2023-2024学年湖南省湘潭市九年级（上）期末数学试卷

这是一份2023-2024学年湖南省湘潭市九年级（上）期末数学试卷，共12页。试卷主要包含了cm等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A．2x+3y﹣5＝0B．x2+1x=1
C．x2﹣1＝0D．ax2+bx+c＝0
2．（3分）已知反比例函数y=−5x，则下列各点中，在这个反比例图象上的是（ ）
A．（1，5）B．（﹣1，5）C．（﹣1，﹣5）D．（2，5）
3．（3分）随着芯片技术的飞速发展，电子元器件产业也随之蓬勃发展．质检部门从3000件电子元件中随机抽取100件进行检测，其中有2件是次品．试据此估计这批电子元件中次品数量大约为（ ）
A．2B．6C．20D．60
4．（3分）解方程x2﹣2x﹣3＝0，可用配方法将其变形为（ ）
A．（x﹣1）2＝4B．（x+1）2＝4C．（x﹣1）2＝2D．（x+1）2＝2
5．（3分）如图，坡度i＝1：3，小明从山坡脚下点A上坡走了50米到达点B，则他升高的高度为（ ）
A．25米B．253米C．2532米D．2533米
6．（3分）大自然巧夺天工，一片小枫叶也蕴含着“黄金分割”．如图，P是线段AB的黄金分割点，且AP＞PB，AB＝10cm，则AP的长约为（ ）cm．
A．0.618B．6.18C．3.82D．0.382
7．（3分）如图，已知直线a∥b∥c，直线m、n与a、b、c分别交于点A、C、E、B、D、F，若AC＝8，CE＝12，BD＝6，则DF的值是（ ）
A．10B．14C．9D．15
8．（3分）如图，点D、E分别在AC、AB上，且DE与BC不平行，添加一个条件，可得△ADE∽△ABC．不正确的是（ ）
A．∠AED＝∠CB．∠ADE＝∠BC．ABAD=ACAED．AEAC=DEBC
9．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（3，4），那么csα的值是（ ）
A．34B．43C．35D．45
10．（3分）《九章算术》是我国古代数学名著，有题译文如下：今有门，不知其高宽；有竿，不知其长短．横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线长恰好相等．问门高、宽和对角线的长各是多少？设门对角线的长为x尺，下列方程符合题意的是（ ）
A．（x+2）2+（x﹣4）2＝x2B．（x﹣2）2+（x﹣4）2＝x2
C．x2+（x﹣2）2＝（x﹣4）2D．（x﹣2）2+x2＝（x+4）2
二、填空题（本题共8个小题，每小题3分，共24分．请将答案写在答题卡相应的位置上）
11．（3分）已知x3=y4，则x+yy= ．
12．（3分）已知点（2，y1），（3，y2）在反比例函数y=3x的图象上，则y1与y2的大小关系是y1 y2．（填“＞”或“＜”或“＝”）
13．（3分）已知关于x的一元二次方程x2﹣x+k＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是 ．
14．（3分）2023年11月10日—12日，由湘潭市教育局、湘潭市文旅广电体育局主办的“奔跑吧•少年”湘潭市中小学生田径运动会在湘潭市体育中心举行．为备战此次比赛，甲、乙、丙、丁四位运动员在“100米短跑”训练中，每人各跑5次，据统计，平均成绩都是13.8秒，方差分别是S甲2＝0.11，S乙2＝0.03，S丙2＝0.05，S丁2＝1.88，要从中选择一名发挥最稳定的运动员参加比赛，应选择 去参赛．
15．（3分）若m、n是一元二次方程x2﹣5x+4＝0的两个实数根，则m+n的值为 ．
16．（3分）在平面直角坐标系中，已知△OEF的顶点分别为O（0，0），E（﹣4，2），F（﹣2，2），若△OE′F′与△OEF是以原点O为位似中心，且点E的对应点E'的坐标是E′（﹣2，1），则点F的对应点F′的坐标是 ．
17．（3分）已知△ABC中，∠A、∠B均为锐角，且满足(sinA−12)2+|csB−12|=0，则∠C＝ ．
18．（3分）对于两个不相等的实数a、b，我们规定符号max{a，b}表示a、b中的较大值，如：max{2，5}＝5．按照这个规定，方程max{1，x}＝x2﹣3的解为 ．
三．解答题（本大题8个小题，共66分。19、20题各6分；20、21题各8分；22、23题各9分；24、25题各10分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（6分）计算：tan60°﹣2cs30°+（2023﹣π）0．
20．（6分）2001年竣工通车的湘潭三大桥是湘江上已建大桥中规模最大的双塔垂直双索面三跨连续体系斜拉桥（如图1），图2是从图1抽象出来的平面图，已知：拉索AB、BD与桥面AC所成角度分别为37°、45°，若AD＝210米，求立柱BC的高度．（参考数据：tan37°≈0.75，sin37°≈0.6，cs37°≈0.8，结果精确到1米）
21．（8分）为了解某校九年级男生投掷实心球水平，随机抽取了若干名男生进行检测，测试成绩（单位：米）频数分布表和扇形图（部分）如下：
学生投掷实心球成绩的频数分布表
学生投掷实心球成绩的扇形图
（1）被调查的男生共有 人；
（2）m＝ ；B类的频率为 ；
（3）若全校共有1000名男生参加了此次投掷实心球的检测，请你估计该校男生投掷实心球成绩达到9米以上的人数．
22．（8分）已知某电路的电源电压U（V），电流I（A），电阻R（Ω）三者之间有如下的关系式：U＝IR，且该电路的电源电压U为恒值．
（1）该电路中，电流I与电阻R成 关系（填“反比例函数”或“正比例函数”）；
（2）当该电路的电阻为100Ω时，测得该电路中的电流为2.2A，写出该电路中电流I关于电阻R的函数表达式；
（3）若（2）中的电路如图所示，调节滑动变阻器R1，使通过灯泡的电流比（2）中测得的值减少0.2A，那么R1连入电路的阻值将会发生怎样的变化？（提示：设定灯泡电阻恒定）
23．（9分）如图，四边形ABCD是平行四边形，DE交BC于点F，交AB的延长线于点E，且∠EDB＝∠C．
（1）求证：△ADE∽△DBE；
（2）若DC＝9cm，BE＝16cm，求DE的长．
24．（9分）杭州亚运会于2023年9月23日开幕，某商店以2元/张的价格批发了一批具有纪念意义的书签进行销售．经调查发现，若每个定价3元，每天可以卖出500件，而且定价每上涨0.1元，其销售量将减少10件．根据规定，纪念品售价不能超过批发价的3倍．
（1）当每张书签定价为5元时，商店每天能卖出 件；
（2）如果商店要实现每天675元的销售利润，该如何定价？
25．（10分）如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点D为对角线OB的中点，反比例函数y=kx(k≠0)在第一象限内的图象经过点D，与AB相交于点E，且点B（4，2）．
（1）求反比例函数y=kx的关系式；
（2）求△ODE的面积；
（3）若反比例函数的图象与矩形的边BC交于点F，将矩形折叠，使点O与点F重合，折痕分别与x、y轴正半轴交于点H、G，求直线GH的函数关系式．
26．（10分）【特例感知】如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD平分∠BAC，交BC于点D．求证：CDBD=ACAB．
【性质探究】如图2，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D．求证：CDBD=ACAB．
【应用迁移】如图3，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，AE⊥BC，垂足为点E．若AC＝1，CD：BD＝1：3，点F在BA的延长线上，当AF为何值时，△CAF与△AED相似．
2023-2024学年湖南省湘潭市九年级（上）期末数学试卷
参考答案
选择题、填空题答案速查
19．解：tan60°﹣2cs30°+（2023﹣π）0
=3−2×32+1
=3−3+1
＝1．
20．解：∵BC⊥AD，垂足为点C，在Rt△ABC中，∠A＝37°，
设立柱BC＝x米，
∴tanA=BCAC，即AC=BCtan37°=x0.75=43x米，
∵在Rt△BDC中，∠BDC＝45°，
∴DC＝BC＝x米，
∵AD＝210米，
∴x+43x=210，
解得x≈90.
答：立柱BC的高度约为90米．
21．解：（1）50 10÷20%＝50（人），即被调查的男生共有50人．
（2）20 0.4 50﹣8﹣12﹣10＝20（人）， 20÷50＝0.4，即m＝20，B类的频率为04．
（3）12+1050×1000=440 （人）.
答：该校男生投掷实心球成绩达到9米以上的人数约为440人．
22．解：（1）反比例函数 ∵U＝IR，且该电路的电源电压U为恒值，∴I=UR，即该电路中，电流I与电阻R成反比例函数关系.
（2）∵I＝2.2 R＝100，
∴U＝IR＝2.2×100＝220，
∴I=220R.
（3）I＝2.2﹣0.2＝2安培，
∴2=220R，
解得R＝110，
110﹣100＝10(欧姆).
答：串入的滑动电阻R1 需增加10欧姆．
23．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C，
又∵∠EDB＝∠C，
∴∠A＝∠EDB，
又∵∠AED＝∠DEB，
∴△ADE∽△DBE.
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，DC＝9cm，
∴AB＝DC＝9cm，
又∵BE＝16cm∴AE＝AB+BE＝9+16＝25cm，
由（1）可知△ADE∽△DBE，
∴AEDE=DEBE，
即25DE=DE16，
∴DE＝20cm.
24．解：（1）300 根据题意得500﹣10×5−30.1＝500﹣10×20.1＝500﹣200＝300（件）.
（2）设售价应定为x元/件，则每件的销售利润为（x﹣2）元，每天可卖出500﹣10×x−30.1=（800﹣100x）件，
根据题意得（x﹣2）（800﹣100x）＝675，
整理得x2﹣10x+22.75＝0，
解得x1＝3.5，x2＝6.5.
又∵纪念品售价不能超过批发价的3倍，
∴x＝3.5．
答：售价应定为3.5元/件．
25．解：（1）∵矩形OABC的顶点B（4，2），点D是对角线OB的中点，
∴D（2，1），
把点D（2，1）代入反比例函数y=kx得：
k＝2，
∴反比例函数解析式为y=2x.
（2）连接OE，点E在AB上，
∴当x＝4时，求得y=12，
∴E(4，12)，AE=12 ，BE=2−12=32，
∴S△ODE=S△AOB−S△AOE−S△BDE=12×4×2−12×4×12−12×32×2=32.
（3）如图，连接GF、FH，设G（0，t），
∴OG＝t，CG＝2﹣t，
根据折叠性质，得GF＝OG＝t，则F（1，2），
在Rt△OGF中，CG2+CF2＝GF2，
即（2﹣t）2+12＝t2 解得 t=54，
∴G(0，54).
过点H作HM⊥BC，垂足为点M，由折叠可知∠HFG＝∠HOG＝90°，
证得△GFC∽△FHM，
∴CGMF=CFHM.
设H（m，0），
∴OH＝m，MF＝m﹣1，
∴34m−1=12，
解得m=52，
∴H(52，0).
设直线GH的函数关系式为y＝kx+b，
代入G(0，54)和H(52，0)，
得54=b52k+b=0 ， 解得 k=−12b=54，
∴直线GH的函数关系式为y=−12x+54．
26．（1）证明：∵∠C＝90°，∠B＝30°，
∴∠BAC＝60°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAC＝∠CAD＝∠B＝30°，
∴AD＝BD，
∵∠CAD＝∠B＝30°，∠ACD＝∠BCA＝90°，
∴△ACD∽△BCA，
∴CDAC=ADAB，
∴CDAD=ACAB，
∵AD＝BD，
∴CDBD=ACAB.
（2）证明：过点B作BG∥AC，交AD的延长线于点G，
∵BG∥AC，
∴△ACD∽△GBD，∠G＝∠CAD，
∴CDBD=ACBG，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD＝∠G，
∴AB＝BG，
∴CDBD=ACAB；
（3）解：由（2）得CDBD=ACAB，
∵CD：BD＝1：3，
∴ACAB=13，
∵AC＝1，
∴AB＝3，
在Rt△ABC中，
∵AB＝3，AC＝1，
∴BC=AB2+AC2=10，
∵12⋅AE⋅BC=12⋅AB⋅AC，
∴AE=31010，
在Rt△ACE中，
∵AC＝1，AE=31010，
∴CE=AC2−AE2=1010，
∵BC=10，CD：BD＝1：3，
∴CD=14BC=104，
∴DE＝CD﹣CE=31020.
①如图，若△CAF∽△AED，
则ACAE=AFDE，即131010=AF31020，
解得AF=12.
②如图，若△FAC∽△AED，
则ACDE=AFAE，即131020=AF31010，
解得AF＝2.
综上所述，AF的值为12或2．类别
分组
频数
A
7≤x＜8
8
B
8≤x＜9
m
C
9≤x＜10
12
D
10≤x＜11
10
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
C
B
D
A
A
B
C
D
C
B
11. 74 12. ＞ 13.k＜14 14.乙
15. 5 16.（﹣1，1） 17. 90° 18.x=−2或x=1+132