2023-2024学年江苏省南京市鼓楼区九年级（上）期中数学试卷

这是一份2023-2024学年江苏省南京市鼓楼区九年级（上）期中数学试卷，共12页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（2分）下列方程中，是一元二次方程的是
A．B．C．D．
2．（2分）已知的半径为3，平面内点到圆心的距离为，则点与的位置关系
A．点在外B．点在上C．点在内D．无法确定
3．（2分）二次函数的图像的顶点坐标是
A．B．C．D．
4．（2分）如图，在长、宽的矩形地面内，修筑两条同样宽且互相垂直的道路，余下的部分铺上草坪，要使草坪的面积达到，设道路的宽为，则根据题意，可列出方程
A．B．
C．D．
5．（2分）二次函数的图像上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如下表所示．
下列说法中，正确的是
A．图像的开口向上
B．图像经过点
C．图像与轴只有一个公共点
D．点右边的图像呈下降趋势
6．（2分）如图，在中，动弦与直径相交于点且总有，则的值
A．随着的增大而增大B．随着的增大而减小
C．随着的增大先增大后减小D．保持不变
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题
7．（2分）写出一个一元二次方程 ，使它的两个根分别是3、．
8．（2分）已知圆锥的底面半径为6，母线长为10，则此圆锥的侧面积为 ．
9．（2分）若点与都在函数的图像上，则，的大小关系是 ．
10．（2分）若扇形的半径为3，圆心角，为则此扇形的弧长是 ．
11．（2分）若一元二次方程为常数）的一个根是，则另一个根是 ．
12．（2分）如图是函数的部分图像，则该函数图像与轴负半轴的交点坐标是 ．
13．（2分）已知的半径等于，为的弦，其长为，则弦所对的圆周角的度数为 ．
14．（2分）五边形为圆的内接五边形，其中，，则 ．
15．（2分）如图，是的直径，若，，则的度数
为 ．
16．（2分）等边三角形的边长是，直线经过等边的外心，过作，垂足为，连接，则的最小值是 ．
三、解答题（本大题共11小题，共88分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（8分）解下列方程．
（1）；
（2）．
18．（7分）已知二次函数的图像经过点．
（1）求的值；
（2）该二次函数的图像是否经过点？判断并说明理由．
19．（7分）如图，在以点为圆心的两个同心圆中，大圆的弦与小圆相切于点．
（1）求证；
（2）已知图中阴影部分面积为，求弦的长．
20．（8分）一个直角三角形的两条直角边长度之和是，面积是，求斜边的长．
21．（7分）二次函数图像的顶点为，图像经过．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）结合图像，直接写出当时的取值范围．
22．（8分）尺规作图：作已知圆的一条直径．
要求：①保留作图痕迹；②用两种不同方法作图．
23．（8分）已知关于的方程为常数）．
（1）求证：不论取何值时，该方程总有实数根．
（2）方程的两个实数根可能都是负根吗？判断并说明理由．
24．（8分）如图是二次函数的大致图像．
（1）求该图像顶点的坐标；
（2）该图像经过怎样的平移可以得到函数的图像？
（3）将该图像绕原点旋转直接写出所得图像对应的表达式．
25．（8分）某商店八月份的销售额为30万元，九月份因经营不善销售额有明显下降，商店积极改进，十月份的销售额恢复到30万元，已知十月份销售额的增长率是九月份销售额的下降率的1.5倍．求九月份的销售额．
26．（10分）如图，是的直径，，与相交于点，是的中点，直线与直线相交于点．
（1）求证：是的切线．
（2）已知，当长度变化时，的长也随之变化．
①当 时，；
②在整个变化过程中，的长是否存在最大值？判断并说明理由．
27．（9分）小敏在查阅资料时得知：已知一个四边形各边长均为定值，当它的四个顶点在同一个圆上时，四边形的面积最大．
从特殊验证
已知四边形的各边长依次为7，15，20，24，求它的面积何时最大？
（1）探索情形Ⅰ：
①求证：点，，，在同一个圆上．
②的值为 ．
（2）探索情形Ⅱ：说明此时的值小于情形Ⅰ中的值．
向一般进发
（3）已知四边形的各边长依次为6，8，8，12，借助已有结论对它展开探索，求它的面积的最大值．
2023-2024学年江苏省南京市鼓楼区九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
17．解：（1），
，
开方，得，
解得，.
（2），
这里，，，
，
，
，．
18．解：（1）将代入二次函数得，，
解得．
（2）由（1）得二次函数的表达式为，
当时，，
点不在这个二次函数图像上．
19．（1）证明：连接，如图，
大圆的弦与小圆相切于点，
，，.
（2）如图，连接，
图中阴影部分面积为，
，．
，，
，．
20．解：设这个直角三角形的两直角边为、，斜边为，
根据题意得，，即，
，
开平方，得，
即斜边长为．
21．解：（1）设抛物线表达式为，
把代入得，解得，
抛物线表达式为.
（2）如图，当，，
当，，
而时，有最大值2，
时，．
22．解：方法1：如图，在圆上任取弦，作线段的垂直平分线，与圆分别交于点，，连接，
则即为已知圆的一条直径．
方法2：如图，在圆上任取弦，过点作的垂线，交圆于点，连接，
则即为已知圆的一条直径．
23．（1）证明：，
方程总有实数根.
（2）解：不可能．理由如下：
两根之和，两个根不可能都是负数．
24．解：（1），
该图像顶点的坐标为.
（2）将该图像向左平移1个单位，再向上平移4个单位可得函数的图像.
（3）该图像绕原点旋转直接写出所得图像对应的表达式为，
即．
25．解：设九月份销售额的下降率为，则十月份销售额的增长率为，
由题意，得，
整理，得，解得，（不符合题意，舍去），
，
答：九月份的销售额为20万元．
26.（1）证明：如图1，连接，，
是的直径，
，，
是的中点，，
，
，，
，
，
是的半径，是的切线．
（2）解：①或
，，又，，，
，，，，，，，，
如图1，，，，，，即；如图2，，，，，，即.
②不存在最大值.理由如下：
如图1，设，，
，
，
整理得，，
当无限接近4时，的值无限大，即当和接近平行时，此时无限大．
27．（1）①证明：如图，连接，取的中点，连接，，
，，
又，
，，
为的中点，，
点，，，在同一个圆上.
②解：234
（2）解：，，
，
在中，，在中，，
，
即.
（3）解：由题意可知，当四边形四顶点共圆时，它的面积最大，
设，，，，如图，连接，过点分别作于点，于点，
，，，
，，，
，，
同理可证，
，，
，，
，
，，
，
即四边形面积的最大值为．
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1
2
0
3
4
3
小敏的演算纸
解：分别考虑为直角、钝角或锐角的情形．
Ⅰ．为直角
易得
Ⅱ．为钝角
易证当为钝角时，也为钝角．设两条垂线段，．
Ⅲ．为锐角
同理可得Ⅱ中结论
综上所述，的最大值为．
1
2
3
4
5
6
B
C
A
A
D
D
7.（答案不唯一） 8. 9. 10. 11. 12.
13.或 14.220 15.35 16.