长春市第六中学2023-2024学年高二下学期第一学程考试（4月）数学试卷(含答案)

这是一份长春市第六中学2023-2024学年高二下学期第一学程考试（4月）数学试卷(含答案)，共14页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．在本次大阅读活动中增设了“游园会”中的“学科素养展”（即学科知识竞答活动），某同学从高一年级11个学科素养展、高二年级的9个学科素养展中各选择一个学科参加，则不同的选法共有( )
A.9种B.11种C.20种D.99种
2．已知函数的图象与直线相切于点,则( )
A.4B.8C.0D.-8
3．设双曲线C的方程为,若C的一条渐近线的斜率为,则C的离心率为( )
A.B.C.D.
4．数列的前n项和为( )
A.B.C.D.
5．已知函数在定义域内单调递减，则实数a的取值范围是( )
A.B.C.D.
6．进入4月份以来，为了支援上海抗击疫情，A地组织物流企业的汽车运输队从高速公路向上海运送抗疫物资.已知A地距离上海500km，设车队从A地匀速行驶到上海，高速公路限速为60km/h～110km/h.已知车队每小时运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成，可变部分与速度vkm/h的立方成正比，比例系数为b，固定部分为a元.若，，为了使全程运输成本最低，车队速度v应为( )
A.80km/hB.90km/hC.100km/hD.110km/h
7．在中,,,边上的中线,则的面积S为( )
A.B.C.D.
8．若函数（e为自然对数的底数）有两个极值点,则实数a的取值范围是( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．下列求导运算正确的是( )
A.B.
C.D.
10．已知,分别是椭圆的左､右焦点,P为椭圆C上异于长轴端点的动点,则下列结论正确的是( )
A.的周长为10B.面积的最大值为25
C.的最小值为1D.椭圆C的离心率为
11．如图,此形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法.商功》中,后人称为“三角垛”.“三角垛”最上层有1个球,第二层有3个球,第三层有6个球,第四层有10个球,.设第n层有个球,从上往下n层球的总数为,则( )
A.B.
C.D.
三、填空题
12．甲、乙、丙三位同学去电影院看电影,每人可在《第二十条》、《飞驰人生2》、《热辣滚烫》、《周处除三害》四部电影中任选一部,则不同的选法有____________种.
13．已知数列的前n项和为,,,则_____________.
14．我们把分子,分母同时趋近于0的分式结构称为型,比如：当时,的极限即为型,两个无穷小之比的极限可能存在,也可能不存在.早在1696年,洛必达在他的著作《无限小分析》一书中创造一种算法（洛必达法则）,用以寻找满足一定条件的两函数之商的极限,法则的大意为：在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法.
如：,则_____________.
四、解答题
15．已知函数.
（1）求曲线在点处的切线方程;
（2）设,求的最小值.
16．如图,在三棱柱中,平面,已知,,,点E是棱的中点.
（1）求证：平面;
（2）求平面与平面夹角的正弦值;
17．已知数列满足,数列是以2为首项2为公差的等差数列.
（1）求和的通项公式;
（2）设,求数列的前n项和.
18．在平面直角坐标系中,已知点,,,记M的轨迹为C.
（1）求C的方程;
（2）过点的直线l与C交于P,Q两点,,,设直线,,的斜率分别为,,.
（i）若,求;
（ii）证明：为定值.
19．已知函数.
（1）当时,讨论函数的单调性;
（2）若不等式在上恒成立,求实数a的取值范围.
参考答案
1．答案：D
解析：由题意得：
先从高一年级11个学科素养展中任选1各科目，然后再从高二年级的9个学科素养展中选择一个，共有种选法.
故选：D
2．答案：B
解析：直线的斜率为4,直线与函数的图象相切于点,
根据导数的几何意义即为切线的斜率,所以,
又点在函数的图象上,同时也在切线上,所以,
.
则.
故选：B.
3．答案：A
解析：由由渐近线方程得,结合可求得.
详解：由题意,.
故选：A.
4．答案：C
解析：由题意得,
所以.
故选：C.
5．答案：D
解析：因为函数，则，由已知可得，解得在上恒成立，
只需因为，
当时，，
故，即实数a的取值范围为，
故选：D.
6．答案：C
解析：设运输成本为y元，依题意可得，
则，
所以当 QUOTE v=102 v=102时 QUOTE y'=0 y'=0，当 QUOTE 60⩽v<100 Errr! Digit expected.时 QUOTE y'<0 y'<0，当 QUOTE 1000 y'>0，即函数在 QUOTE (60,100) (60,100)上单调递减，在 QUOTE (100,110) (100,110)上单调递增，所以当 QUOTE v=100 v=100时取得极小值即最小值，所以 QUOTE v=100 km/h v=100km/h时全程运输成本最低；故选：C.
7．答案：C
解析：如图所示,
延长到点E使,连接,
又,,,
,,的面积等于的面积.
在中,由余弦定理得,
又,则,
.
故选：C.
8．答案：A
解析：由题意,函数,则,
要使得函数有两个极值点,则有两个不相等的实根,
得到方程,
即与的图象有2个交点,
因为,
所以当时,,单调递减,当时,,单调递增,
因此,
当时,,当时,,
函数图象如下图所示：
所以当是满足函数与的图象有2个交点,
即函数有两个极值点.
故选：A.
9．答案：BC
解析：因为,故A不正确;
因为,故B正确;
因为,故C正确;
因为,故D不正确;
故选：BC.
10．答案：AD
解析：由题意可知：,,
则,,
对于选项A：的周长为,故A正确;
对于选项B：当P为短轴顶点时,面积取到最大值为,故B错误;
对于选项C：的最小值为,此时P为长轴顶点,
但本题取不到长轴顶点,故没有最小值,故C错误;
对于选项D：椭圆C的离心率为,故D正确;
故选：AD.
11．答案：ACD
解析：由题意得,,,,…,,
以上个式子累加可得,
又满足上式,所以,
由已知,,,,,
得,故正确;
因为,则,故错误;
由通项公式得,故正确;
由,
得,
故D正确.
故选：ACD.
12．答案：64
解析：易知每个人都有四种选法,故不同的选法有种.
故答案为：64.
13．答案：
解析：根据题意,可得,,…,,
所以
.
故答案为：.
14．答案：2
解析：由题可得.
故答案为：2.
15．答案：（1）
（2）0
解析：（1）易知,故切点为,设切线斜率为k,
而,故,故切线方程为.
即曲线在点处的切线方程为.
（2）由题意得,而,
易知的定义域为,令,,
令,,故在单调递减,在单调递增,
则最小值为.
16．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）在中,因为,,
由余弦定理知,得到,
所以,故,
又平面,平面,所以,
又,,平面,所以平面.
（2）如图所示,以,,为x,y,z轴建立空间直角坐标系,

因为,,,
则,,,,,,
又点E是棱的中点,所以,
设平面的法向量为,
,,
由,得到,取,,
得到,
设平面的法向量为,
,,
由,得到,取,,
得到,
平面与平面夹角的平面角为锐角,
故余弦值为,
所以正弦值为
17．答案：（1）,
（2）
解析：（1）由①,
当时,,
当时,②,
由①②得,
所以,
当时,上式也成立,
所以,
因为是以2为首项2为公差的等差数列,
所以;
（2）,
则,
,
两式相减得
,
所以.
18．答案：（1）
（2）（i）;（ii）证明见解析
解析：（1）因为,
根据椭圆的定义可知曲线C为以,为焦点的椭圆,
其中,,
所以椭圆方程：.
（2）(i)易知直线的斜率不为零,
所以设直线的方程为,,,
,得,
则,
则,
,
.
(ii)因为,
为定值.
19．答案：（1）在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增
（2）
解析：（1）由得函数,
所以,
令得,令得或,
所以在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增.
（2）由,得,又,
所以,即对任意,恒成立,
令,,则,
令,则,
所以当时,,当时,,
所以在上单调递增,在上单调递减,
又,,,
所以当时,在内存在唯一的零点,
所以当时,,,单调递增,当时,,,单调递减,
当时,,,单调递增,
所以,,
因为,所以,,
所以,
因为,所以,所以,
所以实数a的取值范围为.