2023-2024学年湖南省邵阳市九年级（上）期中数学试卷

这是一份2023-2024学年湖南省邵阳市九年级（上）期中数学试卷，共13页。试卷主要包含了选择题，四象限，则k的值可以是，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）已知反比例函数y=kx的图象在第二、四象限，则k的值可以是（ ）
A．2B．2C．﹣5D．0
2．（3分）将一元二次方程（2x﹣1）（x+2）＝3化成一般形式正确的是（ ）
A．2x2+3x﹣5＝0B．2x2+3x+1＝0
C．2x2﹣3x﹣5＝0D．2x2+3x﹣2＝3
3．（3分）如图，DE∥BC，在下列比例式中，不能成立的是（ ）
A．ADDB=AEECB．DEBC=AEECC．ABAD=ACAED．DBEC=ABAC
4．（3分）如图，梯子跟地面的夹角为∠α，关于∠α的三角函数值与梯子的倾斜程度之间，叙述正确的是（ ）
A．sin α的值越小，梯子越陡
B．cs α的值越小，梯子越陡
C．tan α的值越小，梯子越陡
D．陡缓程度与∠α的函数值无关
5．（3分）已知点（x1，y1）、（x2，y2）是反比例函数y=−2x图象上的点，若x1＞0＞x2，则一定成立的是（ ）
A．y1＞y2＞0B．y1＞0＞y2C．0＞y1＞y2D．y2＞0＞y1
6．（3分）若一元二次方程x2﹣2x﹣m＝0无实数根，则一次函数y＝（m+1）x﹣2m的图象不经过第______象限．（ ）
A．一B．二C．三D．四
7．（3分）如图，在矩形ABCD中，E，F分别是CD，BC上的点．若∠AEF＝90°，则一定有（ ）
A．△AEF∽△ABFB．△ABF∽△ECFC．△ADE∽△AEFD．△ADE∽△ECF
8．（3分）如图，小正方形的边长均为1，有格点△ABC，则sinC＝（ ）
A．23B．55C．12D．22
9．（3分）如图，函数y1＝x﹣1和函数y2=2x的图象相交于点M（2，m），N（﹣1，n），若y1＞y2，则x的取值范围是（ ）
A．x＜﹣1或0＜x＜2B．x＜﹣1或x＞2
C．﹣1＜x＜0或0＜x＜2D．﹣1＜x＜0或x＞2
10．（3分）如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，且CF=14CD．下列结论：①∠BAE=30°；②△ABE∽△ECF；③AE⊥EF；④△ADF∽△ECF．其中正确结论（ ）
A．①②B．②③C．③④D．②③④
二、填空题（每小题3分，共24分）
11．（3分）如图，A为反比例函数y=kx图象上一点，AB⊥x轴于点B，若S△AOB＝3，则k值为 ．
12．（3分）若x＝﹣1是一元二次方程x2﹣2x+m﹣1＝0的一个根，则它的另一个根是 ．
13．（3分）已知a2=b5，那么代数式a+ba−b的值是 ．
14．（3分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D．已知AC=5，BC＝2，那么sin∠ACD＝ ．
15．（3分）现定义运算“★”，对于任意实数a、b，都有a★b＝a2﹣3a+b，如：3★5＝32﹣3×3+5，若x★2＝6，则实数x的值是 ．
16．（3分）如图，在△ABC中，∠A=90°，sinB=35，点D在边AB上．若AD＝AC，则tan∠BCD的值为 ．
17．（3分）如图，在△ABC中，BE、CD分别是AC、AB边上的中线，BE与CD相交于点O．则BOBE= ．
18．（3分）如图，A，B两点在反比例函数y=mx的图象上，C，D两点在反比例函数y=nx的图象上，AC⊥y轴于点E，BD⊥y轴于F，AC＝3，BD＝2，EF＝5，则m﹣n的值是 ．
三、解答题（8小题，共66分）
19．（8分）计算：(−1)2023×(−2)−2×12tan 60°−|−2|sin 30°cs 45°．
20．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2mx+m2﹣m+2＝0有实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若该方程的两个实数根为x1，x2，且x12+x22=20，求m的值．
21．（8分）如图，在矩形ABCD中，E是BC的中点，DF⊥AE，垂足为F．
（1）求证：△ABE∽△DFA；
（2）若AB＝6，BC＝4，求DF的长．
22．（8分）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆128人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末累计进馆608人次，若进馆人次的月平均增长率相同．
（1）求进馆人次的月平均增长率；
（2）因条件限制，学校图书馆每月接纳能力不超过500人次，在进馆人次的月平均增长率不变的条件下，校图书馆能否接纳第四个月的进馆人次，并说明理由．
23．（8分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝kx+2（k≠0）与x轴、y轴分别交于点A，点D，与双曲线y=mx(m≠0)交于点B（n，4），且sin ∠OAB=45．
（1）求直线与双曲线的解析式．
（2）过点B作BC⊥x轴于点C，若点P在双曲线y=mx上，且△PAC的面积为3，求点P的坐标．
24．（8分）在一次数学综合实践活动中，小明计划测量城门大楼的高度．如图，在点B处测得楼顶A的仰角为22°，他正对城楼前进29米到达C处，再登上2米高的楼台D处，并测得此时楼顶A的仰角为45°．
（1）求城门大楼的高度；
（2）每逢重大节日，城门大楼管理处都要在A，B之间拉上绳子，并在绳子上挂一些彩旗．请你求出A，B之间的长度．（结果保留整数）
（参考数据：sin 22°≈0.37，cs 22°≈0.93，tan 22°≈0.40）
25．（8分）如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E、F，连接BD，交CF与点H，连接PD．
（1）求证：AF2＝PE⋅BE：
（2）若CD＝23，求DH的长度．
26．（10分）Rt△ABC在直角坐标系内的位置如图所示，反比例函数y=kx在第一象限内的图象与BC边交于点D（4，m），与AB边交于点E（2，n），tan∠BAC=12，△BDE面积为3．
（1）求反比例函数关系式；
（2）点M是x轴上一点，当以点M、D、E为顶点的△MDE的周长最小时，求出M点的坐标；
（3）P是线段AB边上的点．是否存在点P，以B、C、P为顶点的三角形与△BDE相似？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
2023-2024学年湖南省邵阳市九年级（上）期中数学试卷
参考答案
选择题、填空题答案速查
19．解：(−1)2023×(−2)−2×12tan 60°−|−2|sin 30°cs 45°
＝﹣1×14×23×3−2×12×22
=−32−12
＝﹣2．
20．解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣2mx+m2﹣m+2＝0有实数根，
∴Δ＝（﹣2m）2﹣4（m2﹣m+2）≥0，
解得m≥2.
（2）∵方程的两个实数根为x1，x2，
∴x1+x2＝2m，x1x2＝m2﹣m+2，
∵x12+x22=20，
∴（x1+x2）2﹣2x1x2＝20，
（2m）2﹣2（m2﹣m+2）＝20，
解得m＝3或m＝﹣4，
∵m≥2，∴m＝3．
21．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠B＝90°，
∴∠DAF＝∠AEB，
∵DF⊥AE，∴∠AFD＝∠B＝90°，
∴△ABE∽△DFA.
（2）解：∵E是BC的中点，BC＝4，∴BE＝2.
∵AB＝6，∴AE=AB2+BE2=62+22=210.
∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝4.
∵△ABE∽△DFA，∴ABDF=AEAD，
∴DF=AB⋅ADAE=6×4210=6510．
22．解：（1）设进馆人次的月平均增长率为x，
则由题意得128+128（1+x）+128（1+x）2＝608，
化简，得4x2+12x﹣7＝0，
∴（2x﹣1）（2x+7）＝0，
∴x＝0.5＝50%或x＝﹣3.5（舍去）.
答：进馆人次的月平均增长率为50%．
（2）∵进馆人次的月平均增长率为50%，
∴第四个月的进馆人次为128（1+50%）3＝128×278=432＜500.
答：校图书馆能接纳第四个月的进馆人次．
23．解：（1）当x＝0时，y＝k×0+2＝2，
∴D（0，2），∴OD＝2，
∵sin ∠OAB=45，∴45=ODAD=2AD，
解得AD=52，∴OA=(52)2−22=32，
即A（32，0），把A（32，0）代入y＝kx+2中得，
32k+2＝0，解得k=−43，
∴一次函数的解析式为y=−43x+2，
把B（n，4）代入y=−43x+2，
得−43n+2＝4，解得n=−32，
∴B（−32，4），点B代入y=mx得4=m−32，
解得m＝﹣6，
∴反比例函数的解析式为y=−6x.
（2）设点P的纵坐标为b，
∵△PAC的面积为3，∴12AC•|b|＝3，
∵B（−32，4），∴C（−32，0），
即12×3×|b|＝3，解得b＝±2，
代入y=−6x中，得点P的横坐标为±3，
∴P（3，﹣2）或（﹣3，2）．
24．解：（1）如图，过点A作AE⊥BC，垂足为E，交DF于点G，
由题意得DC＝EG＝2米，AG⊥DF，DG＝CE，
设DG＝CE＝x米，
∵BC＝29米，
∴BE＝BC+CE＝（29+x）米，
在Rt△ADG中，∠ADG＝45°，
∴AG＝DG•tan45°＝x（米），
在Rt△ABE中，∠ABE＝22°，
∴AE＝BE•tan22°≈0.4（29+x）（米），
∵AG+EG＝AE，
∴x+2＝0.4（29+x），
解得x＝16，
∴AE＝AG+EG＝18米，
∴城门大楼的高度约为18米.
（2）在Rt△ABE中，∠ABE＝22°，AE＝18米，
∴AB=AEsin22°≈180.37≈49（米），
∴A，B之间的长度约为49米．
25．（1）证明：∵△BPC是等边三角形，
∴BP＝PC＝BC，∠PBC＝∠PCB＝∠BPC＝60°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD，∠A＝∠ADC＝∠BCD＝∠ABC＝90°，
∴∠ABE＝∠DCF＝30°，
∴∠CPD＝∠CDP＝75°，
∵△BPC是等边三角形，
∴BP＝PC＝BC，∠PBC＝∠PCB＝∠BPC＝60°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠PEF＝∠PFE＝60°，
∴△PEF是等边三角形，
∴PE＝PF，
∴CP+PF＝CP+PE，
∴CF＝BE，
在Rt△ABE中，∠ABE＝∠ABC﹣∠PBC＝30°，
∴BE＝2AE，
同理CF＝2DF，
∴AF＝DE.
∵∠PDE＝90°﹣75°＝15°，∠PBD＝∠PBC﹣∠HBC＝60°﹣45°＝15°，
∴∠EBD＝∠EDP，
∵∠DEP＝∠DEB，
∴△BDE∽△DPE，
∴DE：PE＝BE：DE，
∵DE＝AF，
∴AF2＝EF•EB.
（2）如图，过点H作HG⊥CD于点G，
∵∠HDG＝45°，∴△HDG是等腰直角三角形，
∴HG＝DG，DH=2DG，
∵∠HCG＝30°，∴CG=3HG=3DG，
∵CD＝CG+DG＝23=3DG+DG，
∴DG＝3−3，
∴DH=2DG＝32−6．
26．解：（1）如图，过点E作EH⊥BC与H，
在Rt△BEH中，tan∠BEH＝tan∠BAC=12，
∵EH＝xD﹣xE＝2，
∴BH＝1，BD＝1+n﹣m，
∵4m＝k，2n＝k，
∴m=k4，n=12k，
∴S△BED=12×BD×EH=12×（1+n﹣m）×2＝1+n﹣m＝1+12k−k4=1+k4，
∴S与k的关系式为S＝1+k4，
如图，过点P作PF⊥BC于F，
∵△BDE的面积为3，
∴3＝1+k4，解得k＝8，
即反比例函数的表达式为y=8x；
（2）由（1）知，m＝2，n＝4，
故点E，D的坐标分别为（2，4），（4，2），
如图，作点D关于x轴的对称点T（4，﹣2），连接ET交x轴于点M，此时，△MDE的周长最小，
理由：△MDE的周长＝ED+DM+EM＝ED+ET为最小，
由点E，T的坐标得，直线ET的表达式为y＝﹣3（x﹣2）+4，
令y＝0，即y＝﹣3（x﹣2）+4＝0，
解得x=103，
即点M的坐标为：（103，0）；
（3）存在，理由如下：
由（1）知，k＝8，
∴m＝2，n＝4，B点的坐标为（4，5），
∴BD＝3，BC＝5，
①当△BED∽△BPC时，BEBP=BDBC=35，如图，
∵EH⊥BC，PF⊥BC，
∴EHPF=BHBF=BEBP=35，
∵BH＝1，EH＝2，
∴BF=53，PF=103，
∴xP＝4−103=23，yP＝BC﹣BF＝5−53=103，
即P点的坐标为（23，103），
②当△BED∽△BCP时，BECB=BDBP，
在Rt△BEH中，BE=EH2+BH2=1+4=5，
∴55=3BP，
解得BP＝35，
同理可得EHPF=BHBF=BEBP=535=13，
∵BH＝1，EH＝2，
∴BF＝3，PF＝6，
∴xP＝4﹣6＝﹣2，yP＝BC﹣BF＝5﹣6＝﹣1
即P点的坐标为（﹣2，﹣1），
综上，符合条件的P点坐标为（23，103）或（﹣2，﹣1）．1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
C
C
B
B
D
C
D
B
D
B
11. -6 12. 3 13. −73 14.53
15. ﹣1或4 16. 17 17. 23 18.6