江苏省2024届高三上学期期末迎考数学试卷（含解析）

这是一份江苏省2024届高三上学期期末迎考数学试卷（含解析），共10页。

1. 本试卷共150分,考试用时120分钟.
2. 答题前,考生务必将班级、姓名、学号填写在密封线内.
一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合A={20,24},B={20,23},则A∪B中合数的个数为( )

A. 0B. 1C. 2D. 3
2. 已知复数z=cs-i(i为虚数单位),则复数z3=( )
A. 1B. -1C. iD. -i
3. 已知函数f(x)=cs(x+φ),则“y=f(x)为奇函数”是“φ=”的( )
A. 充要条件B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件D. 既不充分又不必要条件
4. 平面上的三个力F1,F2,F3作用于同一点,且处于平衡状态.已知F1=(1,0),|F2|=2,=120°,则|F3|=( )
A. B. 1C. D. 2
5. 已知(a>0)的展开式中仅有第5项的系数最大,则实数a的取值范围是( )
A. B. C. D.
(第6题)
6. 如图,函数f(x)=2tan(ω>0)的部分图象与x轴相交于A,B两点,与y轴相交于点C,且△ABC的面积为,则ω的值为( )
A. 1 B. 2
C. 3D. 4
7. 设数列{an}满足2an=an+1+an-1(n≥2且n∈N*),Sn是数列{an}的前n项和,且5S7-7S5=35,a1=1,则数列的前2 024项和为( )
A. B. C. D.
8. 已知函数f(x)=则函数g(x)=(f(x))2-f(f(x))的所有零点之和为( )
A. 2 B. 3C. 0D. 1
二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.
9. 已知某地区秋季的昼夜温差X~N(μ,σ2),且P(X>9)=,该地区某班级秋季每天感冒的人数y关于昼夜温差x(单位:℃)的经验回归方程为=x+1,秋季某天该班级感冒的学生有9人,其中有4位男生,5位女生,则下列结论正确的是(参考数据:=19,=μ)( )
A. 若P(X>11)=,则P(7B. 从这9人中随机抽取2人,其中至少有一位女生的概率为
C. 从这9人中随机抽取2人,其中男生人数ξ的期望为
D. 昼夜温差每提高1 ℃,该班级感冒的学生大约增加2人
10. 已知函数f(x)=(x2+ax+b)ex,则下列结论正确的是( )
A. 若函数f(x)无极值点,则f(x)没有零点
B. 若函数f(x)无零点,则f(x)没有极值点
C. 若函数f(x)恰有一个零点,则f(x)可能恰有一个极值点
D. 若函数f(x)有两个零点,则f(x)一定有两个极值点
11. 已知点A,B均在拋物线C:y2=x上,点P(0,3),则( )
A. 直线PA的斜率可能为
B. 线段PA长度的最小值为
C. 若P,A,B三点共线,则存在唯一的点B,使得点A为线段PB的中点
D. 若P,A,B三点共线,则存在两个不同的点B,使得点A为线段PB的中点
12. 如图,四棱锥P-ABCD的底面是梯形,BC∥AD,AB=BC=CD=1,AD=2,PA=PD=,平面PAD⊥平面ABCD,O,E分别为线段AD,PA的中点,点Q是底面ABCD内(包括边界)的一个动点,则下列结论正确的是( )
(第12题)
A. AC⊥BP
B. 三棱锥B-AOE外接球的体积为
C. 异面直线PC与OE所成角的余弦值为
D. 若直线PQ与平面ABCD所成的角为60°,则点Q的轨迹长度为π
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13. 若圆C与直线3x-4y-12=0相切,且与圆x2-2x+y2=0相切于点A,写出一个符合要求的圆C的标准方程: .
14. 计算:4sin 40°-tan 40°= .
15. 与圆台的上、下底面及侧面都相切的球,称为圆台的内切球.若圆台的上、下底面半径分别为r1, r2,且2r1+r2=2,则它的内切球的体积的最大值为 .
16. 反比例函数y=的图象是双曲线(其渐近线分别为x轴和y轴),同样的,“对勾函数”y=mx+(m>0,n>0)的图象也是双曲线.设m=,n=,则此“对勾函数”所对应的双曲线的焦距为 .
四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17. (本小题满分10分)已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,c=2,2a=bccs C+c.
(1) 求角B的大小;
(2) 若=,||≠||,∠CAD=,求△ABC的面积.
18. (本小题满分12分)抽屉里装有5双型号相同的手套,其中2双是非一次性手套,3双是一次性手套,每次使用手套时,从抽屉中随机取出1双(2只都为一次性手套或都为非一次性手套),若取出的是一次性手套,则使用后直接丢弃,若取出的是非一次性手套,则使用后经过清洗再次放入抽屉中.
(1) 求在第2次取出的是非一次性手套的条件下,第1次取出的是一次性手套的概率;
(2) 记取了3次后,取出的一次性手套的双数为X,求X的分布列及数学期望.
19. (本小题满分12分)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,M,N分别为棱AA1,BB1的中点,AC⊥AB,AB=4,AC=3,AA1=6.
(第19题)
(1) 求证:CM⊥平面C1MN;
(2) 求二面角C-C1N-M的正弦值.
20. (本小题满分12分)已知函数f(x)=ex-.
(1) 当a=1时,求曲线y=f(x)在点A(1,f(1))处的切线方程;
(2) 若021. (本小题满分12分)已知数列{an}满足a1=1,且对任意正整数m,n都有am+n=an+am+2mn.
(1) 求数列{an}的通项公式;
(2) 求数列{(-1)nan}的前n项和Sn,若存在正整数k,使得2Sk+Sk+1=0,求k的值;
(3) 设bn=ln,Tn是数列{bn}的前n项和,求证:Tn<.
22. (本小题满分12分)已知椭圆E:+=1(a>b>0),点C(0,-1)和点D均在椭圆E上.
(1) 求椭圆E的方程;
(2) 设P是椭圆上一点(异于C,D),直线PC,PD与x轴分别交于M,N两点.证明:在x轴上存在两点A,B,使得·是定值,并求此定值.
江苏省2023-2024学年高三上学期期末迎考卷数学参考答案与评分标准
1. C 解析:因为A={20,24},B={20,23},所以A∪B={20,23,24},则A∪B中的合数为20和24.
2. A 解析:z=cs-i=--i,z3==--i++i=1.
3. C 解析:若y=f(x)为奇函数,则f(x)满足f(-x)=-f(x),所以cs(-x+φ)=-cs(x+φ),则有cs xcs φ=0,则cs φ=0.因为-≤φ≤,所以φ=±,所以“y=f(x)为奇函数”是“φ=”的必要不充分条件.
4. C 解析:由题意得F1+F2+F3=0,所以-F3=F1+F2,两边平方得=+2F1·F2+,即=1+2×1×2×+4=3,所以=.
5. A 解析:第r+1项的系数为ar,由题意得解得6. B 解析:由题知|AB|=T=,由f(0)=2tan=2,得yC=2,所以S△ABC=×2×=,所以ω=2.
7. C 解析:由题意得2an+1=an+an+2,n∈N*,所以an+1-an=an+2-an+1,n∈N*,则数列{an}为等差数列,设公差为d.因为Sn=na1+d,所以=a1+d,-=(常数),则也为等差数列.因为5S7-7S5=35,所以-=1,则数列的公差为,所以=+(n-1)×=1+=,所以==-,所以==-=.
8. D 解析:因为g(x)=(f(x))2-f(f(x)),所以令t=f(x),则g(x)=t2-f(t),令g(x)=0,可得t2=f(t).当t>0时,由t2=f(x),可得t2=(t-2)2,即-4t+4=0,解得t=1;当t≤0时,由t2=f(t),可得t2=2t+3,即t2-2t-3=0,解得t=-1或t=3(舍去).所以t=±1,即f(x)=±1.当x>0时,令(x-2)2=1或(x-2)2=-1(舍去),解得x=1或x=3;当x≤0时,令2x+3=±1,解得x=-1或x=-2.所以函数g(x)=(f(x))2-f(f(x))的零点之和为1+3-1-2=1.
9. ABD 解析:对于A,因为P(X>9)=,所以μ=9,所以P(X<7)=P(X>11)=,所以P(710. AD 解析:令f(x)=0,得(x2+ax+b)ex=0,即x2+ax+b=0.Δ1=a2-4b.当Δ1>0时,f(x)有两个零点;当Δ1=0时,f(x)有一个零点;当Δ1<0时,f(x)无零点.又f'(x)=[x2+(a+2)x+a+b]ex.令f'(x)=0,得x2+(a+2)x+a+b=0.Δ2=(a+2)2-4(a+b)=a2-4b+4.当Δ2>0时,f'(x)有两个变号零点,即f(x)有两个极值点;当Δ2≤0时,f'(x)没有变号零点,即f(x)没有极值点.对于A,因为f(x)没有极值点,所以Δ2=a2-4b+4≤0,即a2-4b≤-4,故Δ1<0,所以f(x)没有零点,故A正确;对于B,若f(x)没有零点,则Δ1=a2-4b<0,此时Δ2=a2-4b+4<4,当Δ2>0时,f(x)有两个极值点,故B错误;对于C,若f(x)恰有一个零点,则Δ1=a2-4b=0,此时Δ2=a2-4b+4>0,故f(x)有两个极值点,故C错误;对于D,若f(x)有两个零点,则Δ1=a2-4b>0,此时Δ2=a2-4b+4>0,故f(x)一定有两个极值点,故D正确.
11. BD 解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1=,x2=.对于A,假设直线PA的斜率为,则kAP==⇒-10y1+30=0,由于Δ=100-120<0,则该方程无解,所以直线PA的斜率不可能为,故A错误;对于B,|PA|=,记y=+(3-y1)2,则y'=4-2(3-y1),记g(y1)=4-2(3-y1),则g'(y1)=12+2>0,y'=g(y1)单调递增.由于y'=0,因此,当y1>1时,y'>0,y=+(3-y1)2单调递增,当y1<1时,y'<0,y=+单调递减,故当y1=1时,y=+(3-y1)2取最小值5,因此|PA|=的最小值为,故B正确;对于C,若P,A,B三点共线,A为线段PB的中点,则0+x2=2x1,3+y2=2y1,所以x2=2x1,y2=2y1-3.又=x1,=x2,所以=x2=2x1=2,即2-12y1+9=0,Δ=144-4×2×9=72>0,故2-12y1+9=0有两个不相等的实数根,所以满足条件的点B不唯一,故C错误,D正确.
12. AC 解析:易证四边形ABCO为菱形,所以BO⊥AC,如图,连接PO,因为PA=PD=,O为AD中点,所以PO⊥AD.因为平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,PO⊂平面PAD,所以PO⊥平面ABCD.因为AC⊂平面ABCD,所以PO⊥AC.又PO,OB⊂平面POB,PO∩OB=O,所以AC⊥平面POB.又BP⊂平面POB,所以AC⊥BP,故A正确.易证△AOE为等腰直角三角形,△AOB为等边三角形,且平面PAD⊥平面ABCD,所以三棱锥B-AOE外接球的球心为等边三角形AOB的中心,所以三棱锥B-AOE外接球的半径为,所以三棱锥B-AOE外接球的体积为V=π×=π,故B错误.因为PD∥OE,所以∠CPD为异面直线PC与OE所成的角(或其补角).因为PO==1,所以PC==.在△PCD中,由余弦定理,得cs∠CPD==,故C正确.因为PO⊥平面ABCD,连接OQ,PQ,若直线PQ与平面ABCD所成的角为60°.则∠PQO=60°.因为PO=1,所以OQ=,故点Q的轨迹是以O为圆心,为半径的半圆,所以点Q的轨迹长度为,故D错误.
(第12题)
(第13题)
13. (x+1)2+y2=9或+y2= 解析:由题知两圆心连线过点A(2,0),圆x2-2x+y2=0,即(x-1)2+y2=1,圆心为(1,0),半径为1,故圆C的圆心C在x轴上.
①若两圆内切,则C(2-r,0),故d==r,解得r=3,则圆C的标准方程为(x+1)2+y2=9;
②若两圆外切,则C(2+r,0),故d==r,解得r=,则圆C的标准方程为+y2=.
14. 解析:4sin 40°-tan 40°=4sin 40°-=
==
==
=.
15. 解析:如图,画出截面图.易得O1B=BE=r1,O2C=CE=r2,所以BC=r1+r2.记内切球的半径为R,则O1O2=2R.过B作BG⊥DC,垂足为G,则CG=r2-r1,BG=O1O2=2R,所以=4R2+⇒4R2=4r1r2≤2=4⇒R≤1,所以它的内切球的体积的最大值为πR3=.
(第15题)
16. 2 解析:由题可得双曲线为y=x+,所以渐近线为x=0及y=x,渐近线夹角为60°,则=,所以焦点所在的直线方程为y=x.由
得x=x+,解得或
此时a==,则b=,所以c==,则焦距为2.
17. 解答:(1) 因为2a=bccs C+c,c=2,所以a=bcs C+1,所以由余弦定理得a=b+1,所以2a2=a2+b2-c2+2a,所以a2+c2-b2=ac,所以cs B==.又B∈(0,π),所以B=.(5分)
(2) 设∠DCA=α,则∠ADB=α+,∠BAD=-α.
在△ABD中,由正弦定理有=,即=.在△ACD中,由正弦定理有=.因为BD=DC,所以=,即sin αcs α=sin sin ,所以sin 2α=.因为α∈,所以2α=或2α=,
所以α=或α=(舍去).(8分)
当α=时,A=,AC=2,△ABC的面积为×2×2=2.(10分)
(第17题)
18. 解答:(1) 设“第1次取出的是一次性手套”为事件A,“第2次取出的是非一次性手套”为事件B,则P(B)=×+×=,P(AB)=P(A)P(B|A)=×=,所以在第2次取出的是非一次性手套的前提下,第1次取出的是一次性手套的概率为P(A)==.(5分)
(2) 记取出的一次性手套的双数为X,则X=0,1,2,3,
P(X=0)==0.064,P(X=1)=×+××+×=0.366,P(X=3)=××=0.1,则P(X=2)=1-0.064-0.366-0.1=0.47,
则X的分布列为
数学期望E(X)=0.366+2×0.47+3×0.1=1.606.(12分)
19. 解答:(1) 因为AC⊥AB,且平面ABC⊥平面ACC1A1,平面ABC∩平面ACC1A1=AC,所以AB⊥平面ACC1A1.又CM⊂平面ACC1A1,所以AB⊥CM.因为M,N分别为AA1,BB1的中点,所以MN∥AB,所以MN⊥CM.因为AM=A1M=3,AC=A1C1=3,所以CM=C1M==3,所以CM2+C1M2=18+18=36=C,所以CM⊥C1M.又因为MN,C1M⊂平面C1MN,MN∩C1M=M,所以CM⊥平面C1MN.(5分)
(2) 因为AA1⊥平面ABC,AB⊥AC,所以以A为原点,分别以,,的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系,所以C(0,3,0),C1(0,3,6),M(0,0,3),N(4,0,3),所以=(0,0,6),=(4,-3,-3),=(0,-3,3).设平面CC1N的法向量为n=(x,y,z),则即令x=3,则n=(3,4,0).由(1)知CM⊥平面C1MN,故可取平面C1MN的一个法向量m=(0,-1,1),因为cs==-,故二面角C-C1N-M的正弦值为=.(12分)
(第19题)
20. 解答:(1) 当a=1时,f(x)=ex-ln x⇒f'(x)=ex-(x>0),所以切线斜率k=f'(1)=e-1.又f(1)=e,所以f(x)在点A(1,e)处的切线方程为y-e=(e-1)(x-1),即y=(e-1)x+1.(5分)
(2) f(x)=ex-⇒f'(x)=ex-=(x>0),易知y=xex在(0,+∞)上单调递增,且y∈(0,+∞),又01,所以存在唯一x0∈(0,+∞),使得x0-=0,即=⇔ln x0=-x0-ln a.当0x0时,f'(x)>0,f(x)为增函数,所以f(x)min=f(x0)=-=++=≥=,当且仅当x0=,即x0=1时等号成立.所以当021. 解答:(1) 由对任意正整数m,n都有am+n=an+am+2mn,令m=1,可得an+1=an+1+2n,所以an+1-an=2n+1.
当n≥2时,an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)=1+3+5+…+2n-1=n2;
当n=1时,a1=1,符合上式,所以an=n2.(4分)
(2) 由(1) 得an=n2,当n为偶数时,
Sn=(-12+22)+(-32+42)+…+=
3+7+11+…+(2n-1)==;
当n为奇数时,n-1为偶数,Sn=Sn-1+(-1)nan=Sn-1-an=-n2=.
综上所述,Sn=
若k为偶数,则k+1为奇数,由2Sk+Sk+1=0,即k2+k-=0,整理得k2-k-2=0,解得k=-1(舍去)或k=2;
若k为奇数,则k+1为偶数,由2Sk+Sk+1=0,即-k2-k+=0,整理得k2-k-2=0,解得k=-1或k=2,均不合题意,舍去.
综上,所求k的值为2.(8分)
(3) 由bn=ln=ln
=ln
=ln
=ln
=ln=ln=ln.
结合当x>0时,ln (x+1)22. 解答:(1) 将点C,D代入椭圆方程有解得所以椭圆E的方程为+y2=1.(4分)
(2) 设P(x0,y0),A(m,0),B(n,0).
直线PD:y+=,
令y=0,得xN=.直线PC:y=x-1,
令y=0,得xM=.
·=n-
=.
令5my0+8y0+3m=-3ny0-3n,
则5m+8=-3n,3m=-3n,得n=4,m=-4,
则·=
==
=-12.
故存在A(-4,0)和B(4,0),使得·是定值,且定值为-12.(12分)
X
0
1
2
3
P
0.064
0.366
0.47
0.1