2023-2024学年四川省内江市威远中学高一（下）第二次月考数学试卷（含答案）

这是一份2023-2024学年四川省内江市威远中学高一（下）第二次月考数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知向量a=(m,6)，b=(−1,3)，且a/​/b，则m=( )
A. 18B. 2C. −18D. −2
2.已知z=1−i1+i，则z的实部是( )
A. −iB. iC. 0D. 1
3.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若acsC+ccsA=a，则△ABC的形状一定( )
A. 等腰三角形B. 锐角三角形C. 直角三角形D. 钝角三角形
4.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2−2ac−3c2=0，且c=13b，则角A的余弦值为( )
A. 16B. 14C. 15D. 13
5.若函数g(x)的图象可由函数f(x)=sin2x+ 3cs2x的图象向右平移π6个单位长度变换得到，则g(x)的解析式可以是( )
A. g(x)=2sin2xB. g(x)=2sin(2x+π6)
C. g(x)=2sin(2x+π2)D. g(x)=2sin(2x+2π3)
6.化简4sin24°cs24°cs12∘+tan12°=( )
A. 1B. 2C. 3D. 2
7.在△ABC中，E为AC上一点，AC=3AE，P为BE上任一点，若AP=mAB+nAC，且m>0,n>0，则3m+1n的最小值是( )
A. 9B. 10C. 11D. 12
8.如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=2，AC=4，点P在以A为圆心且与边BC相切的圆上，则PB⋅PC的最小值为( )
A. 0B. −165C. −245D. −565
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若复数z=1−i，z−为z的共轭复数，则以下正确的是( )
A. z在复平面对应的点位于第二象限B. |z|= 2
C. |z|2=z2D. z−z为纯虚数
10.已知向量a=(0,1)，b=(3 3,2)，则下列结论正确的是( )
A. (a+b)⋅(a−b)=−28B. |a+b|=6
C. 向量a+b与a的夹角为π6D. 向量a+b在a上的投影向量为3a
11.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，则正确的结论有( )
A. 若A>B，则sinA>sinB
B. 若△ABC为锐角三角形，则sinA>csB
C. 若sin2A+sin2B=sin2C，则△ABC为直角三角形
D. 若sin2A=sin2B，则△ABC一定是等腰三角形
12.O是锐角三角形ABC内的一点，A，B，C是△ABC的三个内角，且点O满足OA⋅OB=OB⋅OC=OA⋅OC.请根据“奔驰定理”判断下列命题正确的是( )
A. O为△ABC的外心
B. ∠BOC+A=π
C. |OA|：|OB|：|OC|=csA：csB：csC
D. tanA⋅OA+tanB⋅OB+tanC⋅OC=0
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.复数z=m(m−1)+mi是纯虚数，则实数m= ______．
14.已知非零向量a，b的夹角为π3，|a|=3，a⊥(a−b)，则|b|= ______．
15.相看两不厌，只有敬亭山.李白曾七次登顶拜访的敬亭山位于安徽省宣城市北郊，其上有一座太白独坐楼(如图(1))，如图(2)，为了测量该楼的高度AB，一研究小组选取了与该楼底部B在同一水平面内的两个测量基点C与D，现测得∠BCD=30°，∠CDB=45°，BD=13m，在C点处测得该楼顶端A的仰角为60°，则该楼的高度AB为______m.
16.在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，b=3，sinA+asinB=2 3，则△ABC周长的取值范围为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
设a,b是不共线的两个非零向量．
(1)若OA=a+2b,OB=2a−b,OC=5a−10b，求证：A，B，C三点共线；
(2)若3a+kb与13a+2b平行，求实数k的值．
18.(本小题12分)
已知sinα+2csαsinα−csα=4．
(1)求tan2α及sinαcsα的值；
(2)若π<α<2π，0<β<π，csβ=−45，求sin(α−β)．
19.(本小题12分)
已知|a|=1，|b|= 3，a+b=(1,− 3)，求：
(1)|a−b|；
(2)a+b与a−b的夹角．
20.(本小题12分)
如图，在平面四边形ABCD中，∠ADB=45°，∠BAD=105°，AD= 62，BC=2，AC=3．
(1)求边AB的长；
(2)求△ABC的面积．
21.(本小题12分)
△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知(c−2b)csA+acsC=0．
(1)求角A的大小；
(2)若a=4，b+c=8，求△ABC的面积；
(3)若角C为钝角，直接写出cb的取值范围．
22.(本小题12分)
在条件①对任意的x∈R，都有f(π6−x)=f(x)；条件②f(x)最小正周期为π；条件③f(x)在[−5π12,π12]上为增函数，这三个条件中选择两个，补充在下面的题目中，并解答．
已知f(x)=sin(ωx+φ)，(ω>0,0≤φ<2π)，若_____，则ω，φ唯一确定．
(Ⅰ)求f(x)的解析式；
(Ⅱ)设函数g(x)=2f(x+π6)+1，对任意的x∈[−π6,π12]，不等式g2(x)−mg(x)−1≤0恒成立，求实数m的取值范围．
答案
1.D
2.C
3.A
4.A
5.A
6.C
7.D
8.C
9.BD
10.BD
11.ABC
12.BCD
13.1
14.6
15.13 6
16.(9+3 32,9+3 3)
17.解：(1)证明：AB=OB−OA=2a−b−(a+2b)=a−3b，
BC=OC−OB=5a−10b−(2a−b)=3a−9b=3AB，
则AB//BC，且有公共点B，
所以A，B，C三点共线；
(2)由3a+kb与13a+2b平行平行，
则存在实数λ，使得3a+kb=λ(13a+2b)，
即(3−13λ)a+(k−2λ)b=0，又a,b是不共线的两个非零向量，
因此3−13λ=0k−2λ=0，解得λ=9k=18，
故实数k的值是18．
18.解：(1)因为sinα+2csαsinα−csα=4，所以tanα+2tanα−1=4，解得tanα=2，
所以tan2α=2tanα1−tan2α=2×21−22=−43，
sinαcsα=sinαcsαsin2α+cs2α=tanαtan2α+1=222+1=25．
(2)因为π<α<2π，tanα=2，所以π<α<3π2，
又tanα=sinαcsα=2sin2α+cs2α=1，解得sinα=−2 55csα=− 55或sinα=2 55csα= 55(舍去)，
又0<β<π，csβ=−45，所以sinβ= 1−cs2β=35，
所以sin(α−β)=sinαcsβ−csαsinβ=−2 55×(−45)−(− 55)×35=11 525．
19.解：(1)因为|a|=1，|b|= 3，a+b=(1,− 3)，
所以(a+b)2=|a|2+|b|2+2a⋅b=4，即a⋅b=0，
所以|a−b|2=|a|2+|b|2−2a⋅b=4，即|a−b|=2；
(2)由(1)知，|a+b|=|a−b|=2，且|a|=1，|b|= 3，
所以a+b与a−b的夹角的余弦值为(a+b)⋅(a−b)|a+b||a−b|=a2−b22×2=1−34=−12，
所以a+b与a−b的夹角为120°．
20.解：(1)在△ABD中，∠ABD=180°−(45°+105°)=30°，
由正弦定理得AB=AD⋅sin45°sin30∘= 62× 2= 3．
(2)在△ABC中，由余弦定理得cs∠ABC=AB2+BC2−AC22AB×BC=( 3)2+22−322 3×2=− 36．
∴sin∠ABC= 1−cs2∠ABC= 336．
∴S△ABC=12×AB×BC×sin∠ABC=12× 3×2× 336= 112．
21.解：(1)由(c−2b)csA+acsC=0及正弦定理得：
(sinC−2sinB)csA+sinAcsC=0，
因为sinCcsA+sinAcsC=sin(A+C)=sin(π−B)=sinB，
则有sinB(1−2csA)=0，又00，
则csA=12，又0(2)由余弦定理a2=b2+c2−2bccsA，又a=4，A=π3，
代入得b2+c2−bc=16，由b+c=8，
可得(b+c)2−3bc=16，即bc=16，
故△ABC的面积S=12bcsinA=12×16× 32=4 3；
(3)由正弦定理bsinB=csinC，可得cb=sinCsinB，
由C=2π3−B，代入化简得：
cb=sinCsinB=sin(2π3−B)sinB= 32csB+12sinBsinB= 32tanB+12，
因C为钝角，故由0π2，可得0则032，即cb>2，
故cb的取值范围是(2,+∞)．
22.(Ⅰ)解：若选择①②：由函数f(x)最小正周期为π，得ω=2，即f(x)=sin(2x+φ)，
又由对任意的x∈R，都有f(π6−x)=f(x)，可得f(x)关于x=π12对称，
即2×π12+φ=π2+2kπ，k∈Z，则φ=π3+2kπ，k∈Z，
因为0≤φ<2π，可得φ=π3，所以f(x)=sin(2x+π3)；
若选择②③：由函数f(x)最小正周期为π，可得ω=2，即f(x)=sin(2x+φ)，
又由x∈[−5π12,π12]，可得2x+φ∈[−5π6+φ,π6+φ]，
因为函数f(x)在[−5π12,π12]为单调递增函数，
则φ−5π6≥−π2φ+π6≤π2，
解得，φ=π3，f(x)=sin(2x+π3)；
若选择①③：由对任意的x∈R，都有f(π6−x)=f(x)，可得f(x)关于x=π12对称，
即ω×π12+φ=π2+2kπ，k∈Z，
即φ=π2−ωπ12+2kπ，k∈Z，
又由函数f(x)在[−5π12,π12]为单调递增函数，可得πω≥π12+5π12=π2，
解得0<ω≤2，
又由x∈[−5π12,π12]，可得ωx+φ∈[−5ωπ12+φ,ωπ12+φ]，
因为函数f(x)在[−5π12,π12]为增函数，
则满足−5ωπ12+φ≥2kπ−π2ωπ12+φ≤2kπ+π2，k∈Z，
解得5ωπ12−π2+2kπ≤φ≤π2−ωπ12+2kπ，k∈Z，
所以5ωπ12−π2≤π2−ωπ12≤π2−ωπ12，
即ωπ2≤π，因为0<ω≤2，所以ω=2，
此时φ=π3，f(x)=sin(2x+π3)；
(Ⅱ)由g(x)=2f(x+π6)+1=2sin(2x+π3+π3)+1=2sin(2x+2π3)+1，
因为x∈[−π6,π12]，可得2x+π3∈[π3,5π6]，
所以sin(2x+π3)∈[12,1]，即g(x)∈[2,3]，
又由对任意x∈[−π6,π12]，不等式g2(x)−mg(x)−1≤0恒成立，
即不等式mg(x)≥g2(x)−1恒成立，
即m≥g2(x)−1g(x)恒成立，
令t=g(x)∈[2,3]，
即m≥t2−1t=t−1t恒成立，
令ℎ(t)=t−1t在t∈[2,3]上为单调递增函数，
则ℎ(t)max=ℎ(3)=83，
所以m≥83，即实数m的取值范围为[83,+∞)．