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2023-2024学年北京市朝阳区北京中学高二下学期4月期中质量调研数学试题（含答案）
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这是一份2023-2024学年北京市朝阳区北京中学高二下学期4月期中质量调研数学试题（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知集合A=−1,0,1,B=xx(x−1)≤0，则A∩B=( )
A. ⌀B. {0}C. {1}D. {0,1}
2.已知x>y>0，则下列不等关系中正确的是( )
A. csx>csyB. lg3x3.经统计，某市高三学生期末数学成绩X∼N85,σ2，且P80A. 0.35B. 0.65C. 0.7D. 0.85
4.两个无穷小之比或两个无穷大之比的极限可能存在，也可能不存在，为此，洛必达在1696年提出洛必达法则，即在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法，如limx→0ex−1x=limx→0ex−1′x′=limx→0ex1=1，则limx→1lnx+x−1x2+x−2=( )
A. 13B. 23C. 1D. 2
5.东坝万达广场五一劳动节期间将举行全场满999元获得一次抽奖的酬宾活动，已知各奖项中奖率分别是：一等奖为160，二等奖为130，三等奖为15，四等奖为13，其余为纪念奖．若某顾客获得了2次抽奖机会，那么该顾客至少抽得一次三等奖的概率为( )
A. 15B. 925C. 760D. 29150
6.北京地铁12号线是一条主要沿北三环东西向敷设的轨道交通干线，全长约30公里，设21座车站，跨越海淀、西城、东城、朝阳四个行政区，预计2024年7月1日正式开通，它的开通将填补东坝地区轨道交通的空白．
作为“地下北三环”，12号线开通后还能有效缓解英才高二年级许老师和郑老师的上下班通勤压力.若许老师和郑老师同时从东坝西站乘坐同一辆地铁，已知他们乘坐地铁都不超过18站，地铁票价如下表，且他们各自在每个站下地铁的可能性相同，
则下列结论中不正确的是( )
A. 若许老师、郑老师两人共花费7元，则许老师、郑老师下地铁的不同方案共有24种
B. 若许老师、郑老师两人共花费10元，则许老师、郑老师下地铁的不同方案共有88种
C. 若许老师、郑老师两人共花费9元，则郑老师比许老师先下地铁的概率为13
D. 若许老师、郑老师两人共花费9元，则郑老师比许老师先下地铁的概率为12
7.已知x1，x2∈R，则“x1>x2>1”是“x1−lnx1>x2−lnx2”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
8.已知随机变量ξi满足Pξi=0=pi，Pξi=1=1−pi，且0A. p1p2，且Dξ1>Dξ2
C. p1Dξ2D. p1>p2，且Dξ19.一次演出，原计划要排4个节目，因临时有变化，拟再添加2个小品节目，若保持原有4个节目的相对顺序不变，则这6个节目不同的排列方法有( )
A. 20种B. 25种C. 30种D. 32种
10.甲医院在某段时间内累计留院观察的某病疑似患者有98人.经检测后分为确诊组和排除组，患者年龄分布如下表：
为研究患病与年龄的关系，现采用两种抽样方式.第一种：从98人中随机抽取7人.第二种：从排除组的84人中随机抽取7人.用X,Y分别表示两种抽样方式下80岁及以上的人数与80岁以下的人数之比.给出下列四个结论：
①在第一种抽样方式下，抽取的7人中一定有1人在确诊组；
②在第二种抽样方式下，抽取的7人都小于20岁的概率是0；
③X,Y的取值范围都是0,16,25；
④E(X)其中，正确结论的个数为( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
11.若x2−1xn展开式中的所有二项式系数和为512，则n= ；该展开式中x9的系数为 (结果用数字表示)．
12.已知春季里，每天甲、乙两地下雨的概率分别为20%与18%，且两地同时下雨的概率为12%，则在春季的一天里，已知乙地下雨的条件下，甲地也下雨的概率为 ．
13.已知不等式ax+1x≥4对任意正实数x恒成立，写出一个a的可能值为 ．
14.英才高二年级男女生人数之比为11∶9，4月2日视力检测统计结果为男生近视率为0.7，女生近视率为0.5，则英才高二年级学生的近视率为 ．
15.2024年3月17日，英才高二年级倪同学、唐同学、张同学和潘同学参加了2023−2024学年全国中学生地球科学奥林匹克竞赛北京赛区预赛，竞赛按照名次设置一等奖、二等奖、三等奖三个奖项，已知4位同学的分数都在获奖达标分数线以上，则这4位同学恰有1人获得一等奖、2人获得二等奖、1人获得三等奖的概率为 ．
16.已知函数fx=xex−e−x+x2，若fa0；②ab<0；③a+bb>0；④a+ba<0.则其中正确的有 .(填上你认为所有正确结论的序号)
三、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题12分)
已知集合A=xx2−x−2<0，B=x2x−5≥3．
(1)求A∪B，A∩∁RB；
(2)记关于x的不等式x2−2m+4x+m2+4m<0的解集为M，若B∪M=R，求实数m的取值范围．
18.(本小题12分)
已知函数fx=1−x+x2e2−x
(1)求曲线y=fx在0,f0处的切线方程；
(2)设函数gx=f′x，求gx的单调区间；
(3)指出fx极值点的个数，并说明理由．
19.(本小题12分)
甲、乙、丙三人进行飞碟射击比赛，共比赛10场，规定每场比赛分数最高者获胜，三人得分(单位：分)情况统计如下：
(1)从上述10场比赛中随机选择一场，求甲获胜的概率；
(2)在上述10场比赛中，从甲得分不低于10分的场次中随机选择两场，设X表示乙得分大于丙得分的场数，求X的分布列和数学期望EX；
(3)假设每场比赛获胜者唯一，且各场相互独立，用上述10场比赛中每人获胜的频率估计其获胜的概率.甲、乙、丙三人接下来又将进行6场投篮比赛，设Y1为甲获胜的场数，Y2为乙获胜的场数，Y3为丙获胜的场数，写出方差DY1，DY2，DY3的大小关系(直接写出结果)．
20.(本小题12分)
已知函数fx=−1x−lnx+aexx(a∈R).
(1)当a=−1时，求函数fx的最大值；
(2)当a>0时，求fx的单调区间；
(3)若对∀x>1，fx≤1−x−1x恒成立，求a的取值范围．
21.(本小题12分)
已知有穷数列A：a1，a2，…，an，满足ai∈0,1(i=1,2,3,...,n)，若存在一个正整数k(2≤k≤n−1)，使得数列A中存在连续的k项与该数列中另一个连续的k项恰好按次序对应相等，则称数列A是“k阶可重复数列”.例如数列A：0，1，1，0，1，1，0.因为a1，a2，a3，a4，与a4，a5，a6，a7按次序对应相等，所以数列an是“4阶可重复数列”．
(1)判断数列A：1，1，0，1，0，1，0，1，1，1.是不是“5阶可重复数列”？如果是，请写出重复的这5项；
(2)若项数为m的数列A一定是“3阶可重复数列”，则m的最小值是多少？说明理由；
(3)假设数列A不是“4阶可重复数列”，若在其最后一项an后再添加一项0或1，均可使新数列是“4阶可重复数列”，且a3=0，求数列A的最后一项an的值．
答案
1.D
2.D
3.A
4.B
5.B
6.C
7.A
8.B
9.C
10.B
11.9；−84
12.23
13.4
15.427
16.①③
17.(1)因为x2−x−2<0，解得−1又因为2x−5≥3，解得x≥4或x≤1，所以B=xx≤1或x≥4，
所以A∪B=xx<2或x≥4；
又因为∁RB=x1(2)因为x2−2m+4x+m2+4m≤0⇔x−mx−m+4≤0，
所以M=xm≤x≤m+4，
若B∪M=R，则m≤1m+4≥4，解得0≤m≤1，
所以m的取值范围是m0≤m≤1．
18.(1)解：由函数fx=x2e2−x−x+1，可得其定义域为R，且f′x=−x2+2xe2−x−1，
可得直线的斜率f′0=−1，且f0=1，所以切线方程为y=−x+1，即x+y−1=0．
(2)解：由(1)知gx=f′x=−x2+2xe2−x−1，可得g′x=x2−4x+2e2−x，
令g′x=0，即x2−4x+2=0，解得x=2− 2或x=2+ 2，
当x∈−∞,2− 2，g′x>0；当x∈2− 2,2+ 2，g′x<0；当x∈2+ 2,+∞，g′x>0，
所以函数gx在−∞,2− 2，2+ 2,+∞单调递增，在2− 2,2+ 2单调递减．
(3)解：函数fx有2个极值点，理由如下：
由(2)知，①当x<2− 2时，函数gx在区间−∞,2− 2上单调递增，
且g2− 2=2 2−1e 2−1>0，g0=−1<0，
所以存在唯一x1∈0,2− 2，使gx1=0；
②当2− 2且g2− 2>0，g2+ 2所以存在唯一x2∈2− 2,2+ 2，使gx2=0；
③当x>2+ 2时，gx在区间2+ 2,+∞上单调递增，
且g2+ 2<0，x→+∞恒有gx<0，故该区间内gx无零点，
综上可得：当x∈−∞,x1，gx=f′x<0；当x∈x1,x2，gx=f′x>0；当x∈x2,+∞，gx=f′x<0，
所以当x=x1时fx取到极小值；当x=x2时fx取到极大值；故fx有2个极值点．
19.(1)解：根据三人投篮得分统计数据，在10场比赛中，甲共获胜5场，
设A表示“从10场比赛中随机选择一场，甲获胜”，则PA=510=12．
(2)解：根据三人投篮得分统计数据，在10场比赛中，甲得分不低于10分的场次有6场，其中乙得分大于丙得分的场次有4场，所以X的所有可能取值为0,1,2，
可得PX=0=C22C40C62=115，PX=1=C21⋅C41C62=815，PX=2=C20C42C62=25，
所以变量X的分布列为
所以，期望为EX=0×115+1×815+2×25=43．
(3)解：由题意，每场比赛甲获胜的概率为12，乙获胜的概率为310，丙获胜的概率为15，
还需要进行6场比赛，而甲、乙、丙获胜的场数符合二项分布，
所以DY1=6×0.5×0.5=1.5，DY2=6×0.3×0.7=1.26，
DY3=6×0.2×0.8=0.96，则DY1>DY2>DY3．
20.(1)当a=−1时，f′x=x−1−ex−1x2，令f′x=0，则x=1，于是可列表如下：
∴当x=1时，fx取最大值为−1−e．
(2)f′x=aex(x−1)x2+1x2−1x=x−1aex−1x2(x>0)，
当a>0时，令f′x=0⇒x=1或x=−lna，
①当00⇒0−lna，由f′x<0⇒1所以函数fx在0,1和−lna,+∞上单调递增，在1,−lna上单调递减；
②当1e0⇒01，由f′x<0⇒−lna所以函数fx在0,−lna和1,+∞上单调递增，在−lna,1上单调递减；
③当a≥1时，由f′x>0⇒x>1，由f′x<0⇒0所以函数fx在1,+∞上单调递增，在0,1上单调递减；
④当a=1e时，由f′x≥0，则函数fx在0,+∞上单调递增．
综上：
当0当1e当a≥1时，函数fx的单调增区间为1,+∞，减区间为0,1；
当a=1e时，函数fx的单调增区间为0,+∞，无减区间．
(3)x>1，则不等式fx≤1−x−1x转化为a≤lnx−x+1xex，
设ℎx=lnx−x+1xex⇒ℎ′x=1−xlnx−x+2ex，
令φx=lnx−x+2(x>0)，则φ′x=1−xx，由φ′x>0⇒01，
所以函数φx在0,1上单调递增，在1,+∞上单调递减，
且φe=3−e>0，φe2=4−e2<0，则函数φx在e,e2内存在唯一的零点x0，
当x∈1,x0时，φx>0，ℎ′x<0，ℎx单调递减，
当x∈x0,+∞时，φx<0，ℎ′x>0，ℎx单调递增，
所以ℎxmin=ℎx0=x0lnx0−x0+1ex0，
又φx0=lnx0−x0+2=0，
得x0=ex0−2，则ℎx0=x0lnx0−x0+1ex0=−x0ex0=−ex0−2ex0=−e−2，
即ℎxmin=−e−2，所以a≤−e−2，即实数a的取值范围为−∞,−e−2．
21.(1)解：数列A：1，1，0，1，0，1，0，1，1，1，
因为a2，a3，a4，a5，a6与a4，a5，a6，a7，a8按次序对应相等，
所以是“5阶可重复数列”，重复的这5项为1，0，1，0，1；
(2)解：因为数列an的每一项只可以是0或1，所以连续3项共有23=8种不同的情形．
若m=11，则数列an中有9组连续3项，则这其中至少有两组按次序对应相等，
即项数为11的数列an一定是“3阶可重复数列”；
若m=10，数列0，0，1，0，1，1，1，0，0，0不是“3阶可重复数列”；
则3≤m<10时，均存在不是“3阶可重复数列”的数列an．
所以，要使数列an一定是“3阶可重复数列”，则m的最小值是11．
(3)由于数列an在其最后一项an后再添加一项0或1，均可使新数列是“5阶可重复数列”，
即在数列an的末项an后再添加一项0或1，则存在i≠j，
使得ai，ai+1，ai+2，ai+3与an−2，an−1，an，0按次序对应相等，
或aj，aj+1，aj+2，aj+3与an−2，an−1，an，1按次序对应相等，
如果a1，a2，a3与an−2，an−1，an不能按次序对应相等，
那么必有2≤i，j≤n−3，i≠j使得ai，ai+1，ai+2、aj，aj+1，aj+2与an−2，an−1，an按次序对应相等．
此时考虑ai−1，aj−1和an−3，其中必有两个相同，
这就导致数列an中有两个连续的四项恰按次序对应相等，
从而数列an是“4阶可重复数列”，这和题设中数列an不是“4阶可重复数列”矛盾．
所以a1，a2，a3与an−2，an−1，an按次序对应相等，从而an=a3=0．乘坐站数
03715票价/元
3
4
5
6
年龄(岁)
0,20
20,40
40,60
60,80
80,+∞
总计
确诊组人数
0
3
7
4
0
14
排除组人数
7
41
15
19
2
84
场次
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
甲
9
13
8
12
14
11
7
9
12
10
乙
8
11
10
7
12
8
8
10
10
13
丙
12
10
9
11
11
9
9
8
9
11
X
0
1
2
P
115
815
25
x
0,1
1
1,+∞
f′x
+
0
−
fx
单调递增
极大值
单调递减
1.已知集合A=−1,0,1,B=xx(x−1)≤0，则A∩B=( )
A. ⌀B. {0}C. {1}D. {0,1}
2.已知x>y>0，则下列不等关系中正确的是( )
A. csx>csyB. lg3x
4.两个无穷小之比或两个无穷大之比的极限可能存在，也可能不存在，为此，洛必达在1696年提出洛必达法则，即在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法，如limx→0ex−1x=limx→0ex−1′x′=limx→0ex1=1，则limx→1lnx+x−1x2+x−2=( )
A. 13B. 23C. 1D. 2
5.东坝万达广场五一劳动节期间将举行全场满999元获得一次抽奖的酬宾活动，已知各奖项中奖率分别是：一等奖为160，二等奖为130，三等奖为15，四等奖为13，其余为纪念奖．若某顾客获得了2次抽奖机会，那么该顾客至少抽得一次三等奖的概率为( )
A. 15B. 925C. 760D. 29150
6.北京地铁12号线是一条主要沿北三环东西向敷设的轨道交通干线，全长约30公里，设21座车站，跨越海淀、西城、东城、朝阳四个行政区，预计2024年7月1日正式开通，它的开通将填补东坝地区轨道交通的空白．
作为“地下北三环”，12号线开通后还能有效缓解英才高二年级许老师和郑老师的上下班通勤压力.若许老师和郑老师同时从东坝西站乘坐同一辆地铁，已知他们乘坐地铁都不超过18站，地铁票价如下表，且他们各自在每个站下地铁的可能性相同，
则下列结论中不正确的是( )
A. 若许老师、郑老师两人共花费7元，则许老师、郑老师下地铁的不同方案共有24种
B. 若许老师、郑老师两人共花费10元，则许老师、郑老师下地铁的不同方案共有88种
C. 若许老师、郑老师两人共花费9元，则郑老师比许老师先下地铁的概率为13
D. 若许老师、郑老师两人共花费9元，则郑老师比许老师先下地铁的概率为12
7.已知x1，x2∈R，则“x1>x2>1”是“x1−lnx1>x2−lnx2”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
8.已知随机变量ξi满足Pξi=0=pi，Pξi=1=1−pi，且0
C. p1
A. 20种B. 25种C. 30种D. 32种
10.甲医院在某段时间内累计留院观察的某病疑似患者有98人.经检测后分为确诊组和排除组，患者年龄分布如下表：
为研究患病与年龄的关系，现采用两种抽样方式.第一种：从98人中随机抽取7人.第二种：从排除组的84人中随机抽取7人.用X,Y分别表示两种抽样方式下80岁及以上的人数与80岁以下的人数之比.给出下列四个结论：
①在第一种抽样方式下，抽取的7人中一定有1人在确诊组；
②在第二种抽样方式下，抽取的7人都小于20岁的概率是0；
③X,Y的取值范围都是0,16,25；
④E(X)
A. 1B. 2C. 3D. 4
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
11.若x2−1xn展开式中的所有二项式系数和为512，则n= ；该展开式中x9的系数为 (结果用数字表示)．
12.已知春季里，每天甲、乙两地下雨的概率分别为20%与18%，且两地同时下雨的概率为12%，则在春季的一天里，已知乙地下雨的条件下，甲地也下雨的概率为 ．
13.已知不等式ax+1x≥4对任意正实数x恒成立，写出一个a的可能值为 ．
14.英才高二年级男女生人数之比为11∶9，4月2日视力检测统计结果为男生近视率为0.7，女生近视率为0.5，则英才高二年级学生的近视率为 ．
15.2024年3月17日，英才高二年级倪同学、唐同学、张同学和潘同学参加了2023−2024学年全国中学生地球科学奥林匹克竞赛北京赛区预赛，竞赛按照名次设置一等奖、二等奖、三等奖三个奖项，已知4位同学的分数都在获奖达标分数线以上，则这4位同学恰有1人获得一等奖、2人获得二等奖、1人获得三等奖的概率为 ．
16.已知函数fx=xex−e−x+x2，若fa
三、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题12分)
已知集合A=xx2−x−2<0，B=x2x−5≥3．
(1)求A∪B，A∩∁RB；
(2)记关于x的不等式x2−2m+4x+m2+4m<0的解集为M，若B∪M=R，求实数m的取值范围．
18.(本小题12分)
已知函数fx=1−x+x2e2−x
(1)求曲线y=fx在0,f0处的切线方程；
(2)设函数gx=f′x，求gx的单调区间；
(3)指出fx极值点的个数，并说明理由．
19.(本小题12分)
甲、乙、丙三人进行飞碟射击比赛，共比赛10场，规定每场比赛分数最高者获胜，三人得分(单位：分)情况统计如下：
(1)从上述10场比赛中随机选择一场，求甲获胜的概率；
(2)在上述10场比赛中，从甲得分不低于10分的场次中随机选择两场，设X表示乙得分大于丙得分的场数，求X的分布列和数学期望EX；
(3)假设每场比赛获胜者唯一，且各场相互独立，用上述10场比赛中每人获胜的频率估计其获胜的概率.甲、乙、丙三人接下来又将进行6场投篮比赛，设Y1为甲获胜的场数，Y2为乙获胜的场数，Y3为丙获胜的场数，写出方差DY1，DY2，DY3的大小关系(直接写出结果)．
20.(本小题12分)
已知函数fx=−1x−lnx+aexx(a∈R).
(1)当a=−1时，求函数fx的最大值；
(2)当a>0时，求fx的单调区间；
(3)若对∀x>1，fx≤1−x−1x恒成立，求a的取值范围．
21.(本小题12分)
已知有穷数列A：a1，a2，…，an，满足ai∈0,1(i=1,2,3,...,n)，若存在一个正整数k(2≤k≤n−1)，使得数列A中存在连续的k项与该数列中另一个连续的k项恰好按次序对应相等，则称数列A是“k阶可重复数列”.例如数列A：0，1，1，0，1，1，0.因为a1，a2，a3，a4，与a4，a5，a6，a7按次序对应相等，所以数列an是“4阶可重复数列”．
(1)判断数列A：1，1，0，1，0，1，0，1，1，1.是不是“5阶可重复数列”？如果是，请写出重复的这5项；
(2)若项数为m的数列A一定是“3阶可重复数列”，则m的最小值是多少？说明理由；
(3)假设数列A不是“4阶可重复数列”，若在其最后一项an后再添加一项0或1，均可使新数列是“4阶可重复数列”，且a3=0，求数列A的最后一项an的值．
答案
1.D
2.D
3.A
4.B
5.B
6.C
7.A
8.B
9.C
10.B
11.9；−84
12.23
13.4
15.427
16.①③
17.(1)因为x2−x−2<0，解得−1
所以A∪B=xx<2或x≥4；
又因为∁RB=x1
所以M=xm≤x≤m+4，
若B∪M=R，则m≤1m+4≥4，解得0≤m≤1，
所以m的取值范围是m0≤m≤1．
18.(1)解：由函数fx=x2e2−x−x+1，可得其定义域为R，且f′x=−x2+2xe2−x−1，
可得直线的斜率f′0=−1，且f0=1，所以切线方程为y=−x+1，即x+y−1=0．
(2)解：由(1)知gx=f′x=−x2+2xe2−x−1，可得g′x=x2−4x+2e2−x，
令g′x=0，即x2−4x+2=0，解得x=2− 2或x=2+ 2，
当x∈−∞,2− 2，g′x>0；当x∈2− 2,2+ 2，g′x<0；当x∈2+ 2,+∞，g′x>0，
所以函数gx在−∞,2− 2，2+ 2,+∞单调递增，在2− 2,2+ 2单调递减．
(3)解：函数fx有2个极值点，理由如下：
由(2)知，①当x<2− 2时，函数gx在区间−∞,2− 2上单调递增，
且g2− 2=2 2−1e 2−1>0，g0=−1<0，
所以存在唯一x1∈0,2− 2，使gx1=0；
②当2− 2
③当x>2+ 2时，gx在区间2+ 2,+∞上单调递增，
且g2+ 2<0，x→+∞恒有gx<0，故该区间内gx无零点，
综上可得：当x∈−∞,x1，gx=f′x<0；当x∈x1,x2，gx=f′x>0；当x∈x2,+∞，gx=f′x<0，
所以当x=x1时fx取到极小值；当x=x2时fx取到极大值；故fx有2个极值点．
19.(1)解：根据三人投篮得分统计数据，在10场比赛中，甲共获胜5场，
设A表示“从10场比赛中随机选择一场，甲获胜”，则PA=510=12．
(2)解：根据三人投篮得分统计数据，在10场比赛中，甲得分不低于10分的场次有6场，其中乙得分大于丙得分的场次有4场，所以X的所有可能取值为0,1,2，
可得PX=0=C22C40C62=115，PX=1=C21⋅C41C62=815，PX=2=C20C42C62=25，
所以变量X的分布列为
所以，期望为EX=0×115+1×815+2×25=43．
(3)解：由题意，每场比赛甲获胜的概率为12，乙获胜的概率为310，丙获胜的概率为15，
还需要进行6场比赛，而甲、乙、丙获胜的场数符合二项分布，
所以DY1=6×0.5×0.5=1.5，DY2=6×0.3×0.7=1.26，
DY3=6×0.2×0.8=0.96，则DY1>DY2>DY3．
20.(1)当a=−1时，f′x=x−1−ex−1x2，令f′x=0，则x=1，于是可列表如下：
∴当x=1时，fx取最大值为−1−e．
(2)f′x=aex(x−1)x2+1x2−1x=x−1aex−1x2(x>0)，
当a>0时，令f′x=0⇒x=1或x=−lna，
①当0
②当1e
③当a≥1时，由f′x>0⇒x>1，由f′x<0⇒0
④当a=1e时，由f′x≥0，则函数fx在0,+∞上单调递增．
综上：
当0
当a=1e时，函数fx的单调增区间为0,+∞，无减区间．
(3)x>1，则不等式fx≤1−x−1x转化为a≤lnx−x+1xex，
设ℎx=lnx−x+1xex⇒ℎ′x=1−xlnx−x+2ex，
令φx=lnx−x+2(x>0)，则φ′x=1−xx，由φ′x>0⇒0
所以函数φx在0,1上单调递增，在1,+∞上单调递减，
且φe=3−e>0，φe2=4−e2<0，则函数φx在e,e2内存在唯一的零点x0，
当x∈1,x0时，φx>0，ℎ′x<0，ℎx单调递减，
当x∈x0,+∞时，φx<0，ℎ′x>0，ℎx单调递增，
所以ℎxmin=ℎx0=x0lnx0−x0+1ex0，
又φx0=lnx0−x0+2=0，
得x0=ex0−2，则ℎx0=x0lnx0−x0+1ex0=−x0ex0=−ex0−2ex0=−e−2，
即ℎxmin=−e−2，所以a≤−e−2，即实数a的取值范围为−∞,−e−2．
21.(1)解：数列A：1，1，0，1，0，1，0，1，1，1，
因为a2，a3，a4，a5，a6与a4，a5，a6，a7，a8按次序对应相等，
所以是“5阶可重复数列”，重复的这5项为1，0，1，0，1；
(2)解：因为数列an的每一项只可以是0或1，所以连续3项共有23=8种不同的情形．
若m=11，则数列an中有9组连续3项，则这其中至少有两组按次序对应相等，
即项数为11的数列an一定是“3阶可重复数列”；
若m=10，数列0，0，1，0，1，1，1，0，0，0不是“3阶可重复数列”；
则3≤m<10时，均存在不是“3阶可重复数列”的数列an．
所以，要使数列an一定是“3阶可重复数列”，则m的最小值是11．
(3)由于数列an在其最后一项an后再添加一项0或1，均可使新数列是“5阶可重复数列”，
即在数列an的末项an后再添加一项0或1，则存在i≠j，
使得ai，ai+1，ai+2，ai+3与an−2，an−1，an，0按次序对应相等，
或aj，aj+1，aj+2，aj+3与an−2，an−1，an，1按次序对应相等，
如果a1，a2，a3与an−2，an−1，an不能按次序对应相等，
那么必有2≤i，j≤n−3，i≠j使得ai，ai+1，ai+2、aj，aj+1，aj+2与an−2，an−1，an按次序对应相等．
此时考虑ai−1，aj−1和an−3，其中必有两个相同，
这就导致数列an中有两个连续的四项恰按次序对应相等，
从而数列an是“4阶可重复数列”，这和题设中数列an不是“4阶可重复数列”矛盾．
所以a1，a2，a3与an−2，an−1，an按次序对应相等，从而an=a3=0．乘坐站数
0
3
4
5
6
年龄(岁)
0,20
20,40
40,60
60,80
80,+∞
总计
确诊组人数
0
3
7
4
0
14
排除组人数
7
41
15
19
2
84
场次
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
甲
9
13
8
12
14
11
7
9
12
10
乙
8
11
10
7
12
8
8
10
10
13
丙
12
10
9
11
11
9
9
8
9
11
X
0
1
2
P
115
815
25
x
0,1
1
1,+∞
f′x
+
0
−
fx
单调递增
极大值
单调递减
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