[数学]河南省百师联盟2023-2024学年高二下学期联考期末试题(解析版)

这是一份[数学]河南省百师联盟2023-2024学年高二下学期联考期末试题(解析版)，共13页。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1. 已知函数，则（ ）
A. 1B. C. 2D. 4
【答案】A
【解析】由题意知，，
又由，则，所以
故选：A．
2. 曲线在点处切线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由函数，可得，所以，
设切线的倾斜角为，其中，则，所以.
故选：C.
3. 若根据如下样本数据得到线性回归方程为，则（ ）
A. ＞0，＞0B. ＞0，＜0
C. ＜0，＞0D. ＜0，＜0
【答案】B
【解析】根据给出的数据可发现：整体上y与x呈现负相关，所以＜0，由样本点(3，4.0)及(4，2.5)可知＞0.
4. 为研究高中生的性别与是否喜欢数学课程之间的关系，运用列联表进行检验，经计算，参考下表，则认为“性别与喜欢数学有关”犯错误的概率不超过（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为，结合表格可知，所以认为“性别与喜欢数学有关”犯错误的概率不超过0.010.
故选：B．
5. 吹气球时，气球的半径r（单位：dm）与体积V（单位：L）之间的函数关系是，估计时，气球的膨胀率为（ ）
A. B. C. 1D.
【答案】A
【解析】，则，
当时，．故选：A．
6. 已知数列满足，且，若，则m的值可能为（ ）
A. 2021B. 2022C. 2023D. 2024
【答案】D
【解析】数列的递推公式为，由，
则有，，，，
，则是以4为周期的周期数列，
，有，，故m的值可能为2024，
故选：D．
7. 若函数的图象上不存在与直线垂直的切线，则实数a的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】∵，∴；
∵函数的图象上不存在与直线垂直的切线，
∴无解，又，
∴，得．
故选：C．
8. 函数的图象如图所示，是函数的导函数，令，，，则下列数值排序正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由图象可知在上单调递增，
故，即.
故选：C
二、多项选择题（共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．）
9. 下列求导运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】CD
【解析】由题意，根据基本初等函数的导数公式和导数的运算法则，
对于A中，由，所以A错误；
对于B中，由，所以B错误；
对于C中，由，所以C正确；
对于D中，由，所以D正确．
故选：CD．
10. 已知数列的前n项和为，则“数列为等差数列”的充要条件是（ ）
A. 当时，（为常数）B. （，为常数）
C. （，为常数）D.
【答案】BCD
【解析】对于A，当时，数列为等差数列，A错误；
对于B，若数列为等差数列，则，符合的形式，
若，则（常数），即数列为等差数列，
故数列的通项公式可以表示为数列为等差数列，B正确；
对于C，若数列为等差数列，则，符合的形式，
若有，当时，，
当时，符合上式，故，即数列为等差数列，
故数列的前项和可以表示为的形式数列为等差数列，C正确；
对于D，由，可得：，则数列为等差数列，D正确．
故选:BCD．
11. 设t为实数，则直线能作为下列函数图象的切线的有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】对于A：，故无论x取何值，不可能等于，故A错误；
对于B：，令，解得，
所以直线能作为该函数图象的切线，故B正确；
对于C：，令，解得，
所以直线能作为该函数图象的切线，故C正确；
对于D：，故无论x取何值，不可能等于，故D错误．
故选：BC．
12. 已知数列满足，，设的前n项和为，下列结论正确的（ ）
A. 数列是等比数列
B.
C.
D. 当时，数列是单调递减数列
【答案】ABD
【解析】对A：，
且，故数列是等比数列，故A正确；
对B：，，，
由，得，故B正确；
对C：因为，
所以
，，故C错误．
对D：当时，是单调递减数列，也是单调递减数列，
所以是单调递减数列，故D正确．
故选：ABD.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 数列中，若，，则____________．
【答案】19
【解析】∵，则，
∴，∴故数列为等差数列，公差等于2，
又，故，
∴.
故答案为：19．
14. 已知变量y关于x的回归方程为，若对两边取自然对数，可以发现与x线性相关，现有一组数据如下表所示：
则当时，预测y的值为____________．
【答案】
【解析】对两边取对数，得，令，则．
，，
代入得故．
故，．
当时，．
故答案为：．
15. 在等差数列中，奇数项之和为220，偶数项之和为165，若此数列的项数为10，则此数列的公差为____________；若此数列的项数为奇数，则此数列的中间项是____________
【答案】① ②55
【解析】令，，
若此数列项数为10，则，所以，所以；
若此数列的项数为奇数，设项数为，
则奇数项之和，
偶数项之和，
所以，解得，
所以第4项是此数列的中间项，．
故答案：；55．
16. 英国著名物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点．已知二次函数有两个不相等的实根b，c，其中．在函数图象上横坐标为的点处作曲线的切线，切线与x轴交点的横坐标为；用代替，重复以上的过程得到；一直下去，得到数列，记，且，，则数列的前n项和____________．
【答案】
【解析】因为二次函数有两个不等实数根b，c，
所以不妨设．
因为，所以，
所以在横坐标为的点处的切线方程为：．
令，则，
因为，
所以，即，
所以数列是公比为2，首项为1的等比数列，
所以，
由，
所以，
故答案为：．
四、解答题：本题共6小题，共70分，其中第17题10分，其余均12分.
17. 已知等差数列的公差为d（），前n项和为，且满足；，，成等比数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，数列的前n项和为，求．
解：（1），得，即．
由，，成等比数列，得，，即．
所以，故．
（2），
∴
.
18. 在等差数列中，，．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求的值．
解：（1）设其公差为d，由题意可得．
解得，，
∴，．
（2）设数列的前n项和为，则由（1）可得，
，，
由（1）知，令，得，当时，，
当时，可得，
当时，
可得 ，
因为，所以，
所以．
19. 2024年2月23日19时30分，中国航天迎来甲辰龙年首飞．长征五号运载火箭成功将通信技术试验卫星十一号送入预定轨道．竖直向上发射的火箭熄火时上升速度达到100m/s，此后其位移H（单位：m）与时间t（单位；s）近似满足函数关系
（1）分别求火箭在、这些时间段内的平均速度；
（2）求火箭在时的瞬时速度﹔
（3）熄火后多长时间火箭上升速度为0．
解：（1）由位移H与时间t近似满足函数关系，
则火箭在这些时间段内的平均速度为；
火箭在这些时间段内的平均速度为：．
（2）由函数，可得，
可得，
所以火箭在时的瞬时速度为80m/s．
（3）由，令，即，解得，
熄火后10s火箭上升速度为0．
20. 已知函数的图象经过点，且在点A处的切线与直线l：垂直．
（1）求a，b的值；
（2）求经过点且与曲线相切切线方程．
解：（1）因为，所以．
的图象在点处的切线与直线l：垂直，
∴，
解得；
（2）由（1）知，，
设切点坐标为，
因为，
所以切线方程为，
又切线过点，
所以，
即，
解得或，
即或，
即或，
所以经过点且与曲线相切的切线方程为或．
21. 近年来，短视频作为以视频为载体的聚合平台，社交属性愈发突出，在用户生活中覆盖面越来越广泛，针对短视频的碎片化缺陷，将短视频剪接成长视频势必成为一种新的技能．某机构在网上随机对1000人进行了一次市场调研，以决策是否开发将短视频剪接成长视频的APP，得到如下数据：
其中的数据为统计的人数，已知被调研的青年人数为400．
（1）求的值；
（2）根据小概率值的独立性检验，分析对短视频剪接成长视频的APP的需求，青年人与中老年人是否有差异？
参考公式：，其中．
临界值表：
解：（1）由题意可得：，解得．
（2）零假设为：对短视频剪接成长视频APP的需求，青年人与中老年人没有差异．
由已知得，如下列联表：
可得，
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，
所以对短视频剪接成长视频的APP有需求，青年人与中老年人有差异．
22. 根据统计，某蔬菜基地西红柿亩产量的增加量（百千克）与某种液体肥料每亩使用量（千克）之间的对应数据的散点图，如图所示.

（1）依据数据的散点图可以看出，可用线性回归模型拟合与的关系，请计算相关系数并加以说明（若，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）；
（2）求关于的回归方程，并预测液体肥料每亩使用量为千克时，西红柿亩产量的增加量约为多少？附：相关系数公式，回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，.
解：（1）因为，，
，
，，
因此相关系数，
所以可用线性回归模型拟合与的关系.
（2）由（1）知，，，
因此，当时，，
所以预测液体肥料每亩使用量为12千克时，西红柿亩产量的增加量约为9.9百千克．
x
3
4
5
6
7
8
y
4.0
2.5
0.5
0.5
0.4
0.1
0.100
0.050
0.025
0.010
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
x
1
2
3
4
5
y
x
1
2
3
4
5
y
z
1
3
4
6
7
青年人
中年人
老年人
对短视频剪接成长视频的APP有需求
200
对短视频剪接成长视频的APP无需求
150
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
青年人
中老年人
合计
对短视频剪接成长视频的APP有需求
300
250
550
对短视频剪接成长视频的APP无需求
100
350
450
合计
400
600
1000