）＝75°．
【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．
题型三 利用直角三角形斜边上的中线性质证明
【例题3】如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，M、N分别是AC、BD的中点，试说明：
（1）MD＝MB；
（2）MN⊥BD．
【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，以及等边对等角的性质即可证明；
（2）根据等腰三角形的三线合一证明．
【解答】证明：（1）∵∠ABC＝∠ADC＝90°，M是AC的中点，
∴BM=12AC，DM=12AC，
∴DM＝BM；
（2）由（1）可知DM＝BM，
∵N是BD的中点，
∴MN⊥BD．
【点评】此题主要是运用了直角三角形的性质以及等腰三角形的性质，题目难度不大．
【变式3-1】（2022春•零陵区校级期中）如图，△ABC中，BE平分∠ABC，BE⊥AF于F，D为AB中点，请说明DF∥BC的理由．
【分析】根据在直角三角形中斜边上的中线是斜边的一半得，BD＝DF，∠DFB＝∠DBF，根据角的平分线的定义知∠FBC＝∠FBD，∴∠DFB＝∠FBC，再根据内错角相等两直线平行得DF∥BC．
【解答】解：∵在直角△AFB中，点D是斜边上的中点，
∴DF＝BD=12AB，
∴∠DFB＝∠DBF，
∵BE平分∠ABC，
∴∠FBC＝∠FBD，
∴∠DFB＝∠FBC，
∴DF∥BC．
【点评】本题的关键是明白在直角三角形的性质中斜边上的中线是斜边的一半，角的平分线的定义，平行线的判定中内错角相等，两直线平行．注意等边对等角的运用．
【变式3-2】（2021秋•虹口区校级期末）如图，已知△ABC的高BD、CE相交于点O，M、N分别是BC、AO的中点，求证：MN垂直平分DE．
【分析】连接EN、DN、EM、DM，由BD与CE为三角形ABC的两条高，可得∠AEC＝∠ADB＝∠BEC＝∠BDC＝90°，根据M，N为BC，AO的中点，利用斜边上的中线等于斜边的一半可得EN＝DN，EM＝DM，根据线段垂直平分线的逆定理得到M、N在线段DE的垂直平分线上，得证．
【解答】证明：连接EN、DN、EM、DM，
∵BD⊥AC，CE⊥AB，
∴∠AEC＝∠ADB＝∠BEC＝∠BDC＝90°，
∵M、N是BC、AO的中点，
∴EN=12AO，DN=12AO，EM=12BC，DM=12BC，
∴EN＝DN，EM＝DM，
∴M、N在线段DE的垂直平分线上，
∴MN垂直平分DE．
【点评】此题考查了直角三角形斜边上中线的性质，以及线段垂直平分线的逆定理，利用了转化的思想，其中连接出如图所示的辅助线是解本题的关键．
【变式3-3】如图，△ABC中，AD是边BC上的高，CF是边AB上的中线，DC＝BF，点E是CF的中点．
（1）求证：DE⊥CF；
（2）求证：∠B＝2∠BCF．
【分析】（1）连接DF，根据直角三角形的性质得到DF=12AB＝BF，进而证明DC＝DF，根据等腰三角形的三线合一证明结论；
（2）根据三角形的外角性质得到∠FDB＝2∠DFC，根据等腰三角形的性质证明结论．
【解答】证明：（1）连接DF，
∵AD是边BC上的高，
∴∠ADB＝90°，
∵点F是AB的中点，
∴DF=12AB＝BF，
∵DC＝BF，
∴DC＝DF，
∵点E是CF的中点．
∴DE⊥CF；
（2）∵DC＝DF，
∴∠DFC＝∠DCF，
∴∠FDB＝∠DFC+∠DCF＝2∠DFC，
∵DF＝BF，
∴∠FDB＝∠B，
∴∠B＝2∠BCF．
【点评】本题考查的是直角三角形的性质、等腰三角形的性质，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
【变式3-4】如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是中线，E是AD中点，过A作AF∥BC交BE的延长线于点F，连接CF．
（1）求证：AD＝AF；
（2）如果AB＝AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．
【分析】（1）由E是AD的中点，AF∥BC，易证得△AEF≌△DEB，即可得AF＝BD，又由在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是中线，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，即可证得AD＝BD＝CD=12BC，即可证得：AD＝AF；
（2）当AB＝AC时，四边形ADCF是矩形．由AF＝BD＝DC，AF∥BC，可证得：四边形ADCF是平行四边形，又由AB＝AC，根据三线合一的性质，可得AD⊥BC，AD＝DC，继而可得四边形ADCF是正方形．
【解答】（1）证明：∵AF∥BC，
∴∠EAF＝∠EDB，
∵E是AD的中点，
∴AE＝DE，
在△AEF和△DEB中，∠EAF=∠EDBAE=DE∠AEF=∠DEB，
∴△AEF≌△DEB（ASA），
∴AF＝BD，
∵在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是中线，
∴AD＝BD＝DC=12BC，
∴AD＝AF；
（2）当AB＝AC时，四边形ADCF是正方形．
∵AF＝BD＝DC，AF∥BC，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵AB＝AC，AD是中线，
∴AD⊥BC，
∵AD＝AF，
∴四边形ADCF是正方形．
【点评】此题考查了正方形的判定、平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中．
【变式3-5】在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD为∠ABC的角平分线，F为AC的中点，AE∥BC交BD的延长线于点E，其中∠FBC＝2∠FBD．
（1）求∠EDC的度数．
（2）求证：BF＝AE．
【分析】（1）由角平分线的性质可得∠ABD＝∠DBC＝45°，可求∠FBD＝15°，∠FBC＝30°，由直角三角形的性质可得∠C＝∠FBC＝30°，即可求解；
（2）由直角三角形的性质可得BF＝AB，由平行线的性质和等腰三角形的性质可得AB＝AE，可证BF＝AE．
【解答】解：（1）∵∠ABC＝90°，BD为∠ABC的角平分线，
∴∠ABD＝∠DBC＝45°，
∵∠FBC＝2∠FBD．
∴∠FBD＝15°，∠FBC＝30°，
∵∠ABC＝90°，点F是AC中点，
∴AF＝BF＝CF，
∴∠C＝∠FBC＝30°，
∴∠EDC＝∠C+∠DBC＝75°；
（2）∵∠C＝30°，∠ABC＝90°，
∴AC＝2AB，
∴AB＝AF＝BF，
∵AE∥BC，
∴∠E＝∠DBC＝45°＝∠ABD，
∴AB＝AE，
∴AE＝BF．
【点评】本题考查了直角三角形的性质，角平分线的性质，平行线的性质，灵活运用这些性质是本题的关键．
【变式3-6】已知，如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点E在AC上，AB=12DE，AD∥BC．
求证：∠CBA＝3∠CBE．
【分析】取DE的中点F，连接AF，根据直角三角形的性质求出AF＝DF＝FE=12DE，推出DF＝AF＝AB，根据等腰三角形的性质求出∠D＝∠DAF，∠AFB＝∠ABF，求出∠ABF＝2∠D，∠CBE＝∠D，即可得出答案．
【解答】证明：
取DE的中点F，连接AF，
∵AD∥BC，∠ACB＝90°，
∴∠DAE＝∠ACB＝90°，
∴AF＝DF＝EF=12DE，
∵AB=12DE，
∴DF＝AF＝AB，
∴∠D＝∠DAF，∠AFB＝∠ABF，
∴∠AFB＝∠D+∠DAF＝2∠D，
∴∠ABF＝2∠D，
∵AD∥BC，
∴∠CBE＝∠D，
∴∠CBA＝∠CBE+∠ABF＝3∠CBE．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，平行线的性质，三角形的外角性质的应用，能正确作出辅助线是解此题的关键，难度适中．
【变式3-7】如图，已知四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，点E是AC中点，点F是BD中点．
（1）求证：EF⊥BD；
（2）过点D作DH⊥AC于H点，如果BD平分∠HDE，求证：BA＝BC．
【分析】（1）根据直角三角形和等腰三角形的性质即可得到结论；
（2）设AC，BD交于点O，根据垂直的定义得到∠DHO＝∠EFO＝90°，根据等腰三角形的性质得到∠EDO＝∠EBO，由角平分线的定义得到∠HDF＝∠BDE，根据等腰三角形的判定定理即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵∠ABC＝∠ADC＝90°，点E是AC中点，
∴DE=12AC，BE=12AC，
∴DE＝BE，
∵点F是BD中点，
∴EF⊥BD；
（2）证明：设AC，BD交于点O，
∵DH⊥AC，EF⊥BD，
∴∠DHO＝∠EFO＝90°，
∵∠DOH＝∠BOE，
∴∠HDF＝∠OEF，
∵DE＝BE，
∴∠EDO＝∠EBO，
∵BD平分∠HDE，
∴∠HDF＝∠BDE，
∴∠OEF＝∠OBE，
∵∠OEF+∠EOF＝90°，
∴∠EOF+∠EBO＝90°，
∴∠BEO＝90°，
∴BE⊥AC，
∴BA＝BC．
【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线，等腰三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．
【变式3-8】（2021•安顺模拟）如图，在△ABC中，点D在AB上，且CD＝CB，E为BD的中点，F为AC的中点，连接EF交CD于点M，连接AM．
（1）求证：EF=12AC；
（2）若EF⊥AC，求证：AM+DM＝CB．
【分析】（1）根据等腰三角形三线合一的性质可得CE⊥BD，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得EF=12AC；
（2）根据“SAS”证明△AFM≌△CFM，可得AM＝CM，进而可得结论．
【解答】（1）证明：连接CE，如图，
∵CD＝CB，E为BD的中点，
∴CE⊥BD，
∵F为AC的中点，
∴EF=12AC；
（2）证明：∵EF⊥AC，
∴∠AFM＝∠CFM，
∵F为AC的中点，
∴AF＝CF，
∵MF＝MF，
∴△AFM≌△CFM（SAS），
∴AM＝CM，
∵CD＝DM+MC，
∴CD＝DM+AM，
∵BC＝DC，
∴AM+DM＝CB．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，灵活应用定理是解决本题的关键．
【变式3-9】（2022秋•宿城区期中）如图，在锐角三角形ABC中，CD，BE分别是AB，AC边上的高，M，N分别是线段BC，DE的中点．
（1）求证：MN⊥DE．
（2）连接DM，ME，猜想∠A与∠DME之间的关系，并证明你的猜想．
（3）当∠BAC变为钝角时，如图②，上述（1）（2）中的结论是否都成立？若成立，直接回答，不需证明；若不成立，请说明理由．
【分析】（1）连接DM，ME，根据直角三角形的性质得到DM=12BC，ME=12BC，得到DM＝ME，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论；
（2）根据三角形内角和定理、等腰三角形的性质计算即可得到结论；
（3）仿照（2）的计算过程解答即可得到结论．
【解答】（1）证明：如图（1），连接DM，ME，
∵CD、BE分别是AB、AC边上的高，M是BC的中点，
∴DM=12BC，ME=12BC，
∴DM＝ME，
又∵N为DE中点，
∴MN⊥DE；
（2）在△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，
∵DM＝ME＝BM＝MC，
∴∠BMD+∠CME＝（180°﹣2∠ABC）+（180°﹣2∠ACB）
＝360°﹣2（∠ABC+∠ACB）
＝360°﹣2（180°﹣∠A）
＝2∠A，
∴∠DME＝180°﹣2∠A；
（3）结论（1）成立，结论（2）不成立，
理由如下：连接DM，ME，
在△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠BAC，
∵DM＝ME＝BM＝MC，
∴∠BME+∠CMD＝2∠ACB+2∠ABC
＝2（180°﹣∠BAC）
＝360°﹣2∠BAC，
∴∠DME＝180°﹣（360°﹣2∠BAC）
＝2∠BAC﹣180°．
【点评】本题考查的是直角三角形的性质、三角形内角和定理，掌握直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
题型四 三角形中位线与直角三角形斜边上的中线综合应用证明角关系
【例题4】（2022秋•平昌县期末）如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC的中点，点F在DE上，且AF⊥CF，若AC＝3，BC＝6，则DF的长为（ ）
A．1.5B．1C．0.5D．2
【分析】根据三角形中位线定理求出DE，根据直角三角形的性质求出FE，计算即可．
【解答】解：∵D、E分别为AB、AC的中点，BC＝6，
∴DE=12BC＝3，
∵AF⊥CF，
∴∠AFC＝90°，
∵E为AC的中点，AC＝3，
∴FE=12AC＝1.5，
∴DF＝DE﹣FE＝1.5，
故选：A．
【点评】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
【变式4-1】（2022春•南岗区校级期中）如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，连接ED，F是ED延长线上一点，连接AF、CF，若∠AFC＝90°，DF＝1，AC＝6，则BC的长度为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【分析】根据直角三角形斜边上的中线的性质求出EF，进而求出DE，根据三角形中位线定理计算，得到答案．
【解答】解：在Rt△AFC中，∠AFC＝90°，E是AC的中点，AC＝6，
则EF=12AC＝3，
∵DF＝1，
∴DE＝3﹣1＝2，
∵D，E分别是AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴BC＝2DE＝4，
故选：C．
【点评】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形斜边上的中线的性质，掌握三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．
【变式4-2】（2022•金乡县三模）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的高，E、F分别是AB、AC边的中点，若AB＝8，AC＝6，则△DEF的周长为 ．
【分析】根据勾股定理求出BC，根据直角三角形斜边上的中线性质求出DE和DF，根据三角形的中位线性质求出EF，再求出答案即可．
【解答】解：在Rt△ABC中，由勾股定理得：BC=AB2+AC2=82+62=10，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
∵E、F分别是AB、AC边的中点，AB＝8，AC＝6，BC＝10，
∴DE=12AB＝4，DF=12AC＝3，EF=12BC＝5，
∴△DEF的周长＝EF+DE+DF＝5+4+3＝12，
故答案为：12．
【点评】本题考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线性质，三角形的中位线性质等知识点，能熟记直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解此题的关键．
【变式4-3】如图，△ABC的周长为16，G、H分别为AB、AC的中点，分别以AB、AC为斜边向外作Rt△ADB和Rt△AEC，连接DG、GH、EH，则DG+GH+EH的值为（ ）
A．6B．7C．8D．9
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DG=12AB，EH=12AC，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得GH=12BC，然后求出DG+GH+EH的值为△ABC的一半．
【解答】解：∵G、H分别为AB、AC的中点，△ADB和△AEC为直角三角形，
∴DG=12AB，EH=12AC，
∴GH为△ABC的中位线，
∴GH=12BC，
∴DG+GH+EH=12（AB+AC+BC）=12×16＝8．
故选：C．
【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，熟记性质和定理是解题的关键．
【变式4-4】（2022春•大足区期末）如图，在Rt△ABC中∠ACB＝90°，∠A＝30°，点D，E分别是边AB，AC的中点，延长BC到点F，使CF=12BC，若EF＝2，则DE的长为（ ）
A．2B．1C．3D．3+1
【分析】连接CD，根据三角形中位线定理得到DE∥BC，DE=12BC，根据平行四边形的性质求出CD，根据直角三角形斜边上的中线的性质求出AB，根据含30°角的直角三角形的性质求出BC，进而求出DE．
【解答】解：连接CD，
∵点D，E分别是边AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，DE=12BC，
∵CF=12BC，
∴DE∥CF，
∴四边形DEFC为平行四边形，
∴CD＝EF＝2，
在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，点D是边AB的中点，
则AB＝2CD＝4，
在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，
则BC=12AB＝2，
∴DE=12BC＝1，
故选：B．
【点评】本题考查的是三角形中位线定理、平行四边形的判定和性质、直角三角形斜边上的中线的性质、含30°角的直角三角形的性质，灵活运用各个定理是解题的关键．
【变式4-5】（2021春•赣榆区期中）如图，在△ABC中，E、F分别是AB、AC的中点，延长EF交△ABC的外角∠ACD的平分线于点G．AG与CG有怎样的位置关系？证明你的结论．
【分析】利用三角形中位线定理推知EF∥BC．所以利用平行线的性质、三角形角平分线的性质以及等腰三角形的判定证得FG＝FC．又由AF＝CF，则FG是△ACG中AC边上的中线，且FG=12AC，则△AGC是直角三角形．
【解答】解：AG⊥CG，
理由：∵E、F分别是AB、AC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，AF＝CF，
∴EF∥BC，
∴∠FGC＝∠GCD．
∵CG平分∠ACD，
∴∠FCG＝∠GCD，
∴∠FCG＝∠FGC，
∴FG＝FC．
又∵AF＝CF，
∴FG是△ACG中AC边上的中线，且FG=12AC，
∴△AGC是直角三角形，
∴AG⊥CG．
【点评】本题考查了三角形中位线定理、直角三角形斜边上的中线定理．一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形．该定理可以用来判定直角三角形．
【变式4-6】（2022春•海淀区校级期中）如图，在△ABC中，点D，点E分别是边AC，AB的中点，点F在线段DE上，AF＝5，BF＝12，AB＝13，BC＝19，求DF的长度．
【分析】由三角形中位线定理求出DE，由勾股定理逆定理证得△ABF是直角三角形，根据直角三角形斜边中线定理求出EF，即可求出DF的长度．
【解答】解：∵点D，点E分别是边AC，AB的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE=12BC=12×19=192，
在△ABF中，
∵AF2+BF2＝52+122＝169＝132，AB2＝132，
∴AF2+BF2＝AB2，
∴∠AFB＝90°，
∴EF=12AB=12×13=132，
∴DF＝DE﹣EF=192−132=3．
【点评】本题主要考查了三角形中位线定理，直角三角形斜边中线定理，勾股定理逆定理，灵活运用这三个定理是解决问题的关键．
【变式4-7】（2022春•徐州期中）已知：如图，在△ABC中，D、E、F分别是各边的中点，AH是高．
（1）求证：DH＝EF；
（2）求证：∠DHF＝∠DEF．
【分析】（1）根据三角形中位线定理得到EF=12AB，根据直角三角形的性质得到DH=12AB，证明结论；
（2）连接DF，证明△DHF≌△DEF，证明结论．
【解答】证明：（1）∵E、F分别是边BC、AC的中点，
∴EF=12AB，
∵AH⊥BC，D是AB的中点，
∴DH=12AB，
∴DH＝EF；
（2）连接DF，
由（1）得，DH＝EF，
同理DE＝HF，
在△DHF和△DEF中，
DH=FEHF=EDDF=FD，
∴△DHF≌△DEF，
∴∠DHF＝∠DEF．
【点评】本题考查的是直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
【变式4-8】（2021春•罗湖区校级期末）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AC＝AD，M，N分别为AC，CD的中点，连接BM，MN，BN．
（1）求证：BM＝MN；
（2）若∠BAD＝60°，AC平分∠BAD，AC＝2，写出求BN长的思路．
【分析】（1）根据直角三角形的性质得到BM=12AC，根据三角形中位线定理得到MN=12AD，根据题意证明；
（2）证明△NMB是等腰直角三角形，根据勾股定理计算即可．
【解答】（1）证明：∵∠ABC＝90°，M为AC中点，
∴BM=12AC，
∵M为AC中点，N为DC中点，
∴MN=12AD，
∵AD＝AC，
∴BM＝MN；
（2）解：∵∠BAD＝60°，AC平分∠BAD，
∴∠DAC＝∠CAB＝30°，
∴BM＝AM=12AC＝1，
∴∠MAB＝∠MBA＝30°，
∴∠CMB＝60°
根据三角形中位线定理得，MN∥AD，MN=12AD＝1，
∴∠DAC＝∠NMC＝30°，
∴△NMB是等腰直角三角形，
由勾股定理得，BN=12+12=2..
【点评】本题考查的是直角三角形的性质、三角形中位线定理以及等腰三角形的性质，掌握直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．