2023-2024学年福建省泉州市安溪一中高一（下）质检数学试卷（6月份）（含答案）

这是一份2023-2024学年福建省泉州市安溪一中高一（下）质检数学试卷（6月份）（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知向量a=(1,λ)，b=(μ,2)，若a//b，则( )
A. μ=2λB. μ=−2λC. λμ=2D. λμ=−2
2.已知复数z满足z−z−=0，且z⋅z−=4，则z=( )
A. 2B. 2iC. ±2D. ±2i
3.根据河北省第七次全国人口普查结果，2020年11月1日零时全省各地区的人口数据如下表所示，则这14个地区的数据的第85百分位数为( )
A. 1095986B. 7717983C. 9242610D. 9413990
4.一个内壁底面半径为2的圆柱体玻璃杯中盛有体积为V的水，若放入一个玻璃球(球的半径与圆柱体玻璃杯内壁的底面半径相同)后，水恰好淹没了玻璃球，则V=( )
A. 20π3B. 6πC. 16π3D. 8π
5.A队共有甲、乙两名队员回答某道题，有1人答出则此题回答正确，甲答出的概率为15，乙答出的概率为16，则此题A队回答正确的概率是( )
A. 215B. 16C. 13D. 12
6.在平行四边形ABCD中，∠A=60°，AB=1，AD=2，将△ABD沿BD折起，使得平面ABD⊥平面BCD，则B到平面ACD的距离为( )
A. 33B. 22C. 53D. 32
7.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用(如图1)．

明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理(如图2).假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动，筒车转轮的中心O到水面的距离ℎ为1.5m，筒车的半径r为2.5m，筒车转动的角速度ω为π12rad/s，如图3所示，盛水桶M(视为质点)的初始位置P0距水面的距离为3m，则3s后盛水桶M到水面的距离近似为( )( 2≈1.414, 3≈1.732)
A. 4.0mB. 3.8mC. 3.6mD. 3.4m
8.瑞士数学家欧拉是数学史上最多产的数学家，被誉为“数学之王”，欧拉在1765年发表了令人赞美的欧拉线定理：三角形的重心、垂心和外心共线，这条直线被称为欧拉线.已知M，N，O，P为△ABC所在平面上的点，满足|MA|=|MB|=|MC|，NA+NB+NC=0，OA⋅OB=OB⋅OC=OC⋅OA，aPA+bPB+cPC=0(a,b,c分别为△ABC的内角A，B，C的对边)，则欧拉线一定过( )
A. M，N，PB. M，N，OC. M，O，PD. N，O，P
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若复数z=m2−2m−3+ m+1i(m∈R)，则下列说法正确的是( )
A. 若z为实数，则m=−1B. 若z为纯虚数，则m=3或−1
C. z在复平面内对应的点不可能在第二象限D. z在复平面内对应的点不可能在第三象限
10.已知点M是△ABC的重心，点A(1,2)，B(2,3)，C(−2,5)，点D是BC上靠近点B的三等分点，则( )
A. M(13,103)B. D(23,113)
C. 〈MD,AC〉=π3D. |3MD−AC|=2 6
11.在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b=1，a2−b2=c，则( )
A. A=2BB. B=2A
C. a的取值范围是(1, 3)D. a的取值范围是( 2, 3)
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知i3(m+i)=1，则实数m的值为______．
13.正△ABC边长为2，点P满足AP=AB+AC，则BP⋅AB= ______．
14.已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，定义a×b为向量a与b的向量积，a×b是一个向量，它的模|a×b|=|a||b|sinθ.若a⋅b=k|a×b|，则
(1)当k= 3时，θ= ______；
(2)若向量a与b为单位向量，当k= 1515时，a在a+b上的投影向量(与a+b同向的单位向量为e)为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知复数z满足|z+2i|=5，z−=a+(3−a)i(a>0)．
(1)求a；
(2)若复数z1满足z1(z1−+2)=a+2i，求z1．
16.(本小题15分)
某市对该市全体高中学生举行了一次关于环境保护相关知识的测试，统计人员从A校随机抽取了300名学生，从B校随机抽取了400名学生，统计后发现所有学生的测试成绩都在区间[50,100]内，并将收集到的数据按照[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]分组，绘制成频率分布直方图，如图所示．

(1)估计A校这300名学生成绩的75%分位数；
(2)根据频率分布直方图，假设同组中的每个数据用该组区间的中点值代替，估计A校抽取的300名学生成绩的平均值为μ1，B校抽取的400名学生成绩的平均值为μ2，以及A，B两校抽取的700名学生成绩的平均值为μ0，试比较μ0和μ1+μ22的大小．
17.(本小题15分)
如图，在三棱锥A−BCD中，AB=AD，AB⊥AD，CA=CB=CD=BD=2，O为BD的中点．
(1)求证：AO⊥平面BCD；
(2)求异面直线AB与CD所成角的余弦值．
18.(本小题17分)
如图，在扇形OPQ中，半径OQ=1，圆心角∠POQ=π3，C是扇形弧上的动点，矩形ABCD内接于扇形，设∠POC=θ．
(1)试建立矩形ABCD的面积S关于θ的函数关系式；
(2)在(1)的条件下，当θ为何值时，S取最大值，并求出最大值．
19.(本小题17分)
如图，在三棱台ABC−A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，∠ABC=90°，AB=BC=4，A1B1=2，BB1=2 2．
(1)证明：BC1⊥A1C；
(2)求A1B与平面ACC1A1所成角的正弦值．
答案
1.C
2.C
3.C
4.C
5.C
6.D
7.A
8.B
9.AD
10.AB
11.AD
12.0
13.2
14.π6 104e
15.解：(1)由题意得z=a+(a−3)i，
z+2i=a+(a−1)i，
所以a2+(a−1)2=25⇒a=4或a=−3(舍去)，
故a=4；
(2)设z1=x+yi(x,y∈R)，
则z1z1−=x2+y2，x2+y2+2(x+yi)=4+2i
所以x2+y2+2x=42y=2，解得x=1y=1或x=−3y=1，
所以z1=1+i或−3+i．
16.解：(1)不妨设75%分位数为x，
此时x∈[80,90)，
则10×0.005+10×0.015+10×0.02+(x−80)×0.04=0.75，
解得x=88.75，
所以估计A校这300名学生成绩的75%分位数为88.75；
(2)易知μ1=(55×0.005+65×0.015+75×0.02+85×0.04+95×0.02)×10=80.5，
μ2=55×0.05+65×0.2+75×0.35+85×0.3+95×0.1=77，
此时μ1+μ22=80.5+772=78.75，
因为统计人员从A校随机抽取了300名学生，从B校随机抽取了400名学生，
所以A校与B校抽取的学生人数比值为3：4，
则A校抽取的学生人数占总数的37,B校抽取的学生人数占总数的47，
所以A，B两个学校抽取的700名学生成绩的平均值μ0=37μ1+47μ2=37×80.5+47×77=78.5，
因为78.5<78.75，
所以μ0<μ1+μ22．
17.(1)证明：连接OC．
在Rt△ABD中，因为AB=AD，O是BD的中点，所以AO⊥BD，

AO=12BD=12×2=1．
在等边△BCD中，OC=CDsinπ3=2× 32= 3．
在△AOC中，AO=1，OC= 3，AC=2，
所以AO2+CO2=AC2，所以∠AOC=90°，即AO⊥OC．
又OC⋂BD=O，OC⊂平面BCD，BD⊂平面BCD，
所以AO⊥平面BCD．
(2)解：
分别取AC，BC的中点M，E，连接OM、ME、OE．
因为O，E，M分别是BD，BC，AC的中点，
所以EM，OE分别是△ABC，△BCD的中位线，
所以OE/​/DC，EM/​/AB，
所以∠OEM(或其补角)就是异面直线AB与CD所成的角，
在△OEM中，EM=12AB= 22，OE=12DC=1．
因为OM是Rt△AOC斜边上的中线，所以OM=12AC=1．
在等腰△OEM中，cs∠OEM=12EMOE= 24．
所以异面直线AB与CD所成角的余弦值为 24．
18.解：(1)在Rt△OBC中，BC=sinθ，OB=csθ，
在Rt△OAD中，ADOA=tanπ3，
所以OA=ADtanπ3=AD 3=BC 3=sinθ 3，
矩形ABCD的面积为
S=AB⋅BC=(OB−OA)⋅BC=(csθ−sinθ 3)⋅sinθ．
(2)由S=(csθ−sinθ 3)⋅sinθ=sinθcsθ−1 3sin2θ
=12sin2θ−1 3⋅1−cs2θ2=12sin2θ+12 3cs2θ− 36
=1 3( 32sin2θ+12cs2θ)− 36=1 3sin(2θ+π6)− 36．
由0<θ<π3，得π6<2θ+π6<5π6，
当2θ+π6=π2，即θ=π6时，Smax =1 3− 36= 36．
因此，当θ=π6时，S取最大值，且最大值为 36．
19.(1)证明：因为BB1⊥平面ABC，∠ABC=90°，
所以以B为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

则A(0,4,0)，B(0,0,0)，C(4,0,0)，A1(0,2,2 2)，C1(2,0,2 2)，
所以BC1=(2,0,2 2)，A1C=(4,−2,−2 2)，
所以BC1⋅A1C=2×4−2 2×2 2=0，即BC1⊥A1C.
(2)解：由(1)知，BA1=(0,2,2 2)，AC=(4,−4,0)，
设平面ACC1A1的法向量为n=(x,y,z)，则n⋅A1C=0n⋅AC=0，即4x−2y−2 2z=04x−4y=0，
令x=y= 2，则z=1，所以n=( 2, 2,1)，
设A1B与平面ACC1A1所成角为θ，则sinθ=|cs|=|BA1⋅n||BA1|⋅|n|=2 2+2 22 3× 5=2 3015，
故A 1B与平面ACC1A1所成角的正弦值为2 3015．
地区
石家庄
唐山
秦皇岛
邯郸
邢台
保定
张家口
人口数
10640458
7717983
3136879
9413990
7111106
9242610
4118908
地区
承德
沧州
廊坊
衡水
定州
辛集
雄安新区
人口数
3354444
7300783
5464087
4212933
1095986
594628
1205440