长春市十一高中2023-2024学年高一下学期4月第一学程数学试卷(含答案)

这是一份长春市十一高中2023-2024学年高一下学期4月第一学程数学试卷(含答案)，共14页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．若,,则等于( )
A.B.C.D.
2．在中，若，，，则的最大角与最小角之和是( )
A.B.C.D.
3．设x,,向量,,,且,,则( )
A.-2B.1C.2D.0
4．在中，为边上的中线，E为的中点，则( )
A.B.C.D.
5．在中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,则下列结论成立的是( )
A.若,则B.若,则
C.若,则D.若,则
6．已知的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,满足,且,则的形状为( )
A.等边三角形B.顶角为的等腰三角形
C.顶角为的等腰三角形D.等腰直角三角形
7．北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果.在卫星导航系统中,地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面,轨道高度（轨道高度是指卫星到地球表面的距离）为h.将地球看作是一个球心为O,半径为r的球,其上点A的纬度是指与赤道平面所成角的度数.如果地球表面上某一观测点与该卫星在同一条子午线（经线）所在的平面,且在该观测点能直接观测到该卫星.若该观测点的纬度值为,观测该卫星的仰角为,则下列关系一定成立的是( )
A.B.
C.D.
8．如图,在中,,,P为上一点,且,若面积是,则的最小值为( )
A.B.C.4D.
二、多项选择题
9．已知的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,下列条件中,能使满足条件的唯一确定的是( )
A.,,
B.,,
C.,,
D.,,
10．如图,设,是平面内相交成角的两条数轴,,分别是与x轴,y轴正方向同向的单位向量.若向量,则把有序数对叫做向量在坐标系中的坐标.若在坐标系中,,,则下列结论正确的是( )
A.B.
C.D.与的夹角的余弦值为
11．已知的内接四边形中,,,,下列说法正确的是( )
A. B.四边形的面积为
C.该外接圆的直径为D.
三、填空题
12．已知平面向量,,则在上的投影向量的坐标为______________.
13．如图,直线l与的边,分别相交于点D,E.设,,,,,.则___________________.
四、解答题
14．如图,在中,,点P在边BC上,且,,,求PB﹔
15．已知,,.
（1）求;
（2）求向量与的夹角的余弦值.
16．的内角A,B,C对的边分别为a,b,c,,,
（1）的值;
（2）的值.
17．如图,在矩形中,点E在边上,且,M是线段上一动点.
（1）,m,,求的值;
（2）若,求的最小值.
18．如图,在中,,,D是线段BC上一点（不包括端点）,连接AD,.
（1）若,求线段AD的长;
（2）若,求;
（3）设,试求的取值范围.
19．“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题.该问题是：“在一个三角形内求作一点,使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”意大利数学家托里拆利给出了解答,当的三个内角均小于时,使得的点O即为费马点;当有一个内角大于或等于时,最大内角的顶点为费马点.试用以上知识解决下面问题：已知的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且
（1）求A;
（2）若,设点P为的费马点,求;
（3）设点P为的费马点,,求实数t的最小值.
参考答案
1．答案：D
解析：因为,,
所以.
故选：D.
2．答案：B
解析：根据三角形的边角关系可得最大角与最小角所对的边的长分别为8与5，设长为7的边CA所对的角为，则最大角与最小角的和是，由余弦定理可得，由为三角形的内角，，则最大角与最小角的和是.故选B.
3．答案：D
解析：因为向量,,,且,,
所以,解得,,
所以.
故选：D.
4．答案：A
解析：如图所示，
在中，为边上的中线，E为的中点，故
故选：A.
5．答案：D
解析：A选项,因为,所以,由正弦定理得,故,A正确;
B选项,不妨设,,此时,,不满足,B错误;
C选项,若,则,
由正弦定理得,
因为A,,所以,故,即,
同理可得,,故,
故,所以,C正确;
D选项,,由正弦定理得,
即,即,
不妨设,,满足,D错误.
故选：AC.
6．答案：B
解析：由正弦定理可得,
因为,所以,
所以,即,
即,因为,所以,
所以,因为,所以,所以,
因为,所以,
所以,即,
即,因为,所以,所以,
因为.所以,
所以的形状为顶角为的等腰三角形.
故选：B.
7．答案：A
解析：如图所示,,由正弦定理可得,
即,化简得,
故选：A.
8．答案：B
解析：
9．答案：AB
解析：对于A,根据三角形的三边关系,由,,得
又,则,为等腰三角形,有唯一解,A选项正确;
对于B,,得,又,,由正弦定理,
可得,解得,由,则,的形状唯一确定,B选项正确;
对于C,,得,
,当时,满足条件,此时是直角三角形,
时,,则有,
又,,此时是边长为2的等边三角形,
形状不能唯一确定,C选项错误;
对于D,,,则有,
,
当A为锐角时,,
,此时C为钝角;
当A为钝角时,,
,此时C为锐角;
的形状不能唯一确定,E选项错误;
故选：ABD.
10．答案：ABD
解析：由向量,分别是与x轴,y轴正方向同向的单位向量且,
可得,
因为,
对于A中,由,所以A正确;
对于B中,由,所以B正确;
对于C中,由,所以C不正确;
对于D中,由,可得且,
所以,所以D正确.
故选：ABD.
11．答案：ABD
解析：对于B,连接,在中,,,
由于,所以,故,
解得,
所以,,所以,
故,
,
故四边形的面积为,故B正确;
对于C,设外接圆半径为R,则,
故该外接圆的直径为,半径为,故B错误;
对于D,连接,过点O作于点F,过点B作于点E,则由垂径定理得：,
由于,所以,即,
解得,所以,所以,且,
所以,即在向量上的投影长为1,且与反向,
故,故D正确;
12．答案：
解析：,在上的投影向量的坐标为.
13．答案：
解析：
14．答案：
解析：解三角形因为,,
所以在中由余弦定理可得,
所以,解得,
由正弦定理得,即,解得,
所以,,
在三角形ABC中由正弦定理得：,则,
解得,所以;
15．答案：（1）
（2）
解析：（1）依题意,,,
所以.
（2）,设向量与的夹角为,
则.
16．答案：（1）7
（2）
解析：（1）由已知条件及正弦定理得：
,而,
所以：,
即：,所以：.
（2）如图,过C做于D,由（1）知,又,
所以：,
在中,
所以.
在中,,
在中,由余弦定理：.
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）因为,
化简得,所以,,
所以.
（2）因为,,
所以
所以,则,又,
所以,
设,则,
,
因为二次函数开口向上,故最小值在对称轴处取得,即时,,
所以的最小值为.
18．答案：（1）
（2）
（3）
解析：（1）时,,是直角三角形,故,
又,所以,这样为直角三角形,
所以：.
（2）由,,所以：,,
所以：,
在中,由余弦定理：
（3）由条件知,所以：.
由,
由于,,故.
19．答案：（1）
（2）
（3）
解析：（1）由已知中,即,
故,由正弦定理可得,
故直角三角形,即.
（2）由（1）,所以三角形的三个角都小于,
则由费马点定义可知：,
设,,,由得：
,整理得,
则.
（3）点P为的费马点,则,
设,,,,,
则由得;
由余弦定理得,
,
,
故由得,
即,而,,故,
当且仅当,结合,解得时,等号成立,
又,即有,解得或（舍去）,
故实数t的最小值为.