专题10 圆锥曲线（原卷版+解析版）【好题汇编】2024年高考真题和模拟题数学分类汇编（全国通用）

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1．（新课标全国Ⅱ卷）已知曲线C：（），从C上任意一点P向x轴作垂线段，为垂足，则线段的中点M的轨迹方程为（ ）
A．（）B．（）
C．（）D．（）
2．（全国甲卷数学（理））已知双曲线的上、下焦点分别为，点在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（ ）
A．4B．3C．2D．
3．（新高考天津卷）双曲线的左、右焦点分别为是双曲线右支上一点，且直线的斜率为2．是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为（ ）
A．B．C．D．
4．（新课标全国Ⅰ卷）（多选）造型可以做成美丽的丝带，将其看作图中曲线C的一部分.已知C过坐标原点O.且C上的点满足横坐标大于，到点的距离与到定直线的距离之积为4，则（ ）
A．B．点在C上
C．C在第一象限的点的纵坐标的最大值为1D．当点在C上时，
5．（新课标全国Ⅱ卷）（多选）抛物线C：的准线为l，P为C上的动点，过P作的一条切线，Q为切点，过P作l的垂线，垂足为B，则（ ）
A．l与相切
B．当P，A，B三点共线时，
C．当时，
D．满足的点有且仅有2个
6．（新课标全国Ⅰ卷）设双曲线的左右焦点分别为，过作平行于轴的直线交C于A，B两点，若，则C的离心率为 ．
7．（新高考北京卷）已知抛物线，则焦点坐标为 ．
8．（新高考北京卷）已知双曲线，则过且和双曲线只有一个交点的直线的斜率为 ．
9．（新高考天津卷）的圆心与抛物线的焦点重合，为两曲线的交点，则原点到直线的距离为 ．
10．（新高考上海卷）已知抛物线上有一点到准线的距离为9，那么点到轴的距离为 ．
11．（新课标全国Ⅰ卷）已知和为椭圆上两点.
(1)求C的离心率;
(2)若过P的直线交C于另一点B，且的面积为9，求的方程．
12．（新课标全国Ⅱ卷）已知双曲线，点在上，为常数，．按照如下方式依次构造点，过作斜率为的直线与的左支交于点，令为关于轴的对称点，记的坐标为.
(1)若，求；
(2)证明：数列是公比为的等比数列；
(3)设为的面积，证明：对任意的正整数，.
13．（全国甲卷数学（理）（文））设椭圆的右焦点为，点在上，且轴．
(1)求的方程；
(2)过点的直线与交于两点，为线段的中点，直线交直线于点，证明：轴．
14．（新高考北京卷）已知椭圆方程C：，焦点和短轴端点构成边长为2的正方形，过的直线l与椭圆交于A，B，，连接AC交椭圆于D．
(1)求椭圆方程和离心率；
(2)若直线BD的斜率为0，求t．
15．（新高考天津卷）已知椭圆椭圆的离心率．左顶点为，下顶点为是线段的中点，其中．
(1)求椭圆方程．
(2)过点的动直线与椭圆有两个交点．在轴上是否存在点使得恒成立．若存在求出这个点纵坐标的取值范围，若不存在请说明理由．
16．（新高考上海卷）已知双曲线左右顶点分别为，过点的直线交双曲线于两点.
(1)若离心率时，求的值．
(2)若为等腰三角形时，且点在第一象限，求点的坐标．
(3)连接并延长，交双曲线于点，若，求的取值范围．
一、单选题
1．（2024·福建泉州·二模）若椭圆的离心率为，则该椭圆的焦距为（ ）
A．B．C．或D．或
2．（2024·河北衡水·三模）已知双曲线：，圆与圆的公共弦所在的直线是的一条渐近线，则的离心率为（ ）
A．B．2C．D．
3．（2024·北京·三模）已知双曲线的一个焦点坐标是，则的值及的离心率分别为（ ）
A．B．C．1，2D．
4．（2024·贵州贵阳·三模）过点的直线与圆相交于不同的两点M，N，则线段MN的中点的轨迹是（ ）
A．一个半径为10的圆的一部分B．一个焦距为10的椭圆的一部分
C．一条过原点的线段D．一个半径为5的圆的一部分
5．（2024·湖南·模拟预测）已知点，点，动点M满足直线AM，BM的斜率之积为4，则动点M的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
6．（2024·陕西榆林·三模）在平面直角坐标系中，把到定点距离之积等于的点的轨迹称为双纽线.若，点为双纽线上任意一点，则下列结论正确的个数是（ ）
①关于轴不对称
②关于轴对称
③直线与只有一个交点
④上存在点，使得
A．1个B．2个C．3个D．4个
7．（2024·福建泉州·二模）双曲线，左、右顶点分别为A，B，O为坐标原点，如图，已知动直线l与双曲线C左、右两支分别交于P，Q两点，与其两条渐近线分别交于R，S两点，则下列命题正确的是（ ）
A．存在直线l，使得
B．当且仅当直线l平行于x轴时，
C．存在过的直线l，使得取到最大值
D．若直线l的方程为，则双曲线C的离心率为
8．（2024·河南·二模）已知双曲线的左，右焦点分别为为坐标原点，焦距为，点在双曲线上，，且的面积为，则双曲线的离心率为（ ）
A．2B．C．D．4
9．（2024·重庆·三模）已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于A，B两点，点在第一象限，点为坐标原点，且，则直线的斜率为（ ）
A．B．C．1D．-1
10．（2024·黑龙江齐齐哈尔·三模）设为抛物线的焦点，若点在上，则（ ）
A．3B．C．D．
11．（2024·山东泰安·二模）设抛物线的焦点为，过抛物线上点作准线的垂线，设垂足为，若，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
12．（2024·江西·模拟预测）已知，，，动点满足与的斜率之积为，动点的轨迹记为，过点的直线交于，两点，且，的中点为，则（ ）
A．的轨迹方程为
B．的最小值为1
C．若为坐标原点，则面积的最大值为
D．若线段的垂直平分线交轴于点，则点的横坐标是点的横坐标的倍
13．（2024·江苏常州·二模）双曲线具有光学性质：从双曲线一个焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．如图，双曲线的左、右焦点分别为，从发出的两条光线经过的右支上的两点反射后，分别经过点和，其中共线，则（ ）
A．若直线的斜率存在，则的取值范围为
B．当点的坐标为时，光线由经过点到达点所经过的路程为6
C．当时，的面积为12
D．当时，
14．（2024·重庆·三模）已知双曲线的左，右焦点分别为为双曲线上点，且的内切圆圆心为，则下列说法正确的是（ ）
A．B．直线PF1的斜率为
C．的周长为D．的外接圆半径为
15．（2024·湖北襄阳·二模）抛物线的焦点为，为其上一动点，当运动到时，，直线与抛物线相交于两点，下列结论正确的是（ ）
A．抛物线的方程为：
B．抛物线的准线方程为：
C．当直线过焦点时，以AF为直径的圆与轴相切
D．
16．（2024·浙江杭州·三模）如图，平面直角坐标系上的一条动直线l和x，y轴的非负半轴交于A，B两点，若恒成立，则l始终和曲线C：相切，关于曲线C的说法正确的有（ ）
A．曲线C关于直线和都对称
B．曲线C上的点到和到直线的距离相等
C．曲线C上任意一点到原点距离的取值范围是
D．曲线C和坐标轴围成的曲边三角形面积小于
17．（2024·河南·三模）已知椭圆经过点，且离心率为．记在处的切线为，平行于OP的直线与交于A，B两点，则（ ）
A．C的方程
B．直线OP与的斜率之积为-1
C．直线OP，l与坐标轴围成的三角形是等腰三角形
D．直线PA，PB与坐标轴围成的三角形是等腰三角形
18．（2024·辽宁·模拟预测）已知抛物线的焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，点P在C的准线上，那么（ ）
A．若PA与C相切，则PB也与C相切
B．
C．若点P在x轴上，则为定值
D．若点P在x轴上，且满足，则直线l的斜率绝对值为
19．（2024·广东汕头·二模）用一个不垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，当圆锥的轴与截面所成的角不同时，可以得到不同的截口曲线，也即圆锥曲线.探究发现：当圆锥轴截面的顶角为时，若截面与轴所成的角为，则截口曲线的离心率.例如，当时，，由此知截口曲线是抛物线.如图，圆锥中，、分别为、的中点，、为底面的两条直径，且、，.现用平面（不过圆锥顶点）截该圆锥，则（ ）

A．若，则截口曲线为圆
B．若与所成的角为，则截口曲线为椭圆或椭圆的一部分
C．若，则截口曲线为抛物线的一部分
D．若截口曲线是离心率为的双曲线的一部分，则
三、填空题
20．（2024·北京·三模）已知双曲线．则的离心率是 ；若的一条渐近线与圆交于，两点，则 ．
21．（2024·河北衡水·三模）已知椭圆的左、右焦点分别为，焦距为6，点，直线与交于A，B两点，且为AB中点，则的周长为 ．
22．（2024·山东聊城·三模）已知双曲线的一个焦点为为坐标原点，点在双曲线上运动，以为直径的圆过点，且恒成立，则的离心率的取值范围为 ．
23．（2024·湖南衡阳·三模）如图所示，已知双曲线的右焦点F，过点F作直线l交双曲线C于两点，过点F作直线l的垂线交双曲线C于点G，，且三点共线（其中O为坐标原点），则双曲线C的离心率为 ．

24．（2024·北京·三模）已知抛物线的焦点为，则的坐标为 ；过点的直线交抛物线于两点，若，则的面积为 ．
25．（2024·湖南长沙·三模）已知椭圆的离心率为，过的左焦点且斜率为1的直线与交于两点.若，则的焦距为 .
26．（2024·河北保定·三模）若双曲线C：的左、右焦点为，，P是其右支上的动点.若存在P，使得，，依次成等比数列，则t的取值范围为 .
四、解答题
27．（2024·北京·三模）已知椭圆的离心率为．
(1)求椭圆的方程和短轴长；
(2)设直线与椭圆相切于第一象限内的点，不过原点且平行于的直线与椭圆交于不同的两点A，B，点关于原点的对称点为．记直线的斜率为，直线的斜率为，求的值．
28．（2024·江西·模拟预测）已知双曲线的离心率为2，顶点到渐近线的距离为．
(1)求的方程；
(2)若直线交于两点，为坐标原点，且的面积为，求的值．
29．（2024·山东·模拟预测）已知抛物线：经过点.
(1)求抛物线的方程；
(2)设直线与的交点为，，直线与倾斜角互补.
（i）求的值；
（ii）若，求面积的最大值.
30．（2024·山东济宁·三模）已知椭圆的左焦点为，上顶点为，离心率，直线FB过点.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点的直线与椭圆相交于M，N两点（M、N都不在坐标轴上），若，求直线的方程.
31．（2024·重庆·三模）已知为圆上一个动点，MN垂直轴，垂足为N，O为坐标原点，的重心为.
(1)求点的轨迹方程;
(2)记（1）中的轨迹为曲线，直线与曲线相交于A、B两点，点，若点恰好是的垂心，求直线的方程.
32．（2024·云南曲靖·模拟预测）已知抛物线，焦点为，点为曲线的准线与对称轴的交点，过的直线与抛物线交于两点.
(1)证明：当时，与抛物线相切；
(2)当时，求.
33．（2024·四川·模拟预测）已知抛物线：（）的焦点为，为抛物线上一点，，若的最小值为2．
(1)求抛物线的方程；
(2)直线过点且交抛物线于，两点，求的最小值．
34．（2024·湖南长沙·二模）已知椭圆中心在原点，左焦点为，其四个顶点的连线围成的四边形面积为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过椭圆的左焦点作斜率存在的两直线、分别交椭圆于、、、，且，线段、的中点分别为、.求四边形面积的最小值.
35．（2024·福建厦门·三模）平面直角坐标系中，动点在圆上，动点（异于原点）在轴上，且，记的中点的轨迹为.
(1)求的方程；
(2)过点的动直线与交于A，B两点.问：是否存在定点，使得为定值，其中分别为直线NA，NB的斜率.若存在，求出的坐标，若不存在，说明理由.