2023-2024学年福建省泉州市安溪一中高一（下）质检数学试卷（5月份）（含答案）

这是一份2023-2024学年福建省泉州市安溪一中高一（下）质检数学试卷（5月份）（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数z=i+i2(i为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
2.如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形O′A′B′C′，且O′A′//B′C′，O′A′=2B′C′=4，A′B′=2，则该平面图形的高为( )
A. 2 2B. 2C. 4 2D. 2
3.记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A=π6，b=2，sinB=34，则a=( )
A. 34B. 43C. 83D. 38
4.如图所示，梯形A′B′C′D′是平面图形ABCD用斜二测画法画出的图形，A′D′=2B′C′=2，A′B′=1，则平面图形ABCD的面积为( )
A. 2B. 2 2C. 3D. 3 2
5.已知圆锥轴截面为正三角形，母线长为2，则该圆锥的体积等于( )
A. 33πB. 3πC. 23πD. 2π
6.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若acsB−bcsA=c，且C=2π5，则∠B=( )
A. π5B. π10C. 3π10D. 2π5
7.我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水．天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸．若盆中积水深九寸，则平地降雨量是( )(注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸；③台体的体积公式V=13(S上+ S上S下+S下)⋅ℎ)
A. 2寸B. 3寸C. 4寸D. 5寸
8.如图所示，O为线段A0A2025外一点，若A0，A1，A2，A3，⋯，A2025中任意相邻两点间的距离相等，OA0=a,OA2025=b，则用a，b表示OA0+OA1+OA2+⋯+OA2025，其结果为( )
A. 2025(a+b)B. 2026(a+b)C. 1012(a+b)D. 1013(a+b)
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数z1，z2满足z1=1+1i，z2=−1+i，则下列说法正确的是( )
A. z1⋅z2=2iB. |z1|=|z2|C. z1−z2−的虚部为2D. |z1z2|=|z1||z2|
10.下面说法正确的是( )
A. 多面体至少有四个面
B. 棱柱所有的面都是平行四边形
C. 棱台的侧面都是梯形
D. 以等腰梯形的一条腰所在的直线为旋转轴旋转一周，形成的几何体是圆台
11.在圆锥SO中，C是母线SA上靠近点S的三等分点，SA=l，底面圆的半径为r，圆锥SO的侧面积为12π，则下列说法正确的是( )
A. 当r=3时，过顶点S和两母线的截面三角形的最大面积为3 7
B. 当l=6时，从点A到点C绕圆锥侧面一周的最小长度为2 13
C. 当l=6时，圆锥SO的外接球表面积为81π2
D. 当l=6时，棱长为8 33的正四面体在圆锥SO内可以任意转动
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.如图所示，长方体ABCD−A1B1C1D1，M，N分别为棱A1B1，C1D1的中点.用平面BCNM把这个长方体分成两部分，则左侧几何体是______.(填：棱柱、棱锥、棱台其中一个)
13.已知向量|a|=6，e为单位向量，当向量a，e的夹角等于45时，则向量a在向量e上的投影向量是______．
14.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足c=7，D是边AB的中点，CD⊥CB，且b(sinA+sinB)=(c+a)(sinC−sinA)，则CD的长为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知2−i是关于x的方程x2+mx+n=0(m,n∈R)的一个根，其中i为虚数单位．
(1)求m+2n的值；
(2)记复数z=m+ni，求复数z−1+i的模．
16.(本小题15分)
某自然保护区为研究动物种群的生活习性，设立了两个相距12km的观测站A和B，观测人员分别在A，B处观测该动物种群．如图，某一时刻，该动物种群出现在点C处，观测人员从两个观测站分别测得∠BAC=30°，∠ABC=60°，经过一段时间后，该动物种群出现在点D处，观测人员从两个观测站分别测得∠BAD=75°，∠ABD=45°.(注：点A，B，C，D在同一平面内)
(Ⅰ)求△ABD的面积；
(Ⅱ)求点C，D之间的距离．
17.(本小题15分)
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，其中A为锐角，2asinB= 3b.
(1)求A；
(2)设AD为BC边上的中线，若b=3，c=1，请选择以下思路之一求出AD的长．
思路①：利用csB=a2+c2−b22ac=(a2)2+c2−AD2ac……
思路②：利用cs∠ADB=−cs∠ADC……
思路③：利用AD=|AD|=|12(AB+AC)|=……
思路④：其它方法……
18.(本小题17分)
如图，已知AA1⊥平面ABC，BB1//AA1，AB=AC=3，BC=2 5，AA1= 7，BB1=2 7，点E为BC的中点．
(1)求证：AE⊥平面BCB1；
(2)求直线A1B1与平面BCB1所成角的大小；
(3)若点F为A1C的中点，求点C到平面AEF的距离．
19.(本小题17分)
在△ABC中，∠A，∠B，∠C对应的边分别为a，b，c，2sinAsinBsinC= 3(sin2B−cs2C+cs2A)．
(1)求A；
(2)若b=1，c=3，D为线段BC内一点，且BD：DC=1：2，求线段AD的长；
(3)法国著名科学家柯西在数学领域有非常高的造诣；很多数学的定理和公式都以他的名字来命名，如对于任意的x1，x2，y1，y2∈R，都有(x1⋅x2+y1⋅y2)2≤(x12+y12)(x22+y22)被称为柯西不等式；在(1)的条件下，若a=2，求：(a2+b2+c2)[21−cs2A+1cs2(π2−B)+1sin2(π+C)]的最小值．
答案
1.B
2.C
3.B
4.C
5.A
6.B
7.B
8.D
9.ABD
10.AC
11.BC
12.棱柱
13.3 2e
14. 212
15.解：(1)∵2−i是关于x的方程x2+mx+n=0(m,n∈R)的一个根，
∴(2−i)2+m(2−i)+n=0，即4−4i+i2+2m−mi+n=0，
∴3+2m+n−(4+m)i=0，
则3+2m+n=0，4+m=0，
解得：m=−4，n=5，得m+2n=6；
(2)z=−4+5i，z−=−4−5i，
∴z−1+i=−4−5i1+i，则|z−1+i|=|−4−5i1+i|=|−4−5i||1+i|= (−4)2+(−5)2 12+12= 41 2= 822．
16.解：(Ⅰ)在△ABD中，∠BAD=75°，∠ABD=45°，所以∠ADB=60°，
由正弦定理：ADsin∠ABD=ABsin∠ADB，得ADsin45∘=ABsin60∘，
所以AD=sin45°sin60∘⋅AB= 22 32×12=4 6(km)，
sin∠BAD=sin75°=sin(45°+30°)= 22( 32+12)= 6+ 24，
所以△ABD的面积为S△ABD=12AB⋅AD⋅sin∠BAD=12×12×4 6× 6+ 24=36+12 3(km2)．
(Ⅱ)由∠BAC=30°，∠ABC=60°，得∠CAD=45°,AC=6 3．
在△ACD中由余弦定理，得
CD2=AC2+AD2−2AC⋅AD⋅cs∠CAD
=36×3+16×6−2×6 3×4 6× 22=60，
所以CD=2 15(km)．
即点C，D之间的距离为2 15km．
17.解：(1)由正弦定理，得2sinAsinB= 3sinB，
又sinB≠0，所以sinA= 32，
又A为锐角，所以A=60°
(2)在△ABC中，由余弦定理得a2=b2+c2−2bccsA=9+1−2×3×1×12，
所以a= 7；
若选择思路①
由a2+c2−b22ac=(a2)2+c2−AD2ac，
得7+1−9=2×(( 72)2+1−AD2)，解得AD= 132；
若选择思路②
由cs∠ADB=cs∠ADC得到AD2+(a2)2−c2AD⋅a=−AD2+(a2)2−b2AD⋅a，
即AD= b2+c2−a222= 132；
若选择思路③AD=|AD|=|12(AB+AC)|=12 (AB+AC)2=12 |AB|2+|AC|2+2|AB||AC|csA，
得AD= 132．
若选择思路④，比照上述标准给分．
18.(1)证明：∵AA1⊥平面ABC，BB1//AA1，
∴BB1⊥平面ABC，而AE⊂平面ABC，
∴BB1⊥AE，又AB=AC，点E为BC中点，
∴AE⊥BC，而BB1∩BC=B，可得AE⊥平面BCB1；
(2)解：取BB1中点M，连接AM，EM，
∵AA1/​/BB1，AA1= 7，BB1=2 7，点M为BB1中点，
∴AA1=B1M，AA1//B1M，得四边AMB1A1为平行四边形，
∴AM//A1B1，
则直线A1B1与平面BCB1所成角等于直线AM与平面BCB1所成角，
∵AE⊥平面BCB1，
∴∠AME为直线AM与平面BCB1所成角，
∵点E为BC中点，BC=2 5，
∴BE= 5，AE= 32−5=2，EM= 5+( 7)2=2 3，
∴tan∠AME=22 3= 33，又∠AME∈(0,π2)，
∴∠AME=π6，即直线A1B1与平面BCB1所成角为π6；
(3)解：以E为坐标原点，分别以EC、EA所在直线为x、y轴，
以过E在平面BCB1内垂直于BC的直线为z轴建立空间直角坐标系，
则E(0,0,0)，A(0,2,0)，C( 5,0,0)，
A1(0,2, 7)，F( 52,1, 72)，
EA=(0,2,0)，EF=( 52,1, 72)，
设平面AEF的一个法向量为n=(x,y,z)，
则由n⋅EA=2y=0n⋅EF= 52x+y+ 72z=0，取z= 5，得n=(− 7,0, 5)，
又EC=( 5,0,0)，
∴点C到平面AEF的距离为|EC⋅n||n|= 35 12= 1056．
19.解：(1)因为2sinAsinBsinC= 3(sin2B−cs2C+cs2A)
= 3(sin2B+1−cs2C−1+cs2A)= 3(sin2B+sin2C−sin2A)，
所以2sinAsinBsinC= 3(sin2B+sin2C−sin2A)，
由正弦定理2bcsinA= 3(b2+c2−a2)，
再由余弦定理可得：sinA= 3b2+c2−a22bc= 3csA，
即tanA= 3，又因为A∈(0,π)，
所以A=π3；
(2)由题意知：BD=12DC，所以AD=23AB+13AC，
所以AD2=(23AB+13AC)2=19(2AB+AC)2=19(4c2+b2+4bccsA)=19(36+1+4⋅3⋅12)=439，
可得AD= 433；
(3)根据柯西不等式：(a2+b2+c2)[21−cs2A+1cs2(π2−B)+1sin2(π+C)]
=(a2+b2+c2)(1sin2A+1sin2B+1sin2C)
≥(asinA+bsinB+csinC)2=9(2sinπ3)2=48，(当且仅当△ABC为正三角形时取等号)，
即(a2+b2+c2)[21−cs2A+1cs2(π2−B)+1sin2(π+C)]的最小值为48．