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2023-2024学年江苏省扬州市邗江区五校联盟高二（下）第二次联考数学试卷（含答案）
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这是一份2023-2024学年江苏省扬州市邗江区五校联盟高二（下）第二次联考数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A={−1,0,1,2}，B={x|0A. {−1,0,1}B. {0,1}C. {−1,1,2}D. {1,2}
2.设a∈R，则“a>1”是“a2>a”的
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
3.设变量X和变量Y的样本相关系数为r1，变量U和变量V的样本相关系数为r2，且r1=0.734，r2=−0.983，则( )
A. X和Y之间呈正线性相关关系，且X和Y的线性相关程度强于U和V的线性相关程度
B. X和Y之间呈负线性相关关系，且X和Y的线性相关程度强于U和V的线性相关程度
C. U和V之间呈负线性相关关系，且X和Y的线性相关程度弱于U和V的线性相关程度
D. U和V之间呈正线性相关关系，且X和Y的线性相关程度弱于U和V的线性相关程度
4.设随机变量X服从二项分布B(9,13)，则D(X)=( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
5.已知法向量为n=(1,0,1)的平面α内有一点A(−1,1,0)，则平面外点P(−1,1,1)到平面α的距离为( )
A. 1B. 2C. 22D. 2
6.盒中有除颜色外完全相同的2个红球和3个黑球，随机地从中取出1个，观察其颜色后放回，并加上同色球2个，再从盒中取出1个球，则取出的是黑球的概率为( )
A. 35B. 37C. 57D. 47
7.甲、乙两名大学生利用假期时间参加社会实践活动，可以从A，B，C，D四个社区中随机选择一个社区，设事件M为“甲和乙至少一人选择了A社区”，事件N为“甲和乙选择的社区不相同”，则P(N|M)=( )
A. 56B. 67C. 78D. 59
8.已知函数f(x)=x−asinx，对任意的x1，x2∈(−∞,+∞)，且x1≠x2，不等式f(x1)−f(x2)x1−x2>a恒成立，则实数a的取值范围是( )
A. a<12B. a≤12C. a>12D. a≥12
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知(x+2)(2x−1)4=a0+a1x+⋯+a5x5，则下列结论正确的是( )
A. a0+a2+a4=42B. a0=2
C. a1+a3+a5=39D. a5=16
10.现将8把椅子排成一排，4位同学随机就座，则下列说法中正确的是( )
A. 4个空位全都相邻的坐法有120种
B. 4个空位中只有3个相邻的坐法有240种
C. 4个空位均不相邻的坐法有120种
D. 4个空位中至多有2个相邻的坐法有840种
11.在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E、F、G分别为BC，CC1，BB1的中点，则下列选项正确的是( )
A. BD⊥AF
B. 直线A1G与EF所成角的余弦值为 1010
C. 三棱锥G−AEF的体积为13
D. 存在实数λ、μ使得A1G=λAF+μAE
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.小明上班的路上有4个红绿灯路口，假如他走到每个红绿灯路口遇到绿灯的概率为23，则他在上班的路上恰好遇到2次绿灯的概率为______．
13.若随机变量X～N(μ,σ2)(σ>0)，则有如下结论：(P(|X−μ|<σ)=0.6826,P(|X−μ|<2σ)=0.9544,P(|X−μ|<3σ)=0.9974)，高二(1)班有45名同学，一次数学考试的成绩服从正态分布，平均分为120，方差为100，理论上说在130分以上人数约为______．
14.设A，B是一个随机试验中的两个零件，若P(B)=34，P(A|B)=13，P(A+B)=23，则P(A)= ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知命题P：∀x∈R，x2+4x+a+1>0为真命题．
(1)求实数a的取值集合A；
(2)设B={x|2m16.(本小题15分)
袋子里有大小相同但标有不同号码的3个红球和4个黑球，从袋子里随机取出4个球．
(1)求取出的红球数ξ的概率分布列；
(2)若取到每个红球得2分，取到每个黑球得1分，求得分不超过5分的概率．
17.(本小题15分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，四边形ABCD为直角梯形，AB//CD，∠DAB=60°，CD=1，AB=3，△PBC为等边三角形，F为线段BC的中点，平面PCB⊥平面ABCD，E为线段PF上一点．
(1)证明：PF⊥AD；
(2)当EF为何值时，直线BE与平面PAD夹角的正弦值为 74．
18.(本小题17分)
某汽车文化自媒体公司主打对越野车越野能力的测评，为调查车友们对越野车的了解程度，随机抽取了200名车友进行调查，得到如下表的数据：
(Ⅰ)完成上面的2×2列联表，根据小概率值α=0.05的独立性检验，能否认为车友对越野车的了解程度与性别有关？
(Ⅱ)该公司组织5名驾驶水平相当的员工在户外场地进行汽车越野活动，他们需要合作闯关，一共有两关，每次由一名员工上场，闯过第一关才能闯第二关，若闯某一关失败，则换下一名员工从失败的这一关开始闯，同一员工不重复上场，当有人闯过第二关时或者5名员工都闯关失败时活动结束.若无论前面的闯关结果如何，每名员工闯过第一关的概率都为12，闯过第二关的概率都为23，求第三名员工闯关后活动恰好结束的概率．
附：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)．
19.(本小题17分)
已知函数f(x)=12ax2+2x(a≠0)，g(x)=lnx．
(1)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为3，求a的值；
(2)若ℎ(x)=f(x)−g(x)存在单调增区间，求a的取值范围；
(3)是否存在实数a>0，使得方程g(x)x=f′(x)−(2a+1)在区间(1e,e)内有且只有两个不相等的实数根？若存在，求出a的取值范围？若不存在，请说明理由．
答案
1.D
2.A
3.C
4.B
5.C
6.A
7.B
8.B
9.ABD
10.AC
11.ABD
12.827
13.7人
14.16
15.解：(1)依题意，关于x的不等式x2+4x+a+1>0恒成立，
于是得Δ=16−4(a+1)<0，解得a>3，
所以实数a的取值的集合A={a|a>3}．
(2)因为x∈A是x∈B的必要不充分条件，所以B为A的真子集．
又B={x|2m所以2m<2+m2m≥3，得32≤m<2，
所以实数m的取值范围为[32,2)．
16.解：(1)∵ξ的可能取值为0，1，2，3，且ξ的分布列是一个超几何分布列．
∴ξ的分布列为
(2)∵得分η=2ξ+4−ξ=ξ+4≤5∴ξ≤1，
∵p(ξ≤1)=p(ξ=0)+p(ξ=1)=1335
∴得分不超过(5分)的概率为1335
17.(1)证明：因为△PBC为等边三角形，F为线段BC的中点，
所以PF⊥BC，又因为平面PCB⊥平面ABCD，平面PCB∩平面ABCD=BC，PF⊂平面PCB，
所以PF⊥平面ABCD，
而AD⊂平面PCB，
所以PF⊥AD；
(2)解：底面四边形ABCD中，过D作DM⊥AB交于M，
四边形ABCD为直角梯形，AB//CD，∠DAB=60°，CD=1，AB=3，
可得BM=1，AM=2，
可得DM=BC=2 3，
因为△PBC为等边三角形，F为线段BC的中点，
可得PF= 32⋅2 3=3，
过F作FN//CD交AD于N，
以F为坐标原点，以FB，FN，FP所在的直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
则F(0,0,0)，P(0,0,3)，A( 3,3,0)，D(− 3,1,0)，B( 3,0,0)，
设E(0,0,t)，则BE=(− 3,0,t)，t∈[0,3]，
DA=(2 3,2,0)，DP=( 3,−1,3)，
设平面PAD的法向量为n=(x,y,z)，
则n⋅DA=0n⋅DP=0，即2 3x+2y=0 3x−y+3z=0，
令x= 3，则n=( 3,−3,−2)，
n⋅BE= 3⋅(− 3)−3×0−2t=−3−2t，|n|= 3+9+4=4，|BE|= 3+t2，
因为直线BE与平面PAD夹角的正弦值为 74，
所以|cs|= 74=|n⋅BE|n|⋅|BE||=|−3−2t4⋅ 3+t2|，
整理可得t2−4t+t=4=0，可得t=2．
故|EF|=2．
18.解：(Ⅰ)完成2×2列联表如下：
所以χ2=200×(62×22−78×38)2100×100×60×140=12821≈6.095，
因为6.095>3.841，所以根据小概率值α=0.05的独立性检验，可以认为车友对越野车的了解程度与性别有关；
(Ⅱ)分3种情况：①前面两名员工都没有闯过第一关，第三名员工闯过两关，其概率为P1=12×12×12×23=112，
②第一名员工闯过第一关，未闯过第二关，第二名员工未闯过第二关，第三名员工闯过第二关，其概率为P2=12×13×13×23=127，
③第一名员工未闯过第一关，第二名员工闯过第一关，未闯过第二关，第三名员工闯过第二关，其概率为P3=12×12×13×23=118，
因此，第三名员工闯关后活动恰好结束的概率为P1+P2+P3=19108．
19.解：(1)f′(x)=ax+2，若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为3，
则f′(1)=a+2=3，解得a=1；
(2)由已知，得ℎ(x)=12ax2+2x−lnx，且x>0，
则ℎ′(x)=ax+2−1x=ax2+2x−1x，
∵函数ℎ(x)存在单调递增区间，∴ℎ′(x)>0在(0,+∞)上有解，
即不等式ax2+2x−1>0在(0,+∞)上有解．
①当a<0时，y=ax2+2x−1的图象为开口向下的抛物线，对称轴为x=−1a>0，
要使ax2+2x−1>0在(0,+∞)上总有解，只需Δ=4+4a>0，即a>−1.即−1②当a>0时，y=ax2+2x−1的图象为开口向上的抛物线，ax2+2x−1>0 一定有解．
综上，a的取值范围是(−1,0)∪(0,+∞)；
(3)方程g(x)x=f′(x)−(2a+1)，
则lnxx=ax+2−(2a+1)=ax+(1−2a)，
即ax2+(1−2a)x−lnx=0，
设ℎ(x)=ax2+(1−2a)x−lnx．
于是原方程在区间(1e,e)内根的问题，转化为函数ℎ(x)在区间(1e,e)内的零点问题，
ℎ′(x)=2ax+(1−2a)−1x=2ax2+(1−2a)x−1x=(2ax+1)(x−1)x，
当x∈(0,1)时，ℎ′(x)<0，ℎ(x)是减函数；
当x∈(1,+∞)时，ℎ′(x)>0，ℎ(x)是增函数；
若ℎ(x)在(1e,e)内有且只有两个不相等的零点，只须：
ℎ(1e)=a2e2+1−2ae+1=(1−2e)a+e2+ee2>0ℎ(x)min=ℎ(1)=a+(1−2a)=1−a<0ℎ(e)=ae2+(1−2e)a−1=(e2−2e)a+(e−1)>0，
解得1女性
男性
总计
比较了解
78
不太了解
38
总计
140
200
α
0.05
0.025
0.005
xα
3.841
5.024
7.879
ξ
0
1
2
3
P
135
1235
1835
435
女性
男性
总计
比较了解
22
78
100
不太了解
38
62
100
总计
60
140
200
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A={−1,0,1,2}，B={x|0
2.设a∈R，则“a>1”是“a2>a”的
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
3.设变量X和变量Y的样本相关系数为r1，变量U和变量V的样本相关系数为r2，且r1=0.734，r2=−0.983，则( )
A. X和Y之间呈正线性相关关系，且X和Y的线性相关程度强于U和V的线性相关程度
B. X和Y之间呈负线性相关关系，且X和Y的线性相关程度强于U和V的线性相关程度
C. U和V之间呈负线性相关关系，且X和Y的线性相关程度弱于U和V的线性相关程度
D. U和V之间呈正线性相关关系，且X和Y的线性相关程度弱于U和V的线性相关程度
4.设随机变量X服从二项分布B(9,13)，则D(X)=( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
5.已知法向量为n=(1,0,1)的平面α内有一点A(−1,1,0)，则平面外点P(−1,1,1)到平面α的距离为( )
A. 1B. 2C. 22D. 2
6.盒中有除颜色外完全相同的2个红球和3个黑球，随机地从中取出1个，观察其颜色后放回，并加上同色球2个，再从盒中取出1个球，则取出的是黑球的概率为( )
A. 35B. 37C. 57D. 47
7.甲、乙两名大学生利用假期时间参加社会实践活动，可以从A，B，C，D四个社区中随机选择一个社区，设事件M为“甲和乙至少一人选择了A社区”，事件N为“甲和乙选择的社区不相同”，则P(N|M)=( )
A. 56B. 67C. 78D. 59
8.已知函数f(x)=x−asinx，对任意的x1，x2∈(−∞,+∞)，且x1≠x2，不等式f(x1)−f(x2)x1−x2>a恒成立，则实数a的取值范围是( )
A. a<12B. a≤12C. a>12D. a≥12
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知(x+2)(2x−1)4=a0+a1x+⋯+a5x5，则下列结论正确的是( )
A. a0+a2+a4=42B. a0=2
C. a1+a3+a5=39D. a5=16
10.现将8把椅子排成一排，4位同学随机就座，则下列说法中正确的是( )
A. 4个空位全都相邻的坐法有120种
B. 4个空位中只有3个相邻的坐法有240种
C. 4个空位均不相邻的坐法有120种
D. 4个空位中至多有2个相邻的坐法有840种
11.在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E、F、G分别为BC，CC1，BB1的中点，则下列选项正确的是( )
A. BD⊥AF
B. 直线A1G与EF所成角的余弦值为 1010
C. 三棱锥G−AEF的体积为13
D. 存在实数λ、μ使得A1G=λAF+μAE
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.小明上班的路上有4个红绿灯路口，假如他走到每个红绿灯路口遇到绿灯的概率为23，则他在上班的路上恰好遇到2次绿灯的概率为______．
13.若随机变量X～N(μ,σ2)(σ>0)，则有如下结论：(P(|X−μ|<σ)=0.6826,P(|X−μ|<2σ)=0.9544,P(|X−μ|<3σ)=0.9974)，高二(1)班有45名同学，一次数学考试的成绩服从正态分布，平均分为120，方差为100，理论上说在130分以上人数约为______．
14.设A，B是一个随机试验中的两个零件，若P(B)=34，P(A|B)=13，P(A+B)=23，则P(A)= ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知命题P：∀x∈R，x2+4x+a+1>0为真命题．
(1)求实数a的取值集合A；
(2)设B={x|2m
袋子里有大小相同但标有不同号码的3个红球和4个黑球，从袋子里随机取出4个球．
(1)求取出的红球数ξ的概率分布列；
(2)若取到每个红球得2分，取到每个黑球得1分，求得分不超过5分的概率．
17.(本小题15分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，四边形ABCD为直角梯形，AB//CD，∠DAB=60°，CD=1，AB=3，△PBC为等边三角形，F为线段BC的中点，平面PCB⊥平面ABCD，E为线段PF上一点．
(1)证明：PF⊥AD；
(2)当EF为何值时，直线BE与平面PAD夹角的正弦值为 74．
18.(本小题17分)
某汽车文化自媒体公司主打对越野车越野能力的测评，为调查车友们对越野车的了解程度，随机抽取了200名车友进行调查，得到如下表的数据：
(Ⅰ)完成上面的2×2列联表，根据小概率值α=0.05的独立性检验，能否认为车友对越野车的了解程度与性别有关？
(Ⅱ)该公司组织5名驾驶水平相当的员工在户外场地进行汽车越野活动，他们需要合作闯关，一共有两关，每次由一名员工上场，闯过第一关才能闯第二关，若闯某一关失败，则换下一名员工从失败的这一关开始闯，同一员工不重复上场，当有人闯过第二关时或者5名员工都闯关失败时活动结束.若无论前面的闯关结果如何，每名员工闯过第一关的概率都为12，闯过第二关的概率都为23，求第三名员工闯关后活动恰好结束的概率．
附：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)．
19.(本小题17分)
已知函数f(x)=12ax2+2x(a≠0)，g(x)=lnx．
(1)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为3，求a的值；
(2)若ℎ(x)=f(x)−g(x)存在单调增区间，求a的取值范围；
(3)是否存在实数a>0，使得方程g(x)x=f′(x)−(2a+1)在区间(1e,e)内有且只有两个不相等的实数根？若存在，求出a的取值范围？若不存在，请说明理由．
答案
1.D
2.A
3.C
4.B
5.C
6.A
7.B
8.B
9.ABD
10.AC
11.ABD
12.827
13.7人
14.16
15.解：(1)依题意，关于x的不等式x2+4x+a+1>0恒成立，
于是得Δ=16−4(a+1)<0，解得a>3，
所以实数a的取值的集合A={a|a>3}．
(2)因为x∈A是x∈B的必要不充分条件，所以B为A的真子集．
又B={x|2m
所以实数m的取值范围为[32,2)．
16.解：(1)∵ξ的可能取值为0，1，2，3，且ξ的分布列是一个超几何分布列．
∴ξ的分布列为
(2)∵得分η=2ξ+4−ξ=ξ+4≤5∴ξ≤1，
∵p(ξ≤1)=p(ξ=0)+p(ξ=1)=1335
∴得分不超过(5分)的概率为1335
17.(1)证明：因为△PBC为等边三角形，F为线段BC的中点，
所以PF⊥BC，又因为平面PCB⊥平面ABCD，平面PCB∩平面ABCD=BC，PF⊂平面PCB，
所以PF⊥平面ABCD，
而AD⊂平面PCB，
所以PF⊥AD；
(2)解：底面四边形ABCD中，过D作DM⊥AB交于M，
四边形ABCD为直角梯形，AB//CD，∠DAB=60°，CD=1，AB=3，
可得BM=1，AM=2，
可得DM=BC=2 3，
因为△PBC为等边三角形，F为线段BC的中点，
可得PF= 32⋅2 3=3，
过F作FN//CD交AD于N，
以F为坐标原点，以FB，FN，FP所在的直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
则F(0,0,0)，P(0,0,3)，A( 3,3,0)，D(− 3,1,0)，B( 3,0,0)，
设E(0,0,t)，则BE=(− 3,0,t)，t∈[0,3]，
DA=(2 3,2,0)，DP=( 3,−1,3)，
设平面PAD的法向量为n=(x,y,z)，
则n⋅DA=0n⋅DP=0，即2 3x+2y=0 3x−y+3z=0，
令x= 3，则n=( 3,−3,−2)，
n⋅BE= 3⋅(− 3)−3×0−2t=−3−2t，|n|= 3+9+4=4，|BE|= 3+t2，
因为直线BE与平面PAD夹角的正弦值为 74，
所以|cs
整理可得t2−4t+t=4=0，可得t=2．
故|EF|=2．
18.解：(Ⅰ)完成2×2列联表如下：
所以χ2=200×(62×22−78×38)2100×100×60×140=12821≈6.095，
因为6.095>3.841，所以根据小概率值α=0.05的独立性检验，可以认为车友对越野车的了解程度与性别有关；
(Ⅱ)分3种情况：①前面两名员工都没有闯过第一关，第三名员工闯过两关，其概率为P1=12×12×12×23=112，
②第一名员工闯过第一关，未闯过第二关，第二名员工未闯过第二关，第三名员工闯过第二关，其概率为P2=12×13×13×23=127，
③第一名员工未闯过第一关，第二名员工闯过第一关，未闯过第二关，第三名员工闯过第二关，其概率为P3=12×12×13×23=118，
因此，第三名员工闯关后活动恰好结束的概率为P1+P2+P3=19108．
19.解：(1)f′(x)=ax+2，若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为3，
则f′(1)=a+2=3，解得a=1；
(2)由已知，得ℎ(x)=12ax2+2x−lnx，且x>0，
则ℎ′(x)=ax+2−1x=ax2+2x−1x，
∵函数ℎ(x)存在单调递增区间，∴ℎ′(x)>0在(0,+∞)上有解，
即不等式ax2+2x−1>0在(0,+∞)上有解．
①当a<0时，y=ax2+2x−1的图象为开口向下的抛物线，对称轴为x=−1a>0，
要使ax2+2x−1>0在(0,+∞)上总有解，只需Δ=4+4a>0，即a>−1.即−1
综上，a的取值范围是(−1,0)∪(0,+∞)；
(3)方程g(x)x=f′(x)−(2a+1)，
则lnxx=ax+2−(2a+1)=ax+(1−2a)，
即ax2+(1−2a)x−lnx=0，
设ℎ(x)=ax2+(1−2a)x−lnx．
于是原方程在区间(1e,e)内根的问题，转化为函数ℎ(x)在区间(1e,e)内的零点问题，
ℎ′(x)=2ax+(1−2a)−1x=2ax2+(1−2a)x−1x=(2ax+1)(x−1)x，
当x∈(0,1)时，ℎ′(x)<0，ℎ(x)是减函数；
当x∈(1,+∞)时，ℎ′(x)>0，ℎ(x)是增函数；
若ℎ(x)在(1e,e)内有且只有两个不相等的零点，只须：
ℎ(1e)=a2e2+1−2ae+1=(1−2e)a+e2+ee2>0ℎ(x)min=ℎ(1)=a+(1−2a)=1−a<0ℎ(e)=ae2+(1−2e)a−1=(e2−2e)a+(e−1)>0，
解得1
男性
总计
比较了解
78
不太了解
38
总计
140
200
α
0.05
0.025
0.005
xα
3.841
5.024
7.879
ξ
0
1
2
3
P
135
1235
1835
435
女性
男性
总计
比较了解
22
78
100
不太了解
38
62
100
总计
60
140
200
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